MATLAB实验-最优化 数学软件与数学实验 教学课件
合集下载
MATLAB优化的设计实验课件.ppt
1）直接列表定义数组 变量＝[元素值1 元素值2 … 元素值n] 变量＝[元素值1,元素值2 ,…,元素值n] 变量＝[行1各元素;行2各元素;…;行n各元素]
例如： x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 0] y=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0] z=[1,2,3,4,5;2,3,4,5,6,7]
2021/3/3
1.2.2数组
例如：a = 1:2:15 则：
a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8])
1 3 5 7 a的值 9 11 13 15
2021/3/3
1.2.3 数组运算
1、数组的基本运算 设有数组a 1 n ,b 1 n ,x 1 m ,g m n ,h n m ,fm n 变量或常量c1,c2,..c.k
2021/3/3
1.2.2数组
2）域表定义数组 变量＝初值：增量：终值｜初值：终值 变量＝（初值：增量：终值）＊常数 例如： x=0:0.02:10 y=1:80 z=(1:0.1:7)*10e-5
2021/3/3
1.2.2数组
3）利用函数定义数组 变量＝linspace(初值,终值,元素个数)
如：x = linspace(0,pi,11) 的结果为:
x= Columns 1 through 4
0 0.3142 0.6283 0.9425 Columns 5 through 8
1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 Columns 9 through 11
2.5133 2.8274 3.1416
2021/3/3
1.1 MATLAB窗口
2、Workspace(工作区) 程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作
例如： x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 0] y=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0] z=[1,2,3,4,5;2,3,4,5,6,7]
2021/3/3
1.2.2数组
例如：a = 1:2:15 则：
a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8])
1 3 5 7 a的值 9 11 13 15
2021/3/3
1.2.3 数组运算
1、数组的基本运算 设有数组a 1 n ,b 1 n ,x 1 m ,g m n ,h n m ,fm n 变量或常量c1,c2,..c.k
2021/3/3
1.2.2数组
2）域表定义数组 变量＝初值：增量：终值｜初值：终值 变量＝（初值：增量：终值）＊常数 例如： x=0:0.02:10 y=1:80 z=(1:0.1:7)*10e-5
2021/3/3
1.2.2数组
3）利用函数定义数组 变量＝linspace(初值,终值,元素个数)
如：x = linspace(0,pi,11) 的结果为:
x= Columns 1 through 4
0 0.3142 0.6283 0.9425 Columns 5 through 8
1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 Columns 9 through 11
2.5133 2.8274 3.1416
2021/3/3
1.1 MATLAB窗口
2、Workspace(工作区) 程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作
MATLAB课件第七章 最优化计算方法
以fun702为文件名保存此函数文件。 在命令窗口输入： x0=[-2;4]; x=fminunc('fun702',x0) 结果显示：
f=
-1.0000 x=
Matlab程序： ch702.m
1.0000 1.0000
即极小值为-1，是x1=1,x2=1时取得。
【例 3】 解非线性方程组
x1 2 x 2 1 0 ( x1 2 ) 2 ( x 2 0 .5 ) 2 1 0
max f 3x1 x 2 x 3 x 1 2 x 2 x 3 11 4 x 1 x 2 2 x 3 3 2 x1 x 3 1 x 0 , i 1, 2 , 3 i
s .t .
