第十九章多元函数积分学基础PPT课件
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多元函数微积分(课件)
3 V 为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
多元微积分基础-22页PPT资料
闭区域
D不连通
闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域。
E 2 x ,y 1 x 2 y 2 4 及 E 3x ,y xy 0 为闭区域。
5
有界点集与无界点集： 对于点集E , 若 K0, 使得 PE, P与某一定点 A间的距离 APK, 则称 E为有界点集，否则称为 无界点集。
例如, E 1 x ,y 1 x 2 y 2 4有界的开区域。 E 2 x ,y 1 x 2 y 2 4有界的闭区域。
若存在 UP,E,称点 P为点集 E的内点。
显然内点 PE.
P•
开集：若点集 E的点都是内点, 则称点集 E E
为开集.
例如 E 1 x ,y 1 x 2 y 2 4是开集。
边界点：若点 P的任一邻域内既有属于E的点,
•P
也有不属于 E的点, 称 P为 E的边界点.
边界：边界点的全体称为 E的边界.
U P 0, P P0 P
称为点 P 0 的 邻域。
P•0
即
U P 0, x ,yxx 02yy02 .
若不需要强调邻域半径 , 用 UP0 表示点 P 0 的 邻域。
U P 0,P0|P0P | 称为点 P 0 的 去心邻域.
P•0
3
2．区域
内点：设 E是平面上一个点集, P是平面上一点，
解 1x2y21;
2x
x
y
0
; 0
3x2y21.
y
y
y
xy0
O
x
O
x
O
x
(1)
(２)
(３)
9
二元函数的几何意义：
zfx,y在几何上表示空间曲面.
如, zax b yc
高等数学教学课件PPT
注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形
（2） 通常周期函数的周期是指最小正周期
（3） 并非每个周期函数都有最小正周期
例：常量函数 f ( x) C
y
狄利克雷函数
1 f (x) 0
xQ x QC
1
概念
概念
集映
函
合射
逆映射
反函数
数
区邻 间域
构造 复合映射
构造
➢概念
设函数 f : D f (D) 是单射， 则它存在逆映射 f 1 : f (D) D 称映射 f 1 为函数f 的反函数. 一般地， y f ( x), x D的反函数记成 y f 1( x), x f (D)
1, x 0
y
sgn
x
0,
x0
1, x 0
y
1
o
x
1
y
注 分段函数不一定就是非初等函数！
2 1o 1 2 3 4 x
x x0
2
例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o
类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的
x1 x2 x
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
➢ 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
设f是从集合X到集合Y的映射
若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射
若对X中任意两个不同的元素 则称f为X到Y的单射
多元积分摘要PPT课件
I
2
D1
f
(x,
y)d
2 D2
f
(x,
y)d ,
当f (x, y) f (x, y)时
(4)若 D关于y x对称,则
① f (x, y)d f (y, x)d
D
D
(轮换对称性)
② f (x, y)d f ( y, x)d
D1
D2
(1) 以上前三种情况类似于奇偶函数在对称区 间上的定积分性质, 第(4)种情况则是多元积分 的特殊性质. (2) 利用对称性简化计算十分有效,但对称性在 使用时,必须要兼顾被积函数和积分区域两个 方面,即对称性要相匹配才能利用. (3) 三重积分,曲线积分,曲面积分同样可以利 用与二重积分类似的对称性简化计算.
1
x
2
2x
0 dx0 f (x, y)dy 1 dx0 f (x, y)dy
分析 要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定
积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给
的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新
确立积分限，得到二次积分.
