2010年中考数学压轴题100题精选(91-100题)
2010年中考数学压轴题100题精选（91-100题）【091】已知二次函数y＝x2－x＋c．
(1)若点A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，
求此二次函数的最小值；
(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x2－x
＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2≤OP≤2＋时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点个数，并说明理由．
【092】已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(，1)，B(s，t)，C(，0)，抛物线y=x2＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．
(1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；
(2)当抛物线y=x2＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．
（第24题）
【093】已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为
、
，点D的坐标为
，点P是直线AC上的一动点，直线DP与
轴交于点M．问：
（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；
（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使
与
相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P
的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的
最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．注：第（3）问请用备用图解答．
备用图
【094】在平面直角坐标系中，已知
，
，且以
为直径的圆交
轴的正半轴于点
，过点
作圆的切线交
轴于点
．
（1）求过
三点的抛物线的解析式
（2）求点
的坐标
（3）设平行于
轴的直线交抛物线于
两点，问：是否存在以线段
为直径的圆，恰好与
轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？
x O C D B A 1 2
【095】）如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，经过两点的直线是，连结．
（1）两点坐标分别为（_____，_____）、（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线的顶点坐标是]
C
A
O
B
x
y
C
A
O
B
x
y
图1
图2(备用)
（第26题）
【096】如图12，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y 轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的
交点为N（如图13所示）.
① 当t=
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最
大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
图13
B
C
O
D
E
M
y
x
P
N
·图12 B
C
O (A) D
E
M
y
x
【097】矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示，两点的坐标分别为，，直线与边相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标．
y
O
C
D
B
6
A
x
图13
【098】如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）.
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.
·
y
O
A
x
备用图
M
y
O
C
B
x
D
【099】我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的
（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.
例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提
出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思
想和方法）.
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：
(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线
（
和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？
(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经
过圆心的两条直线
和
（
与圆O分别交于点A、B，
与圆O分别交于点C、D）.
请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.
(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，
弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由. ABC
A
B
O
m
第25题图1
O
第25题图2
A
B
O
E
第25题图3
D
C
F
G
D
C
【100】抛物线
的顶点为M，与
轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。
若关于
的一元二次方程
有两个相等的实数根。
（1）判断△ABM的形状，并说明理由。
（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。
（3）若平行于
轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与
轴相切，求该圆的圆心坐标。
2010年中考数学压轴题100题精选(81-90题)答案
合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选（81-90题）答案【081】解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3． ···································································· 3分 （2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5． 由题意，得△BHP ∽△BOC ， ∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5，∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5，∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ．∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）．∴OQ ＝4t ． ······································································································· 4分 ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ········································································ 5分 ②当H 在O 、Q 之间时， QH ＝OQ －OH＝4t －（4－4t ）＝8t －4． ········································································ 6分 综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜； ········································································ 6分 （3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ······················· 7分①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt，∴t ＝732． ········································································································ 7分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484tt -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 21（舍去）． ······················································· 8分 ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34tt，∴t ＝2532． ········································································································ 9分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0． ∴t 1＝t 2＝1（舍去）． ···················································································· 10分综上所述，存在t 的值，t 11，t 2＝732，t 3＝2532． ··························· 10分附加题：解：（1）8； ·················································································································· 5分 （2）2．················································································································ 10分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【082】（09上海）略【083】. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,，得a =，因此2y x =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪⎪⎩解得因此直线AB 为y x =+ 当x =－1时，y =， 因此点C 的坐标为（－1.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB ，此时1,2P ⎛- ⎝⎭. 【084】解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8），∴OA =4，OB =8.由题意，OP =－k ，∴PB =PA =8+k . 在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3， ∴PE. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ，∴△AOB ∽△PEB ，∴2,AO PE AB PB PB=，∴PB =∴8PO BO PB =-=，∴8)P -，∴8k =-. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,8)， ∴k =8，∴当k8或k =8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.【085】解: (1)由题知: ⎩⎨⎧=+-=++033903b a b a ……………………………………1 分解得: ⎩⎨⎧-=-=21b a ……………………………………………………………2分∴ 所求抛物线解析式为: 322+=x －－x y ……………………………3分(2) 存在符合条件的点P , 其坐标为P (－1, 10)或P(－1,－ 10)或P (－1, 6) 或P (－1, 35)………………………………………………………7分 (3)解法①：过点E 作EF ⊥x 轴于点F , 设E ( a ,-2a -2a ＋3 )( －3< a < 0 ) ∴EF =-2a -2a ＋3，BF =a ＋3，OF =－a ………………………………………………8 分∴S 四边形BOCE =21BF ·EF + 21(OC +EF )·OF =21( a ＋3 )·(－2a －2a ＋3) + 21(－2a －2a ＋6)·（－a ）……………………………9 分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网=2929232+--a a ………………………………………………………………………10 分 =－232)23(+a +863∴ 当a =－23时，S 四边形BOCE 最大, 且最大值为 863．……………………………11 分此时，点E 坐标为 (－23，415)……………………………………………………12分解法②：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分则S 四边形BOCE =21(3 + y )·(－x ) + 21( 3 + x )·y ………………………………………9分 = 23( y －x )= 23(332+x －－x ) …………………………………10 分= －232)23(+x + 863∴ 当x =－23时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 863． …………………………11分此时，点E 坐标为 (－23，415) ……………………………………………………12分【086】⑴证明：∵BC 是⊙O 的直径∴∠BAC=90o又∵EM ⊥BC ，BM 平分∠ABC ， ∴AM=ME ，∠AMN=EMN 又∵MN=MN ， ∴△ANM ≌△ENM⑵∵AB 2=A F ·AC ∴ABAF AC AB =又∵∠BAC=∠FAB=90o ∴△ABF ∽△ACB ∴∠ABF=∠C又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o ∴FB 是⊙O 的切线合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网⑶由⑴得AN=EN ，AM=EM ，∠AMN=EMN ， 又∵AN ∥ME ，∴∠ANM=∠EMN ， ∴∠AMN=∠ANM ，∴AN=AM ， ∴AM=ME=EN=AN ∴四边形AMEN 是菱形 ∵cos ∠ABD=53，∠ADB=90o∴53=AB BD 设BD=3x ，则AB=5x ，，由勾股定理()()x x －x AD 43522==而AD=12，∴x=3 ∴BD=9，AB=15∵MB 平分∠AME ，∴BE=AB=15 ∴DE=BE-BD=6∵ND ∥ME ，∴∠BND=∠BME ，又∵∠NBD=∠MBE ∴△BND ∽△BME ，则BEBD ME ND =设ME=x ，则ND=12-x ，15912=-x x ，解得x=215∴S=M E ·DE=215×6=45【087】（天门）略合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【088】解：（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点， 设抛物线解析式为2(0)y ax bx a =+≠．把(11)A ，，(31)B ，代入上式得： ································································································ 1分 11931a b a b =+⎧⎨=++⎩解得1343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩··································································································· 3分 ∴所求抛物线解析式为21433y x x =-+··················································································· 4分 法二：∵(11)A ，，(31)B ，，∴抛物线的对称轴是直线2x =．设抛物线解析式为2(2)y a x h =-+（0a ≠） ······································································ 1分把(00)O ，，(11)A ，代入得 220(02)1(12)a h a h ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩ 解得1343a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩······················································································ 3分 ∴所求抛物线解析式为214(2)33y x x =--+． ····································································· 4分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网（2）分三种情况：①当02t <≤，重叠部分的面积是OPQ S △，过点A 作AF x ⊥轴于点F ， ∵(11)A ，，在Rt OAF △中，1AF OF ==，45AOF ∠=°在Rt OPQ △中，OP t =，45OPQ QOP ∠=∠=°，∴cos 452PQ OQ t ===°， ∴2211224S t ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． ····················································· 6分 ②当23t <≤，设PQ 交AB 于点G ，作GH x ⊥轴于点H 45OPQ QOP ∠=∠=°，则四边形OAGP 是等腰梯形，重叠部分的面积是OAGP S 梯形． ∴2AG FH t ==-， ∴11()(2)1122S AG OP AF t t t =+=+-⨯=-． ············ 8分 ③当34t <<，设PQ 与AB 交于点M ，交BC 于点N ，重叠部分的面积是OAMNC S 五边形． 因为P N C △和BMN △都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是OA M NS 五边形B M NOA B C S S=-△梯形． ∵(31)B ，，OP t =， ∴3PC CN t ==-，∴1(3)4BM BN t t ==--=-，∴211(23)1(4)22S t =+⨯--2111422S t t =-+-． ······················································· 10分（3）存在 11t = ·················································································································· 12分 22t = ················································································································ 14分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【089】解：（1） 圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、， 抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，∴(11)(11)M N --，、，． ············································································································ 2分 点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入 2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩ 解之，得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =-++． ················································································ 4分 （2）2215124y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∴抛物线的对称轴为12x =，12OE DE ∴===，． ······················· 6分 连结90BF BFD ∠=，°，BFD EOD ∴△∽△，DE ODDB FD∴=，又12DE OD DB ===，，5FD ∴=，5210EF FD DE ∴=-=-=． ··············································································· 8分 （3）点P 在抛物线上． ············································································································· 9分 设过D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，，合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴直线DC 为：1y x =-+． ·································································································· 10分 过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．∴P 点的坐标为(21)-，， ········································································································ 11分 当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-，所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． ·············································································· 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【090】（1）解：把A （1-，0），C （3，2-）代入抛物线 23y ax ax b =-+ 得⎩⎨⎧-=+-=+-⨯--2990)1(3)1(2b a a b a a ···························································································· 1分整理得 ⎩⎨⎧-==+204b b a ·················· ……………… 2分 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==221b a ………………3分∴抛物线的解析式为 223212--=x x y ············································································ 4分（2）令0223212=--x x 解得 1214x x =-=，∴ B 点坐标为（4，0）又∵D 点坐标为（0，2-） ∴AB ∥CD ∴四边形ABCD 是梯形． ∴S 梯形ABCD ＝82)35(21=⨯+ ································ 5分 设直线)0(1≠+=k kx y 与x 轴的交点为H ，与CD 的交点为T ，则H （k 1-，0）， T （k3-，2-） ····················· 6分∵直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分∴S 梯形AHTD ＝21S 梯形ABCD ＝４∴42)311(21=⨯-+-kk ·········································· 7分 ∴34-=k ···································································· 8分（3）∵MG ⊥x 轴于点G ，线段MG ︰AG ＝1︰2∴设M （m ，21+-m ）， (9)∵点M 在抛物线上 ∴22321212--=+-m m m 解得1231m m ==-，（舍去） ······························· 10分∴M 点坐标为（3，2-） ································································································ 11分 根据中心对称图形性质知，MQ ∥AF ，MQ ＝AF ，NQ ＝EF ，∴N 点坐标为（1，3-） ······························································································· 12分图(9) -2图(9) -1。
2010年数学中考压轴题精选
EF 将△ ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线
EF，求出 x 的值；若不存在直线 EF ，请说明理由． C
A
D
B
C
A
D
B
备用图
2010 年苏州市
5.如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B．已知 A 、 B 两点的坐标分别为 (3， 0)、 (0 ，4)．
(1) 求抛物线的解析式；
(2)设 M(m ， n)是抛物线上的一点 (m 、 n 为正整数 ) ，且它位于对称轴的右侧．若以 M 、 B、 O、 A 为顶
t，
使面积 y 最小？若存在，求出 y 的最小值；若不存在，说明理由．
（ 3）是否存在某一时刻 t ，使 P、Q、 F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时
t 的值；若不存在，
说明理由．（图（ 3）供同学们做题使用）
A
A
D
B
C（ E）
F
图（ 1）
解：（ 1） （2） （3）
D P
Q
B
EC
F
图（ 2）
点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点 (3) 在(2) 的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点
否总成立 ?请说明理由．
M 的坐标； P， PA2+PB2+PM 2＞ 28 是
大连市 2010
6.如图 17，抛物线 F：y ax2 bx c(a 0) 与 y 轴相交于点 C，直线 L1 经过点 C 且平行于 x 轴，
（ 2）若 CE=2 ，BD=BC ，求∠ BPD 的正切值；
（ 3）若 tan BPD
1
，设 CE=x ，△ ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式 .