解：考虑到linprog函数只解决形如
【例 4】 求解约束非线性规划：
max s .t . e
e
x1
x1
x 2 (3 e
2
2
x1
x2 )
(初值为[1;1])
2
x2
3
首先将问题转化为matlab要求的格式;即求出 fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub
解:首先建立一个m文件fun7041.m
function y=fun7041(x) y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2);
k 1
k
k
k
由此得到下一个点 4) 检验新得到的点
x
k
P
k
k
k 1
是否满足精度要求的最
优解。
如果是，则结束运算；
否则，令 k k 1, 返回 ( 2 ) 继续迭代
MATLAB优化设计实验课件
2020/5/5
1.2.2数组
例如：a = 1:2:15 则：
a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8])
1 3 5 7 a的值 9 11 13 15
2020/5/5
1.2.3 数组运算
1、数组的基本运算 设有数组a1n , b1n , x1m , gmn , hnm , fmn变量或常量c1, c2 ,...ck
结果为[a1ωc1 或[c1ωa1
3. 数组加（减）
a2ωc1 … anωc1] c1ωa2 … c1ωan]
使两数组的对应各元素相加(减)
a+b 结果为[a1+b1 a2+b2…an+bn] a–b 结果为[a1–b1 a2–b2…an–bn]
启动MATLAB 其窗口如右
2020/5/5
1.1 MATLAB窗口
1、Command Window(命令窗口) 一行可写入一个或多个命令，命令之间用逗号或分号隔开，如果
命令尾带分号将不显示该命令的执行结果；如果命令有返回结 果，如果不赋给自定义变量，将默认赋给变量ans；变量还可有 续行；最后用回车提交命令。 命令窗口常用键 ↑键—显示前个命令 ↓键—显示后个命令 Esc键－取消输入 Ctrl+x—剪切 Ctrl+c—复制
2020/5/5
1.1 MATLAB窗口
2、Workspace(工作区) 程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作
区中。可通过工作区观察变量的大小、类型，双击变量 名可查看数值大小。
也可用who和whos命令查看 3、Command History(命令记录)
记录了Command Window 中的每一条命令，双击 Command History中的命令，即可重复那条命令。
1.2.2数组
例如：a = 1:2:15 则：
a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8])
1 3 5 7 a的值 9 11 13 15
2020/5/5
1.2.3 数组运算
1、数组的基本运算 设有数组a1n , b1n , x1m , gmn , hnm , fmn变量或常量c1, c2 ,...ck
结果为[a1ωc1 或[c1ωa1
3. 数组加（减）
a2ωc1 … anωc1] c1ωa2 … c1ωan]
使两数组的对应各元素相加(减)
a+b 结果为[a1+b1 a2+b2…an+bn] a–b 结果为[a1–b1 a2–b2…an–bn]
启动MATLAB 其窗口如右
2020/5/5
1.1 MATLAB窗口
1、Command Window(命令窗口) 一行可写入一个或多个命令，命令之间用逗号或分号隔开，如果
命令尾带分号将不显示该命令的执行结果；如果命令有返回结 果，如果不赋给自定义变量，将默认赋给变量ans；变量还可有 续行；最后用回车提交命令。 命令窗口常用键 ↑键—显示前个命令 ↓键—显示后个命令 Esc键－取消输入 Ctrl+x—剪切 Ctrl+c—复制
2020/5/5
1.1 MATLAB窗口
2、Workspace(工作区) 程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作
区中。可通过工作区观察变量的大小、类型，双击变量 名可查看数值大小。
也可用who和whos命令查看 3、Command History(命令记录)
记录了Command Window 中的每一条命令，双击 Command History中的命令，即可重复那条命令。
Matlab 7.2优化设计实例指导教程完整教学课件
3.1.2 函数式文件
• MATLAB函数通常是指MATLAB系统中以 设计好的完成某一种特定的运算或实现某 一特定功能的一个子程序。MATLAB函数 或函数文件是MATLAB语言中最重要的组 成部分，MATLAB提供的各种各样的工具 箱几乎都是以函数形式给出的。MATLAB 的工具箱是内容极为丰富的函数库，可以 实现各种各样的功能。
3.2.4 人机交互语句
• echo命令 • input命令 • keyboard命令
3.2.5 MATLAB程序的调试命令
• dbstop命令 • dbcont命令 • dbstep命令 • dbstack命令 • dbstatus命令 • dbtype命令 • dbquit命令
3.3 函数变量及其作用域
1.4.2帮助命令
• 为了使用户更快捷地获得帮助，MATLAB 提供了一些帮助命令 。
• 1. help系列命令 • 2. lookfor函数 • 3.其它的帮助命令
1.4.3联机演示系统
• 单击MATLAB主窗口菜单的【Help】中的 【Demos】选项 ，将进入MATLAB帮助系 统的主演示页面。
4.1.2 MATLAB编译器4.4的新特点
• 使用MATLAB组件运行时取代MATLAB数 学和图形库
• 只为接口函数生成代码 • 具有代码生成和格式化有关的选项，包括
了几个新选项，取消了一些打包选项与相 关打包文件。 • 支持.NET。 • 支持Microsoft Visual C/C++8.0。 • 不再支持HP-UX。
地确定可行方案并找到其中最优方案的学 科。 • 作为20世纪应用数学的重要研究成果，最 优化理论在工业生产与管理、计算机和信 息科学、系统科学、国民经济等许多领域 产生很大效益。
MATLAB的优化函数PPT教学课件
P1、P2等是传递给fun的附加参数。
例8-7 已知梯形截面管道的参数是：底边长
度为 c，高度为 h ，面积 A645m 16m 2，斜边
与底边的夹角为 。管道内液体的流速与管