解 将所给积分限还原成D的图形，由 D D1 D2
其中 D1 : 0 y x, 0 x 1 D2 : 0 y 2 x,1 x 2
（曲面）
（空间区域） （空间曲线）
如果
n
lim f
0 i1
pi gi
（ mai x{gi}）存在，
则称这个极限为函数 f ( p) 在几何形体G上的积
分,记为
f p dg
G
即
n
G
f
p dg
lim 0
i1
f
pi gi
为了便于今后讨论，当G为不同的几何形 体时，对应的积分都给出了固定的名称和符 号
多元函数的基本概念 PPT
属于E 的点(点P 本身能够属于E,也能够不属于E ), 则称P 为E 的边界点、
E 的边界点的全体为E 的边界、
•P
E
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说明: E 的边界点估计属于E,也估计不属于E、
例如,关于集合 E {( x, y) | 1 x2 y2 4}
E 的边界为 D {( x, y) | x2 y2 1或 x2 y2 4} 其中边界点 {( x, y) | x2 y2 1} 都不属于E, 而边界点 {( x, y) | x2 y2 4} 都属于E、
(x, y) 1 x2 y2 4
y
开区域 y
o
x
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
o
o 1 2x
y o 1 x2 x
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整个平面 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域;
点集( x, y ) x 1是开集,
但非区域 、
y
1o 1 x
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三、二元函数的极限
定义: 设二元函数 f ( P )=f (x,y)的定义域为D,P0 (x0 , y0 )
为 D 的聚点,若 D 中的点P(x,y)按任意方式趋于P0时,
函数f (x,y)总趋向于某个确定的数值A,则称 A 为函数
f (x,y) 当
时的极限(二重极限),
记作
y
o12 x
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(3)连通
设D是点集,假如关于D内任何两点,都可用折线连
接起来,且该折线上的点都属于D,则称点集D是连通
的。 (4)开区域与闭区域
• •
D
连通的开集称为区域或开区域、
E 的边界点的全体为E 的边界、
•P
E
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说明: E 的边界点估计属于E,也估计不属于E、
例如,关于集合 E {( x, y) | 1 x2 y2 4}
E 的边界为 D {( x, y) | x2 y2 1或 x2 y2 4} 其中边界点 {( x, y) | x2 y2 1} 都不属于E, 而边界点 {( x, y) | x2 y2 4} 都属于E、
(x, y) 1 x2 y2 4
y
开区域 y
o
x
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
o
o 1 2x
y o 1 x2 x
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整个平面 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域;
点集( x, y ) x 1是开集,
但非区域 、
y
1o 1 x
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三、二元函数的极限
定义: 设二元函数 f ( P )=f (x,y)的定义域为D,P0 (x0 , y0 )
为 D 的聚点,若 D 中的点P(x,y)按任意方式趋于P0时,
函数f (x,y)总趋向于某个确定的数值A,则称 A 为函数
f (x,y) 当
时的极限(二重极限),
记作
y
o12 x
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(3)连通
设D是点集,假如关于D内任何两点,都可用折线连
接起来,且该折线上的点都属于D,则称点集D是连通
的。 (4)开区域与闭区域
• •
D
连通的开集称为区域或开区域、
第十九章-多元函数积分学基础省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
D i
x
P(xi yi )
图19-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi ) i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i
i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密,
f
(
xi
,
yi
)
就越来越
i
i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
V
b
A(x)dx
a
b a
2 ( x) 1 ( x )
f
(x,
y )dy dx
即有
b
b 2 ( x)
f (x, y)d dx
f (x, y)dy
a
a 1 ( x )
D
上式表明, 计算二重积分时, 可以化为先对y, 再对x的二次积分 来计算.先对y积分时,把x看作常量, f (x, y)只看作y的函数,并对y
z
z f (x, y)
O
y
x
D
图19-1 曲顶柱体
由于曲顶柱体的高f (x, y)是变动的,因此它的体积不能直接用公式 体积=底面积 高
来计算.为此,可采用类似于求曲边梯形面积的方法来研究曲顶柱 体的体积
多元函数积分学课件
解析
首先将二重积分拆分为两个定积 分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计 算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中 非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化 量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和 性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中 ，积分被用来计算流体动力学效 应，如压力分布、速度场和流线 。
多元函数积分学课件
目 录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积 分及其性质的一门学科，其基础概念 包括二重积分、三重积分、曲线积分 和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的 积分次序，最后根据定积分的计算公 式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值 与其对应的参数的乘积的积分，即求曲 线上的一个物理量（如质量、热量等） 的分布情况。
《多元函数的微积分》课件
最优化问题
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
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5、在计算二重积分时，当积分区域关于坐标轴具有对称性， 且函数具有奇、偶性时，应先简化再计算。
6、对弧长的曲线积分与积分路线的方向无关，对坐标曲线积 分与积分路线的方向有关，如果积分路线反向，则积分值
反号。 7、在计算沿封闭曲线的对坐标的曲线积分时，应先考查在包
含积分曲线C的单连通区域内，被积函数是否满足积分与路 径无关的条件，如果满足则积分为零；如果不满足，再选 择适当的计算方法计算。
I
x2 y2
dxdy
x2 y2 dxdy
D1
D2
2
dy
1
y2xy22dx
1
dy
1
2x2 1 y2dx
2y
12 38 y23 y dy1 2 1 38 y238 y5 dy
9 . 4
例 2计 算 二 重 积 分 I f(x,y)d xd y。 其 中 D 是 由 曲 线 D y 1 x2 ， y 1 ， ylnx所 围 成 。y
1 2 y
横 坐 标 为y和2y.于 是 Id y f(x ,y )d x 积 分 次 序 0y
得 到 改 变 .
