数值分析 matlab方法 插值法
matlab抛物线插值法
matlab抛物线插值法Matlab 抛物线插值法（Parabolic Interpolation）在数值计算和数据处理中发挥着重要的作用。
该方法利用已知数据点构建一个二次插值多项式曲线，进而估计在数据点之间的值。
本文将按照以下步骤来详细介绍Matlab 抛物线插值法的原理和应用。
第一步：理解抛物线插值法的原理1. 什么是插值法？插值法是基于已知数据点，通过构建一个拟合的函数（多项式）来推测在数据点之间的新值。
插值方法是数值分析中常用的技术之一。
2. 抛物线插值法的原理抛物线插值法利用已知数据点的函数值和导数值构建一个二次插值多项式曲线。
这个曲线是通过通过数据点的曲率来估算函数值，并尽力使曲线尽可能接近原始数据。
第二步：了解抛物线插值法的实现步骤抛物线插值法的实现步骤如下：1. 对已知数据点进行排序。
确保数据点按照从小到大的顺序排列。
2. 选择数据点中的任意一点作为插值点。
3. 计算插值点的函数值和一阶导数值。
4. 利用已知数据点和计算得到的函数值和一阶导数值构建一个二次插值多项式曲线。
5. 使用这个曲线进行插值计算。
第三步：编写Matlab 代码实现抛物线插值法下面是一个简单的使用Matlab 实现抛物线插值法的示例代码：生成一些已知数据点x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 1, 6, 2];需要估计的插值点xi = 2.5;找到最接近插值点的两个已知数据点[~, index1] = min(abs(x - xi));index2 = index1 + 1;计算插值点的函数值和一阶导数值yi = y(index1) + (xi - x(index1)) * ((y(index2) - y(index1)) / (x(index2) - x(index1)));dyi = (y(index2) - y(index1)) / (x(index2) - x(index1));显示结果fprintf('插值点的函数值为: f\n', yi);fprintf('插值点的一阶导数值为: f\n', dyi);在这个示例中，我们使用了一组已知数据点（x 和y）。
MATLAB数值实验一(数据的插值运算及其应用完整版)
佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 插值法与数据拟合 专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 10 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和三次样条插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge 现象3、学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。
二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、三次样条插值 三、实验步骤1、用MATLAB 编写独立的拉格朗日插值多项式函数2、用MATLAB 编写独立的牛顿插值多项式函数3、用MATLAB 编写独立的三次样条函数（边界条件为第一、二种情形）4、已知函数在下列各点的值为：根据步骤1,2,3编好的程序，试分别用4次拉格朗日多项式4()L x 、牛顿插值多项式4()P x 以及三次样条函数()S x (自然边界条件)对数据进行插值，并用图给出 ｛(,),0.20.08,0,1,2,,10i i i x y x i i =+=｝，4()L x 、4()P x 和()S x 。
5、在区间[-1,1]上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数21(),(11)125f x x x=-≤≤+作多项式插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
6、下列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。
（1）用这9个点作8次多项式插值8()L x 。
（2）用三次样条（第一边界条件）程序求()S x 。
7、对于给函数21()125f x x =+在区间[-1,1]上取10.2(0,1,,10)i x i i =-+=，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第5题的结果比较。
四、实验过程与结果：1、Lagrange 插值多项式源代码：function ya=lag(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 ya=0; mu=1; %初始化%循环方式求L 系数，并求和： for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) if i ~= jmu = mu * (xa - x(j) ) / ( x(i) - x(j) ); else continue end endya = ya + y(i) * mu ; mu = 1; end2、Newton 源代码：function ya = newton(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 %建立系数零矩阵D 及初始化：D = zeros(length(x)-1);ya = y(1);xi = 1;%求出矩阵D，该矩阵第一行为牛顿插值多项式系数：for i=1:(length(x)-1)D(i,1) = (y(i+1) -y(i))/(x(i+1) -x(i));endfor j=2:(length(x)-1)for i=1:(length(x)-j)D(i,j) = (D(i+1,j-1) - D(i,j-1)) / (x(i+j) - x(i)); endend%xi为单个多项式（x-x(1))(x-x(2))...