华南农业大学2014-2015数学分析期末考试试卷
华南农业大学期末考试试卷答案
2014-2015学年第 2 学期 考试科目： 数学分析BII 一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分） 函数项级数在[,]a b 的每一项都有连续的导数，且1))
((n n x u =∞
∑在某点
0x [,]a b ∈收
敛，且_1
()()n n
x d
u dx =∞
∑在[a,b]上一致收敛,则有
11()))()((n n n n d d u dx
dx x u x ∞
==∞=∑∑ 2.
()sin f x x =在[0,]π上平均值为
2
π
3. 幂级数0(1)(21)n
n x n ∞
=-+∑的收敛域为(0,2]
4.已知()f x 的一个原函数是2
e x -，则
()d xf x x '?=2
2
22x e e C x x
----+
5. 设函数3
()()d x a
x f t t Φ=?，则()x 'Φ=233x f(x )
二、解答题（每题6分，共48分）
(1) arcsin xdx ? (2) 20
sin x e x dx π
?
(1)
arcsin arcsin (3)arcsin (6)xdx x x x x C =-=+??
分分
(2)
222200
sin sin sin cos x
x
x
x e x dx x de e x e x dx π
π
ππ
==-?
??（2分）
2222200
cos sin 1sin (5)x
x x e e x e x dx e e x dx π
ππ
ππ
=--=+-??分
2201
sin (1)(62x
e x dx e π
π=+?分）
(3)
?
解:
u =，则2dx udu =（2分）
21
2(1)2(ln|1|)5
11
udu
du u u C
u u
==-=-++
++
???（分）
ln|1(6)
C
=++分
（4
）
?
解:令tan
x a t
=, 则（1分）
2
1
sec
(3)ln|sec tan|ln|(6)
sec
a tdt
t t C x C
a t
==++=+
??分分
(5) 求圆域222
()
x y b a
+-≤（其中b a
>）绕x轴旋转而成的立体的体积.
解：上半圆和下半圆可分别表示为
21
()()
y f x b y b
f x
====-
+1分）
22
21
[()][()]
()4
f x f x
A xπππ
=-=3分）
体积为22
82
b
V ba
ππ
=
=?（6分）
(6) 求星形线
3
3
cos
sin
x a t
y a t
?=
?
=
?
的全长.
解：由弧长的参数方程公式得
:
4(2)46(6) s t a
θ===
分分（7
）讨论b
a
?是否收敛？若收敛，则求其值.
解（1）当2
p=时，有
/2
1
lim
()
b b
p
a u
u a
dx
dx
x a x a
→
=
--
??
limln||
a a
b
x a
u
→
=-
lim(ln||ln||)
u a
b a u a
→
=---
=ln||lim ln||
n a
b a u a
→
---。（1分）
因最后的极限不存在，故当1p =时，
()
b
p
a
dx
x a -?
不收敛（2分） 当2p ≠时
/2
()b
p a
dx
x a -?
/21/211
lim
[()()]/21
p p n a
b a u a p -+-+→=----+
故仅当2p <时，
()b
p a
dx
x a -?
收敛，其值为/21()/21
p b a p -+--+，2p >时发散。（6分）
（8）sin ,0y x x π=≤≤，绕x 轴所得旋转曲面的面积.
解：()'
'
sin cos y x x ==
由旋转体侧面积公式，得
)
1/4
3/4
2(22cos 2cos 222ln
1(6)
sec S x x d ππ
πππ
πππθ
ππθπ--==-===?=?
????
?