1 1 4 y 2
对 于 D 1 ， 0y 2 ， I1d y 2 f(x ,y )d x； 0 y 1
1 1 4 y
积分次序的确定和积分区域 D 的形状有关，但实际应用
时也需考察两次定积分的难易(甚至按某种次序积不出) 而定.
③ 从内到外依次计算两个定积分。
例 1 计 算 二 重 积 分I x y2 2d.其 中 D是 由 x2， yx D
及 双 曲 线 y1围 成 的 区 域 。 x
画 出 D 如 图 1 9 - 3 所 示 .
00
10
积 分 次 序 。
y
解 由已知得
0 0
x y
1x，10xy22
x
yx
y 2x
画 出 D 如 图 1 9 - 6 所 示 . 将D投 影 到y轴 得 到 O
投 影 闭 区 间 [0,1]， 任 取y(0,1)，
1
2x
图19-6 例4积分区域 D
过 点y 平 行 于x 轴 的 直 线 自 左 至 右 交D的 边 界 于 两 点 ， 其
积分的计算方法、格林公式。
二、本章的重点
二重积分的计算。
三、对学习的建议
1、二重积分是本章的重点内容。曲线积分可根据学时数及
专业的要求选学。
关于本章的概念，应理解二重积分、曲线积分都与定积
分一样，都属于特殊的和式极限问题。
2、重积分的几何意义
当 f(x ,y ) 0时 ， 二 重 积 分 f(x ,y )d表 示 以分区域 D 的图形.
② 将 D 投影到某个坐标轴，使之将来的二次积分次序与已 知的不同.
③ 将二重积分化为另一种次序的二次积分.
1x
2 2 x
例 4改 变 二 重 积 分 d x f(x ,y )d yd x f(x ,y )d y的
线 ， 从 左 至 右 交D的 边 界 于 两 点 ， 横 坐 标 为1y， ey.
1
ey
I dy f(x,y)dx.
0
1y
I
1
dx
x sinxdy
1sinx(xx2)dx
0
x x2
0x
1
(sinxxsinx)dx 1sin1. 0
二、改换二重积分的积分次序
若已知以某种次序积分的二重积分，改变积分次序步骤如下。
1
2x
例1积分区域 D
x
解法二 将D投影到y 轴上，得12,2，任取y12,2，
过点y 作平行于x 轴的直线，当1y1时，从左至右交 2
D的边界于两点，横坐标为1 和2 .当 1y2 时，从左至 y
右 交 D 的 边 界 于 两 点 横 坐 标 为 y和 2 . 表 达 形 式 不 一 样 ，
则 需 分 割 D ， 用 直 线 y 1 将 D 分 为 上 下 两 部 分 ： D 1 ， D 2 .
四、本章关键词
二重积分 曲线积分
取 一 点y， 过 点y作 平 行 于x轴 的 直 线 自 左 至 右 交D的 左
边 界 和 右 边 界 于 两 点 ， 其 横 坐 标 分 别 为1(y)， 2(y)， 这 就
是 对x积 分 的 下 限 和 上 限 .(若 交 点 的 横 坐 标 表 达 形 式 与 点y 的 位 置 有 关 ， 则D需 分 割 ).