2010年全国中考数学经典压轴题100题(三)答案
2010全国中考数学经典压轴题100题（三)答案【021】解：（1）21k k −；………………………………3分（2）①EF ∥AB ．……………………………………4分证明：如图，由题意可得A （–4，0），B （0，3），2(4,)4k E −−，2(,3)3k F ．∴PA=3，PE=234k +，PB=4，PF=243k +．∴223121234PA k PEk ==++，224121243PB k PFk ==++∴∴7分②过轴于点N ，两线交由上知M （0，24−），N （23，0），Q （23，24k −）．…8分而S △EFQ=S △PEF ，∴S2＝S △PEF －S △OEF ＝S △EFQ －S △OEF ＝S △EOM ＋S △FON ＋S 矩形OMQN ＝4321212222kk k k ⋅++＝222112k k+=221(6)312k+−．…………………………10分当26k>−时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12．……………11分∴0＜S2＜24，s2没有最小值．………12分说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用tan PAB∠＝tan PEF∠来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF 的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．2．求S2的值时，还可进行如下变形：S2＝S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2S△PEF－S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论．【022】解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m －2)＝a(x－m)2－4a．……2分∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，∴C(m，－2)代入得a＝12．∴解析式为：y＝12(x－m)2－2．………………………5分(亦可求C点，设顶点式)(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y ＝12(x －m)2－2顶点在坐标原点．……………………………………7分(3)由(1)得D(0，12m2－2)，设存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形．∵△BOD 为直角三角形，∴只能OD ＝OB ．……………9分∴12m2－2＝|m ＋2|，当m ＋2＞0时，解得m ＝4或m ＝－2(舍)．当m ＋2＜0时，解得m ＝0(舍)或m ＝－2(舍)；当m ＋2＝0时，即m ＝－2时，B 、O 、D 三点重合(不合题意，舍)综上所述：存在实数m ＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12分【023】（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===°，∠∠∵M 是AD 中点∴AM MD =∵AD BC∥∴60AMB MBC ==°∠∠，60DMC MCB ==°∠∠∴AMB DMC △≌△∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==°∠∠，60MPQ =°∠∴120BMP BPM BPM QPC +=+=°∠∠∠∠∴BMP QPC =∠∠∴BMP CQP △∽△∴PC CQBM BP =5分∵PC x MQ y ==，∴44BP x QC y =−=−，6分ADCBPMQ60°∴444x y x−=−∴2144y x x =−+7分（3）解：①当1BP =时，则有BP BP MD ∥∥，则四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形∴211333444MQ y ==×−+=当3BP =时，则有PC AM PC MD ∥∥，，则四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形∴11311444MQ y ==×−+=∴当1314BP MQ ==，或1334BP MQ ==，时，以P 、M 和A 、B 、C 、D△y 取最小值时，x =∴P°，∴30CPQ =°∠，∴∠【ABC 为等腰直∴3,0m −）.（2）∵45ODA OAD ∠=∠=°∴3OD OA m ==−，则点D 的坐标是（0,3m −）.又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =−，得：22(31)(01)3a m a m ⎧−=⎪⎨−=−⎪⎩解得14a m =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为221y x x =−+………7分（3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x −+，则2(1)QM CN x ==−，3MC QN x ==−.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC∆∴QM PMEC PC =即2(1)12x x EC −−=，得2(1)EC x =−∵//QN FC∴BQN∆∽BFC∆∴QN BNFC BC=即234(1)4x x FC −−−=，得41FC x =+又∵4AC =∴2(1)8x +=即【M 的纵坐标为－x ∣＝x ；∴C x+4+x ）＝8的周长不发生变（2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）·x ＝－x2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20≤<a时，42121422+−=−=aaS；如图10（3），当42<≤a时，22)4(21)4(21−=−=aaS；∴S与a的函数的图象如下图所示：的))4<≤a【026】解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6 ∴AH=23AC=23×ACB………1分 ∴2分 ∴3分 （4分∵′H为平行四边5分又∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形………6分 ②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.…………7分 过F 作FM ⊥DE 于M ，F M M E=tan ∠DEF=tan ∠ABC=A CB C=68=34∴ME=43FM=43×2=83，HF=DM=DE-ME=4-83=43∴直角梯形DEFH ′的面积为12（4+43）×2=163∴y=163（Ⅱ）∵当4＜t ≤513时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH ′H 的面积. 而S 边形CBGH=S △ABC-S△AHG=12×8×6-323=403S 矩形CDH ′H =2t ∴y=403-2tAB 于P. BD=8-t∴y=S ,△8-t ）2=38t2-6t+24y=40338t2-6t+24（513＜t ≤8）【027】解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+−=x a y ,把A （3,0）代入解析式求得1−=a所以324)1(221++−=+−−=x x x y ，设直线AB 的解析式为：bkx y +=2由3221++−=x x y 求得B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=−=b k 所以32+−=x y 6分(2)因为C 点坐标为(１,4)，所以当x ＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD ＝4-2＝28分32321=××=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PABx x x 3)32+−=+−，由S △389×，化简得：42−x 322++x x 中，解得P【0，3），)根据题意，得⎩⎨=++0339b a ，解得⎩⎨=2b ∴抛物线的解析式为322++−=x x y (5′)(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）（2′)设对称轴与x 轴的交点为F∴四边形ABDE 的面积=ABO DFEBOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF⋅++⋅+⋅=11113(34)124222××++×+××=9（5′）（3）(2′)相似如图，BD===；∴====∴2220BDBE +=,220DE =即：222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形∴∠∴∆(2′)【04>所x 轴总有两个交（2a x x −=+21，1•x x 是13，所以|1−x 即：13)(221=−x x 变形为：134)(21221=•−+x x x x ……………………（5分）所以：13)2(4)(2=−−−a a ，整理得：0)1)(5(=+−a a 解方程得：15−=或a ，又因为：a<0，所以：a=－1所以：此二次函数的解析式为32−−=x xy ………………（6分）（3）设点P 的坐标为),(0y x o ，因为函数图象与x 轴的两个交点间的距离等于13，所以：AB=13，所以：S △PAB=213||210=•y AB 所以：2132||130=y 即：3||0=y ，则30±=y 当30=y 时，3320=−−o x x ，即0)2)(3(0=+−o x x 解此方程得：x =－2或3，当30−=y 时，3320−=−−o x x ，即)1(0=−o x x 解此方程得：0x =0或1(－2,3),(3,3),(0,－3)【2分）（2A 到点D 并随⊙有5，垂足为F ，则由∠得CDF EDO △∽△，则3(5)45CF t −−=．解得485t CF −=．由12CF ≤t ，即48152t t −≤，解得163t ≤．∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值范围为41633t ≤≤．11（5分）②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222PA PQ AQ =+221633532525t t t ⎛⎞=+−−+⎜⎟⎝⎠．2229184205t t t ∴−+=，即2972800t t −+=．解得1242033t t ==．（7分）当PA PB =时，有PC AB ⊥，3535t t ∴−=−．解得35t =．（9分）当PB AB =时，有2222216132525PB ⎛⎞1320t ∴11分）∴当5t =，或203t =．。
2010年中考数学压轴题100题精选(61-70题)答案
2010年中考数学压轴题100题精选（61-70题）答案【061】解（1）A （4-，0），B （0，3） ············································· 2分（每对一个给1分） （2）满分3分．其中过F 作出垂线1分，作出BF 中垂线1分，找出圆心并画出⊙P 给1分． （注：画垂线PF 不用尺规作图的不扣分）（3）过点P 作PD ⊥y 轴于D ，则PD =x ，BD =3y -， ··············· 6分 PB =PF =y ，∵△BDP 为直角三形，∴ 2PB =∴222BP PD BD =+，即223y x =+-即222(3)y x y =+-∴y 与x 的函数关系为y =（4）存在解法1：∵⊙P 与x 轴相切于点F ，且与直线l ∴AB AF =，∵22225AB OA OB =+=，∴∵AF =4x + ， ∴22(4)5x +=，∴19x x ==-或 11分 把19x x ==-或代入21362y x =+，得5153y y ==或 ∴点P 的坐标为（1，53）或（-9，15）12分 【062】解：实践应用（1）2；l c．16；13．（2）54．拓展联想（1）∵△ABC 的周长为l ，∴⊙O 在三边上自转了lc周．又∵三角形的外角和是360°，∴在三个顶点处，⊙O 自转了3601360=（周）．∴⊙O 共自转了（lc +1）周．（2）lc+1．【063】（1）① 对称轴422x =-=- ················································································ （2分） ② 当0y =时，有2430x x ++=，解之，得 11x =-，23x =-∴ 点A 的坐标为（3-，0）．············································································ （4分） （2）满足条件的点P 有3个，分别为（2-，3），（2，3），（4-，3-）． ········ （7分） （3）存在．当0x =时，2433y x x =++= ∴ 点C 的坐标为（0，3）∵ DE ∥y 轴，AO =3，EO =2，AE =1，CO =3∴ AED △∽AOC △ ∴ AE DE AO CO = 即 133DE= ∴ DE =1 ············· （9分） ∴ DEOC S =梯形1(13)22⨯+⨯=4 在OE 上找点F ，使OF =43，此时COF S =△14323⨯⨯=2，直线CF 把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M ． ································································ （10分）设直线CM 的解析式为3y kx =+，它经过点403F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则4303k -+= · （11分） 解之，得 94k =∴ 直线CM 的解析式为 934y x =+ ······························ （12分） 【064】解：（1）抛物线2124y x x =--+与y∴B （0，2）∵22112(2)344y x x x =--+=-++ ∴A （—2（2）当点P 是 AB 的延长线与x 轴交点时，AB PB PA =-．当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 在点P 、A 、B 构成的三角形中，PB PA -综合上述：PA PB AB -≤（3）作直线AB 交x 轴于点P ，由（2）可知：当PA —PB 最大时，点P 是所求的点 ······· 8分 作AH ⊥OP 于H ．∵BO ⊥OP ，∴△BOP ∽△AHP∴AH HPBO OP=由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故P （4，0） 【065】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径（已知） ∴∠ACB ＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC ＝60º（已知） ∴∠BAC ＝180º－∠ACB －∠ABC ＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴AB ＝2BC ＝4cm （直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O 的直径为4cm ．（2）如图10（1）CD 切⊙O 于点C ，连结OC ，则OC ＝OB ＝1/2·AB ＝2cm ． ∴CD ⊥CO （圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD ＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC ＝ 30º（已求）∴∠COD ＝2∠BAC ＝ 60º ∴∠D ＝180º－∠COD －∠OCD ＝ 30º∴OD ＝2OC ＝4cm ∴BD ＝OD －OB ＝4－2＝2（cm ） ∴当BD 长为2cm ，CD 与⊙O 相切． （3）根据题意得：BE ＝（4－2t ）cm ，BF ＝tcm ；如图10（2）当EF ⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BAC ∴BE ：BA ＝BF ：BC 即：（4－2t ）：4＝t ：2解得：t ＝1如图10（3）当EF ⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BCA ∴BE ：BC ＝BF ：BA 即：（4－2t ）：2＝t ：4解得：t ＝1.6 ∴当t ＝1s 或t ＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形．