圆中的动点问题(供参考)

圆中的动态问题

【方法点拨】

圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论

【典型例题】

题型一：圆中的折叠问题

例题一（2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

（1）①折叠后的AB所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；

②如图2，当折叠后的AB经过圆心为O时，求AOB的长度；

③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；

（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

①如图4，当AB∥CD，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；

②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

【答案】解：（1）①折叠后的AB所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2。

②当AB经过圆O时，折叠后的AB所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连

接O′A．OA．O′B，OB，OO′。

∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，

∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。

∴AOB的长度

12024

1803

ππ

⋅⋅

==。

③如图3所示，连接OA，OB，

∵OA=OB=AB=2，

∴△AOB为等边三角形。

过点O作OE⊥AB于点E，∴OE=OA•sin60°=3。（2）①如图4，当折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，

过点O作EF⊥AB交AB于点H、交AEB于点E，交CD于点G、交CFD于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。

∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。

根据垂径定理及折叠，可知PH=1

2

PE，PG=

1

2

PF。

又∵EF=4，∴点O到AB．CD的距离之和d为：

d=PH+PG=1

2

PE+

1

2

PF=

1

2

（PE+PF）=2。

②如图5，当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下：设O′，O″为APB和CPD所在圆的圆心，

∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称，

∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点。

∵折叠后的APB与CPD所在圆外切，

∴连心线O′O″必过切点P。

∵折叠后的APB与CPD所在圆与⊙O是等圆，

∴O′P=O″P=2，∴PM=1

2

OO″=ON，PN=

1

2

OO′=OM，

∴四边形OMPN是平行四边形。

【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。

【分析】（1）①折叠后的AB所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度。

②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到AOB的圆心角，再根据弧长公式计算即可。

③如图3，连接O′A．O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求AOB所在圆的圆心O′到弦AB的距离。

（2）①如图4，AEB与CFD所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交AEB于于点E，交CFD于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和。

②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。

变式一如图是一圆形纸片，AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦BC折叠后，劣弧BC与AB交于点D，得到BDC．

（1）若BD ︵＝CD ︵，求证：BDC 必经过圆心O ；

（2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵，求BC 的长．

变式二 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ，OE=12BC ． （1）求∠BAC 的度数；

（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长

FC 和

GB 相交于点H ；求证：四边形AFHG 是正方形；

（3）若BD=6，CD=4，求AD 的长．

题型二：圆中的旋转问题

例题二 (2011湖南常德,25.10分)已知△ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆12O O 、，P

是AB 的中点。 （1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC=BC ，在 AC BC 、

上分别取点E 、F ，使12AO E BO F ∠=∠，则有结论①12PO E FO P ∆≅∆.②四边形12PO CO 是菱形。请给出结论

②的证明；

（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；

（3）如图10，若PC 是⊙1O 的切线，求证：222

3AB BC AC =+

（1）∵BC 是⊙O2直径，则O2是BC 的中点又P 是AB 的中点．，∴P O2是△ABC 的中位线∴P O2 ＝1

2AC

又AC 是⊙O1直径∴P O2＝ O1C ＝1

2AC

同理P O1＝ O2C ＝1

2BC

∵AC ＝BC ∴P O2＝ O1C ＝P O1＝ O2C ∴四边形

12PO CO 是菱形

（2）结论①△PO1E ≌△PO2F 成立，结论②不成立 证明：在（1）中已证PO2＝12AC ，又O1E ＝1

2AC

∴PO2＝O1E 同理可得PO1＝O2F

∵PO2是△ABC 的中位线 ∴PO2∥AC ∴∠PO2B ＝∠ACB

同理∠P O1A ＝∠ACB ∴∠PO2B ＝∠P O1A ∵∠AO1E ＝∠BO2F ∴∠P O1A+∠AO1E ＝∠PO2B+∠BO2F

即∠P O1E ＝∠F O2 P 、 ∴△EO1P ≌△PO2F ；

（3）延长AC 交⊙O2于点D ，连接BD ．

∵BC 是⊙O2的直径，则∠D ＝90°，

又PC 是⊙O1的切线，则∠ACP ＝90°，

∴∠ACP ＝∠D

O D C A B