解法一 将 D 投 影 到 x 轴 上 ，
y
2
得 到 投 影 闭 区 间[1, 2 ]， 任 取
yx
x (1, 2 )， 过 点 x 作 和 y 轴 平 行
1
的直线交D 的下边界和上边界于
两 点 ， 其 纵 坐 标 为 1 ， x.
1
y 1
2
x
x O
I12dx1 xx y2 2dy12(x3x)dx9 4； 图19-3
第七章 多 元 函 数 积 分 学 (一) 本 章 内 容 小 结 (二) 常见问题分类及解法 (三) 思 考 题 (四) 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、主要内容
1、二重积分的概念与性质。 2、二重积分在直角坐标系下与在极坐标系下的计算方法。 3、二重积分的应用。 *4、曲线积分的概念、性质，对弧长曲线积分与对坐标曲线
D
域 D 为 底 ， 以 曲 面 z f(x ,y )为 顶 的 曲 顶 柱 体 的 体 积 。
当 f ( x ,y ) 1 时 ， d就 等 于 平 面 区 域 D 的 面 积 。
D
3、在直角坐标系下化二重积分为二次积分关键在于选择积
分次序和确定积分限，注意选择适当的积分次序使积分
易于计算。
解 画 出 D 的 图 形 如 图 1 9 - 4 所 示 .
1
观察积分区域 D，若先对 y
积分后对x 积分，需将D分成
y 1 x2
y ln x
左右两部分.
O
选 择 先 对x积 分 ， 后 对y
积 分 .将D向y轴 投 影 ， 得 到
1
x
图19-4 例2积分区域 D
投 影 闭 区 间 [0,1]， 任 取y(0,1)， 过 点y作 平 行 于x轴 的 直
4、在极坐标系下计算二重积分的要点是(1) 根据变换式
xrcos，yrsin，把积分区域D 的边界曲线用极坐 标表示；并把被积表达式写成f(rcos,rsin)rdrd；
(2) 用不等式表示积分区域，根据区域的特点选用相应计
算公式把二重积分化成关于r， 的二重积分，一般总是 先对r 积分后对 积分。
6、对弧长的曲线积分与积分路线的方向无关，对坐标曲线积 分与积分路线的方向有关，如果积分路线反向，则积分值
反号。 7、在计算沿封闭曲线的对坐标的曲线积分时，应先考查在包
含积分曲线C的单连通区域内，被积函数是否满足积分与路 径无关的条件，如果满足则积分为零；如果不满足，再选 择适当的计算方法计算。
I
x2 y2
dxdy
x2 y2 dxdy
D1
D2
2
dy
1
y2xy22dx
1
dy
1
2x2 1 y2dx
2y
12 38 y23 y dy1 2 1 38 y238 y5 dy
9 . 4
例 2计 算 二 重 积 分 I f(x,y)d xd y。 其 中 D 是 由 曲 线 D y 1 x2 ， y 1 ， ylnx所 围 成 。y
1 2 y
横 坐 标 为y和2y.于 是 Id y f(x ,y )d x 积 分 次 序 0y
得 到 改 变 .
1 1 4 y 2
对 于 D 1 ， 0y 2 ， I1d y 2 f(x ,y )d x； 0 y 1
1 1 4 y
积分次序的确定和积分区域 D 的形状有关，但实际应用
时也需考察两次定积分的难易(甚至按某种次序积不出) 而定.
③ 从内到外依次计算两个定积分。
例 1 计 算 二 重 积 分I x y2 2d.其 中 D是 由 x2， yx D
及 双 曲 线 y1围 成 的 区 域 。 x
画 出 D 如 图 1 9 - 3 所 示 .
00
10
积 分 次 序 。
y
解 由已知得
0 0
x y
1x，10xy22
x
yx
y 2x
画 出 D 如 图 1 9 - 6 所 示 . 将D投 影 到y轴 得 到 O
投 影 闭 区 间 [0,1]， 任 取y(0,1)，
1
2x
图19-6 例4积分区域 D
过 点y 平 行 于x 轴 的 直 线 自 左 至 右 交D的 边 界 于 两 点 ， 其
积分的计算方法、格林公式。
二、本章的重点
二重积分的计算。
三、对学习的建议
1、二重积分是本章的重点内容。曲线积分可根据学时数及
专业的要求选学。
关于本章的概念，应理解二重积分、曲线积分都与定积
分一样，都属于特殊的和式极限问题。
2、重积分的几何意义
当 f(x ,y ) 0时 ， 二 重 积 分 f(x ,y )d表 示 以分区域 D 的图形.