第28题图【066】（1）由112C ⎛⎫⎪⎝⎭，得(12)A ，，代入反比例函数my x=中，得2m = ∴反比例函数解析式为：2(0)y x x=> ·························································································· 2分 解方程组15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由15222x x -+=化简得：2540x x -+=(4)(1)0x x --=，1241x x ==，所以142B ⎛⎫⎪⎝⎭， ·········································································· 5分 （2）无论P 点在AB 之间怎样滑动，PMN △与CAB △总能相似．因为B C 、两点纵坐标相等，所以BC x ∥轴．又因为AC y ∥轴，所以CAB △为直角三角形．同时PMN △也是直角三角形，AC PM BC PN ∥，∥．∴PMN CAB △∽△．········································································································· 8分 （在理由中只要能说出BC x ∥轴，90ACB ∠=°即可得分．）【067】（1）解：∵直角梯形ABCD ，AD BC ∥ PD QC ∴∥∴当PD QC =时，四边形PQCD为平行四边形．由题意可知：2AP t CQ t ==，82t t ∴-=38t = 83t =∴当83t s =时，四边形PQCD 为平行四边形． ·········································································· 3分 （2）解：设PQ 与O ⊙相切于点H ， 过点P 作PE BC ⊥，垂足为E 直角梯形ABCD AD BC ，∥PE AB ∴=由题意可知：2AP BE t CQ t ===，222BQ BC CQ t ∴=-=-222223EQ BQ BE t t t =-=--=-BQBQEAB 为O ⊙的直径，90ABC DAB ∠=∠=°AD BC ∴、为O ⊙的切线AP PH HQ BQ ∴==，22222PQ PH HQ AP BQ t t t ∴=+=+=+-=- ···························································· 5分 在Rt PEQ △中，222PE EQ PQ +=，22212(223)(22)t t ∴+-=- 即：28881440t t -+=，211180t t -+=，(2)(9)0t t --=1229t t ∴==，，因为P 在AD 边运动的时间为8811AD ==秒 而98t =>，9t ∴=（舍去），∴当2t =秒时，PQ 与O ⊙相切． ··································· 8分【068】解：（1）如图4，过B 作BG OA G ⊥于，则13AB ====过Q 作，于H OA QH ⊥则QP === ····································································································· （2分） 要使四边形PABQ 是等腰梯形，则AB QP =，即,13)310(1442=-+tt ∴53=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去） ····························· （3分） （2）当2=t 时，410282OP CQ QB ==-==，，。
2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)答案巩固基础
2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）答案【051】解：（1）3k =-，（-1，0），B （3，0）． ······················· 3分 （2）如图14（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ．则 △AOC 的面积=23，△MOC 的面积=23，△MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9． ·································· 6分说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和． （3）如图14（2），设D （m ，322--m m ），连结OD ． 则 0＜m ＜3，322--m m ＜0． 且 △AOC 的面积=23，△DOC 的面积=m 23， △DOB 的面积=-23（322--m m ）， ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m ． ∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875．（4）有两种情况：如图14（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ． ∵ ∠CBO =45°，∴∠EBO =45°，BO =OE =3． ∴ 点E 的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+． ···························· 12分由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y ，；2230.x y ，∴ 点Q 1的坐标为（-2，5）． ········· 13分如图14（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2．∵ ∠CBO =45°，∴∠CFB =45°，OF =OC =3． ∴ 点F 的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF 的解析式为3y x =--．····························· 14分 由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得1103x y ，；2214x y ，．∴点Q 2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（-2，5）、Q 2（1，-4）， 使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．【052】解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，图14（2）图14（3） 图14（4）yxOBA DE 1 (E 2)解得132a b c =-==-，，．232y x x ∴=-+-．（2分） （2）当EDB AOC △∽△时，得AO CO ED BD =或AO COBD ED=， ∵122AO CO BD m ===-，，，当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=，∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· （4分） 当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． ········································································· （6分）（3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则 1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -， 当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点1F 在抛物线的图象上，∴22(1)3(1)22mm m -=--+--，∴2211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=，∴722m m ==，（舍去），∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEFS=⨯=． ····································································································· （9分） 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--，∴27100m m -+=，∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，，∴166ABEFS =⨯=．【053】解：（1）设(1)(3)y a x x =+-，把(03)C ，代入，得1a =-， ······························ 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++．顶点D 的坐标为(14)，． ··································· 5分 （2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ························· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，∴23(13)s x x x =-+<< ·················· 9分 22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ····································································· 10分∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ······································································ 11分 （3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，．∴四边形PEOF 是矩形． 作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、． 法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，．在Rt P MC '△中，由勾股定理，223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得158m =．∵CM P H P M PE '''=，∴910P H '=． 由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =．∴69355OH =-=． ∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，． ·············································································································· 13分 法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、． 易证CMH HMP △∽△．∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，．∴5PC =由三角形中位线定理，12845PN k P N k '====，∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-． 69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ··把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ····················· 14分 【054】（1）由抛物线经过点A (0，1)，C (2，4)，得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线对应的函数关系式为：21214y x x =-++． ··································· （2分）（2）当1t =时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)． 当4t =时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)． ································ （5分）（3）当0t <≤2时，211(211)124S t t =-++-⨯．S 218t t =-+．当2t <≤5时，1(5)(2212)2S t t =-+-+-．S 215322t t =-+-． （8分）当3t =时，S 的最大值为2． ································【055】（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， 9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠=°，°BCD CAO ∴∠=∠；又90BDC COA CB AC ∠=∠==°；， BCD CAO ∴△≌△，12BD OC CD OA ∴====，∴点B 的坐标为(31)-，； ·················································· 4（2）抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -，，则得到1932a a =--， ··························· 5分 解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =+-； ···················································· 7分 （3）假设存在点P ，使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P ，使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP △， ······························ 8分 过点1P 作1PM x ⊥轴，11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠=，，°； 1MPC DBC ∴△≌△121CM CD PM BD ∴====，，可求得点1P (1，-1)； ·········· 11分 ②若以点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2ACP △， ················ 12分 过点2P 作2P N y ⊥轴，同理可证2AP N CAO △≌△； ····················································· 13分221NP OA AN OC ∴====，，可求得点2(21)P ，； ······················································· 14分 经检验，点1(11)P -，与点2(21)P ，都在抛物线211222y x x =+-上． ································ 16分 【056】解：（1） C （3，0）；（2）①抛物线c bx ax y ++=2，令x =0，则y =c ， ∴A 点坐标（0，c ）．∵ac b 22=，∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-，∴点P 的坐标为（2,2ca b -）． ∵PD ⊥x 轴于D ，∴点D 的坐标为（0,2ab-）． ……………………………………5分 根据题意，得a=a ′，c= c ′，∴抛物线F ′的解析式为c x b ax y ++='2．又∵抛物线F ′经过点D （0,2a b-），∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022．……………6分 ∴ac bb b 4'202+-=．又∵ac b 22=，∴'2302bb b -=．