2017年中考数学试卷汇编——圆(带答案),推荐文档

圆的有关性质一、选择题1．（2016·山东省滨州市·3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC，OC 相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB 平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC 是⊙O 的圆心角，∠AEC 是⊙O 的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF 和△BED 中对应相等的边，所以不一定全等．【解答】解：①、∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，②、∵∠AOC 是⊙O 的圆心角，∠AEC 是⊙O 的圆内部的角角，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB 平分∠ABD，④、∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O 为圆心，∴AF=DF，⑤、由④有，AF=DF，∵点O 为AB 中点，∴OF 是△ABD 的中位线，∴BD=2OF，⑥∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，故选D【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．2．（2016·山东省德州市·3 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A．3 步 B．5 步 C．6 步 D．8 步【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】圆的有关概念及性质．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．【解答】解：根据勾股定理得：斜边为=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为 6 步，故选C【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ABC，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆半径r=．3．（2016·山东省济宁市·3 分）如图，在⊙O 中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．15°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O 中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC= ∠AOC=20°，故选 C．4.（2016·云南省昆明市·4 分）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF 切⊙O 于点B，∠A=30°，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（）A．EF∥CD B．△COB 是等边三角形C．CG=DG D．的长为π【考点】弧长的计算；切线的性质．【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据垂径定理判断C；利用弧长公式计算出的长判断 D．【解答】解：∵AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点B，∴AB⊥EF，又AB⊥CD，∴EF∥CD，A 正确；∵AB⊥弦CD，∴=，∴∠COB=2∠A=60°，又OC=OD，∴△COB 是等边三角形，B 正确；∵AB⊥弦CD，∴CG=DG，C 正确；的长为：=π，D 错误，故选：D．5.（2016·浙江省湖州市·3 分）如图，圆O 是Rt△ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D，则∠D 的度数是（）A．25° B．40° C．50° D．65°【考点】切线的性质；圆周角定理．【分析】首先连接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC 的度数，由CD 是圆O 的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．【解答】解：连接OC，∵圆O 是Rt△ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∴AB 是直径，∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD 是圆O 的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．故选 B．6.（2016·浙江省绍兴市·4 分）如图，BD 是⊙O 的直径，点A、C 在⊙O 上，=，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（）A．60° B．45° C．35° D．30°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：连结OC，如图，∵=，∴∠BDC=∠AOB=×60°=30°．故选 D．7．（2016 广西南宁3 分）如图，点A，B，C，P 在⊙O 上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P 的度数为（）A．140° B．70° C．60° D．40°【考点】圆周角定理．【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE 的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，∴∠DOE=180°﹣40°=140°，∴∠P=∠DOE=70°．故选 B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．（2016 贵州毕节 3 分）如图，点A，B，C在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（）A．100° B．72° C．64° D．36°【考点】圆周角定理．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=28°，∴∠OAB=64°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=64°，故选：C．9.(2016 河北 3 分）图示为 4×4 的网格图，A，B，C，D，O 均在格点上，点O 是（）第 9 题图A．△ACD 的外心 B．△ABC 的外心C．△ACD 的内心 D．△ABC 的内心答案：B解析：点O 在△ABC 外，且到三点距离相等，故为外心。

知识点：外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。

内心：三角形内心到三角形三条边的距离相等。