道截面的周长 s的倒数成比例关系。试按照
使液体流速最大确定该管道的参数。
解：1、建立优化设计的 数学模型
管道截面周长 sc 2h
2、求解约束极小值问题的 函数fmincon
fmincon是求解多维约束优化问题
min f (X) s.t.: AX b (线性不等式约)束
Aeq(X) beq (线性等式约束) C（X） 0 (非线性不等式约)束 Ceq（X） 0 (非线性等式约)束 Lb X Ub (边界约束)
的优化工具箱函数。
MATLAB优化工具箱
常用函数的应用
MATLAB6.5优化工具箱（Optimization Toolbox） 中包含有一系列优化算法和模块，可以用于求 解约束线性最小二乘优化、约束非线性或无约 束非线性极小值问题、非线性最小二乘逼近和 曲线拟合、非线性系统方程和复杂结构的大规 模优化问题。
处理优化设计问题的分析和计算时，根据优化 设计的数学模型，按照所选用优化工具函数的 要求，输入初始点，与约束条件相应的约束函 数和系数矩阵，将优化工具函数作为 “黑箱” 调用，即可获得与所有条件都相容的优化结果。
1、求解多维无约束优化问题的 函数fminunc
fminunc是基于梯度搜索法实现的优化工具箱函数，它 的语法说明如下：
[x，fval，exitflag，output，grad，hessian]
=fminunc(@fun，x0，options，P1，P2…)
其中，输出参数有：
x是返回目标函数的最优解；
例8-7 已知梯形截面管道的参数是：底边长
度为 c，高度为 h ，面积 A645m 16m 2，斜边
与底边的夹角为 。管道内液体的流速与管
道截面的周长 s的倒数成比例关系。试按照
使液体流速最大确定该管道的参数。
解：1、建立优化设计的 数学模型
管道截面周长 sc 2h
2、求解约束极小值问题的 函数fmincon
fmincon是求解多维约束优化问题
min f (X) s.t.: AX b (线性不等式约)束
Aeq(X) beq (线性等式约束) C（X） 0 (非线性不等式约)束 Ceq（X） 0 (非线性等式约)束 Lb X Ub (边界约束)
的优化工具箱函数。
MATLAB优化工具箱
常用函数的应用
MATLAB6.5优化工具箱（Optimization Toolbox） 中包含有一系列优化算法和模块，可以用于求 解约束线性最小二乘优化、约束非线性或无约 束非线性极小值问题、非线性最小二乘逼近和 曲线拟合、非线性系统方程和复杂结构的大规 模优化问题。
处理优化设计问题的分析和计算时，根据优化 设计的数学模型，按照所选用优化工具函数的 要求，输入初始点，与约束条件相应的约束函 数和系数矩阵，将优化工具函数作为 “黑箱” 调用，即可获得与所有条件都相容的优化结果。
1、求解多维无约束优化问题的 函数fminunc
fminunc是基于梯度搜索法实现的优化工具箱函数，它 的语法说明如下：
[x，fval，exitflag，output，grad，hessian]
=fminunc(@fun，x0，options，P1，P2…)
其中，输出参数有：
x是返回目标函数的最优解；
MATLAB优化设计实验课件
2010-4-22
1.2.1数据的输出格式 数据的输出格式
例如: format long e 5/3 ans = 1.66666666666667e + 000 format rat 0.75 ans = 3/4
2010-4-22
1.2.2数组 数组
1.2.2 数组 分为行向量,列向量,矩阵.普通变量可看成1×1数组. 1,创建数组的基本方法 1)直接列表定义数组 变量=[元素值1 元素值2 … 元素值n] 变量=[元素值1,元素值2 ,…,元素值n] 变量=[行1各元素;行2各元素;…;行n各元素] 例如: x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 0] y=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0] z=[1,2,3,4,5;2,3,4,5,6,7]
1.1 MATLAB窗口
启动MATLAB 其窗口如右
2010-4-22
1.1 MATLAB窗口
1,Command Window(命令窗口) 一行可写入一个或多个命令,命令之间用逗号或分号隔开,如果 命令尾带分号将不显示该命令的执行结果;如果命令有返回结 果,如果不赋给自定义变量,将默认赋给变量ans;变量还可有 续行;最后用回车提交命令. 命令窗口常用键 ↑键—显示前个命令 ↓键—显示后个命令 Esc键-取消输入 Ctrl+x—剪切 Ctrl+c—复制
2010-4-22
1.2.2数组 数组
例如:a = 1:2:15 则: a(2) a(3:5) a(5:-1:2) a([2,6,8]) 1 3 5 7 9 11 13 15
a的值 的值
2010-4-22
1.2.3 数组运算
1,数组的基本运算 设有数组 a1×n , b ×n , x1×m, gm×n , hn×m, fm×n变量或常量 c1, c2 ,...ck 1 1)一维数组拼接 u = [a x] 结果为[a1…an x1…xm] 或u = [a c1 c2 … ck] 结果为 [a1…an c1 c2 … ck] 2)转置 a.' 点转置 a' 共轭转置
MATLAB实验-最优化 数学软件与数学实验 教学课件
根。每种下料方案及剩余料头如下表所示：
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头
ⅠⅡⅢⅣⅤ 12010 00221 31203 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
问：如何下料使得剩余料头最少？
2020/6/17
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
a1m+1 … a1n a2m+1 … a2n ……………
am1 … amm amm+1 … amn
B＝ [P1 … Pm] ，N =[Pm+1 … Pn]
P1 … Pm Pm+1 … Pn
定义2：基(基阵) ——若A中一个子矩阵方阵B可逆， 则矩阵B称为LP问题的一个基(基阵) 。
xi 0 (i =1,…,4)；
A B Ｃ 每单位成本
原料1 4 1 0
2
原料2 6 1 2
5
原料3 1 7 1
6
原料4 2 5 3
8
每单位添加剂中 维生素最低含量
12
2020/6/17
14 8
例3、 (资源配置问题)