∴b :b ′=32． ②由①得，抛物线F ′为c bx ax y ++=232． 令y=0，则0232=++c bx ax ． ∴abx a b x -=-=21,2．∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为（0,ab-）． 设直线OP 的解析式为kx y =．∵点P 的坐标为（2,2ca b -）， ∴k a b c 22-=，∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=，∴x by 2-=． ∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，∴x b c bx ax 22-=++．∴abx a b x -=-=21,2．∵点P 的横坐标为a b 2-，∴点B 的横坐标为ab-．把a b x -=代入x by 2-=，得c a ac a b a b b y ===--=222)(22．∴点B 的坐标为),(c ab-．∴BC ∥OA ，AB ∥OC ．（或BC ∥OA ，BC =OA ），∴四边形OABC 是平行四边形．又∵∠AOC =90°，∴四边形OABC 【057】(1) )6,0(),0,8(B A(2)∵8=OA ，6=OB ，∴AB 当点P 在OB 上运动时，t OP =1t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=； 当点P 在BA 上运动时，作D P ⊥2有AB AP BO D P 22=∵t AP -+=1062∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S （3）当124=t 时，3=t ，)3,0(1P ，此时，过AOP ∆各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M 不存在； 当125192512=+-t 时，11=t ，)3,4(2P ，此时，)3,0(1M 、)6,0(2-M 【058】解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±，令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ·············（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45 ∵A P ∥CB ，∴∠P AB =45，过点P 作P E ⊥x 轴于E ， 则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3 · 4分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ································ 5分 (3)． 假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC ，在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= ······· 6分设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MGCA∵A G=1m --MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）………7分 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 2=，解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ························································ 8分② 点M 在y 轴右侧时，则1m >(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -∴2= 解得11m =-（舍去） 243m = ∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA 即2=解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15) ∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似，M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)【059】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形 ∴AB =AD ，AE =AG ，∠BAD ＝∠EAG ＝90º∴∠BAE ＋∠EAD ＝∠DAG ＋∠EAD ∴∠BAE ＝∠DAG∴△ BAE ≌△DAG …………4分（2）∠FCN ＝45º …………5分 理由是：作FH ⊥MN 于H∵∠AEF ＝∠ABE ＝90º∴∠BAE +∠AEB ＝90º，∠FEH +∠AEB ＝90º∴∠FEH ＝∠BAE 又∵AE =EF ，∠EHF ＝∠EBA ＝90º∴△EFH ≌△ABE …………7分 ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH∵∠FHC ＝90º，∴∠FCH ＝45º …………8分（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分理由是：作FH ⊥MN 于H由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90º 结合（1）（2）得∠FEH ＝∠BAE ＝∠DAG又∵G 在射线CD 上，∠GDA ＝∠EHF ＝∠EBA ＝90º ∴△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ……11分 ∴EH ＝AD ＝BC ＝b ，∴CH ＝BE ，∴EH AB ＝FH BE ＝FHCH∴在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝FH CH ＝EH AB ＝b a∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN ＝ba【060】解：（1）根据题意，得 4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++，顶点坐标是（2，4） （2）(43)D ，，设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠ 直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 112y x ∴=+（3）存在．120)Q ，，2(2)Q -，0，3(6Q -，4(6Q +M B E AC ND F G 图（2） HM B E A C ND F G图（1）H第26题图。
2010年中考数学压轴题及解答1
2010年中考数学压轴题及解答11、（2010年市）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -41-m x 2+5mx +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。
(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED =PE 。
以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。
过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。
延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。
若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。
【解答】24. 解：(1) ∵拋物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2，由题意知m ≠1，∴m =2，∴拋物线的解析式为y = -41x 2+25x ，∵点B (2，n )在拋物线y = -41x 2+25x 上，∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。
(2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为y =2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为 (a ，2a )，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。
可求得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得2a = -41⨯(3a )2+25⨯3a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=922，a 2=0 (舍去)，∴OP =922。
2010年中考数学压轴题100题精选(5160题)答案
2010 年中考数学压轴题100 题优选（ 5160 题）答案2010 年中考数学压轴题100 题优选（ 51-60 题）【051】如图 14（ 1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点 C（ 0，）．［图 14（ 2）、图 14（ 3）为解答备用图］（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的极点为 M ，求四边形 ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上能否存在一点 D ，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，恳求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因；（4）在抛物线角三角形．图上求点14（ 1）Q，使△BCQ是以 BC 为直角边的直图 14（ 2）图 14（3）【052】已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．（1）求二次函数的分析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为极点的三角形与以为极点的三角形相像，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（ 2）建立的条件下，抛物线上能否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，恳求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明原因．yxO【053】如下图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过，，三点，其极点为，连结，点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为，连结．（1）求抛物线的分析式，并写出极点的坐标；（2）假如点的坐标为，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；12331DyCBAP2ExO （ 3）在（ 2）的条件下，当获得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连结，把沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点能否在该抛物线上．【054】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边 AD 在 y轴正半轴上，点 A 、 C 的坐标分别为（ 0，1）、（ 2，4）．点 P 从点 A 出发，沿 A → B → C 以每秒 1 个单位的速度运动，到点C 停止；点 Q 在 x 轴上，横坐标为点 P 的横、纵坐标之和．抛物线经过 A 、C 两点．过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ，交抛物线于点 R．设点 P 的运动时间为 t（秒），△ PQR 的面积为 S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2）分别求 t=1 和 t=4 时，点 Q 的坐标．（3）当 0＜≤ 5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．【055】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如下图：抛物线经过点．（1）求点的坐标；（2）求抛物线的分析式；（3）在抛物线上能否还存在点（点除外），使仍旧是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求全部点的坐标；若不存在，请说明原因． BACxy （ 0，2）（－ 1， 0）（第 25 题）【056】如图 18，抛物线 F：的极点为 P，抛物线：与 y 轴交于点 A ，与直线 OP 交于点 B．过点 P 作 PD⊥ x 轴于点 D ，平移抛物线 F 使其经过点 A 、D 获得抛物线 F′：，抛物线F′与 x 轴的另一个交点为C．⑴当 a = 1，b=－ 2，c = 3 时，求点 C 的坐标 (直接写出答案 )；⑵若 a、 b、c 知足了①求 b： b′的值；②研究四边形OABC 的形状，并说明原因．图18【057】直线与坐标轴分别交于、两点，、的长分别是方程的两根（），动点从点出发，沿路线→ → 以每秒1 个单位长度的速度运动，抵达点时运动停止．（1）直接写出、两点的坐标；（2）设点的运动时间为 (秒 )，的面积为，求与之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；（3）当时，直接写出点的坐标，此时，在座标轴上能否存在点，使以、、、为极点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明原因．【058】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点 C．（1）求 A 、 B、 C 三点的坐标．（2）过点 A 作 AP ∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP的面积．CPByA （3）在轴上方的抛物线上能否存在一点M ，过 M 作 MG 轴于点 G，使以 A 、M 、G 三点为极点的三角形与 PCA 相像．若存在，恳求出 M 点的坐标；不然，请说明原因．【059】如图（ 1），已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方， BC 在直线 MN 上， E 是 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN的上方作正方形AEFG ．（1）连结 GD ，求证：△ ADG ≌△ ABE ；(4 分 )（2）连结 FC，察看并猜想∠ FCN 的度数，并说明原因； (4分)（3）如图（2），将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD ，AB=a ，BC=b（ a、b 为常数），E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、 C），以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG ，使极点G 恰巧落在射线CD上．判断当点 E 由B 向C 运动时，∠FCN的大小能否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含 a、b 的代数式表示tan∠FCN 的值；若∠ FCN 的大小发生改变，请举例说明．(5 分 )图（ 2） MBEACDFG NNMBE CDFG图（ 1）【060】已知：如下图，对于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．（1）求出此抛物线的分析式，并写出极点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的分析式； BAOCyx （第 26 题图）（ 3）在（ 2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．能否存在以为极点的平行四边形？假如存在，请直接写出点的坐标；假如不存在，请说明原因．2010 年中考数学压轴题100 题优选（ 51-60 题）答案【051】解：（ 1），（ -1，0），B（3，0）． (3)分（2）如图 14（1），抛物线的极点为M （1，-4），连结 OM ．