普陀区2014年高三数学一模试卷
上海市普陀区2014届高三数学一模试卷(文理合卷含答案)
2014届 普陀区高三一模数学 卷2013.12一.填空题1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e +=与21e e m -=平行，则实数=m .3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .4. 在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .5. 若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9. 若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .10．【文科】如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 【理科】如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若直线C B 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 11. 【文科】在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S .【理科】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余第10题下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种. 13. 【文科】若函数2cos1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .【理科】正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点D 是线段BC 的中点，过D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 .14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 二．选择题15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的………………………………………………………………（ ）)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）)(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+baa b . )(C 4)11)((≥++ba b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：①||||||||21OA OA OA OA n ==== ； ②||i OA 的最小值一定是||OB ；第18题第13题③点A 、i A 在一条直线上；④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.三．解答题19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C :x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标； （2）求||PQ 的最小值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）【文科】求函数)(x f 的值域，并写出函数)(x f 的单调递增区间；【理科】求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值. 21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？ （2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注:3310001mm cm =）22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.第21题已知数列{}n a 中，13a =，132nn n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求(f 的值；（2）【文科】已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =()y f x x =-在)8,1(上无零点；【理科】已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =()y f x x =-在()1,+∞上无零点；（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k+⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. )0,3(-； 2.1-； 3. 4；4.3； 5.1； 6. =-)(1x f )0(21≤+x x （不标明定义域不给分）；7. 8； 8.32； 9.)2,21( 10．32； 11.【文科】 14--n n （*N n ∈）； 【理科】1006； 12.31； 13.【文科】150；【理科】49π； 14.2<a ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22= （1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分 （2）||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分当1=x 时，3||m in =PQ ……………………………………12分（不指出0≥x ，扣1分）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分【文科】由于2)62sin(22≤+≤-πx ，所以函数)(x f 的值域为]2,2[-………4分 由πππππk x k 22)6222+≤+≤+-得ππππk x k +≤≤+-63所以函数)(x f 的单调的增区间为]6,3[ππππ+-k k ，Z k ∈………6分（文科不写Z k ∈，不扣分；不写区间，扣1分）【理科】由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分所以当262ππ=+x 时，2)(m ax =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分 21. （本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分. 【解】（1）设每分钟滴下k （*N k ∈）滴，………………1分则瓶内液体的体积πππ1563294221=⋅⋅+⋅⋅=V 3cm ………………3分k 滴球状液体的体积75340103432ππk mm k k V ==⋅⋅⋅=3cm ………………5分 所以15675156⨯=ππk ，解得75=k ，故每分钟应滴下75滴。