（也就是内切圆圆心)10.（2016·山东潍坊·3 分）木杆 AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 A 沿墙壁 NO 竖直下滑时，木杆的底端 B 也随之沿着射线 OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点 P 随之下落的路线，其中正确的是（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．【分析】先连接 OP ，易知 OP 是 Rt △AOB 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 OP =AB ，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么 OP 就是一个定值，那么 P 点就在以 O 为圆心的圆弧上．【解答】解：如右图，连接 OP ，由于 OP 是 Rt △AOB 斜边上的中线，所以 OP =AB ，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是 OP 是一个定值，点 P 就在以 O 为圆心的圆弧上，那么中点 P 下落的路线是一段弧线．故选 D ．11.（2016·陕西·3 分）如图，⊙O 的半径为 4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB、O C．若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（）A．3B．4C．5D．6【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．【分析】首先过点O 作OD⊥BC 于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O 作OD⊥BC 于D，则BC=2BD，∵△ABC 内接于⊙O，∠BAC 与∠BOC 互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB==30°，∵⊙O 的半径为 4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故选：B．12.（2016·四川眉山·3 分）如图，A、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）A．64° B．58° C．72° D．55°【分析】先根据圆周角定理求出∠B 及∠BAC 的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB 的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵BC 是直径，∠D=32°，∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=32°，∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．故选 B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．13. （2016·四川攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD 即可．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如图所示：∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．14.（2016·黑龙江龙东·3 分）若点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC 的面积为（）A.2+B．C．2+或2﹣D．4+2或2﹣【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC 的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当△ABC 为△A1BC 时，连接OB、OC，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC 于点D，∴CD=1，OD=，∴=2﹣，当△ABC 为△A2BC 时，连接OB、OC，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC 于点D，∴CD=1，OD=，∴S△A2BC===2+，由上可得，△ABC 的面积为或 2+，故选 C．15．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3 分）下列命题中，真命题的个数是（）①同位角相等②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行③长度相等的弧是等弧④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A.1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【考点】命题与定理．【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形．【解答】解：两直线平行，同位角相等，所以①错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．故选 A．16．（2016·湖北黄石·3 分）如图所示，⊙O 的半径为 13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】根据⊙O 的半径为 13，弦AB 的长度是 24，ON⊥AB，可以求得AN 的长，从而可以求得ON 的长．【解答】解：由题意可得，OA=13，∠ONA=90°，AB=24，∴AN=12，∴ON= ，故选 A．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．17．（2016·湖北荆州·3 分）如图，过⊙O 外一点P引⊙O 的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP 交⊙O 于点C，点D 是优弧上不与点A、点C 重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．【解答】解；如图，由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，由=，得∠AOC=∠BOC=50°．由圆周角定理，得∠ADC= ∠AOC=25°，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出=是解题关键，又利用了圆周角定理．二、填空题1. （2016·重庆市A 卷·4 分）如图，OA，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB= 60度．【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=120°× =60°，故答案为：60．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2.（2016·广西百色·3 分）如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E，若∠C=25°，则∠D= 65°．【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠A 的度数，再由垂径定理求出∠AED 的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵∠C=25°，∴∠A=∠C=25°．∵⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E ，∴AB ⊥CD ，∴∠AED =90°，∴∠D =90°﹣25°=65°．故答案为：65°．3.