的值for i=1:(length(x)-1)for j=1:ixi = xi*(xa - x(j));endya = ya + D(1,i)*xi;xi = 1;end3、三次样条插值多项式（1）（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x) _____________(1)%第一类边界条件下三次样条插值；%xi 所求点；%yi 所求点函数值；%x 已知插值点；%y 已知插值点函数值；%f_0左端点一次导数值；%f_n右端点一次导数值；n = length(x0);z = length(y0);h = zeros(n-1,1);k=zeros(n-2,1);l=zeros(n-2,1);S=2*eye(n);for i=1:n-1h(i)= x0(i+1)-x0(i);endfor i=1:n-2k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i));l(i)= 1-k(i);end%对于第一种边界条件：k = [1;k]; _______________________(2)l = [l;1]; _______________________(3)%构建系数矩阵S：for i = 1:n-1S(i,i+1) = k(i);S(i+1,i) = l(i);end%建立均差表：F=zeros(n-1,2);for i = 1:n-1F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i));endD = zeros(n-2,1);for i = 1:n-2F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i));D(i,1) = 6 * F(i,2);end%构建函数D：d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1); ___________(4)dn = 6*(f_n-F(n-1,2))/h(n-1); ___________(5)D = [d0;D;dn]; ______________(6)m= S\D;%寻找x所在位置，并求出对应插值：for i = 1:length(x)for j = 1:n-1if (x(i)<=x0(j+1))&(x(i)>=x0(j))y(i) =( m(j)*(x0(j+1)-x(i))^3)/(6*h(j))+...(m(j+1)*(x(i)-x0(j))^3)/(6*h(j))+...(y0(j)-(m(j)*h(j)^2)/6)*(x0(j+1)-x(i))/h(j)+... (y0(j+1)-(m(j+1)*h(j)^2)/6)*(x(i)-x0(j))/h(j) ; break;else continue;endendend（2）（自然边界条件）源代码：仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改:__(1):function y=yt2(x0,y0,x)__(2):k=[0;k]__(3):l=[l;0]__(4)+(5):删除—(6):D=[0:D:0]4、——————————————PS:另建了一个f方程文件，后面有一题也有用到。
插值MATLAB实现(牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值)
插值MATLAB实现（牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值）插值是数值分析中的一种方法，通过已知数据点的函数值来估计函数在其他点的值。
MATLAB提供了多种方法来实现插值，包括牛顿差商插值、插值误差分析、龙格现象和切比雪夫插值。
下面将详细介绍这些方法的实现原理和MATLAB代码示例。
1.牛顿差商插值：牛顿差商插值是一种基于多项式插值的方法，其中差商是一个连续性的差分商。
该方法的优势在于可以快速计算多项式的系数。
以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [coeff] = newton_interpolation(x, y)n = length(x);F = zeros(n, n);F(:,1)=y';for j = 2:nfor i = j:nF(i,j)=(F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));endendcoeff = F(n, :);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，返回值coeff表示插值多项式的系数。
2.插值误差分析：插值误差是指插值函数与原始函数之间的差异。
一般来说，通过增加插值节点的数量或使用更高次的插值多项式可以减小插值误差。
以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [error] = interpolation_error(x, y, x_eval)n = length(x);p = polyfit(x, y, n-1);y_eval = polyval(p, x_eval);f_eval = sin(pi*x_eval);error = abs(f_eval - y_eval);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，x_eval表示插值节点的x坐标，error表示插值误差。