有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方
案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头
ⅠⅡⅢⅣⅤ 12010 00221 31203 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
问：如何下料使得剩余料头最少？
2020/6/17
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
a1m+1 … a1n a2m+1 … a2n ……………
am1 … amm amm+1 … amn
B＝ [P1 … Pm] ，N =[Pm+1 … Pn]
P1 … Pm Pm+1 … Pn
定义2：基(基阵) ——若A中一个子矩阵方阵B可逆， 则矩阵B称为LP问题的一个基(基阵) 。
xi 0 (i =1,…,4)；
A B Ｃ 每单位成本
原料1 4 1 0
2
原料2 6 1 2
5
原料3 1 7 1
6
原料4 2 5 3
8
每单位添加剂中 维生素最低含量
12
2020/6/17
14 8
例3、 (资源配置问题)
有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方
案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
精通MATLAB最优化计算一书的MATLAB优化工具箱课件
精通MATLAB最优化计算一书的MATLAB优化工具箱课件
智能优化算法（ga求解器）
优化工具箱中的智能优化算法包括遗传算法（ga）和模拟退火算法（simulannealbnd），MATLAB中的ga求解器功能非常强大，既能求解无约束优化问题，也能求解约束优化问题，而且约束条件可以是非线性的，但是simulannealbnd求解器只能求解无约束优化问题。 在Solver下拉选框中选择ga； 在适应函数栏输入@(x)x^4-3*x^3+x^2-2； 变量个数输入1，其余参数默认； 单击Start按钮运行。
精通MAI优化工具应用实例
例5-1 fminunc求解器应用实例。 例5-2 fminsearch求解器应用实例。 例5-3 fmincon求解器应用实例。 例5-4 lsqnonlin求解器应用实例。 例5-5 linprog求解器应用实例。 例5-6 ga求解器应用实例。
精通MATLAB最优化计算一书的MATLAB优化工具箱课件
5.4 小结
本章全面介绍了优化工具箱函数的功能、语法，以及GUI优化工具的使用及实例，GUI优化工具是进行MATLAB最优化计算的最简洁、最容易掌握的工具，后面的章节还会对常用的工具箱的函数进行详细讲述，并辅以实例。 通过本章读者不仅对MATLAB优化工具箱函数的强大功能有一个初步了解，还为后面更具体的介绍及应用打下基础。
精通MATLAB最优化计算一书的MATLAB优化工具箱课件
5.3.2 GUI优化工具的界面
GUI优化工具的界面主要分为三大块： 左边为优化问题的描述及计算结果显示（Problem Setup and Results）； 中间为优化选项的设置（Options）； 右边为帮助（Quick Reference）。 为了界面的简洁，可以单击右上角的“<<”按钮将帮助隐藏起来。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Experiments in
MathMemaatthicesmLaabtoicrastory
阮小娥博士
Matlab数学实验
2020/10/2
——最优化方法
• 美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中 ，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维 生素等等，都有定量的规定。当然这些营养成份可 以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质 和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维 生素，等等。由於战争条件的限制，食品种类有限 ，又要尽量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决 定各种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要 ，又可以降低成本？
• 现代管理问题虽然千变万化，但大致上总是要利用 有限的资源，去追求最大的利润或最小的成本，如
何解决这些问题？
解决问题的方法：线性规划
１
2020/10/2
线性规划
一、引例
例1、生产计划问题：
某企业生产A，B两 种产品，成本和利润指标如下：
A
煤
1
劳动日 3
仓库 0
利润 40
B 备用资源 2 30 2 60 2 24 50
料头 2020/10/2
0 0.1 0.2 0.3 0.8
8
例4、(运输问题)
某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。各车间原 棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费 以及各仓库的库存容量如下表所列：
仓库 车间 1
2
3 库存容量
1
213
50
2
224
30
3
342
10
需求
40 15 35
问：如何安排运输任务使得总运费最小？
问：A, B各生产多少, 可获最大利润?
2020/10/2
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4)，则：
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12，
s.t.
x1 + x2 +7x3+5x4 14， 2x2 + x3+3x4 8，
项目A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末 回收本利1.15倍。
项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍， 最大投资4万元。
项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍， 最大投资3万元。
项目D：每年初投资，每年末回收本பைடு நூலகம்1.11倍。
