电磁场与电磁波第六章__均匀平面波的反射和透射
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电动力学 电磁场与电磁波课件第6章 均匀平面波的反射与透射
[
]
例题： 均匀平面波的电场强度为
ˆ E = ex 100 sin(107 π t − β z )
(V/m)
(1) 若波在空气中传播，运用麦克斯韦方程求出磁场强度H。 (2) 若波在z=0处遇到一理想导体平面，求出z<0区域的电 场E和磁场H。 (3) 求理想导体表面的电流密度。 解： (1)
ˆ E(z) =ex 100e
E1 = E2 ; H1 = H 2
得到
x
Ei Hi
Er Et
入
透
Eim + Erm = Etm
Ht
y
η1c
解之得
Eim
−
Erm
η1c
=
η2c
Etm
z
反
Hr
(σ1,ε1,µ1) 及
(σ2,ε2,µ2)
η2c − η1c Erm = Eim η2c + η1c
2η2c Etm = Eim η2c + η1c
y
电场强度的振幅
2 Eim cos( β1 z ) cos(ωt ) η1
E1 (t ) = 2 Eim sin( β1 z )
最大值2Eim，其位置
π λ1 β1 z = −(2n + 1) ⇒ z = −(2n + 1) , n = 0,1, 2 , ... 2 4
最小值0，其位置 (驻波波腹)
2. 斜入射的波场分析 设z<0和z>0空间分别为两个半无限理想介质。设入、反、 透射三波的传播方向的单位矢量分别为
ˆ ˆ ˆ ei = ex sin θi + ez cos θi ˆ ˆ ˆ er = ex sin θr − ez cos θr ˆ ˆ ˆ et = ex sin θ t + ez cos θt
第六章-3 均匀平面波的反射和透射
依次类推，自右向左逐一计算各条分界面处的等效波阻抗，直 至求得第一条边界处的等效波阻抗后，即可计算总反射系数。
1
(1)
2
(2)
3
(n-2) (n-1) n
(3) (n-3) (n-2) (n-1)
1
2
(1) (2)
3
(n-2)
(n-1)ef
(3) (n-3) (n-2)
1
(1)
1 H 2 ez E2
2
6.67 ey cos(3 109 t 20 z ) 60 e y 0.036 cos(3 109 t 20 z ) A/m
电子科技大学编写 高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
14
例 6.1.4 已知媒质1的εr1=4、μr1=1、σ1=0 ； 媒质2 的εr2=10、
2ef
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
(1) (2)
3
(n-2)ef
(3) (n-3)
电子科技大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
9
2、四分之一波长匹配层 设两种理想介质的波阻抗分别为η1 与η2 ，为了消除分界面 的反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该 波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，如图所示。 首先求出第一个分界面上的等效波
4
1、 多层介质中的场量关系与等效波阻抗
媒质①和②中存在两种平面波，其一是向正 z 方向传播的波，
另一是向负 z 方向传播的波，在媒质③中仅存在向正 z 方向传播
的波 。因此，各个媒质中的电场强度可以分别表示为
1
(1)
2
(2)
3
(n-2) (n-1) n
(3) (n-3) (n-2) (n-1)
1
2
(1) (2)
3
(n-2)
(n-1)ef
(3) (n-3) (n-2)
1
(1)
1 H 2 ez E2
2
6.67 ey cos(3 109 t 20 z ) 60 e y 0.036 cos(3 109 t 20 z ) A/m
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
14
例 6.1.4 已知媒质1的εr1=4、μr1=1、σ1=0 ； 媒质2 的εr2=10、
2ef
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
(1) (2)
3
(n-2)ef
(3) (n-3)
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
9
2、四分之一波长匹配层 设两种理想介质的波阻抗分别为η1 与η2 ，为了消除分界面 的反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该 波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，如图所示。 首先求出第一个分界面上的等效波
4
1、 多层介质中的场量关系与等效波阻抗
媒质①和②中存在两种平面波，其一是向正 z 方向传播的波，
另一是向负 z 方向传播的波，在媒质③中仅存在向正 z 方向传播
的波 。因此，各个媒质中的电场强度可以分别表示为
第6章 均匀平面电磁波的反射与透射
反射波为：
与 之间的关系为： 1 jk1 z Er Ei0e ex
Ei0 jk1z Hr e ey
透射波为：
j 2 z Et Ei0e ex
Ei0 j2 z Ht e ey
1
2
第6章
反射系数
E r0 2 1 Ei 0 2 1 2 1 , 0 2 1 , 0
第6章
第六章 均匀平面电磁波的反射与透射
电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象。反射、折 射定律有两个方面的问题： （1）入射角、反射角和折射角之间的关系问题； （2）入射波、反射波和折射波振幅和相位的变化关系。 反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场 理论可以导出反射和折射定律，也从一个侧面证明麦氏方程的正 确性。 本节内容： 1、均匀平面波向平面分界面的垂直入射 2、均匀平面波向多层媒质分界面的垂直入射 3、均匀平面波向理想介质平面分界面的斜入射 4、均匀平面波对理想导体平面的斜入射
第6章
三、 平面电磁波向理想介质的垂直入射 设z = 0为分界面，设入射电场强度只具有x分量，沿z轴 正向垂直入射到理想介质分界面（如图示）。 设入射与反射电磁波分别为 1 1z Ei ex Ei 0e , H i ey Ei 0e 1z
1 区域2中的透射波电场和磁场为
在入射介质中电磁波表现为纯驻波，任意时
刻 1区的合成电、磁场都在距理想导体表面的某 些固定位置处存在零值（波节）和最大值（波腹）
第6章
1
E1 ( z , t ) 0 1 z n , z n H1 ( z , t ) max 2
E1 ( z , t ) max 1 z (2n 1) , z (2n 1) H1 ( z , t ) 0 2 4 ( n 0,1, 2...)