3.龙格现象：龙格现象是插值多项式在等距插值节点上错误增长的现象。
matlab三次样条插值例题解析
文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。
而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。
本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。
2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。
3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。
这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。
通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。
4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。
spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。
5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。
在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。
在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。
我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。
通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。
在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。
样条插值函数 matlab
样条插值函数 matlab引言插值是数值分析中的一种常用技术，它可以根据已知数据点的信息，通过建立一个函数模型来预测未知数据点的值。
样条插值函数是插值中的一种方法，它通过连接已知数据点的线段和曲线段来逼近未知数据点，从而实现预测的目的。
在 matlab 中，我们可以使用样条插值函数来快速、准确地进行数据的估计和插值操作。
样条插值的原理样条插值是一种分段函数的插值方法，它首先将整个数据区间分成若干小段，然后在每个小段内使用一个函数去逼近已知数据点。
样条插值函数通常具有一阶、二阶或三阶连续性，这意味着在每个小段的端点上，函数值、一阶导数值、二阶导数值都是连续的。
在 matlab 中，可以使用spline函数来实现样条插值。
该函数的调用形式如下：spline(x, y, xx)其中，x和y是已知数据点的坐标，xx是需要估计的数据点的坐标。
spline函数会根据已知数据点的信息，计算出估计数据点的值。
样条插值的使用在使用样条插值函数之前，我们首先需要准备好已知数据点的坐标。
假设有以下的数据点：x = [0, 1, 2, 3, 4, 5]y = [0, 1, 4, 9, 16, 25]我们可以使用plot函数将这些数据点绘制出来，以便观察其分布情况：plot(x, y, 'o')样条插值的一阶连续性样条插值函数的一阶连续性要求每个小段的端点处函数值相等。
为了满足这个要求，我们可以在spline函数的参数列表中增加额外的约束条件：spline(x, y, xx, '1')这样，计算出的插值函数就会满足一阶连续性。
样条插值的二阶连续性样条插值函数的二阶连续性要求每个小段的端点处一阶导数值相等。
为了满足这个要求，我们可以在spline函数的参数列表中增加额外的约束条件：spline(x, y, xx, '2')这样，计算出的插值函数就会满足二阶连续性。
样条插值的三阶连续性样条插值函数的三阶连续性要求每个小段的端点处二阶导数值相等。
拉格朗日插值法matlab程序
拉格朗日插值法matlab程序拉格朗日插值法是一种用于构造插值多项式的方法，它可以通过已知数据点来估计函数在其他位置的值。
在数值分析和工程应用中，拉格朗日插值法被广泛使用，尤其在数据处理和曲线拟合方面。
在本文中，我将为您介绍拉格朗日插值法的原理和应用，并共享一个用于实现该方法的简单matlab程序。
让我们来了解一下拉格朗日插值法的原理。
拉格朗日插值法是通过在已知数据点上构造一个插值多项式来实现的。
假设我们有n+1个不同的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，我们希望通过这些数据点来估计函数在其他位置的值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：P(x) = Σ(yi * li(x))i=0 to n其中，li(x)是拉格朗日基础多项式，它的表达式为：li(x) = Π(x - xj) / (xi - xj)j=0 to n, j ≠ i通过以上公式，我们可以得到拉格朗日插值多项式P(x)，从而实现对函数在其他位置的估计。
在matlab中，我们可以通过编写一个简单的程序来实现拉格朗日插值法。