上海市普陀区2014届高三上学期12月月考数学(理)试题含解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题4分,共计56分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.【题文】若集合}02|{2>-=x xx A ,}2|1||{<+=x x B ，则=B A .2.【题文】设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e ea +=与21e e m b -=平行，则实数=m 。
3.【题文】在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ,则=b 。
4。
【题文】在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .5.【题文】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→nn dlim .6.【题文】函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.7。
【题文】已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .8。
【题文】数列}{n a 中，若11=a ，nn n a a 211=++(*N n ∈)，则=+++∞→)(lim 221n n a a a。
9.【题文】若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 。
10.【题文】如图,正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若直线C B 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ,则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 .。
2014普陀一模试卷(定稿)
普陀区2014学年第一学期高三质量调研政治（加试）试卷考生注意：1、考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
3、答题前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。
4、答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，错位答题或修改答题纸题号不得分。
一、单项选择题（共90分，每小题3分。
每题只能选一个选项。
）1．政治与经济是密切联系的。
以下体现政治对经济反作用的是（）A．地理信息助力“智慧环保”B．政府简政放权激发市场活力C．“两会说吧”拓宽公民政治参与渠道D．科技推动产业结构优化升级2．我国的人民军队，正紧紧围绕打得赢、不变质两个历史性课题，积极推进革命化、现代化、正规化建设。
以下体现革命化建设的是（）A．上海驻军某部开展军队优良传统教育B．某新型战机研制成功并开始装备军队C．人民解放军大力加强军事信息化建设D．我国高技术国防专利申请量快速增长3．国家司法机关依法独立行使职权是法治社会的一项根本原则。
在我国，专门行使法律监督的机关是（）A．人民法院B．人民检察院C．人民代表大会D．公安机关4．最高人民法院、最高人民检察院发布《关于办理利用信息网络实施诽谤等刑事事件适用法律若干问题的解释》，对网络谣言入刑标准作出了明确界定。
这一界定（）A．扩大了公民的政治权利和自由B．使人民法院和人民检察院更好地行使检察权C．有利于净化网络环境，保护公民的合法权益D．能够杜绝网络谣言的传播，打击网络犯罪行为5．2014年8月2日，人民日报官方微博发文批评那些“只知道热烈鼓掌、点头称是”的代表和委员，呼吁“会场讨论，何惧观点交锋？代表和委员当铭记：你沉默，就是人民失语；你认真，民主才能运转起来！”这段博文强调人大代表和政协委员（）A．肩负人民期望，要反映人民的呼声B．要接受人民的监督C．要依法行使提案权、监督权和质询权D．是我国国家机关的组成人员6．上海市人大常委会在行使制定、修改地方性法规的职权时，实现了从法规草案公开登报征求意见，到举行立法听证会的跨越，进而向社会公开征集听证参加人，出席立法听证会，让市民发表意见，充分发扬立法民主。
2014年高三一模重难题解析(教师版)
2014年高三一模填选难题解析（教师版）填空题1.（2014年普陀一模文理12）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为 },,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =， 若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种. 答案：31详解：可根据枚举法进行解题.