则△AOC 的面积 = ，△ MOC 的面积 = ，△ MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的面积 =△ AOC 的面积 +△ MOC 的面积+△ MOB 的面积=9．···················································6分图 14（ 2）说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转变为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和．（3）如图 14（ 2），设 D（ m，），连结OD ．则 0＜ m＜ 3，＜ 0．且△ AOC 的面积 = ，△ DOC 的面积= ，△DOB 的面积 =- （），∴四边形 ABDC 的面积 =△AOC 的面积 +△DOC 的面积 +△DOB的面积= =．图14（3）图 14（4）∴存在点D ，使四边形ABDC（4）有两种状况：的面积最大为．如图 14（ 3），过点 B 作 BQ1⊥ BC，交抛物线于点轴于点 E，连结 Q1C．∵ ∠ CBO=45 °，∴∠ EBO=45 °， BO=OE=3 ．∴点 E 的坐标为（ 0， 3）．∴直线 BE 的分析式为．···················· 12 分由解得∴ 点Q1的坐标为（-2，5）．······Q1、交13 分y如图 14（ 4），过点 C 作 CF⊥ CB，交抛物线于点 Q2、交 x轴于点 F，连结 BQ2．∵ ∠ CBO=45 °，∴∠ CFB=45 °，OF=OC=3 ．∴点 F 的坐标为（ -3，0）．∴ 直线CF 的分析式为． (14)分由解得∴点 Q2 的坐标为（ 1，-4）．综上，在抛物线上存在点 Q1（-2 ，5）、 Q2（ 1，-4），使△ BCQ1 、△ BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三角形． yxOBADC(x=m)(F2)F1E1 (E2) 【 052】解：（1）依据题意，得解得．．（2分）（2）当时，得或，∵ ，当时，得，∴ ，∵点在第四象限，∴ ．······························（4 分）当时，得，∴ ，∵点在第四象限，∴ ．···················································（ 6 分）（3）假定抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴ ，∴ ，∴ ，∴（舍去），∴ ，∴ ．·······································································（9 分）当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴ ，∴ ，∴ ，∴ （舍去），，∴ ，∴ ．【053】解：（1）设，把代入，得， (2)分∴抛物线的分析式为：．极点的坐标为． (5)分（2）设直线分析式为：（），把两点坐标代入，得解得．∴直线分析式为．················· 7分，∴············ 9分．················································10 分∴当时，获得最大值，最大值为．·················································11 分 (E)12331DyCBAP2xOFMH （ 3）当获得最大值，，，∴ ．∴四边形是矩形．作点对于直线的对称点，连结．法一：过作轴于，交轴于点．设，则．在中，由勾股定理，．解得．∵，∴．由，可得，．∴．∴ 坐标．············································································· 13 分法二：连结，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．易证．(E)12331DyCBAP2xOFMHNM∴ ．设，则．∴，．由三角形中位线定理，．∴ ，即．∴ 坐标． (13)分把坐标代入抛物线分析式，不建立，因此不在抛物线上．·············· 14 分【054】（1）由抛物线经过点 A(0 ， 1)，C(2， 4)，得解得∴抛物线对应的函数关系式为：．························· （2分）（2）当时， P 点坐标为 (1，1)，∴ Q 点坐标为 (2， 0)．当时， P 点坐标为 (2， 3)，∴ Q 点坐标为 (5，0)．·······················（ 5 分）（3）当≤ 2 时，． S ．BADCOMNxyP1P2当≤ 5 时，．S．（8分）当时， S 的最大值为2．···················································（10 分）【055】（1）过点作轴，垂足为，；又，，点的坐标为； (4)分（2）抛物线经过点，则获得， (5)分解得，因此抛物线的分析式为；···································· 7 分（3）假定存在点，使得仍旧是以为直角边的等腰直角三角形：若以点直角点；延至点，使得，获得等腰直角三角形，····················· 8 分点作，；，可求得点；······· 11 分若以点直角点；点作，且使得，获得等腰直角三角形，··········· 12 分点作，同理可；····································· 13 分，可求得点；······································· 14 分，点与点都在抛物上．······················ 16 分【056】解：（ 1） C（ 3， 0）；（2）①抛物，令 =0， = ，∴A 点坐（ 0， c）．∵，∴ ，∴点 P的坐（）．∵PD⊥于 D ，∴点 D 的坐（）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分依据意，得 a=a′， c= c′，∴抛物 F′的分析式．又∵抛物 F′ 点 D（），∴．⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴ ．又∵，∴．∴ b:b′ = ．②由①得，抛物线F′为．令 y=0 ，则．∴ ．∵点 D 的横坐标为∴点C的坐标为（）．设直线 OP 的分析式为．∵点P的坐标为（），∴ ，∴，∴．∵点 B 是抛物线 F 与直线 OP 的交点，∴．∴．∵点 P 的横坐标为，∴点B的横坐标为．把代入，得．∴点 B 的坐标为．∴ BC∥ OA，AB∥ OC．（或BC∥ OA，BC =OA ），∴四边形 OABC 是平行四边形．又∵∠ AOC=90 °，∴四边形OABC 是矩形．【057】(1)(2)∵，，∴当点在上运动时，，；当点在上运动时，作于点，有∵ ，∴∴（3）当时，，，此时，过各极点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，因此点不存在；当，，，此，、【058】解：（ 1）令，得解得，令，得ECB yPA∴A B C ········· 3 分（2）∵ OA=OB=OC=∴ BAC= ACO= BCO=∵A P∥ CB，∴ PAB= ，点 P 作 PE 于 E，APE 等腰直角三角形令OE=，PE=∴ P∵点P 在抛物上∴解得，（不合意，舍去）∴PE= ······································· 4 分∴四形 ACBP 的面= AB?OC+AB?PE=····················· 5 分(3)．假存在∵PAB= BAC =∴PA AC∵MG于点G，∴MGA= PAC =在 Rt△ AOC中，OA=OC=∴ AC=，在Rt△ PAE中，AE=PE=∴ AP=·· 6 分GM CB yPA M点的横坐， M①点 M 在左，(ⅰ ) 当 AMG PCA ，有= ∵ AG= ，MG=即解得（舍去）（舍去）⋯⋯⋯7 分(ⅱ ) 当 MAG PCA 有= GM CB yPA 即，解得：（舍去）∴M··············································································· 8 分②点 M 在右，(ⅰ ) 当 AMG PCA 有=∵AG=， MG=∴解得（舍去）∴ M(ⅱ )当MAG PCA有=即解得：（舍去）∴ M∴存在点M ，使以 A 、M 、G 三点点的三角形与MBEACNDFG（1）H PCA 相像， M 点的坐【 059】解：（ 1）∵四形，，ABCD和四形AEFG是正方形∴A B=AD ， AE=AG ，∠ BAD ＝∠ EAG ＝ 90o ∴∠ BAE ＋∠ EAD ＝∠ DAG ＋∠ EAD∴∠ BAE ＝∠DAG∴△BAE ≌△ DAG （2）∠ FCN ＝ 45o ⋯⋯⋯⋯ 4 分⋯⋯⋯⋯ 5 分原因是：作FH ⊥MN于H∵∠ AEF ＝∠ ABE ＝ 90o∴∠ BAE + ∠ AEB ＝ 90o，∠ FEH+ ∠AEB ＝ 90o∴∠ FEH ＝∠ BAE又∵ AE=EF，∠ EHF＝∠ EBA ＝90o∴△ EFH ≌△ ABE⋯⋯⋯⋯7分∴F H ＝ BE， EH＝ AB ＝ BC ，∴ CH ＝BE＝ FH∵∠ FHC ＝ 90o，∴∠FCH ＝ 45o⋯⋯⋯⋯ 8 分MBEACNDFG（ 2）H（3）当点 E 由B 向C运，∠FCN的大小保持不，⋯⋯⋯⋯9 分原因是：作FH ⊥MN于H由已知可得∠ EAG ＝∠ BAD ＝∠ AEF ＝ 90o合（ 1）（ 2）得∠ FEH＝∠ BAE ＝∠ DAG又∵ G 在射 CD 上，∠ GDA ＝∠ EHF ＝∠ EBA ＝ 90o ∴△ EFH ≌△ GAD ，△ EFH ∽△ ABE⋯⋯11分∴E H＝ AD ＝BC ＝b，∴ CH＝ BE，∴＝＝∴在 Rt△ FEH 中， tan∠ FCN＝＝＝BAOCyx 第 26Q4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4 ∴当点 E 由 B 向 C 运，∠ FCN 的大小保持不， tan∠ FCN＝【060】解：（ 1）依据意，得，解得抛物的分析式，点坐是（ 2，4）（2），直的分析式直点点（3）存在．，，，。
完整word版,2010年全国各地中考数学压轴题专集答案1
2010年全国各地中考数学压轴题专辑参考答案及评分标准（一）1 •解：(1)V 抛物线 y = — m Jx2 + 5m x + m 2-3m + 2 经过原点4 4m 2 — 3m + 2= 0，解得 m i = 1, m 2= 2 由题意知m 1M 1,.・.m = 2 •••抛物线的解析式为 y = — 1 x 2+ 5 x 4 2•.•点 B (2, n )在抛物线 y = — 1 x 2+ 5 x 上，• n = 4 4 2 •••点B 的坐标为(2, 4).......................... 2分(2)①设直线0B 的解析式为y = k 1x 求得直线OB 的解析式为y = 2x •/ A 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得 A 点的坐标为（10, 0） 设P 点的坐标为（a , 0）,则E 点的坐标为（a , 2a ） 根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1可求得点C 的坐标为（3a , 2a ）由C 点在抛物线上，得 2a = — 1 x （3a ）2+ - x 3a4 2 92 11 22即—a — — a = 0，解得 a 1 = — , a 2= 0 （舍去） ②依题意作等腰直角三角形 QMN 设直线AB 的解析式为y = k 2x + b1由点A （10, 0）,点B （2, 4），求得直线 AB 的解析式为y = — - x + 52 当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上, 有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图 2所示 可证△ DPQ 为等腰直角三角形此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为 t 、4t 、2t 个单位 • PQ = DP = 4t , • t + 4t + 2t = 10• t =卫7第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上，如图 3所示 可证△ PQM 为等腰直角三角形42—22• OP = 2 .......................................................................... 4 分— y J ')MN1AQx1 P图3此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位 ••• OQ = 10-2t•/ F 点在直线 AB 上，• FQ = t ,• MQ = 2t • - PQ = MQ = CQ = 2t , • t + 2t + 2t = 10 • t = 2第三种情况：点 P 、Q 重合时，PD 与QM 在同一条直线上, 如图4 所示 此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位 • t + 2t = 10 • t =巴3综上，符合题意的t 值分别为, 2, 1° ........................................ 7 3 2•解： （I ）如图1，作点D 关于x 轴的对称点D ，连接CD 与x 轴交于点E ,连接DE若在边OA 上任取点E'（与点E 不重合），连接 CE'、DE'、D E（n ）如图2,作点D 关于x 轴的对称点 D ；在CB 边上截取 CG = 2，连接D G 与x 轴交于点E ,在EA 上截取EF = 2，则四边形GEFC 为平行四边形，得 GE = C y•抛物线顶点E 的坐标为（1 , 4）由 DE + CE '= D E + CE '> CD ' = D E + CE = DE + CE 可知△ CDE 的周长最小•••在矩形OACB 中, OA = 3, OB = 4, D 为边OB 的中点 • BC = 3, D O = DO = 2, D B = 6T OE // BC ,「. Rt △ D OE s Rt △ D BC , OE BC• OE =• BC = - x 3 = 1D B6•点E 的坐标为(1, 0) ............................................. 6分yJBC/ // D K //is/ :uO /E 隹'A x* 声D图1又DC 、EF 的长为定值，•此时得到的点 E 、F 使四边形CDEF 的周长最小 OE // BC ,「. Rt △ D OE s Rt △ D BG ,OE BGOE = DO • BG =D O •2 1 (BC — CG) = x 1 =-D B D B 6 3OF = OE + EF = -+ 2 = 73 3点E 的坐标为（ -,0) ，点F 的坐标为（-,0） .......... (10)分3 3C(H)将(I)中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x= 1上，又b = 2•••抛物线的解析式为y=—x2+ 2x + c (a>0)•••此时抛物线与y轴的交点为C (0, c),顶点为E (1,1 + c)•••方程—X2+ 2X+ C= 0 的两个根为X1= 1—一1 C , X2 = 1+ 1 c•此时抛物线与x轴的交点为A (1 —1 c , 0), B (1 + , 1 c , 0)如图，过点E作EF // CB与x轴交于点F，连接CF，贝U S^BCE = S^BCFS^BCE = S^ABC, • S^ BCF = S^ABCBF = AB= 2 1 c设对称轴x= 1与x轴交于点D ,1 ,______________则DF = - AB + BF = 3 1 c2由EF // CB 得/ EFD = / CBO • Rt △EDF s Rt △COB,.史=C° DF OB即3.1 ——c，结合题意，解得1 1 c5c=—4•••点C设直线(0,BC的解析式为y= mx + n,贝U 5 =n 4c 5 ,0 = m+ n2 解得1m =25n =-1 5y= —一x+ ..........................2 4(川)根据题意，设抛物线的顶点为 E (h, k),( h>0, k>0)则抛物线的解析式为y= —(x—h)2+ k 此时抛物线与y轴的交点为C (0, —h2+ k),与x轴的交点为 A (h—k , 0), B ( h+ ... k , 0).( ,k >h>0)•直线BC的解析式为过点E作EF // CB与x轴交于点F，连接CF，贝U S^BCE = S MCFS^BCE = 29AOC,• S^BCF = 2S S OC• BF = 2AO = 2( ■. k —h)设该抛物线的对称轴与x轴交于点D,则DF = ^AB + BF = 3 k —2h2由Rt△ EDF s Rt△ COB，得■E D =DF OBh2 k h k ,即2h2—5、k h+ 2k= 0x结合题意，解得h =2①•••点 E ( h , k )在直线 y =— 4x + 3上， k = — 4h + 3②由①②，并结合题意，解得 ,k = 1.k = 1，h =丄2.