求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？
11
13
2020/10/2
以上问题的特点:
1.在人力、财力、资源给定条件下，如何 合理安排任务，使得效益最高.
2.某项任务确定后，如何安排人力、财力 、物力，使之最省.
即以上问题都是在一定条件下，求线性函数 的最大值或最小值问题。这类问题称为线性 规划LP (Linear Programming) 问题。
资金数.则： maxZ= 1.15x4A +1.40 x2C+1.25x3B+1.11x5D
x1A+x1D=10 x2A+x2C+x2D= 1.11 x1D x2C 3
s.t. x3A +x3B+x3D =1.15 x1A+ 1.11 x2D
x3B 4 x4A +x4D =1.15 x2A+ 1.11 x3D x5D =1.15 x3A+ 1.11 x4D xik 0, i =1,2,…,5; k =A,B,C,D;
x1 + 2x2 + x4 =100，
s.t.
2x3 +2x4+ x5=100，
3x1+ x2+2x3 +3x5=100，
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数；
ⅠⅡⅢⅣⅤ
2.9m 1 2 0 1 0 2.1m 0 0 2 2 1
1.5m 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
2020/10/2
线性规划问题的一般形式
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1, a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2,
s.t. … … …
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm,
xj 0(j=1,…,n);
xi 0 (i =1,…,4)；
A B Ｃ 每单位成本
原料1 4 1 0
2
原料2 6 1 2
5
原料3 1 7 1
6
原料4 2 5 3
8
每单位添加剂中 维生素最低含量
12
2020/10/2
14 8
例3、 (资源配置问题)
有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方
案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100
根。每种下料方案及剩余料头如下表所示：
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头
ⅠⅡⅢⅣⅤ 12010 00221 31203 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
问：如何下料使得剩余料头最少？
2020/10/2
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
或
m in (或 m a x )zfTx
s.t. 2020/10/2
A x (或 ,或 )b
x i0 (i 1 ,2 , ,n )
三、线性规划问题的求解方法
9
2020/10/2
解： 设xij为i 仓库运到 j车间的原棉数量(i ＝1,2,3; j ＝1,2,3)。则
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 =50， x21+x22+x23 = 30，
s.t. x31+x32+x33 = 10，
2020/10/2
解： 设xik( i =1,2,3,4,5; k =A,B,C,D)表示第i年初投
资第k项目的资金数。
年份
项目
12345
A x1A x2A x3A x4A
B
x3B
C
x2C
D x1D x2D x3D x4D x5D
12
2020/10/2
xik( i =1,2,…,5; k =A,B,C,D)为第i年初投k项目的
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
xij 0， i ＝1,2,3; j ＝1,2,3;
库存容量 50 30 10
2020/10/2
例5、连续投资10万元于4个项目。各项目投资时间 和本利情况如下：
MathMemaatthicesmLaabtoicrastory
阮小娥博士
Matlab数学实验
2020/10/2
——最优化方法
• 美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中 ，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维 生素等等，都有定量的规定。当然这些营养成份可 以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质 和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维 生素，等等。由於战争条件的限制，食品种类有限 ，又要尽量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决 定各种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要 ，又可以降低成本？
• 现代管理问题虽然千变万化，但大致上总是要利用 有限的资源，去追求最大的利润或最小的成本，如
何解决这些问题？
解决问题的方法：线性规划
１
2020/10/2
线性规划
一、引例
例1、生产计划问题：
某企业生产A，B两 种产品，成本和利润指标如下：
A
煤
1
劳动日 3
仓库 0
利润 40
B 备用资源 2 30 2 60 2 24 50
料头 2020/10/2
0 0.1 0.2 0.3 0.8
8
例4、(运输问题)
某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。各车间原 棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费 以及各仓库的库存容量如下表所列：
仓库 车间 1
2
3 库存容量
1
213
50
2
224
30
3
342
10
需求
40 15 35
问：如何安排运输任务使得总运费最小？
问：A, B各生产多少, 可获最大利润?