正面枚举：利用1234123436a a a a b b b b +++++++=以及43214321b b b b a a a a +++<+++ 可知123418a a a a +++<，进行枚举（依据字典排序）451,2,3,678⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩；561,2,4,78⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩； 61,2,5,78⎧⎪⎨⎪⎩； 71,2,6,8⎧⎨⎩； 561,3,4,78⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩； 61,3,5,78⎧⎪⎨⎪⎩； 71,3,6,8⎧⎨⎩； 61,4,5,7⎧⎨⎩；562,34,78⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，； 62,3,57⎧⎨⎩； 总共31种； 反面枚举：由于对称性可知43214321b b b b a a a a +++<+++与43214321b b b b a a a a +++<+++对应的情况应该是相同的，所以只需要算出总数：48C =70，以及12341234=a a a a b b b b ++++++的总数即可12341234==18a a a a b b b b ++++++，则1234,,,a a a a 可为1,2,7,8；1,3,6,8；671,4,58⎧⎨⎩； 672,358⎧⎨⎩；2,4,5,7；3,4,5,6；总共8种，故43214321b b b b a a a a +++<+++的情况为708312-=. 教法指导：本题主要考查了排列组合问题中枚举的应用，注意点是枚举过程中要寻到一条准线，按照这条准线来枚举做到不重不漏；另外就是需要注意问题化归（像反面进行枚举就是抓住大于以及小于的情况一样，所以可以从等于入手）2.（2014年普陀一模文理14） 已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 答案：a <2详解：本题考查了函数的有关性质.若方程f(x)+x=0有且仅有两个解，令h(x)=-x ，则(x)h 图像与()f x 图像有且仅有两个交点，即f(x)+a 与-x+a 图像有两个交点.如图所示：易知a <2.教法指导：本题是一个典型的数形结合的问题，将方程的根的问题转化为两个函数图像的交点问题， 注意如何构造两个函数尤为重要.3.（2014年长宁一模文14）设a 为非零实数，偶函数1||)(2+-+=m x a x x f (x ∈R )在区间(2,3)上存在 唯一零点，则实数a 的取值范围是 . 答案： )25,310(--详解：(方法一)1||)(2+-+=m x a x x f 与21y x =+为偶函数，故||y a x m =-为偶函数，0a ≠， 故0m =. 2()||1f x x a x =++在(2,3)上存在唯一零点可转化为1,()y a y x x==-+在(2,3)上 有唯一交点.通过图形易知10532a -<<-. (方法二)1||)(2+-+=m x a x x f 与21y x =+为偶函数，故||y a x m =-为偶函数，0a ≠， 故0m =. 2()||1f x x a x =++在(2,3)上存在唯一零点可转化为2()1f x x ax =++在(2,3)上 有唯一零点.（1） 考虑21=0x ax ++中=0∆的情况，此时方程的根为1x =不符合条件； （2） 考虑两个端点异号(2)(3)0f f <g【利用根的存在性定理】(5+2)(103)0a a +<得10532a -<<-； （3） 考虑两个端点其中一个函数值为0的情况，(2)=0f 得52a =-，25()12f x x x =-+零点为2x =与12x =，不符合条件；(3)=0f 得103a =-，210()13f x x x =-+零点为3x =与13x =，不符合条件；综上：10532a -<<-教法指导：本题考查了特殊函数（二次函数）的零点问题，该类问题一方面可以利用参变分离转化为两个函数的交点问题，特别是有解与一解问题利用此方法就很简洁明了，并且很直观.对于方法二中利用根的分布思考时容易遗漏情况（3），所以老师在讲这类方法时需要举出另一个容易漏解的例子. 变式：函数2()4f x x x a =-+在(0,3)上有一个零点，求a 的范围. 答案：(0,3]{4}U .4.（2014年长宁一模理14）定义：{}123min ,,,,n a a a a L 表示123,,,,n a a a a L 中的最小值．若定义()f x ={}2min ,5,21x x x x ---，对于任意的n *∈N ，均有(1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n +++-+≤L 成立，则常数k 的取值范围是 ． 答案：]0,21[-详解：本题考查了分段函数，不等式恒成立问题.由题意得，当0x >时，221,03()5,3x x x f x x x ⎧--<<=⎨-≥⎩，所以(1)2f =-，(2)1f =-，(3)2f =，(4)1f =，(5)0f =，(6)1f =-,… 则当1n =时，(1)(2)(1)f f kf +≤，即32k -≤-，解得32k ≤； 当2n =时，(1)(2)+(3)(4)(2)f f f f kf ++≤，即0k ≤-，解得0k ≤； 当3n =时，(1)(2)+(3)+(6)(3)f f f f kf ++≤L ，即k ≤-12，解得12k ≥-； 当4n =时，(1)(2)+(3)+(8)(4)f f f f kf ++≤L ，即6k ≤-,解得6k ≥-； 当5n =时，(1)(2)+(3)+(10)(5)f f f f kf ++≤L ，即150-≤，恒成立； 当6n =时，k ≤32；故n ≥6时，k 的取值应都是小于等于一个正数.综上所述， 要使(1)(2)++(21)(2)()f f f n f n kf n +-+≤L 恒成立，则k 的取值范围应取上述所求解的交集，即1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.教法指导：本题考查了数列的恒成立问题，若利用参变分离亦可解决，不过计算量上偏大， 而且需要分段清晰.5.（2014年嘉定一模理13文14）已知函数是偶函数，直线与函数 的图像自左至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．