抛物线的解析式为 y =— x 2+ x + 3 .................................................................................... 10分44.解：（1）vZ B = 30° / ACB = 90° BAC = 60°T AD = AE ，./ AED = 60°=/ CEP •••/ EPC = 30°................................................................................................................... 1 分•••△ BDP 为等腰三角形•/△ AEPBDP , •/ EAP = / EPA = / DBP = / DPB = 30° AE = EP = 1•// ACB = 90° ADQ ABC.AD = AQ AB = AC 'x 2 2x 8 ..DQ = AD BC = AB ' • tan / BPD =匹=-=丄 ........................... 9 分CP 4 2 (3)如图3，过D 点作DQ 丄AC 于点0,则厶DQE PCE•••在 RT △ ECP 中, (2)如图2，过点 1 1EC =丄 EP = 1 ........... 2 2 D 作DQ 丄AC 于点Q , 且设AQ = a , BD = x •/ AE = 1 , EC = 2, • QC = 3 — a •••在 RT △ ADQ中，DQ = , AD 2 — AQ 2 x 2 2x 8x 1解得x = 4,即卩BD = 4过点 C 作 CF//DP ，则△ ADE AFCAE ACADAF• AF = AC ，即 DF = EC = 2BF = DF = 2•/△ BFCBDP , BF BDBC BP即 BC = CP = 46分设 AQ = a ,贝V QE = 1 — a...Q E = DQ 且 tan / BPD = - , DQ = 3( 1 — a)EC CP 3在Rt △ ADQ 中，由勾股定理得： AD 2= AQ 2+ DQ 2即 12= a 2+ [3(1 — a)] 2,解得 a = 1 (舍去)或 a = — , . DQ = — .............. 10 分5 54•/△ ADQABC ，二 AD = DH =竺=—^ =——AB BC AC 1 x 5 5x...AB = 5 5x , BC = 3 3x ......................................................................................................... 12 分•/ OC = AC ，/ ACO = 120° •/AOC = / OAC = 30° •/ OC = AC , CD 丄 OA ,. OD = DA = 1在 Rt △ ODC 中，OC = 一OD 一 = 一1一 =兰迢 .............. 1 分 cos AOC cos 30 32(i)当 0 V t v 时，OQ = t , AP = 3t , OP = 2— 3t31过点Q 作QE 丄OA 于点E ,贝U EQ = 1 t2••• OPQ = 1 OP • EQ = 1 (2— 3t) • 1 t = — - t 2+ 丄 t2 2 2 4 2即 S = — 3t 2+ ^t ........................................................................ 3 分4 2(ii)当 2 v t < ◎时，如图②，OQ = t , OP = 3t —233•// BOA = 60° / AOC = 30° •/ POQ = 90° 1 1 3 2• S ^OPQ = OQ • OP = -1 • (3t — 2) = t — t2 2 2即 S = 3t 2—t2故当0v t v - 时,S =— 3t 2+丄仁当 2 — 2.3 时，S = -12— t 3 4 2 3 3 2(2) D (三 ,1）或（空,0 ）或 2 (—,0)或( 4 2 3 /3 3 3 3 3(3) BMN 的周长不发生变化如图③，延长 BA 至点F ，使AF = OM ,连结CF•// MOC = / FAC = 90° OC = AC ,.A MOC FAC4 4•••三角形 ABC 的周长 y = AB + BC + AC =+ 丄仝 + 1 + x = 3 + 3x 44即 y = 3+ 3 (x >0) ............................................................. 14 分5.解：（1）如图①，过点C 作CD 丄E O图①A x•该抛物线的解析式为y =丄x 2 — - x — 6164在 Rt △ AOC 中，AC = . 82 + 62 = 10 = AD •点D 在对称轴上，连结 DQ ,显然Z PDC = Z QDC 由已知Z PDC = Z ACD• Z QDC = Z ACD , • DQ // ACDB = AB — AD = 20— 10= 10 1• DQ ABC 的中位线，• DQ = 1 AC = 5 ............................................................................... •分2 AP = AD — PD = AD — DQ = 10— 5= 5, • t = 5— 1 = 5 (秒)•存在t = 5秒时，线段 PQ 被直线CD 垂直平分 .................................... •分 在 Rt △ BOC 中，BC = - 122 + 62 = 6、、5 , • CQ = 3.5••• MC = CF ，/ MCO = / FCA ....................... ••• FCN = / FCA + / NCA = / MCO + / NCA10分 =/ OCA - Z MCN = 60° • FCN = Z MCN又••• MC = CF , CN = CNMCN ◎△ FCN• MN = NF ......................................................................................................................... 11 分 • BM + MN + BN = BM + NF + BN = BO — OM + BA + AF = BA + BO = 4• BMN 的周长不变，其周长为 412分6•解：（1）方法2•••抛物线过 C (0, — 6) ,• c = — 6，即 y = ax + bx — 62a144a +12b — 6 = 0解得 a = — , b =——16 416•该抛物线的解析式为1y = — (x + 8)( x — 12) 16方法二：••• A 、B 关于 x = 2 对称，• A ( — 8, 0) 设y = a(x + 8)( x — 12) , v C ( 0, — 6)在抛物线上1 • — 6= a(0+ 8)( 0 —12), • a =(2)存在，设直线 CD 垂直平分PQ3分4分•点Q的运动速度为每秒？亦单位长度............................................ •分5(3)存在过点Q作QH丄x轴于H，则QH = 3, PH = 9在Rt△ PQH 中，PQ = V92+ 32= ^'10 .............................................................................. •分①当MP = MQ ，即M 为顶点时设直线CD 的解析式为y = kx + m (k z 0)则:-6 = mk = 3 0 = 2k + m解得• y = 3x -6m = - 6当 x = 1 时，y = -3,••• M i (1, -3)......................................... 10 分② 当PQ 为等腰△ MPQ 的腰且P 为顶点时 设直线x = 1上存在点M (1,y )，由勾股定理得： 42 + y 2= (3、、10)2,.，. y = ± ,74 • M 2 (1 , v'74 ), M 3 (1, - V?4 )......................................... 11 分③ 当PQ 为等腰△ MPQ 的腰且Q 为顶点时过点Q 作QE 丄y 轴于E ,交直线x = 1于F ，则F ( 1, -3) 设直线x = 1上存在点M (1,y )，由勾股定理得：52 + ( y + 3)2= (3J0)2,： y =- 3 ± ,65 •- M 4 (1 , - 3+ \65 ), M 5 ( 1, -3- .65 ).................................. 12 分综上所述，存在点 M ，使△ MPQ 为等腰三角形，点 M 的坐标为：M 1 (1 , - 3), M 2 (1，-. 74 ), M 3 ( 1, - ： 74 ), M 4 (1 , - 3+ .65 ), M 5 (1, - 3 -.65 )7•解：2(1) 把 A ( - 1, 0), B (1, 0)代入 y = ax + bx + 1 得：a -b + 1 = 0 a = - 1解得a +b + 1 = 0b = 0• ............................................................................................................................... •抛物线的解析式为 y = - x + 1 ............................................................................................... •分 (2) .................................................................................................................................... 令 x = 0,得 y — 1 ,• C (0, 1) ................................................... •分OA — OB — OC — 1，•/ BAC — / ACO — / BCO — / ABC — 45° •/ BD // CA ，•/ ABD — / BAC — 45°如图1,过点D 作DE 丄x 轴于丘，则厶EDB 为等腰直角三角形 设 EO — x ,贝U ED — x + 1,. D ( -x , - x -1) •••点 D 在抛物线 y =- x 2 + 1 上，• - x - 1=-( - x)2+ 1 解得X 1= 2, X 2 =- 1 (不合题意，舍去)也可)1 1• S 四边形 ACBD — AB - OC + 一 AB - ED2 21 1= J.x 2 x 1 + x 2x 3 22=4 ....................................................................................................... •分（说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）（3）存在.................................................................. 8分•••/ ABC = / ABD = 45°,DBC = 90°•/ MN 丄x 轴，•••/ MNA = Z DBC = 90°BC = OB2+ OC2= 2 , BD = .. ED2+ EB2= 3、. 2 设M点的横坐标为m,则M （m, - m2+ 1）①当点M在y轴左侧时，如图2,则m< - 1i ）若厶NMA BCD，则MNNA BC BD即m - 1= _2，整理得3m2+ m-2 = 0—m —1 3,2解得m1 = —1 （舍去），m2=—（舍去）3.............................................................. 9分ii ）若厶NAM BCD，则■MN= BD NA BCm2- 1 3j2—m —1 . 2整理得m2+ 3m+ 2 = 0解得m1= - 1 （舍去），m2= -2- m2+ 1 = - （-2）2+ 1= - 3•- M1 （-2, - 3）10分②当点M在y轴右侧时，如图2,则m> 1i ）若厶NMA BCD，则■MN=匹AN BD即必1= _2，整理得3m2- m- 4= 0m + 1 3・2解得m1= - 1 （舍去），m2=-3•—m2+ 1 = —（—）2+ 1 =——3 94 7•M 2 （—,—-）.........................3 9i ）若NAM BCD，则MNAN BD BCm2-1 m+ 13、-2=2，整理得m2- 3m-4 = 0解得m i= —1 (舍去)，m2 = 4 /• —m2+ 1 = —42+ 1 = —15• M3 （4, —15）•存在点M,使以A、M、N为顶点的三角形与△ BCD相似，M点的坐标分别为： 4 7M1 (—2, —3), M2(_,—_), M3 (4, —15) (12)分3 9&解：（1）：抛物线y= 1x2+ bx+ c 经过点 A ( 2, 0), C (0, —1) 2.2+ 2b + c= 0c = —1解得：b =—丄,2c= —1 .................................................................................... (2)分•抛物线的解析式为1 2 1 ‘y= x —x—1 ............................................................ (3)分2 2(2)设点D 的坐标为(m, 0)( 0v m v 2)，贝U OD = m, AD = 2 —m由厶ADEAOC得，竺=匹......................................................... •分AO OC...2 m = DE_2 = 1••• DE = .................................................................................................................... 5分2DCE 的面积=—x 2——m x m =—丄m2+ 1 m = —— ( m—1) 2+ —2 2 4 2 4 4当m= 1时，△ DCE的面积最大•••点D的坐标为（1, 0）(3)存在12 1 12 1在y= x —x—1 中，令y = 0,得—x —x—1= 02 2 2 2解得X1= —1 , x2= 2，•点B的坐标为（—1 , 0）设直线BC的解析式为y= kx+ b一k + b = 0则 b =—1 解得k=—1, b=- 1•直线BC的解析式为y=—x—1AC = 、、OA2+ OC2= 5在Rt△ AOC中，由勾股定理得:•••点B ( —1, 0),点C (0, ①当以C为顶点且PC = AC = —1),. OB = OC / BCO = 45.5时，如图1ACHP1OB Oj y9/图1设P (n , -n - 1)，过点P 作PH 丄y 轴于H 则/ HCP = Z BCO = 45° CH = PH = | n|在 Rt △ PCH 中，n 2+ n 2= ( 5)2，解得 n i = -I 0 , &= -—°22••• P i (兰，-』-1),卩2(-丄，210 -1) 2 2 2 2........................................................... -10 分②当以A 为顶点且AC = AP = ,5时，如图2 设P ( t ，-1 - 1)，过点P 作PG 丄x 轴于G 则 AG = | 2 -1| , GP = | -1- 1| 在 Rt △ APG 中，T AG 2+ PG 2= AP 2•••(2-t)2+ ( -1- 1)2 = 5,解得：t 1= 1, t 2= 0 (舍去)二 P 3 (1 , - 2) ................................ -11 分 ③当以P 为顶点时，PC = PA ,如图3设P (x , - X - 1),过点P 作PM 丄y 轴于M , PN 丄x 轴于N 则 N (x , 0)•/△ C 为等腰直角三角形，• PM = CM = x , PA = PC =2 x• AN = | x - 2| , PN = | -x -1| 在 Rt △ PAN 中，T AN 2+ PN 2= PA 2 •••(x -2) 2+ (x + 1)2= ( , 2 x) 2,解得：x=-212分BC 上存在点卩，使厶ACP 为等腰三角形，点 P的坐标为： 八 r 顶 怖八 r 57、―1 ) , P 2 ( -,― 1), P 3 ( 1 , - 2), P 4 (,)2 2 2 2 2a9.