分)
分
三（本题7
分）证明不等式46e
e
解：
设()f x =
则()0f x '=
=，得()f x 在[,4]e e 上唯一的驻点为2x e =，
可验证它是极大值点，而可导函数唯一的极大值必为最大值， 所以2
2
()f e e
=
为函数()f x 在上[,4]e e 的最大值。（2分）
又()f e =
，(4)f e =
且(4)()0f e f e -=
>，
CM
故..为()f x 在[,4]e e 上的最小值。（4分）
2
e ≤
≤
，由此得44426e e e e e e dx e =<<=???.（6分）
四（本题12分）判断级数的收敛性
（1）(1)(0)(1)
n n n a a n a ->+∑ （2）2
3n n ∑
（1） 由于n 1
(1)n n =∞
-∑收敛，且1
1)()1(1n n n
a a a =-++单调，有界（4分）。 由于Abel 判别法可得级数收敛（6分）。
22112(1)3111(2)lim (1lim (3)lim ()1333n n n n n n n
u n n u n n ++→∞→∞→∞++=?==<分)分，
故该级数收敛（6分）
五（本题10分）求下列幂级数的和函数（应同时指出定义域）：
35
21
35
21n x x x x n ++++
+
++
解：因为lim
n
→∞
=lim n →∞21n =，且1x =±时，01
21n n ∞
=+∑与210(1)21
n n n +∞=-+∑都是发
散级数，所以幂级数的收敛区域为(1,1)-，（4分） 设其和函数为()f x ，于是当1x <时，逐项求导数可得
'()f x 2421n x x nx =+++
++21
1x
=
-，所以，()f x 2011x dt t =-?11ln 21x x +=-（1 分） 六（本题8分）下面两小题请任选一题： （1）过x 轴且与平面20y z ++=的夹角为 π 3 ，求此平面方程. （2）设()(1)ln(1),(1,1]f x x x x =++∈-求此函数的幂级数展开式. 解：（1） 因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影 0A =，又平面过原点，所以可设它的方程为0By Cz +=，（2分） 由题设可知0B ≠（因为0B =时，所求平面方程为0Cz =又0C ≠，即0z =．这样它与 20y z ++=所夹锐角的余弦为 π1 cos 32 = ≠=， （4分）所以0B ≠），令C C B '=，则有0y C z '+=，由题设得 cos 3 π = ， 解得3C '=或1 3 C '=-，于是所求平面方程为30y z +=或30(8)y z -=分 (2) 当]1,1(-∈x 时，有 ()f x = ln(1)ln(1)(1)x x x +++分 =11(1)n n n x n -∞ =-∑+11 (1)n n n x x n -∞ =-?∑ =x +2(1)n n n x n ∞ =-∑∑∞=+--+1 1 1)1(n n n x n =+x ∑∞ =--21)1(n n n x n ∑∞=---+2 21)1(n n n x n =x +22(1)(1)n n n x n n -∞ =--∑（7分） （当1x =-时，右端收敛，所以有1x ≤）（8分） 数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ） 1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷) 一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. 设?????<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________. 2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________. 3. 已知),(cos 4422x o bx ax e x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos 2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________. 二. (9分) 求极限 21 0)sin (cos lim x x x x x +→. 三. (9分) 求不定积分?+dx e x x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 五. (8分) 判断2 12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1 22?--∞+x x dx (2) .1)2(1 0?--x x dx 八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受 到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形) 九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解. 十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x a +=+?)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线 )(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6 7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1 21 =?xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使 .1)(='ξf ; 二、数列极限 1. 已知2lim >=∞ →A a n n ,则正确的选项是( B ). (A) 对+N ∈?n ,有2>n x ; (B) + N ∈?N ,当N n >时,有2>n a ; (C) N N N >?N ∈?+0,,使20=N x ; (D) 对2,≠N ∈?+n a n . 2. 设+ N ∈?N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞ →lim ,B b n n =∞ →lim .则正确的选项 是: ( A ). (A) B A ≥; (B) B A ≠; (C) B A >; (D) A 和B 的大小关系不定. 3. 若() 0tan 1 lim 1cos 1≠=---∞→a n e k n n π ,则 ( A ) (A) 2=k 且π21=a ; (B) 2-=k 且π21 =a ; (C) 2=k 且π21-=a ; (D) 2-=k 且π 21 -=a ; 4. 设32lim 1kn n e n -→∞ ?? += ??? ,则k =( C ) (A) 3/2; (B) 2/3; (C) -3/2; (D) -2/3. 5. 