（2016·贵州安顺·4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点 E ，若AB=8，CD =6，则 BE =【分析】连接 OC ，根据垂径定理得出 CE =ED =CD =3，然后在 Rt △OEC 中由勾股定理求出 OE 的长度，最后由 BE =OB ﹣OE ，即可求出 BE 的长度．【解答】解：如图，连接 O C ．∵弦 CD ⊥AB 于点 E ，CD =6，∴CE =ED =CD =3．∵在 Rt △OEC 中，∠OEC =90°，CE =3，OC =4，∴OE ==∴BE =OB ﹣OE ．故答案为4﹣．【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED 的长度．4．（2016 海南 4 分）如图，AB是⊙O 的直径，AC、BC是⊙O 的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D 在优弧上，AB=8，BC=3，则DP= 5.5．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB 和DE 是⊙O 的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB 和DE 是⊙O 的直径，∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，又∵DE⊥AC，∴OP∥BC，∴△AOP∽△ABC，∴，即，∴OP=1.5．∴DP=OP+OP=5.5，故答案为：5.5．【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．5.（2016·青海西宁·2 分）⊙O 的半径为 1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC 度数为75°或 15°．【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．【分析】连接OA，过O 作OE⊥AB 于E，OF⊥AC 于F，根据垂径定理求出AE、FA 值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB 和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC 即可．【解答】解：有两种情况：①如图 1 所示：连接OA，过O 作OE⊥AB 于E，OF⊥AC 于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE==，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；②如图 2 所示：连接OA，过O 作OE⊥AB 于E，OF⊥AC 于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE═=，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°﹣30°=15°；故答案为：75°或 15°．6.（2016·吉林·3 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P 是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 80度（写出一个即可）．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB 的度数，根据圆周角定理求出∠DOB 的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DO B．【解答】解：连接OB、OD，∵四边形ABCD 内接于⊙O，∠DAB=130°，∴∠DCB=180°﹣130°=50°，由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100°，∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即 50°＜∠BPD＜100°，∴∠BPD 可能为 80°，故答案为：80．7.（2016·四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （ 1 ， 0 ），B （ 1 ﹣a， 0 ），C （ 1 +a， 0 ）（a ＞0 ），点P 在以D （ 4 ， 4 ）为圆心， 1 为半径的圆上运动，且始终满足∠B PC =90 °，则a 的最大值是6．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】首先证明AB =A C =a，根据条件可知PA =A B =A C =a，求出⊙D上到点A 的最大距离即可解决问题．【解答】解：∵A （ 1 ， 0 ），B （ 1 ﹣a ， 0 ），C （ 1 + a ， 0 ）（a ＞ 0 ），∴AB = 1 ﹣（ 1 ﹣a ） = a ，CA =a + 1 ﹣ 1 = a ，∴AB =AC ，∵∠B PC = 90 °，∴PA =AB =AC =a ，如图延长AD 交⊙D 于P ′，此时AP ′最大，∵A （ 1 ， 0 ），D （ 4 ， 4 ），∴AD = 5 ，∴AP ′ = 5 + 1 = 6 ，∴a 的最大值为 6 ．故答案为 6 ．8.（2016·黑龙江龙东·3 分）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为 2．【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理．【分析】过A 作关于直线MN 的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B 即为PA+PB 的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON 的度数，再由勾股定理即可求解．【解答】解：过A 作关于直线MN 的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B 即为PA+PB 的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN 对称，∴=，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O 作OQ⊥A′B 于Q，在Rt△A′OQ 中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即PA+PB 的最小值 2．故答案为：2．三、解答题1. （2016·四川泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E ，且∠A=∠E B C．（ 1 ）求证：BE 是⊙O 的切线；（2 ）已知CG ∥E B ，且CG 与BD 、BA 分别相交于点 F 、G ，若BG •BA = 48 ，FG =，DF = 2 B F ，求AH 的值．【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定．【分析】（ 1 ）欲证明BE 是⊙O 的切线，只要证明∠EBD = 90 °．（2 ）由△A BC ∽△C BG ，得=求出BC ，再由△B FC ∽△B CD ，得BC 2 = B F •B D 求出BF ，CF ，CG ，GB ，再通过计算发现CG =A G ，进而可以证明CH =C B ，求出AC 即可解决问题．【解答】（ 1 ）证明：连接CD ，∵BD 是直径，∴∠BCD = 90 °，即∠D +∠CBD = 90 °，∵∠A=∠D，∠A =∠E BC ，∴∠C BD +∠E BC = 90 °，∴BE ⊥BD ，∴BE 是⊙O 切线．