6均匀平面波的反射与透射
E1 Ei0 1 2 cos 2k1 z
2 1/ 2
行驻波演示
讨论：
2 1 2 1
2 1 在分界面处总电场达到极大值。 2 1 在分界面处总电场达到极小值。
P.14
《电磁场与电磁波》
第6章 平面波的反射与透射
入射波能量、反射波能量和透射波能量间的关系
P.12
《电磁场与电磁波》
则：
Ei0 Er0 Et 0
Ei0 Er0
第6章 平面波的反射与透射 解得：
1
2
Et0
令： Er0 2 1 Ei0 2 1
2 1 Er0 Ei0 2 1 22 Et 0 Ei0 2 1
反射系数 ：分界面上反射波电 场强度与入射波电场强度之比。
透射波表示为：
Ei
Hi
1 , 1
v1
O Er
x
2 , 2
Et
Ht
v2
zLeabharlann jk2 z Et Et 0 e ex
Et 0 jk2 z Ht e ey
v1
Hr
2
根据边界条件： 在 z 0 处有
E1t E2t
H1t H 2t
第6章 平面波的反射与透射
E j2 Ei0 sin kzex 2 Ei0 H cos kzey
E 2i0 1 Sav Re 4 j sin kz cos kz ez 0 2
在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。
瞬时形式为：
E 2 Ei0 sin(kz )sin t ex
2 1/ 2
行驻波演示
讨论：
2 1 2 1
2 1 在分界面处总电场达到极大值。 2 1 在分界面处总电场达到极小值。
P.14
《电磁场与电磁波》
第6章 平面波的反射与透射
入射波能量、反射波能量和透射波能量间的关系
P.12
《电磁场与电磁波》
则：
Ei0 Er0 Et 0
Ei0 Er0
第6章 平面波的反射与透射 解得：
1
2
Et0
令： Er0 2 1 Ei0 2 1
2 1 Er0 Ei0 2 1 22 Et 0 Ei0 2 1
反射系数 ：分界面上反射波电 场强度与入射波电场强度之比。
透射波表示为：
Ei
Hi
1 , 1
v1
O Er
x
2 , 2
Et
Ht
v2
zLeabharlann jk2 z Et Et 0 e ex
Et 0 jk2 z Ht e ey
v1
Hr
2
根据边界条件： 在 z 0 处有
E1t E2t
H1t H 2t
第6章 平面波的反射与透射
E j2 Ei0 sin kzex 2 Ei0 H cos kzey
E 2i0 1 Sav Re 4 j sin kz cos kz ez 0 2
在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。
瞬时形式为：
E 2 Ei0 sin(kz )sin t ex
_均匀平面波的反射和透射
17:02
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
对理想介质空间中合成波的讨论
入射波 Z向行波
合成波
24
驻波
24
反射波
电场强度 磁场强度
(2n 1)1 4
-Z向行波
波腹点位置（驻波电场最大值驻定点的位置）： 距离导体平板的距离为 zmax
(n = 0,1,2,3,…)
1 (3) H i k E i
E0 1 2 0
j z e z ( e x je y ) e
17:02
E0 1 2 0
j z ( e y je x ) e
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
合成波的平均能流密度
1 S av R e [ E 合 H 合 ] 2 1 4 R e [ e z j E m s in k z c o s k z ] 0 2
结论：当平面波垂直入射到理想导体表面时，在介质空间的合成 波(驻波)不传播电磁能量，只存在能量转化。
17:02
电子科技大学电磁Βιβλιοθήκη 与电磁波课程组电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1.1 对理想导体的分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 为理想介质， 1、1
1 0
H
+
E
+
x
入
z > 0中，媒质 2 为理想导体 2
入射波沿x方向线极化
反
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
对理想介质空间中合成波的讨论
入射波 Z向行波
合成波
24
驻波
24
反射波
电场强度 磁场强度
(2n 1)1 4
-Z向行波
波腹点位置（驻波电场最大值驻定点的位置）： 距离导体平板的距离为 zmax
(n = 0,1,2,3,…)
1 (3) H i k E i
E0 1 2 0
j z e z ( e x je y ) e
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E0 1 2 0
j z ( e y je x ) e
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第6章 均匀平面波的反射和透射
合成波的平均能流密度
1 S av R e [ E 合 H 合 ] 2 1 4 R e [ e z j E m s in k z c o s k z ] 0 2