下面是一个用于计算拉格朗日插值多项式的matlab程序：```matlabfunction [L, P] = lagrange_interp(x, y, xx)n = length(x);m = length(xx);L = zeros(n, m);for i = 1:nt = ones(1, m);for j = [1:i-1, i+1:n]t = t .* (xx - x(j)) / (x(i) - x(j));endL(i,:) = t;endP = y * L;end```在上面的程序中，x和y分别表示已知数据点的横纵坐标，xx表示我们希望估计函数值的位置。
程序返回的L矩阵存储了插值多项式的系数，P向量存储了估计函数值的结果。
通过这个简单的程序，我们就可以快速实现拉格朗日插值法的计算。
牛顿插值法matlab程序例题
牛顿插值法是一种常用的数值分析方法，用于构造一个多项式函数，以便在给定的数据点上进行插值。
这个主题在数学和工程领域中有着广泛的应用，特别是在数据拟合和函数逼近方面。
牛顿插值法的核心思想是通过不断地添加新的数据点来构造一个多项式，并利用已知数据点来确定多项式的系数，从而实现对未知数据点的插值预测。
在Matlab中，实现牛顿插值法并不困难，我们可以利用已有的函数和工具来简化计算过程。
下面，我们将通过一个具体的例题来讲解如何使用Matlab编写牛顿插值法的程序，并分析其结果。
我们需要明确牛顿插值法的数学原理。
给定n个互不相同的节点\(x_0, x_1, ... , x_n\)，以及在这些节点上的函数值\(f(x_0), f(x_1), ... , f(x_n)\)，我们希望构造一个n次插值多项式p(x)，满足p(x_i) = f(x_i)，i=0,1,...,n。
牛顿插值多项式的一般形式为：\[p(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + ... + a_n(x -x_0)(x - x_1)...(x - x_{n-1})\]其中，\[a_i\]表示插值多项式的系数。
通过牛顿插值法的迭代过程，可以逐步求解出这些系数，进而得到插值多项式的表达式。
接下来，我们将以一个具体的例题来演示如何在Matlab中实现牛顿插值法。
假设我们有如下的数据点和函数值：\(x = [1, 2, 3, 4]\)\(f(x) = [1, 4, 9, 16]\)我们希望利用这些数据点来构造一个插值多项式，并在给定的区间上进行插值计算。
在Matlab中，可以通过interp1函数来进行插值计算，该函数支持多种插值方法，包括牛顿插值法。
下面是一个简单的Matlab程序示例：```matlabx = [1, 2, 3, 4];y = [1, 4, 9, 16];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline');disp(['在x=',num2str(xi),'处的插值结果为：',num2str(yi)]);```在这段代码中，我们首先定义了给定的数据点x和对应的函数值y，然后利用interp1函数对x=2.5处的插值结果进行计算。
Matlab中的插值和平滑方法
Matlab中的插值和平滑方法1. 引言在数值分析和数据处理中，插值和平滑是常用的技术手段，可以用于填补数据的空缺以及降低数据中的噪声。
Matlab作为一种强大的数值计算和数据处理软件，提供了丰富的插值和平滑方法，本文将介绍其中的一些常用方法及其应用。
2. 插值方法2.1 线性插值线性插值是最简单的一种插值方法，它假设待插值函数在相邻数据点之间是线性变化的。
Matlab中提供了interp1函数实现线性插值，可以通过设定插值点的横坐标向量和已知数据点的横坐标向量，以及对应的纵坐标向量，得到插值结果。
2.2 分段插值分段插值是一种更精确的插值方法，它假设待插值函数在相邻数据点之间是分段线性变化的。
Matlab中的interp1函数也可以实现分段插值，通过指定'linear'插值方法和 'pchip'插值方法，可以得到不同的插值结果，前者得到的结果比较平滑，而后者更接近原始数据的形状。
2.3 样条插值样条插值是一种更高阶的插值方法，它假设待插值函数在相邻数据点之间是多项式变化的。
Matlab中的spline函数可以实现三次样条插值，它通过计算每个数据点处的二阶导数，得到一个以每个数据点为节点的三次多项式函数。
样条插值可以更加精确地还原数据，但也容易受到离群点的干扰。
3. 平滑方法3.1 移动平均移动平均是一种常用的平滑方法，它通过计算数据点周围一定范围内的平均值，得到平滑后的结果。
Matlab中的smoothdata函数提供了不同的平滑方法，包括简单移动平均、指数移动平均和加权移动平均等，可以根据具体需求选择适当的方法。
3.2 Savitzky-Golay滤波Savitzky-Golay滤波是一种基于最小二乘法的平滑方法，它通过拟合多项式曲线来实现数据的平滑。
Matlab中的sgolay函数可以实现Savitzky-Golay滤波，通过指定不同的拟合阶数和窗口大小，可以得到不同程度的平滑结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8 6 4 2 0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
数值分析——插值法
☞ 山顶曲面
利用MATLAB函数peaks产生一个山顶曲面数据 [x,y,z] = peaks(10);mesh(x,y,z),hold on, plot3(x,y,z,'r*'),hold off
5
x 10 2.6 2.4 2.2
2 1.8 1.6 1.4 1.2
1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990
数值分析——插值法
☞ 温度预测
一天24小时零点开始每间隔2小时环境温度（度）: 12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13，
