电磁场与电磁波理论基础 曹建章 张正阶 李景镇 编著(第6章答案)

1 1 k 0 × E = e x × e y 377 cos (109 t − 5 x ) ( A/m ) η η 1 = e z 377 cos (109 t − 5 x ) ( A/m ) η
而理想介质中的波阻抗为
h=
所以，有
m = e
m0 1 1 1 = h0 = 120p = 120 (W ) e0 er er 2.25 1.5
（3）平均坡印廷矢量
S av =
1 % ×H %*⎤ E Re ⎡ ⎣ ⎦ 2
j π ⎜ x − y − z ⎟⎥ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ % = 120π × 10−6 ⎡ − 1 e − 7 e + 5 e ⎤ e ⎢ E x y z⎥ ⎢ 6 3 ⎦ ⎣ 3 j π ⎜ x − y − z ⎟⎥ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ % = 10−6 ⎛ 3 e + e + e ⎞ e ⎢ H ⎜ x y z⎟ ⎝2 ⎠
由此得到
2
2
⎡ 85 ⎤ ⎢ ⎥ −1 ⎣ 77 ⎦
2
%c = η
µ⎡ ⎛σ ⎞ ⎤ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ε ⎣ ⎢ ⎝ εω ⎠ ⎥ ⎦
−7
2
−1/ 4
2 ⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎤ 2 ⎡ ⎤ µ0 ⎢ ⎜ ⎛ α ⎞ 2 ⎥ = 1 + ⎢⎜ ⎟ + 1⎥ − 1 ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ε 0ε r ⎢ ⎜ ⎣ ⎢⎝ ω ⎠ µε ⎥ ⎟ ⎥ ⎦ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ −1/ 4
第六章 无界空间平面电磁波的传播 习题解答
6-1．已知自由空间的电磁波的电场强度 E 的瞬时值为
E ( z; t ) = 37.7 cos ( 6π ×108 t + 2π z ) e y ( V/m )
试回答下列问题： （1）该电磁波是否属于均匀平面波？沿何方向传播？（2）该电磁波的频 率、波长、相位常数和相速度各为多少？（3）该电磁波的磁场强度的瞬时表达式。 解 （1）均匀平面波等振幅面与等相位面重合，在垂直于传播方向上 E、H 的方向和 大小都不变的电磁波。由题给电磁波电场强度的表达式，可知电磁波沿-Z 方向传播，电场 强度在垂直于传播方向+Y 方向，且振幅为常数，所以电磁波属于均匀平面波。 （2）与沿-Z 方向传播，且电场强度矢量沿 e y 方向的均匀平面波的一般表达式
求解可得
2
2
⎡⎛ β ⎞2 ⎛ α ⎞2 ⎤ 1 ε r = ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠ ⎦ ⎥ µ0ε 0 ⎣
β 2 −α 2 92 − 22 = 2 = ω µ0ε 0 4π 2 × ⎡300 × 106 ⎤ 2 × 4π ×10−7 × 1 ×10−9 ⎣ ⎦ 36π 77 = 2 ≈ 1.95 4π
6-7．在非磁性、有耗电介质中，一个 300MHz 的平面电磁波的磁场复振幅矢量为
% ( y ) = ( e − j 4e ) e −2 y e − j 9 y ( A/m ) H x z
求电场、磁场矢量的时域表达式。 解 由磁场强度矢量的复振幅表达式知，平面波沿+Y 方向传播，即
k0 = ey
而衰减常数和相位常数分别为
λ=
频率
2π 4 = ( m) k 3
f =
υϕ λ
=
c 3.0 × 108 9 = = ×108 ( Hz ) λ 43 4
（3）电场强度矢量与磁场强度矢量的关系可由麦克斯韦方程得到
ex e y ez ∂ ∂ % = − j ∇× H % =− j ∂ E ωε ωε ∂x ∂y ∂z Hx H y Hz % ⎞ % % % % ⎞ % ⎛ ∂H ∂H ⎛ ∂H ∂H ∂H j ⎡⎛ ∂H ym ym zm zm xm e x + ⎜ xm − ey + ⎜ =− − − ⎢⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x ωε ⎣ ∂ z ∂ z ∂ x ∂ y ⎢⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ex e y ez 1 1 − j ( k x+ k y+ k z ) % = −ηk × H % k×H =− kx k y kz e x y z = − 0 ωε ωε A B C
⎡⎛ α ⎞ 2 2 ⎤ σ = ωε ⎢⎜ ⎟ + 1⎥ − 1 ⎢ ⎣⎝ ω ⎠ µε ⎥ ⎦ 1 77 = × 10 −1 × 2 6 4π 1 77 ⎡ 85 ⎤ −1 − 1 = × 10 × ⎢ 6 4π 2 ⎣ 77 ⎥ ⎦ 1 77 ≈ 0.47 × × 10−1 × 2 ≈ 0.015 6 4π
由复振幅的表达式得到
− j 9 y − 3.670
(
)
(V / m )
) e jωt ⎤ E ( y;t ) = Re ⎡ 268.83 ( e z + j 4e x ) e −2 y e ( ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 j (ω t − 9 y + 3.67 ) ⎤ −2 y ⎡ = 268.83e Re ( e z + j 4e x ) e ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