（ 2 ）解：∵CG ∥EB ，∴∠B CG =∠E BC ，∴∠A=∠B CG ，∵∠C BG =∠A BC∴△A BC ∽△C BG ，∴=，即BC 2 = BG •BA = 48 ，∴B C =4，∵C G ∥E B ，∴C F ⊥B D ，∴△B FC ∽△B CD ，∴B C 2 = B F •B D ，∵ DF = 2 BF ，∴ BF = 4 ，在 RT △ BCF 中， CF=∴ C G = C F + F G = 5，在 RT △ BFG 中， BG =∵ BG • BA = 48 ，= 4，= 3，∴即 AG = 5，∴ CG = AG ，∴∠ A =∠ A CG =∠ B CG ， ∠ CFH =∠ C FB = 90 °，∴∠ C HF =∠ C BF ，∴ C H = C B = 4，∵△ A BC ∽△ C BG ，∴=，∴ A C ==，∴ A H = A C ﹣ C H =．2．（2016·四川攀枝花） 如图，在△AOB 中，∠AOB 为直角，OA =6，OB =8，半径为 2的动圆圆心 Q 从点 O 出发，沿着 OA 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB、OA 的另一个交点分别为C、D，连结CD、Q C．（1）当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）当⊙Q 经过点A 时，求⊙P 被OB 截得的弦长．（3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD 的长度，若Q 与D 重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t 的值；（2）由于 0＜t≤5，当Q 经过A 点时，OQ=4，此时用时为 4s，过点P 作PE⊥OB 于点E，利用垂径定理即可求出⊙P 被OB 截得的弦长；（3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC 与⊙P 相切时，计算出此时的时间；②当Q 与D 重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t 的取值范围．【解答】解：（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC 是⊙P 的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴，∴AD=，当Q 与D 重合时，AD+OQ=OA，∴+t=6，∴t=；（2）当⊙Q 经过A 点时，如图 1，OQ=OA﹣QA=4，∴t==4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P 作PE⊥OB 于点E，⊙P 与OB 相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴，∴PE=，∴由勾股定理可求得：EF=，由垂径定理可求知：FG=2EF=；（3）当QC 与⊙P 相切时，如图 2，此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴，∴，∴t=，∴当 0＜t≤时，⊙P 与QC 只有一个交点，当QC⊥OA 时，此时Q 与D 重合，由（1）可知：t=，∴当＜t≤5时，⊙P 与QC 只有一个交点，综上所述，当，⊙P 与QC 只有一个交点，t 的取值范围为：0＜t≤或＜t≤5．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．3. （2016·山东潍坊）正方形ABCD 内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D 作DF∥BE 交⊙O 于点F，连接BF、AF，且AF 与DE 相交于点G，求证：（1）四边形EBFD 是矩形；（2）DG=BE．【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；（2）直接利用正方形的性质的度数是 90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD 内接于⊙O，∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，又∵DF∥BE，∴∠EDF+∠BED=180°，∴∠EDF=90°，∴四边形EBFD 是矩形；（2）∵正方形ABCD 内接于⊙O，∴的度数是 90°，∴∠AFD=45°，又∵∠GDF=90°，∴∠DGF=∠DFC=45°，∴DG=DF，又∵在矩形EBFD 中，BE=DF，∴BE=DG．24.（2016·广西桂林·8 分）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式 s =（其中 a ，b ，c 是三角形的三边长，p = a +b +c ，S 为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC 中，a =3，b =4，c =5，那么它的面积可以这样计算：∵a =3，b =4，c =5∴p ==6∴S ===6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图，在△ABC 中，BC =5，AC =6，AB =9（1）用海伦公式求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的内切圆半径 r ．【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用．【分析】（1）先根据 BC 、AC 、AB 的长求出 P ，再代入到公式 S =即可求得 S 的值；（2）根据公式 S =r （AC +BC +AB ），代入可得关于 r 的方程，解方程得 r 的值．【解答】解：（1）∵BC =5，AC =6，AB =9，∴p ===10，∴S ==故△ABC 的面积 10；=10；（2）∵S =r （AC +BC +AB ），∴10=r （5+6+9），解得：r =，故△ABC 的内切圆半径 r =．5.（2016· 广 西 桂 林 ·10 分 ） 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ，AB =6，BC =8，CD =24，AD =26，∠B =90°，以 AD 为直径作圆 O ，过点 D 作 DE ∥AB 交圆 O 于点 E（1）证明点 C 在圆 O 上；（2）求 tan ∠CDE 的值；（3）求圆心 O 到弦 ED 的距离．【考点】实数的运算．【分析】（1）如图 1，连结 CO ．先由勾股定理求出 AC =10，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD 是直角三角形，∠C =90°，那么 OC 为 Rt △ACD 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 OC =AD =r ，即点 C 在圆 O 上；（2）如图 2，延长BC、DE 交于点F，∠BFD=90°．根据同角的余角相等得出∠CDE=∠AC B．在Rt△ABC 中，利用正切函数定义求出tan∠ACB==，则tan∠CDE=tan∠ACB=；（3）如图 3，连结AE，作OG⊥ED 于点G，则OG∥AE，且OG=AE．易证△ABC∽△CFD，根据相似三角形对应边成比例求出CF=，那么BF=BC+CF=．再证明四边形ABFE 是矩形，得出AE=BF=，所以OG=AE=．【解答】（1）证明：如图 1，连结CO．∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∴AC=10．