结论：当平面波垂直入射到理想导体表面时，在介质空间的合成 波(驻波)不传播电磁能量，只存在能量转化。
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第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1.1 对理想导体的分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 为理想介质， 1、1
1 0
H
+
E
+
x
入
z > 0中，媒质 2 为理想导体 2
入射波沿x方向线极化
反
“电磁场与电磁波”第6章 均匀平面波的反射与透射
由此可见，在均匀的导电媒质中，虽然传导电流密度 J ≠ 0 ，但 不存在自由电荷体密度，即 ρ = 0 教材第38页 电流连续性方程
∂ρ )dV = 0 或者 教材第106页式(3.2.1) ∫V (∇ ⋅ J + ∂t
即 ∇⋅ J = 0
∫ J ⋅ dS = 0
S
∇ ⋅ J = ∇ ⋅ (σE ) = σ∇ ⋅ E = 0
∇⋅E = 0
均匀导电媒质中没有体分布电荷
WangChengyou © Shandong University, Weihai
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
11
定义分界面上的反射系数Γ为反射波电场振幅与入射波电场振幅 之比；透射系数τ为透射波电场振幅与入射波电场振幅之比，则 η2c −η1c Erm η 2c − η1c Γ = Erm = Eim = Eim + Erm = Etm ⎧ ⎧ Eim η2c + η1c η2c +η1c ⎧ ⎨ ⎨ E ⎨ 1 (E − E ) = 1 E 2η2c 2η 2c tm ⎩ η1c im rm η2c tm ⎩ Etm = ⎩τ = = Eim η2c +η1c Eim η 2c + η1c 讨论： 1+ Γ = τ 一般情况下，Γ 和τ 均为复数，这表明在分界面上，反射波 和透射波的振幅和相位与入射波都不同。 若媒质2为理想导体，即σ2 = ∞，则η 2c = 0 ，故有Γ = −1、τ = 0 若两种媒质均为理想介质，即σ1= σ2= 0，则得到 η −η 2η 2 Γ = 2 1, τ= η 2 + η1 η 2 + η1
z=0 E im − jβ1 z H i ( z) = ey e η1
∂ρ )dV = 0 或者 教材第106页式(3.2.1) ∫V (∇ ⋅ J + ∂t
即 ∇⋅ J = 0
∫ J ⋅ dS = 0
S
∇ ⋅ J = ∇ ⋅ (σE ) = σ∇ ⋅ E = 0
∇⋅E = 0
均匀导电媒质中没有体分布电荷
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
11
定义分界面上的反射系数Γ为反射波电场振幅与入射波电场振幅 之比；透射系数τ为透射波电场振幅与入射波电场振幅之比，则 η2c −η1c Erm η 2c − η1c Γ = Erm = Eim = Eim + Erm = Etm ⎧ ⎧ Eim η2c + η1c η2c +η1c ⎧ ⎨ ⎨ E ⎨ 1 (E − E ) = 1 E 2η2c 2η 2c tm ⎩ η1c im rm η2c tm ⎩ Etm = ⎩τ = = Eim η2c +η1c Eim η 2c + η1c 讨论： 1+ Γ = τ 一般情况下，Γ 和τ 均为复数，这表明在分界面上，反射波 和透射波的振幅和相位与入射波都不同。 若媒质2为理想导体，即σ2 = ∞，则η 2c = 0 ，故有Γ = −1、τ = 0 若两种媒质均为理想介质，即σ1= σ2= 0，则得到 η −η 2η 2 Γ = 2 1, τ= η 2 + η1 η 2 + η1
z=0 E im − jβ1 z H i ( z) = ey e η1
第6章 均匀平面电磁波的反射与透射
媒质1中的合成波为： 媒质1中的合成波为：
E = Ei + Er = e x Eim (e− j β1z + Γe + j β1z ) = e x Eim [(1+Γ)e
H = Hi + Hr = e y = ey 1 1
− j β1 z
+ j 2Γ sin β1 z ]
1
η1
η1c
Eime−γ1z − ey
6.2
对平面分界面的斜入射
本节讨论均匀平面波以任意角度入射到无限大平面分界面时出现的反射与折射 情况。 情况。 + 入射面——入射波传播方向 en 与分界法线 所构成的平面。 与分界法线n 所构成的平面。 入射面 入射波传播方向 垂直极化波——入射波电场 E + 入射波电场 与入射面垂直。 垂直极化波 与入射面垂直。 平行极化波——入射波电场 E +与入射面平行。 入射波电场 与入射面平行。 平行极化波 入射波电场 透射波电场
反
y
z
由边界条件 Et = Ex 得
区电场为零） = 0（2区电场为零）
z =0
Hr
( Erme+ jβ z ) im
=0
媒质1 媒质1 σ = 0
1
媒质2 媒质2 (σ 2 = ∞)
⇒ Erm = −Eim
1区的合成电磁场
E = Ei + Er = ex Eime− jβ z + ex Erme+ jβ z
Hi =
1
η1 c
ez × Ei = e y
1
η1 c
Eim e − γ 1 z