( 1)证：T △ ABC s^ A 1B 1C 1，且相似比为 k (k > 1),.••旦=k ,「. a = ka 1a 1又T c = a 1, • a = kc ............................................................................................................. •分 (2)解：取 a = 8, b = 6, c = 4,冋时取 a 1 = 4, b 1 = 3, C 1 = 2 ............................................. •分 此时—=—=—=2, • △ ABCA 1B 1C 1 且 c = a 1 ............................................................................................................ 10 分a 1b 1 C 1 注：本题也是开放型的，只要给出的 △ ABC 和厶A 1B 1C 1符合要求就相应赋分.(3)解：不存在这样的 △ ABC 和厶A 1B 1C 1 .理由如下： 若 k = 2,贝V a = 2a 1, b = 2b 1, c = 2c 1综上所述，在直线 P 1 (于，又T b= a1, c= b1,. a= 2a1 = 2b= 4b1 = 4c•- b= 2c ................................................................................................................................ 12 分••• b + c = 2c + c = 3c v 4c = a ，而 b + c > a 故不存在这样的 △ ABC 和厶A I B I C I ，使得k = 2..................................注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下 情况不可能即可.10. ( 1)猜想：OG 丄 CD .证明：如图，连结 OC 、OD ，贝y OC = OD .••• G 是CD 的中点 •由等腰三角形的性质，有 OG 丄CD . 2分(2)证明：T AB 是O O 的直径，•/ ACB = 90°.而/ CAE = Z CBF (同弧所对的圆周角相等). 在 Rt △ ACE 和 Rt △ BCF 中vZ ACE = Z BCF = 90° AC = BC ,Z CAE = Z CBF• Rt △ ACE 也 Rt △ BCF . ( ASA )• AE = BF . ........................................................ •分(3)解：如图，过点 O 作BD 的垂线，垂足为 H ，贝U H 为BD 的中点.1• OH = - AD ，即 AD = 2OH .2又Z CAD = Z BAD , • CD = Z BD , • OH = OG . 在 Rt △ BDE 和 Rt △ ADB 中vZ DBE = Z DAC = Z BAD , • Rt △ BDE s Rt △ ADB .• BD =匹，即 BD 2= AD - DE .AD DB• BD 2= AD - DE = 2OG - DE = 6(2 -屁). ................................................ •分又 BD = FD , • BF = 2BD .• BF 2= 4BD 2= 24(2-近) ............................... ①. .... •分设 AC = x ,贝V BC = x , AB = . 2 x .v AD 是Z BAC 的平分线，•/ FAD = Z BAD .在 Rt △ ABD 和 Rt △ AFD 中vZ ADB = Z ADF = 90°, AD = AD , Z FAD = Z BAD• Rt △ ABD 也 Rt △ AFD . ( ASA ) • AF = AB = . 2x , BD = FD . • CF = AF — AC = 2x -x = (2 — 1)x .在Rt △ BCF 中，由勾股定理，得BF 2= BC 2+ CF 2= x 2+ [(血—1)x]2= 2(2—V2)X 2. ............... ②.••…10 分••••14 分 k = 2的由①、②，得2(2 —、、2)x2= 24( 2—.2 ).••• x 2= 12,.・.x = 2.3 或—2. 3 (舍去) AB = 2x =2 • 2.3 = 2.6.•••o O 的半径长为J6 . ....................................................................................... 11分 •• S o o = n •( 6)2= 6 n........................................................................................................................ 12 分11. 解：(1 )由题意得2 4解得 a = — , b = — , c = — 2.3 3 •这条抛物线的函数表达式为y = — x 2+ — x — 233(2)如图，连结 AC 、BC .A ,AC 与对称轴x = — 1的交点即为所求的点 P .设直线AC 的表达式为y = kx + b ,则—3k + b = 0b = —2解得 k =— 2 , b = — 2.3•直线AC 的表达式为y = — -x — 2 ......................3 把x = — 1代入上式，得y = — 2 X ( — 1)— 2= 3•/ DE // PC ,即卩 DE // AC ,.A OEDOAC . 3 3 3 -,• OE = 3— -m , • AE = - m .222方法 连结OPS = S ^POE + S A POD —S A OED=—X( 3—— m) X - + 丄 X( 2—m) X1—— X(3 — — m) X ( 2 — m)2 23 2 2 23 2 3= --- m + 一 m ................................................................................................. 10 分— 2由于BC 的长度一定，要使△ PBC 的周长最小，必须使PB + PC 最小.••点 P 的坐标为(—1,—-)3(3) S 存在最大值，理由如下：OE = OA ，即 _0EOD 0C 2— m点B 关于对称轴的对称点是点 2a9a — 3b + c =08分••• — - v 0,. S存在最大值. ............................................ 11分—s = — 3 m + — m = - 3( m_ 1) 2 2 3 4 5 6+ 34 2 44•••当m = 1时，S 最大=-.......................................... 12分4 方法二：S = S ^OAC — S ^OED — S^ PAE — S^ PCD11 3 13 4 1=—x 3 x 2 — x ( 3— m) x ( 2— m) 一 x — m x — — — x m x 1 2 2 2 2 2 3 23 2 3 =—一 m H ——m ................................................................................................. 10 分4 2 以下同方法一.12. ......................................................................................... ( 1)证明：连接0M ......................................................................... 1分•/ MP 是O O 的切线，• 0M 丄MP•••/ OMD + / DMP = 90° •/ 0A 丄 0B ,「./ OND + Z ODM= 90°又•••/ MNP = Z OND , Z ODM = Z OMD• Z DMP = Z MNP ,• PM = PN ........................ •分 1 (2)解：设 BC 交 OM 于点 E ,v BD = 4, • OA = OB = BD = 2 23•- PA = - AO = 3,「. PO = 5 ....................................................................................... •分2• tan Z EFO = .3，直线EF 的倾斜角为 60° •直线EF 的解析式为：y —= tan60 ° x — ( — , 3 )] 化简得：y = 13 x + 4. .................................................................................................... •分(2)设矩形沿直线 EF 向右下方翻折后，B 、C 的对应点为B (X 1, y 1), C (X 2, y 2) 过B '作B 'A '丄AE 交AE 所在直线于 A '点2•/ BC // MP , OM 丄 MP ,• OM 丄 BC ,• BE = BC .................................................. 7 分 vZ BOM + Z MOP = 90°,在 Rt △ OMP 中，Z MPO + Z MOP = 90° • Z BOM = Z MPO ，又 vZ BEO = Z OMP = 90° •••△ OMPBEO ,「. 9^ =匹 ................................................ 10 分OP BO13.解: 得: = BE ，• BE = - , • • BC = 8 .................................................................... 12分 5 2 5 51)由于折痕所在直线 EF0) P过 E(— ■ 3 , 1 )、v B 'E= BE= 2、、3 , Z B EF = Z BEF = 60 °•••/ B'EA'= 60° A A E = J3 , B A = 3二 A 与 A '重合,B '在 y 轴上，••• X 1= 0, y i = -2，即 B '( 0, - 2) 【此时需说明B ' （x i , y i ）在y 轴上】设二次函数的解析式为： y = ax 2 + bx + c抛物线经过 B （- 3. 3，1）、E （- . 3，1）•••该二次函数解析式为：y =- ^x 2- -/3x -2 ....................................................................... •分33（3）能，可以在直线 EF 上找到P 点，连接B 'C 交EF 于P 点，再连接BP由于B 'p = BP ，此时点 P 与C 、B '在一条直线上，故 BP + PC = B P + PC 的和最小 由于为BC 定长所以满足 △ PBC 周长最小. ............................................ 10分设直线B C 的解析式为：y = kx + b•••点P 的坐标为( -18 3 ,-巴) 11 111）设线段AB 所对应的函数关系式为 y = kx + b•线段AB 所对应的函数关系式为 y 甲=-80X + 540 .................................................自变量x 的取值范围是3< x < -27 （或3< x < 旦，下同） .................... •分4 427a — 3 3 b + c = 1 3a — v'3 b + c = 1c = - 2a =--3解得b = - — V33c = — 2B ' ( 0, - 2)-2 = b则0 =-3、、3k + b解得k =-92 ；3••直线B C 的解析式为：y =- ' x -29 又•••点P 为直线B C 与直线EF 的交点解得y = 3x + 410 y =-石14分14.解:把(3, 300),(27 , 0)代入得 300 = 3k + b27 0= k + b4k = - 80 解得b = 540C(2)••• x=-在3<x w 27中，.••把x=-代入y 甲=—80x+ 540 中得y 甲=1802 4 2(3)①若直线经过顶点，则 AC 边上的中垂线即为所求线段 ....................... 8分②若直线不过顶点，可分以下三种情况： (a)直线与BC 、AC 分别交于E 、F ，如图2所示过点E 作EH 丄AC 于点H ，过点B 作BG 丄AC 于点G 易求得 BG = 4， AG = CG = 3 设 CF = X ，贝U CE = 8—x4 由厶 CEHCBG ，可得 EH = - (8 — x)5根据面积相等，可得 丄• x • — ( 8— x) = 6 ......................... 10分2 5 •- x =3 (舍去，即为①)或 x = 5• CF = 5， CE = 3，直线EF 即为所求直线 ................ .乙车的速度为—=40 (km/h ) 12分(3)由题意知有两次相遇方法一:15①当 0W x < 3 时，100x + 40x = 300，解得：x =716分 ②当 3v x w 27 时，(540 — 80x) + 40x = 300,解得：x = 64 20分综上所述，当它们行驶了15小时或6小时时，两车相遇 7方法二：设经过X 1小时两车首次相遇 15则 40X 1 + 100x 1= 300，解得：x 1 =..............716分设经过X 小时则 80(X 2 — 3) = 40X 2，解得:X 2= 620分15.解：(1)图(2)不能如图1,若直线CD 平分△ ABC 的面积 那么 S\ ADC = S^ DBC 1 1•——AD • CE = BD • CE 2 2• - AD = BD ............................................... 5 分 •/ AC 丰 BC ,「. AD + AC 丰 BD + BC •过点C 不能画出一条“等分积周线” ............ 7分 图1(b) 直线与AB、AC分别交于M、N，如图3 所示图212分由（a ）可得AM = 3, AN = 5,直线MN 即为所求直线 （仿照上面给分） ................................. 15分 （c ）直线与AB 、BC 分别交于P 、Q ,如图4所示过点A 作AY 丄BC 于点Y ,过点P 作PX 丄BC 于点XAY = 245BQ = 8 —xPC CQ 16•解：（1）①如图1，当PQ // AB 时，有 =...... 2分AC CB3 3t-，解得：t = 24.•.当 t = 2 秒时，PQ // AB②解法1:如图2，当t = 2秒时，PQ // AB ,此时PQ 为 5△ ACB 的中位线，PQ = 5 ............................................ 6分2 取PQ 的中点M ，则以PQ 为直径的圆的圆心为 M , 1半径为丄PQ ................................................................. 8分2 过点M 、C 向AB 作垂线，垂足分别为 N 、H12 1 6贝U CH = 一 , MN = — CH = 一 ................ 10 分5 2 5 1••• MN v— PQ ,.直线AB 与以PQ 为直径的圆相交2.......................................................... 12分解法2:如图3,当t = 2秒时，PQ // AB ,此时PQ 为 △ ACB 的中位线，取 PQ 的中点M ，分别过点 M 、C 向由面积法可得 （注：若直接按与两边相交的情况分类, 也相应给分）设BP = x ,则C综上所述，符合条件的直线共有三条 20分图1AB作垂线，垂足分别为N、H , CH交PQ于点G,连接CM1••• MN = _ CH ，即 MN = GH = CG2 在 Rt △ CGM 中，GC V MC ,「. MN V MC•••直线AB 与以PQ 为直径的圆相交 .............. 