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞ =,则下列命题正确的是( D ) (A) 若{}n x 发散,则{}n y 必然发散; (B) 若{}n x 无界,则{}n y 必然有界; (C) 若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小量; (D) 若1n x ?? ???? 为无穷小量,则{}n y 必为无穷小 量. ( 数. 三、函数极限 1. 极限=+-∞→3 3 21 213lim x x x ( D ). (A) 3 2 3 ; (B) 3 2 3 - ; (C) 3 2 3 ± ; (D) 不存在. 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 A 一、填空题（每题5分，共30分） 1． 设向量场),,(222xyz z xy yz x A =，求=divA =rotA 2．求=+?→x x dx ααcos 12100lim 3．设),(y x f 在原点领域连续， 求极限=??≤+→dxdy y x f y x ),(12222 0lim ρρπρ 4．设为自然数，n z y x z y x D },10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤= 求=+++???dxdydz z y x y x n n n n n D 5．设,)(2)1(cos sin dt e x f t x x +?= 求=)('x f 6．)为右半单位圆 设L (,sin cos :???==θ θy x L 求=?ds y L || 二、（本题满分１0分） 设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算dxdydz xy z I )2(2+=???Ω 三（本题满分１0分） 计算曲面积分,)(dS z y x ++??∑ 其中∑是平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所 截得的部分。 四（本题满分3０分，每题10分） 1． 计算曲线积分 ?-+-+-=L dz y x dy x z dx z y I ,)()()(02222=++=++z y x a z y x L 与平面是球面其中取逆时针方向。轴正向看去的交线，从L z 2．计算曲面积分.zdxdy ydzdx xdydz ++??∑ 其中)0(:22h y z x y ≤≤+=∑，方 向取左侧。 3．计算,4)4()(.22y x dy y x dx y x L +++-?其中L 为单位圆周,.122=+y x 方向为逆时针方向。 数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷） 一、叙述题（每题5分，共10分） 1.上确界； 2.区间套的定义。 二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导； （6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导； （7）求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在，说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且 1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-. （一）数学系一年级《数学分析》期末考试题 学号 姓名 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ） A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ? ???>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、' 'f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; C. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)(' =ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)(' ≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)(' x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 数学分析（2）期末试题 课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业 一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、 下列级数中条件收敛的是（ ）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1 n n ∞ = C ． 21 (1)n n n ∞ =-∑ D ． 1 1 (1)n n n ∞ =+∑ 2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在 它的间断点x 处 （ ）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2 f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原 函数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 0 (0)1dx k kx +∞>+?收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<< 二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，10 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+? ? 的聚点为 ． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ． 《数学分析》考试题 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ， （ ） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则 （ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 （ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； 2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三） 一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是 （ ） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 （ ） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1 ．