γ1 = jω µ1ε1c = jω µ1ε1 1 − j
电磁场与电磁波-第六章-均匀平面波的反射和透射
(
z)
z 0
Er (z) (ex jey )Eme
jz
0
所以反射波是沿－z方向传播的左旋圆极化波
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
16
（2）在z<0区域的总电场强度
E1(z,
Re
Re
t()ex RejeyE)ie(zj)zE(r(ezx)
(ex
je
y
)
j2 sin
1= 2= 0
则
1 j1 j 11
2 j2 j 22
1c 1
1 1
, 2c
2
2 2
2 1 , 22
2 1
2 1
讨论
x
介质1：
1, 1
Ei
ki
Hi
kr
Er Hr
介质2：
2, 2
Et
kt
Ht
y
z
z=0
当η2>η1时，Γ> 0，反射波电场与入射波电场同相
当η2<η1时，Γ< 0，反射波电场与入射波电场反相
ex
Eim
(e
j1z
e
) j1z
H1(z) Hi (z) Hr (z) ey
媒质2中的透射波：
E2
(z)
Et
(z)
ex
Eime
j2 z
Eim
1
(e j1z
e j1z )
H2(z)
Ht
(z)
ey
Eim 2
e
j2 z
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
20
合成波的特点
E1(z) ex Eim (e j1z e ) j1z ex Eim (1 )e j1z (e j1z e j1z ) ex Eim (1 )e j1z j2 sin 1z
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-Z向行波
波腹点位置（驻波电场最大值驻定点的位置）： (2n 1)1 距离导体平板的距离为 zmax (n = 0,1,2,3,…) 4 波节点位置（驻波电场最小值驻定点的位置）： 距离导体平板的距离为 zmin
22:15
n1 (n = 0,1,2,3,…) 2
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2
面临的问题：进一步求解反射波的幅度 解决的方法：写出表达式，然后利用边界条件
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
反射波的求解
媒质1空间中(z<0)将同时存在入射波和反射波。 设:入射波电场为 E e E e jkz x m 反射波电场为 则入射波磁场为
Ei ex Eime jk1z Eim jk1z H i ey e 1 Er ex Erme jk1z
H r e y Erm
Et ex Etme jk2 z
H t ey Etm
2
e jk2 z
则媒质1中总的电场、磁场为：
1
e jk1z
E合 Ei Er ex (Eime jk1z Erme jk1z ) 1 H 合 H i H r ey ( Eime jk1z Erme jk1z ) 1
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1.1 对理想导体的分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 为理想介质， 1、1
E+
H
+
x
入
1 0
z > 0中，媒质 2 为理想导体 2
入射波沿x方向线极化
反
E
H
y
z
1 0
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
E0 E0 j z j z ( e je ) e ( e ) ( e je ) e H r k Er y x z x y 120 120
1
H合＝Hi
H
1 e y je x E 0 2 cos z r 120
在理想导体表面的感应面电流为：
J S n H合 z 0 ez ey
合成波的平均能流密度
Em cos t ex
2Em
cos t
S av
1 Re[ E合 H 合 ] 2 1 4 Re[ez j Em sin kz cos kz ] 0 2
E1 (r) Ei (r ) E r (r ) Eime jki r E rme jk r
r
E2 (r) Et (r ) Etme jkt
r
入射面 Ei 入射波 E i^
E i// ki qi Er qr qt
E r //
反射波 kr
x
E r^ E t// Et
分界面
y
Ei ki Hi Er Hr
kr
媒质 1
Et
透射波
电磁波入射到不同媒质分界面上 时，一部分波被分界面反射，一部分
o
y
kt Ht
z
反射波
波透过分界面。
入射方式： 垂直入射、斜入射； 媒质类型： 理想导体、理想介质、导电媒质
媒质 2
均匀平面波垂直入射到两种不同媒 质的分界平面
入射面
Ei
Ei // ki
Er // Er
感应电流为：J s
nH
z= 0
E0 (ex jey ) (ez ) H 合 60
（4）合成波电场强度为：
E Ei Er (ex jey )E0e j z (ex jey )E0e j z
(ex jey ) E0e j z (ex je y ) E0e j z ex E0 (e j z e j z ) jey E0 (e j z e j z ) 2 jex E0 sin z 2ey E0 sin z 2 E0 sin z ( jex ey )