MATLAB程序（数据表中水深：z值加负号）：
x=[129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5]; y=[7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81.5 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5]; z=-[1.22 2.44 1.83 2.44 1.83 2.44 2.44 2.74 2.74 2.44 2.44 2.74 1.22 2.74]; xi=linspace(min(x),max(x),40); yi=linspace(min(y),max(y),40); [Xi,Yi]=meshgrid(xi,yi); [Xi,Yi,Zi]=griddata(x,y,z,Xi,Yi,'cubic'); mesh(Xi,Yi,Zi);xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Depth'); figure(2);[c,h]=contour(Xi,Yi,Zi,[-1.1:-0.1:-2.9]); clabel(c,h);xlabel('X');ylabel('Y');
Байду номын сангаас
函数值计算
2
4
0 -2
2 0 -2
-4 -4
数值分析——插值法
☞ 水道测量问题
美国大学生数学建模竞赛1986年A题. 水道测量数据表/m
x 129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.0 105.5 y 7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 z 1.22 2.44 1.83 2.44 1.83 2.44 2.44 x 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 y -6.5 -81.5 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5 z 2.74 2.74 2.44 2.44 2.74 1.22 2.74
推测中午1点（即13点）的温度.
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
数值分析——插值法
☞ 机翼上缘轮廓曲线 数据如表:
x 0.00 4.74 9.50 19.00 38.00 57.00 76.00 y 0.00 5.32 8.10 11.97 16.15 17.10 16.34 x 95.00 114.0 133.0 152.0 171.0 190.0 y 14.63 12.16 9.69 7.03 3.99 0.00
18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
数值分析——插值法
三次样条函数画出机翼曲线(MATLAB )
x=[0.00 4.74 9.50 19.00 38.00 57.00 76.00 95.0 114.0 133.0 152.0 171.0 190.0]; y=[0.00 5.32 8.10 11.97 16.15 17.10 16.34 14.63 12.16 9.69 7.03 3.99 0.00]; xx=0.0:0.1:190; yy=interp1(x,y,xx,'spline'); plot(x,y,'*'), pause, hold on, plot(xx,yy)
水道地貌形状图
数值分析——插值法
水道深度等值线图
Depth
-1.7 -1.5
-2.5
-2.8
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3 200
100
0
Y
-100 50
150 100
X
100
50
Y
0
200
-50
-2.4
-2.2 -2.1
-2.5
-2-.23.2 -2.1
-2 --1-11.6..78 -1.9
-1-1.-8.15.-31.7 -1-2.-9.23.4-2--2-.2--2522..2.7.16 -2.8
-1.2
-1.5
-1-1.6.4 --12-..923.4--22-2.2.1-1 .8
-2-.27.6
-2.9
-2.7
-2.8
80
100
120
140
160
180
X
MATLAB程序见下页
数值分析——插值法
-2
-2.5
-1.3 -1.7 -1.6
-2.4 -2-.23.2 -2.1
-2 --11..87
-1.9
-1.4
-1.5
-1.3 -1.4 -1.2
-1.1
-1.2 -1.6
-2-.23.4--22-2.2.-11.8 -2.5 -2.6
-1.9
-1.5 -1.7 --11..64
-1.3
-1.1
10
5
0
-5
-10 4
2
4
0 -2
2 0 -2
-4 -4
数值分析——插值法
通过插值作出更加精细的山顶曲面 figure(2) [xi,yi] = meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3); zi = interp2(x,y,z,xi,yi); mesh(xi,yi,zi)
10
5
0
-5
-10 4
第五章
立体化教学资源系列——数值分析
插值法
理学院应用数学系
数值分析——插值法
5.1 引言 ☞ 美国人口预测 人口普查数据(千人)
年
1940
1950
1960
1970
1980
1990
人口 132,165 151,326 179,323 203,302 226,542 249,633
推测1930年、1965年、2010年的人口.