2 ．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 （ ） A. ){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则 z x ??等于 （ ） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（） 绝对收敛，则p 的取值范围是 ； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ?? ????=???? ； 20．若22arctan y x y x +=，则dy dx =______________________。 三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题 1分，共10 题号 一 二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100 得分 评卷人 得分 得分 得分 数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 20XX年复习资料 大 学 复 习 资 料 专业： 班级： 科目老师： 日期： 一、填空题（每题4分，共20XX 分） 1. 设 ABC L 是从 (1,0) A 到 (0,1) B -再到 (1,0) C -连成的折线，则曲线积分 d d |||| ABC L x y x y +=+? . 2. 设向量场222(1)(1)(1)A x x z i y x z j z x z k =++-+-，则向量场在点012 1M -（，，）处的旋度A =rot . 3. 若x y xe -=和sin y x =为某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解，则该方程是 . 4. 函数(),(),(,)x x f x y ?ψ皆可微，设()(),()z f x y xy ?ψ=+，则 z z x y ??-=?? . 5. 锥面 22 z x y +被圆柱面 222,(0) x y ax a +=>截下的曲面的面积 为 . 二、单项选择题（每题4分，共20XXXX 分） 本题分数 20XX 得 分 本题分数 20XXXX 得 分 （多选不得分） 6．若 ()() 0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则(,)f x y 在()00,x y （ ） （A ）极限存在但不一定连续 （B ）极限存在且连续 （C ）沿任意方向的方向导数存在 （D ）极限不一定存在，也不一定连续 7. 12,L L 是含原点的两条同向封闭曲线，若已知122 d d L y x x y K x y -+=+?(常数)， 则222d d L y x x y I x y -+= +?的值 （ ） （A ）一定等于 K （B ）一定等于K - （C ） 与2L 的形状有关 （D ）因为 Q P x y ??=??，所以0I = 8．∑为球面2222x y z a ++=外侧，Ω为球体2222x y z a ++≤，则有 （ ） （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ?=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2_______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 2、 设),(2x y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。 3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。 数学分析期末考试题 一、叙述题：(每小题5分，共10分） 1、 叙述反常积分 a dx x f b a ,)(? 为奇点收敛的cauchy 收敛原理 2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ 2、求摆线]2,0[)cos 1() sin (π∈? ??-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求?∞+∞-++dx x x cpv 211) ( 4、求幂级数∑∞ =-12 )1(n n n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =， 求y x u ???2 三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、y x y x y x f +-=2 ),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为 什么？ 2、讨论反常积分 ? ∞ +0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论∑∞ =-+1 33))1(2(n n n n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题10分，共20分） 1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>? b a dx x f 2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu 参考答案 一、1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<?>?δε使得 D x x x x ∈<-?2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f 二、1、由于 x +11 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ=2ln 11)11211111( 1lim 10=+=+++++?∞→dx x n n n n n n Λ（6分） 2、 、所求的面积为：220 23)cos 1(a dx x a ππ =-? （8分） 3、 解：π=++=++??-+∞→∞ +∞-A A A dx x x dx x x cpv 2 211lim 11) ( (3分） 4、解：11 lim 2=∞ →n n x ，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： y u ??=221y x f x f -（3分）3 22112212y x f xy f y f f y x u -++=???