2020/10/2
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4)，则：
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12，
s.t.
x1 + x2 +7x3+5x4 14， 2x2 + x3+3x4 8，
项目A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末 回收本利1.15倍。
项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍， 最大投资4万元。
项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍， 最大投资3万元。
项目D：每年初投资，每年末回收本பைடு நூலகம்1.11倍。
求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？
11
13
2020/10/2
以上问题的特点:
1.在人力、财力、资源给定条件下，如何 合理安排任务，使得效益最高.
2.某项任务确定后，如何安排人力、财力 、物力，使之最省.
即以上问题都是在一定条件下，求线性函数 的最大值或最小值问题。这类问题称为线性 规划LP (Linear Programming) 问题。
资金数.则： maxZ= 1.15x4A +1.40 x2C+1.25x3B+1.11x5D
x1A+x1D=10 x2A+x2C+x2D= 1.11 x1D x2C 3
s.t. x3A +x3B+x3D =1.15 x1A+ 1.11 x2D
x3B 4 x4A +x4D =1.15 x2A+ 1.11 x3D x5D =1.15 x3A+ 1.11 x4D xik 0, i =1,2,…,5; k =A,B,C,D;
x1 + 2x2 + x4 =100，
s.t.
2x3 +2x4+ x5=100，
3x1+ x2+2x3 +3x5=100，
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数；
ⅠⅡⅢⅣⅤ
2.9m 1 2 0 1 0 2.1m 0 0 2 2 1
1.5m 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
2020/10/2
线性规划问题的一般形式
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1, a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2,
s.t. … … …
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm,
xj 0(j=1,…,n);
xi 0 (i =1,…,4)；
A B Ｃ 每单位成本
原料1 4 1 0
2
原料2 6 1 2
5
原料3 1 7 1
6
原料4 2 5 3
8
每单位添加剂中 维生素最低含量
12
2020/10/2
14 8
例3、 (资源配置问题)
有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方
案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100
根。每种下料方案及剩余料头如下表所示：
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头
ⅠⅡⅢⅣⅤ 12010 00221 31203 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
问：如何下料使得剩余料头最少？
2020/10/2
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
或
m in (或 m a x )zfTx
s.t. 2020/10/2
A x (或 ,或 )b
x i0 (i 1 ,2 , ,n )
三、线性规划问题的求解方法
9
2020/10/2
解： 设xij为i 仓库运到 j车间的原棉数量(i ＝1,2,3; j ＝1,2,3)。则
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 =50， x21+x22+x23 = 30，
s.t. x31+x32+x33 = 10，
2020/10/2
解： 设xik( i =1,2,3,4,5; k =A,B,C,D)表示第i年初投
资第k项目的资金数。
年份
项目
12345
A x1A x2A x3A x4A
B
x3B
C
x2C
D x1D x2D x3D x4D x5D
12
2020/10/2
xik( i =1,2,…,5; k =A,B,C,D)为第i年初投k项目的
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
xij 0， i ＝1,2,3; j ＝1,2,3;
库存容量 50 30 10
2020/10/2
例5、连续投资10万元于4个项目。各项目投资时间 和本利情况如下：