12分解法3:如图4,当t = 2秒时，PQ // AB ,此时PQ 为仏ACB 的中位线，过点Q 向AB 作垂线，垂足为N ,则 Rt △ BNQ s Rt △ BCA , • =竺，即-=竺,AB AC 5 3• NQ = 65•直线AB 与以PQ 为直径的圆相交(2) 解法1:如图5，取PQ 的中点 M ，作MN 丄AB 、PG 丄AB 、QH丄AB ,垂足分 别为N 、G 、H则由 Rt △ APG s Rt △ ABC ，得 PG = 4t ................... 14 分5 3由 Rt △ BHQ s Rg BCA ，得 HQ = - (4 -1) ................ 16 分 此时MN 是梯形PGHQ 的中位线，• MN = 6 + _L510.......................................................... 20分当PQ 2= 4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线 AB 相切 即(3 — t) 2+ t 2= 4( 6 + —)2 ........................................ 26 分5 10G 、N连接 AM 、BM 、CM由 S A ABC = S^ ACM + S^ BCM + S ^ ABM 可得： 1 t 1 1 1 1 x 3 x + —x 4 x ( 3—t) + x 5x MH =—x 3 x 4 22 2 2 2 2解得：MH = 6 + —5 10当PQ 2= 4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线 AB 相切 即(3 — t) 2+ t 2= 4( 6 + — ) 2 ........................................ 26 分5 10 解得：t 1 = 3, t 2= 27 ...................................................... 30 分由平行线间的距离处处相等可知，点 M 到AB 的距离为-，小于-PQ5 212分解得:t1= 3, t2= £ 30分解法2:如图6,取PQ 的中点M ，作MH 丄AB 、MG 丄AC 、 垂足分别为H 、N ,图4MN 丄BC ,垂足分别为H 、图649解法3:如图7,取PQ的中点M ,作MH丄AB、MN丄BC,延长 NM 交 AB 于点 G ,贝U MN = - PC = -（3-t ） , NQ = - CQ=-,2 2 2 2由 Rt △ BGN s Rt △ BAC ,得 GN = 3 - ?t , • GM = 3-- t -丄（3-1）=8 - -又••• Rt A GMH s Rt △ ABC ,：些 BC解得：MH = 6 +丄5 10当PQ 2= 4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线 AB 相切 即（3-1）2+ t 2= 4（ 6 + — ）25 10 解得：&= 3, t 2= 27 ..................492.5 （小时）17.解：（1）若二分队应在营地不休息, 则 a = 0,速度为4千米/时,一 10行至塌方处需一4因为一分队到塌方处并打通道路需要 10+ 1 （小时） b所以要使二分队在最短时间内赶到A 镇，则有：10 + 1 <2.5,• b >迴（千米/时）b 3故一分队的行进速度至少为20千米/时3分3（2）若b = 4千米/时，则一分队到塌方处并打通道路需要 10+ 1= 3.5 （小时） 4一分队赶到A 镇共需30 + 1 = & 5 （小时）4（I ）若二分队在营地不休息,且在塌方处需停留，则后 20千米与一分队同行，二分队和一分队可同时赶到 A 镇;10分（n ）若二分队在营地休息，则a > 0，二分队的行进速度为 4+ a > 4千米/时①若二分队在塌方处需停留，则当一分队打通道路后，二分队将先赶到A 镇，不符合题意，舍去; .................................................................................................................. 11分②若二分队在塌方处不停留，要使二分队和一分队同时赶到 A 镇，则有： 30 2a + = & 5,即 a 2-4. 5a — 4= 04 a••• NB =GM 即 MH AB ' 4AH26分M30分4.536.254.536.25 4 6解得a i =v 0 (舍去)，a 2= > > 3 (舍去)22 2.................................................................................................................. 13分综上所述，要使二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地不休息 14分(1) 如图4，由一于AD = BD ，将△ AED 绕点D 旋转180 °得厶BE 贝V AE = BE ； ED = E'D ,连接 E F•••/ FBE = / ABC + / ABE = / ABC + / CAB = 90°•••在 Rt △ BE ；F 中有 BE ' 2+ BF 2= E F 2 又••• FD 垂直平分 EE ；••• EF = E 'F • AE 2+ BF 2= EF 2(2) 如图5,由于AC = BC ,将厶AEC 绕点C 旋转90°得厶BE C 贝U AE = BE , CE = CE '，连接 E F•••/ FBE '= / ABC + / CBE '= / ABC + / CAB = 90•••在 Rt △ BE 'F 中有 BE ' 2+ BF 2= E F 2•••/ E CF = Z E CB + / BCF = Z ACE + / BCF=90° — Z ECF = 90° — 45°= 45°= Z ECFCE = CE ', CF = CF• △ CEF 也厶 CE 'F ,••• EF = E F2 2 2• AE 2+ BF 2= EF 2(3) 将厶ADF 绕点A 顺时针旋转 90°得厶ABG ，且FD = GB , AF = AG 因为△ CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，所以 CE + EF + CF = CD + CB = CF + FD + CE + BE EF = FD + BE = GB + BE = GE 从而可得厶 AEG ^A AEF ,.Z EAG = Z EAF 又•••/ EAG = Z EAB + Z BAG ,Z BAG = Z DAF• Z EAF = Z EAB + Z DAF ，而Z EAB + Z EAF + Z DAF = 90° • Z EAF = 45°由(2)知 BM 2 + DN 2= MN 2•••由勾股定理的逆定理知：线段 BM 、MN 、DN 能构成直角三角形 ................ 18分19.解: (1)由题意知：k 2= 1x 6 = 6 ........................................................................................... 1分•••反比例函数的解析式为 y = 6x18.12分/DD 图4D FA又 B (a, 3)在y= 6的图象上，• a = 2,二B ( 2, 3)x231•••直线 y = k i x + b 过 A (1, 6), B (2, 3)两点(2) x 的取值范围为1 v x v 2(3) ..................................................................................................................................... 当 S 梯形 OBCD = 12 时，PC = PE ................................................................................................. •分 设点 P 的坐标为(m , n ),T BC // OD , CE 丄OD , OB = CD , B ( 2, 3) C (m , 3) , CE = 3, BC = m — 2, OD = m + 21iS 梯形 OBCD =CE ,即卩 12=丄 x (m — 2 + m + 2) x 322• m = 4, mn = 6,「. n = 3，即 PE = 1 CE2 2• PC = PE ......................................................................................................................... 10 分20. 解：(1)同意.连接 EF ，则/ EGF = Z D = 90 ° EG = AE = ED , EF = EF• Rt △ EGF 也 Rt △ EDF , • GF = DF ........................................................................... •分 (2) 由(1 )知 GF = DF ，设 DF = x , BC = y ,则有 GF = x , AD = y •/ DC = 2DF , • CF = x , DC = AB = BG = 2x • BF = BG + GF = 3x在 Rt △ BCF 中，BC 2+ CF 2= BF 2,即即 y 2+ x 2= (3x)2• y = 2^2 x ,「. -AD = — =、、2 ................................................. 6 分AB 2x (3) 由(1 )知 GF = DF ，设 DF = x , BC = y ,则有 GF = x , AD = yT DC = n ■ DF , • DC = AB = BG = nx• CF = (n — 1)x , BF = BG + GF = (n + 1)x在 Rt △ BCF 中，BC 2+ CF 2= BF 2,即卩 y 2+ [( n — 1)x]2 = [( n + 1)x]2 • y = 2jn x ,「. -AD = — = (或 鼻)................................ 10 分AB nx nJ n21.解：(1)设抛物线的解析式为 y = ax 2 + bx + c (0),则有=1 16a — 4b + c = 0 a= 2c = — 4 解得 b = 14a + 2b + c = 0c = —4•抛物线的解析式为 y =丄x 2 + x — 4k , + b = 6 2k i + b = 3解得：爲3(2)过点M 作MD 丄x 轴于点D ，设M 点的坐标为(m , - m 2+ m — 4)2232则AD = m + 4, MD = —— m2—m + 42S = S^AMD + S 梯形DMBO ——S^ABO1 12 1 1 2—=-(m+ 4)( —-m2—m+ 4) + — ( —— m2—m+ 4+ 4)( —m)—丄x 4x 42 2 2 2 2=—m2—4m ( —4v mv 0) ................................................... •分即S= —m2—4m = —(m+ 2) 2+ 4.S最大值=4 .............................................................................................................................. 7分(3)满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：( —4, 4),( 4, —4)(—2 + 2,5 , 2—2...5 ),( —2—2. 5 , 2 + 2、、5 ) ......................... 11 分22. 解：(1)设直线DE的解析式为y= kx+ b3= b k = —1•••点D , E的坐标为(0, 3)、( 6, 0),. 解得 20= 6k + bb = 3直线DE 的解析式为y= —1 x+ 3 ..................................................................................... 1分2•••点M在AB边上，B (4, 2)，而四边形OABC是矩形，.••点M的纵坐标为2一11又•••点M 在直线y=—— x+ 3 上，.2= —— x+ 3,. x = 2 2 2.M (2, 2) ................................................................. •分(2)V y= m( x> 0)经过点M (2, 2),. m = 4,. y= - ............................. •分x x又•••点N在BC边上，B (4, 2),.点N的横坐标为4, ,,, 1•••点N 在直线y= —-x+ 3 上，.y = 12.N (4, 1) ............................................................... •分4 4•.•当x= 4时，y= — = 1,.点N在函数y=-的图象上 .............................. •分x x(3) 4< mW 8 .................................................................................................................... •分23•解：(1) y= 2t；(2)当BP = 1时，有两种情形:1①如图1,若点P从点M向点B运动，有MB = -BC = 4,2.PQ = 6 •连接EM ,•••△ EPQ是等边三角形，. EM丄PQ,. EM = 3.3•/ AB = 3.3 ,•.点E 在AD 上•••△ EPQ与梯形ABCD重叠部分为△ EPQ，其面积为：33。
2010年全国压轴题精选
2010年全国中考数学压轴题1.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是 AD 的中点，连结BD并延长交CE 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是△ACQ 的外心；（2）若3tan ,84ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2()FP PQ FP FG += ．2. 如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A, B,点A )4,2(,点B 的横坐标是－2.（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作 正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的直线为l ,且l 与x 轴交于点N . ① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为(1, 2)，求点N 的横坐标； ② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.3.如图，二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； （2）二次函数的图象上是否存在点P ，使M A B P A BS S ∆∆=45,若存在，求P 点的坐标；若不存在，请说明；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.4.已知：函数y=ax 2+x+1的图象与x 轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y=ax 2+x+1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y=ax 2+x+1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．A xyOB5.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）. （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.6.在直角梯形OABC 中，CB//OA ，∠COA=90︒，CB=3，OA=6，BA=3分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系。
中考数学压轴题100题精选[含答案解析]
中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。