z > 0中，媒质2 介质参数为 2 , 2
反 设入射波为x方向线极化波 1
Ei Hi Er Hr
x
Et Ht
入 y
透
z
2
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
反射波的求解
媒质一
入射波电场为(已知)
媒质二
设透射波电场为(待求)
设反射波电场为(待求)
(2)当电磁波入射到理想导体分界面时，反射系数为－ 1，故
Er (ex jey )E0e j z
E0 ez (ex jey )e j z (3) H i k Ei 120 E0 (ey jex )e j z 120
22:15
1
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讨论内容
√ 6.1 均匀平面波对分界面的垂直入射
6.2 均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射 √ 6.3 均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射 √ 6.4 均匀平面波对理想导体表面的斜入射
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
介质分界面
x
现
象：
入射波
瞬时形式为：E(t ) Re[Ee jt ] 2E0 sin z (ex sin t ey cos t )
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1.2 对两种理想介质分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 介质参数为 1 , 1
2 1 E Eim rm 2 1 2 2 Etm Eim 1 2
1 式中： ， 分别为媒质1、2的本征阻抗。 2
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
反射波的求解（续）
Erm 2 1 定义：反射系数 Eim 2 1
反射波
kr
入射波
Ei^
qi qr qt
z
Er^
分界面
y
Et //
Et
x
Et^
kt
透射波
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第6章 均匀平面波的反射和透射
基本问题：
分别求解入射波和透射波空间的电磁场 入射波空间： 透射波空间： 问题核心： 已知 E im , k i 求解 E rm , Etm ; k r , k t 利用关系：边界条件
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第6章 均匀平面波的反射和透射
jk1z jk1z E E E e ( E e E e ) i r x im rm 反射波的求解（续） 合 1 H 合 H i H r ey ( Eime jk1z Erme jk1z ) 由两种理想介质边界条件可知： 1 jk2 z E E ( E E ) E 1 t 2 t ix rx tx E e E e z 0 z 0 t x tm Etm jk2 z H1t H 2t ( Hiy H ry ) Hty H t ey e z 0 z 0 2 Eim Erm Etm 1 (E E ) 1 E im rm tm 1 2
H
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( ez ) ex E e
jkz e y Em e
m
jkz
反射波电场和磁场为：
1
E ex E e
m
jkz
H
1
0
jkz ey Em e
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第6章 均匀平面波的反射和透射
理想媒质空间(z<0)中的合成波 理想媒质中的合成波场量表达式： 合成场的复数形式：
E合 Re[ jex 2Em sin kze jt ] ex 2Em sin kz sin t 2 2 j t H 合 Re[ey Em cos kze ] ey Em cos kz cos t
合成电、磁场的关系： • 时间相位差π/2 • 空间距离相错λ/ 4
电场强度
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磁场强度
• 为纯驻波
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第6章 均匀平面波的反射和透射
ex 2 Em sin kz sin t
导体表面的场和电流
E合
z 0
z 0
0
H 合 z 0 ey
2
E cos kz cos t
m z 0
ey
2
2
Em cos t
边界条件
z
E t^
kt
透射波
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第6章 均匀平面波的反射和透射
一般性应用问题：斜入射+一般性媒质
应用中的典型问题
垂直入射 一般性媒质 , , 理想导体 理想介质
斜入射
理想导体
理想介质
0
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