② 将 D 投影到某个坐标轴，使之将来的二次积分次序与已 知的不同.
③ 将二重积分化为另一种次序的二次积分.
1x
2 2 x
例 4改 变 二 重 积 分 d x f(x ,y )d yd x f(x ,y )d y的
线 ， 从 左 至 右 交D的 边 界 于 两 点 ， 横 坐 标 为1y， ey.
1
ey
I dy f(x,y)dx.
0
1y
I
1
dx
x sinxdy
1sinx(xx2)dx
0
x x2
0x
1
(sinxxsinx)dx 1sin1. 0
二、改换二重积分的积分次序
若已知以某种次序积分的二重积分，改变积分次序步骤如下。
1
2x
例1积分区域 D
x
解法二 将D投影到y 轴上，得12,2，任取y12,2，
过点y 作平行于x 轴的直线，当1y1时，从左至右交 2
D的边界于两点，横坐标为1 和2 .当 1y2 时，从左至 y
右 交 D 的 边 界 于 两 点 横 坐 标 为 y和 2 . 表 达 形 式 不 一 样 ，
则 需 分 割 D ， 用 直 线 y 1 将 D 分 为 上 下 两 部 分 ： D 1 ， D 2 .
四、本章关键词
二重积分 曲线积分
取 一 点y， 过 点y作 平 行 于x轴 的 直 线 自 左 至 右 交D的 左
边 界 和 右 边 界 于 两 点 ， 其 横 坐 标 分 别 为1(y)， 2(y)， 这 就
是 对x积 分 的 下 限 和 上 限 .(若 交 点 的 横 坐 标 表 达 形 式 与 点y 的 位 置 有 关 ， 则D需 分 割 ).
解法一 将 D 投 影 到 x 轴 上 ，
y
2
得 到 投 影 闭 区 间[1, 2 ]， 任 取
yx
x (1, 2 )， 过 点 x 作 和 y 轴 平 行
1
的直线交D 的下边界和上边界于
两 点 ， 其 纵 坐 标 为 1 ， x.
1
y 1
2
x
x O
I12dx1 xx y2 2dy12(x3x)dx9 4； 图19-3
第七章 多 元 函 数 积 分 学 (一) 本 章 内 容 小 结 (二) 常见问题分类及解法 (三) 思 考 题 (四) 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、主要内容
1、二重积分的概念与性质。 2、二重积分在直角坐标系下与在极坐标系下的计算方法。 3、二重积分的应用。 *4、曲线积分的概念、性质，对弧长曲线积分与对坐标曲线
D
域 D 为 底 ， 以 曲 面 z f(x ,y )为 顶 的 曲 顶 柱 体 的 体 积 。
当 f ( x ,y ) 1 时 ， d就 等 于 平 面 区 域 D 的 面 积 。
D
3、在直角坐标系下化二重积分为二次积分关键在于选择积
分次序和确定积分限，注意选择适当的积分次序使积分
易于计算。
解 画 出 D 的 图 形 如 图 1 9 - 4 所 示 .
1
观察积分区域 D，若先对 y
积分后对x 积分，需将D分成
y 1 x2
y ln x
左右两部分.
O
选 择 先 对x积 分 ， 后 对y
积 分 .将D向y轴 投 影 ， 得 到
1
x
图19-4 例2积分区域 D
投 影 闭 区 间 [0,1]， 任 取y(0,1)， 过 点y作 平 行 于x轴 的 直
4、在极坐标系下计算二重积分的要点是(1) 根据变换式
xrcos，yrsin，把积分区域D 的边界曲线用极坐 标表示；并把被积表达式写成f(rcos,rsin)rdrd；
(2) 用不等式表示积分区域，根据区域的特点选用相应计
算公式把二重积分化成关于r， 的二重积分，一般总是 先对r 积分后对 积分。