有
S av =
1 Re ⎡ 377e − j 5 x e y × e z 1.5e j 5 x ⎤ = e x 282.75 (W / m 2 ) ⎣ ⎦ 2
6-3．空气中一平面电磁波的磁场强度矢量为
⎡ 1 ⎞⎤ ⎛3 ⎞ ⎛ H ( r; t ) = 10−6 ⎜ e x + e y + e z ⎟ cos ⎢ωt + π ⎜ x − y − z ⎟ ⎥ ( A/m ) 2 ⎠⎦ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎣
H ( z; t ) = 1.5e z cos (109 t − 5 x ) ( A/m )
（3）平均坡印廷矢量
S av =
1 % ×H %*⎤ E Re ⎡ ⎣ ⎦ 2
由电场强度 E 和磁场强度 H 的瞬时表达式可知，电场和磁场的复振幅矢量为
% = 377e e − j 5 x ; H % = 1.5e e − j 5 x E y z
−1/ 4
=
4π × 10 77 1 × × 10−9 2 4π 36π
2 ⎡ ⎛ ⎤ 2 ⎞ ⎢1 + ⎜ ⎡ 2 + 1⎤ − 1 ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ⎢ ⎟ ⎥ ⎣ 77π ⎥ ⎦ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 2
≈ 268.83 ( Ω )
⎡⎛ α ⎞ 2 2 ⎤ 1 σ 1 ϑ = arg tg = arg tg ⎢⎜ ⎟ + 1⎥ − 1 2 εω 2 ⎢⎝ ω ⎠ µε ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎡ 2 ⎤ = arg tg ⎢ + 1⎥ − 1 ≈ 3.67 0 2 ⎣ 77π ⎦
1 (−e z ) × e y E0 cos ( ωt + kz )( A/m ) 120π = 0.1e x cos ( ωt + kz )( A/m )
6-2．理想介质（介质参数为μ=μ0，ε=εr ε0，σ=0）中有一均匀平面电磁波沿 X 方向传播， 已 知其电场瞬时表达式为
E ( x; t ) = 377 cos (109 t − 5 x ) e y ( V/m )
E ( z; t ) = E0 cos (ωt + kz ) e y ( V/m )
相比较，可知
ω = 6π × 108 ; k = 2π
因此，有
ω = 3.0 × 108 (Hz ) 2π 2π 波长 λ = = 1(m) k
频率
f =
相速度
υϕ = λ f = 1× 3.0 × 108 = 3.0 × 108 (m / s )
试求： （1）该理想介质的相对介电常数； （2）该平面电磁波的磁场瞬时表达式； （3）该平面 电磁波的平均功率密度。
解 （1）根据
k= w m e = w m0e r e 0
有
er =
k2 1 52 = w2 m0e0 (109 )2
(3.0
108 ) = 2.25
2
（2）磁场的瞬时表达式
H ( z; t ) =
有
k x = −π ; k y = π ; k z =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π 2
k = k xe x + k y e y + k z e z = −π e x + π e y +
π ez 2
k=
π⎞ 3 2 ( −π ) + π 2 + ⎛ ⎜ ⎟ = π 2 ⎝2⎠
2
因此，波传播的单位矢量为
k0 =
（2）波长
k k kx k 2 2 1 = e x + y e y + z ez = − ex + e y + e z k k k k 3 3 3
α = 2; β = 9
根据
2 ⎤ µε ⎡ σ ⎞ ⎢ 1+ ⎛ ⎥ − 1 ⎜ ⎟ 2 ⎢ ωε ⎠ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦
α =ω
2 ⎤ µε ⎡ σ ⎞ ⎛ ⎢ 1+ ⎜ ⎥ β =ω + 1 ⎟ 2 ⎢ ωε ⎠ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦ 2 2
⎛α ⎞ 2 ⎛σ ⎞ +1 = 1+ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ω ⎠ µε ⎝ ωε ⎠ ⎛β ⎞ 2 ⎛σ ⎞ −1 = 1+ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ω ⎠ µε ⎝ ωε ⎠
显然，自由空间电磁波的相速度等于光速。 （3）磁场强度 H 的瞬时表达式为
H ( z; t ) =
而
1 1 k 0 × E = k 0 × e y E0 cos (ωt + kz )( A/m ) η η
k 0 = −e z ; η =
代入，得到
µ0 = 120π (Ω) ε0
H ( z; t ) =
− j 9 y − 3.670 0 0 ⎤ = 268.83e−2 y ⎡ ⎣e z cos (ω t − 9 y + 3.67 ) − 4e xsin (ω t − 9 y + 3.67 )⎦ (V / m ) −2 y − j 9 y jω t H ( y; t ) = Re ⎡ ⎣( e x − j 4e z ) e e e ⎤ ⎦