（5分） 三、1、解、 0lim lim lim ,1lim lim lim 2 02000200==+-==+-→→→→→→y y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k +11 所以重极限不存在（5分） 2、解：???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对?10arctan dx x x p ，由于 )0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p 收敛（4分）；?∞+1arctan dx x x p ，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π （4分）故p >1?∞+1arctan dx x x p 收敛，综上所述1 一、单项选择题（共10分） 1．在代码中引用一个控件时，应使用控件的（）属性。 A．C a p t i o n B．N a m e C．T e x t D．I n d e x 2．设变量x = 4，y = -1，a = 7，b = -8,下面表达式（）的值为“假”。 A．x+a <= b-y B．x > 0 AND y < 0 C．a = b OR x>y D．x+y > a+b AND NOT (y < b) 3．表达式Int(Rnd*71)+10产生的随机整数范围是（）。 A．（10，80）B．（10，81）C．[10，80] D．[10，81] 4．函数Sgn(3.1416)的返回值是（）。 A．-1 B．0 C．1 D．以上都不对 5．67890属于（）类型数据。 A．整型B．单精度浮点数C．货币型D．长整型 6．下列变量名中正确的是（）。 A．3S B．Print C．Select My Name D．Select_1 7．下列赋值语句（）是有效的。 A．sum = sum -sum B．x+2 = x + 2 C．x + y = sum D．last = y / 0 8．以下的控件或方法具有输入和输出双重功能的为（）。 A．Print B．Textbox C．Optionbutton D．Checkbox 9．若要获得列表框中被选中的列表项的内容，可以通过访问（）属性来实现。 A 10．下列代码的运行结果为（）。 Private Sub command1_click() Dim m(10) For k = 1 To 10 m(k) = 11 - k Next k x = 5 Print m(2 + m(x)) End Sub A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（10分） 1．写出整数n能同时被13和17整除的Basic表达式。 2．代码窗口中有两个下拉列表框：左侧是列表框，右侧是过程列表框。 3．写出在字符串”Visual Basic 6.0”中截取”Visual”的Basic表达 式。 4．函数Len(“abcdef”)的返回值是。 5．设a = 2，b = 5，c = -2，d = 100，则a > b >= c AND a < b >= d的值为。 6．要使标签的大小自动与所显示的文本相适应，可以通过设置 属性为True来实现。 7．若要在一行书写多条语句，则各语句间应加分隔符，Visual Basic的语句分隔符 为。 8．要强制显式声明变量，使用__________语句完成。 9．在VB中，用户定义常量使用语句，声明变量使用语句。 一、试卷命题情况 在本次人教版小学三年级数学考试中，本张试卷命题的指导思想是以数学课程标准为依据，紧扣新课程理念。整个试卷可以说全面考查了学生的综合学习能力，全面考查学生对教材 中的基础知识掌握情况、基本技能的形成情况及对数学知识的灵活应用能力。把学生对数 学知识的实际应用融于试卷之中，注重了学科的整合依据学生操作能力的考查，努力体现《数学课程标准》的基本理念与思想，做到不出偏题、怪题、过难的题，密切联系学生生 活实际，增加灵活性，又考查了学生的真实水平，增强了学生学数学、用数学的兴趣和信心。为广大教师的教学工作起到了导向作用，更好地促进我区数学教学质量的提高。现将2018——2019学年度上期三年级数学期末试卷命题情况分析如下： （一）内容全面，覆盖广泛。 命题中采用直观形象、图文并茂、生动有趣的呈现方式，在注重考查学生的基础知识和基 本能力的同时，适当考查了学习过程，较好地体现了新课程的目标体系。三年级数学试卷 容量大，覆盖面广，从“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践活动” 四个方面进行考查，共计五个大题，考察了学生区分旋转与平移现象、解决有关时间的简 单问题、小数、分数的初步认识、测量和面积等知识，以及乘、除法计算等等。试题较好 地体现了层次性，难易适度 （二）贴近生活，注重现实。 本试卷从学生熟悉的现实情境和知识经验出发，选取来源于现实社会、生活，发生在学 生身边的，让学生切实体会数学和生活的联系，感受数学的生活价值。如：解决实际问题 中商场搞促销活动考查了学生解决简单实际问题的能力；考查有余数的除法时就是做灯笼 的事情；考查正方形的周长就是沿正方形果园走一圈，一共是多少米；考查时间的简单计 算就是妈妈进城办事用的时间。这些题目都是学生现实生活特别熟悉的事和物，它为学生 提供了活生生的直观情境，便于学生联系实际分析问题和解决问题。让学生在对现实问题 的探索和运用数学知识解决实际问题的过程中，体会到数学与生活的联系，体验到数学的 应用价值，增强数学的应用意识。 （三）实践操作，注重过程。 本试卷通过精心选材，巧妙考查了教学过程和学生的实践能力。如：第四题：1、在下列 图形中表示出相应分数。2、考查可能性中，按要求涂一涂。3、测量平行四边形各边的长度并计算出这个图形的周长。以上的题如果老师在教学过程中不重视学生的动手操作，不充分让学生经历探究的过程，那么，学生解答时就会束手无策。它为老师在新课程理念下 组织实施课堂教学指明了正确的方向。 （四）体现开放，培养创新。 为了培养学生观察能力，分析能力，发现问题、提出问题、解决问题的能力，在命题中， 设计有弹性的、开放性的题目。如第五题的1小题，你能提出一个用加法计算的问题并解答及再提出一个用减法计算的问题并解答。给学生提供了一个广阔的思维空间，充分发挥 学生的主动性，让学生从情境中捕捉信息去发现问题、提出问题，从而提高学生解决问题 能力，同时学生的创新思维也能得到体现。 二、学生答卷情况数学分析期末考试题
北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)
数学分析(1)期末模拟考试题(单项选择部分)
数学分析1-期末考试试卷(A卷)
北航数学分析期末考试卷
数学分析大一上学期考试试题 B
数学系一年级《数学分析》期末考试题
数学分析 期末考试试卷
数学分析(2)期末试题
上海财经大学 数学分析 测试题 (大一)
数学分析3期末测试卷
(汇总)数学分析3试卷及答案.doc
大学工科数学分析期末考试_(试题)A
数学分析试题及答案
第三学期 数学分析(3)试卷
数学分析期末考试题
大一期末考试试题
最新三年级期末考试试卷数学分析资料