又∵CD=24，AD=26，102+242=262，∴△ACD 是直角三角形，∠C=90°．∵AD 为⊙O 的直径，∴AO=OD，OC 为Rt△ACD 斜边上的中线，∴OC=AD=r，∴点C 在圆O 上；（2）解：如图 2，延长BC、DE 交于点F，∠BFD=90°．∵∠BFD=90°，∴∠CDE+∠FCD=90°，又∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠FCD=90°，∴∠CDE=∠AC B．在Rt△ABC 中，tan∠ACB==，∴tan∠CDE=tan∠ACB=；（3）解：如图 3，连结AE，作OG⊥ED 于点G，则OG∥AE，且OG=AE．易证△ABC∽△CFD，∴=，即=，∴CF=，∴BF=BC+CF=8+=．∵∠B=∠F=∠AED=90°，∴四边形ABFE 是矩形，∴AE=BF=，∴OG=AE=，即圆心O 到弦ED 的距离为．6.（2016·贵州安顺·12 分）如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD、AC 分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O 的半径．【分析】（1）连接OE．欲证直线CE 与⊙O 相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE 即可；（2）在直角三角形ABC 中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；方法一、在 Rt △COE 中，利用勾股定理可以求得 CO 2=OE 2+CE 2，即从而易得 r 的值；=r 2+3，方法二、过点 O 作 OM ⊥AE 于点 M ，在 Rt △AMO 中，根据三角函数的定义可以求得 r 的值．【解答】解：（1）直线 CE 与⊙O 相切．…（1 分）理由如下：∵四边形 ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∠ACB =∠DAC ；又∵∠ACB =∠DCE ，∴∠DAC =∠DCE ；连接 OE ，则∠DAC =∠AEO =∠DCE ；∵∠DCE +∠DEC =90°∴∠AE 0+∠DEC =90°∴∠OEC =90°，即 OE ⊥CE ．又 OE 是⊙O 的半径，∴直线 CE 与⊙O 相切．…（5 分）（2）∵tan ∠ACB ==，BC =2，∴AB =BC •tan ∠ACB =，∴AC =；又∵∠ACB =∠DCE ，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DC•tan∠DCE=1；方法一：在Rt△CDE 中，CE==，连接OE，设⊙O 的半径为r，则在Rt△COE 中，CO2=OE2+CE2，即=r2+3解得：r=方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O 作OM⊥AE 于点M，则AM=AE=在Rt△AMO 中，OA==÷=…（9 分）【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．7.（2016·黑龙江哈尔滨·10 分）已知：△ABC 内接于⊙O，D 是上一点，OD⊥BC，垂足为H．（1）如图 1，当圆心O 在AB 边上时，求证：AC=2OH；（2）如图 2，当圆心O 在△ABC 外部时，连接AD、CD，AD 与BC 交于点P，求证：∠ACD=∠APB；（3）在（2）的条件下，如图 3，连接BD，E 为⊙O 上一点，连接DE 交BC 于点Q、交AB 于点N，连接OE，BF 为⊙O 的弦，BF⊥OE 于点R 交DE 于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5，BN=3，tan∠ABC=，求BF 的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）OD⊥BC 可知点H 是BC 的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；（2）由垂径定理可知：，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；（3）由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN 可知∠AND=90°，由tan∠ABC=可知NQ 和BQ 的长度，再由BF⊥OE 和OD⊥BC 可知∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ，连接AO 并延长交⊙O 于点I，连接IC 后利用圆周角定理可求得IC 和AI 的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH 和HD 的长度，利用垂径定理可求得ED 的长度，最后利用tan∠OED=即可求得RG 的长度，最后由垂径定理可求得BF 的长度．【解答】解：（1）∵OD⊥BC，∴由垂径定理可知：点H 是BC 的中点，∵点O 是AB 的中点，∴OH 是△ABC 的中位线，∴AC=2OH；（2）∵OD⊥BC，∴由垂径定理可知：，∴∠BAD=∠CAD，∵，∴∠ABC=∠ADC，∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC，∴∠ACD=∠APB，（3）连接AO 延长交于⊙O 于点I，连接IC，AB 与OD 相交于点M，∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND，∴∠AND=180°﹣∠AND，∴∠AND=90°，∵tan∠ABC=，BN=3，∴NQ=，∴由勾股定理可求得：BQ=，∵∠BNQ=∠QHD=90°，∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90°，∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，∴BG=BQ=，GN=NQ=，∵AI 是⊙O 直径，∴∠ACI=90°，∵tan∠AIC=tan∠ABC=，∴=，∴IC=10，∴由勾股定理可求得：AI=25，连接OB，设QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=﹣2x，BH=BQ+QH=+x，由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2，∴（）2=（+x）2+（﹣2x）2，解得：x=或x=，当QH=时，∴QD=QH=，∴ND=QD+NQ=6，∴MN=3，MD=15∵MD，∴QH=不符合题意，舍去，当QH=时，∴QD=QH=∴ND=NQ+QD=4，由垂径定理可求得：ED=10，∴GD=GN+ND=∴EG=ED﹣GD=，∵tan∠OED=，∴，∴EG=RG，∴RG=，∴BR=RG+BG=12∴由垂径定理可知：BF=2BR=24．8.(2016 河北）（本小题满分 10 分）如图，半圆O 的直径AB=4，以长为 2 的弦PQ 为直径，向点O 方向作半圆M，其中P 点在AQ（弧）上且不与A 点重合，但Q 点可与B 点重合.发现AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l；思考点M 与AB 的最大距离为，此时点P，A 间的距离为；点M 与AB 的最小距离为，此时半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形面积为.探究当半圆M 与AB 相切时，求AP（弧）的长.（注：结果保留π，cos 35°= 6 ，cos 55°= 3 ）33第 25 题图备用图解析：图画好，就好求。