答案：详解：由函数()f x 是偶函数可知()()f x f x =-，⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f t y =)(x f A B C D ||||BC AB =t 47即2()2+1f x ax x=+2()2()a x x=-+-22()ax x f x=-=-2x=-+bx c+，故1,2a b=-=-，1c=，则2221,0()21,0x x xf xx x x⎧-++=⎨--+<⎩…，由函数图像可知:①当0x…时，221y tx x y=⎧⎨-++=⎩，解得12x t=±-，故C点坐标为(12,)t t--②当0x<时，221y tx x y=⎧⎨--+=⎩，解得12x t=-±-.因为AB BC=可知，22222t t--=-，得74t=.第5题图教法指导：本题主要考查了函数奇偶性以及方程求解能力,如果刻意去用韦达定理求解会陷入死胡同. 6.（2014年嘉定一模理14）某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、级分形图．则级分形图的周长为_____．答案：详解：注意观察每个分形图的线段长度会在下一级分形图中变为43倍的折线；一级分形图的图形周长为4333⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，二级分形图的图形周长为1214443333-⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，三级分形图的图形周长为231164433333-⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，L，故n级分形图的图形周长为1433n-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.教法指导：本题主要针对于孩子的归纳推理能力进行考查，重点需要注意相邻两个图形之间的关系，采用特殊化归纳得到一般的结论.7.（2014年静安一模理12）1n n1343-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n图（1）图（2）图（3）……详解：（方法一）设()()1122,,,A x y B x y ，PA的直线方程为y kx k =+，则PB的直线方程为y kx k =-+，分别与椭圆方程22124x y +=联立得：()))2222240k x kk x k+++-=由题知，1是方程的一个根，根据根与系数的关系得：1x =，同理2x =，则2122242k x x k -+=+，2122x x k -=+，则AB 的斜率为()212121212k x x ky y x x x x -++-=--22242k k k --⋅+==（方法二）利用特殊值将PA 斜率设为1则PB 斜率为-1,从而联立求解.(方法三) 利用图形中的极限位置思考，考虑PA 、PB 重合的情况；即过P 点做x 轴垂直的情况，交于椭圆与另外一点(1,P '，则AB 的斜率即过P '的切线斜率k ，利用2OP 22b k k a=-=-g可得k =教法指导：孩子需要熟练掌握直线与圆锥曲线联立韦达定理的应用，同时也得在填选的技巧中 记忆一些小结论. 8.（2014年静安一模理14）答案：4,4b a b =+= 详解：（方法一）由23344x x x -+=得 231 6160x x -+=所以()()3440x x --=，解得43x =或4x =.当2343443x x -+=时，解得43x =或83x =，因为223334(2)1144x x x -+=-+…，而413>，因此43a =，83b = 不合题意.当233444x x -+=时，解得0x =或4x =，而01<， 所以04a b ==，，则 04 4.a b +=+=（方法二）将不等式解集问题转化为方程根的问题，可看做23()344f x x x =-+夹在y a =与y b =部分的图像对应的x 的范围为[,]a b ，由图像易知：min ()()f a f a b f b b ≥⎧⎪=⎨⎪=⎩可解得04a b ==，教法指导：本题第二个方法相对简单直观，许多学生会把问题进行错误转换：23()344f x x x =-+ 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，进而求出错误的答案，注意问题等价转换，并且注意不等式的 解集与对应方程的根的联系.9.（2014年闸北一模理9）设0,1a a >≠，已知函数()2sin 22,(0)xf x a x x π=+->至少有5个零点，则a 的取值范围为 答案：(0,1)(1,2)⋃详解：即函数2sin 2y x π=与2xy a =-在(0,)x ∈+∞上的交点个数，分两种情况01a <<和1a >；当01a <<时，在(0,)x ∈+∞两个函数图像有无数个交点，如下图所示当1a >时，如下图所示，在(0,)x ∈+∞要至少有5个零点，函数2xy a =-在1x =处要大于0即20,2a a -><，综上所述，(0,1)(1,2)a ∈⋃教法指导：这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数的交点个数问题，注意理解题意，审清题意，以及数与形之间的转化 变式练习（2014年闸北区一模文科9）设1,0≠>a a ，函数2|2sin |2)(-+=x a x f xπ（0>x ）有四个零点，则a 的值为 答案：2详解：如下图所示，函数2xy a =-在1x =处要等于010. （2014年闸北一模理10）设曲线22:23()C x y x y ++=+，则曲线C 所围封闭图形的面积为答案：323π+详解：因为图像关于x 轴、y 轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限0,0x y >>，绝对值 直接去掉，可得一段圆弧，然后关于x 轴、y 轴对称翻折，得到如下图像，根据题目数据， 可得150ABC ∠=︒，2AB =，可以先算第一象限的面积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4，全面积为323π+教法指导：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关 性质画出方程图像，割补法求面积 变式练习（2014年闸北区一模文科10）由曲线||||22y x y x +=+所围成的封闭图形的面积为 答案：2π+详解：根据题意，如下图，有四个半圆面积和一个正方形面积构成11. （2014年宝山一模理14） 关于函数()1x f x x =-，给出下列四个命题：①当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；②方程()(0)f x kx b k =+≠一定有解；③如果方程()f x k =有解，则解的个数一定是偶数； ④()y f x =是偶函数且有最小值； 则其中真命题是 答案：②④详解：含绝对值，分类讨论，先画1x >和01x <<的部分，然后根据偶函数画出左半部分， 函数图像如下图：①明显错误；③0k =时，解的个数为1；所以选②④教法指导：含绝对值数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，结合函数性质，根据函数图象进行分析甄别12. （2014年闵行一模理12）设,i j r r依次表示平面直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，且2a i a j -+-=r r r r2a i +r r 的取值范围是答案：[5详解：根据题意，2a i a j -+-=r r r r(1,0)的距离加上这个点到(0,2)的距离A 点的距离加上到B而AB，所以这个点的轨迹即线段AB ，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB 上的点到点(2,0)-的距离的取值范围，最短距离即下图中的CD的长度，用点到直线的距离公式或者等面积法可求得5CD =，因为BC =3AC =，所以距离的最大值为3教法指导：用代数的方法计算，因为有根号，过程会很繁杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题， 简洁明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用13.（2014年闵行一模理13）22log (04)()2708(4)33x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同， 且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 答案：(32,35)详解：根据题意，如图所示，1ab =，2(12)12abcd cd c c c c ==-=-，45c <<，所以答案为(32,35)教法指导：这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质， 尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点 进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况 变式练习（2014年闵行区一模文科13）已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()f x t =()t R ∈恰有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234x x x x ++⋅的取值范围是 答案：(3,4)详解：根据题意，如图所示120x x +=，21234343333(4)4x x x x x x x x x x ++⋅=⋅=⋅-=-，3(1,2)x ∈14.（2014年闵行一模理14）211,1k A x x kt t kt k ⎧⎫==+≤≤⎨⎬⎩⎭，其中2,3,......,2014k =， 则所有k A 的交集为 答案：5[2,]2详解：因为2,3,......,2014k =，所以2111k k <<，结合耐克函数的图像，如图所示，当211t k ≤≤时，1[2,]k A k k=+，因为2,3,......,2014k =时，1k k +递增，所以所有k A 的交集为5[2,]2教法指导：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像以及函数的定义域，处理函数的值域问题； 难度不大，但学生可能会因为含有参数k 而产生畏难心理，可以让学生先求234,,A A A ， 发现一般规律，再总结归纳 变式练习（2014年闵行区一模文科14）已知42421()1x kx f x x x ++=++（k 是实常数），则()f x 的最大值与最小值的乘积为 答案：+23k15.（2014年徐汇一模理12）如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则xy x y+的值为答案：13详解：解法一：∵,,M G N 三点共线，假设AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ，有=1λμ+，∵,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，∴AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ＝+x AB y AC λμu u u r u u u r ，因为G 是重心，所以1133AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r即13=x y λμ=，∵=1λμ+，∴11133x y +=，化简xy x y +＝13解法二：特殊值法，取23x y ==教法指导：作为填空题，本题的第一做法应是解法二，但对于一些特别认真的学生，一定会问具体做法的， 要求我们能够写出具体过程；注意向量一些常用知识点，以及一些转化技巧16.（2014年徐汇一模理13） 一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律” 答案：2892详解：根据题意，第二位最大，第四位最小，其他三个数介于二者之间；由此可以展开分类① 第二位数与第四位数相差2，情况为318⨯种；② 第二位数与第四位数相差3，情况为327⨯种； ③ 第二位数与第四位数相差4，情况为336⨯种；……以此类推，总共的情况为3333333318+27+36+45+54+63+72+81=2892⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种 教法指导：特殊元素优先原则，这里面最大的第二位数与最小的第四位数最特殊，由此可以展开分类；这类题型学生一般不知道从何下手，我们要教会学生发现规律，找出特殊元素或特殊位置，从而合理分类17.（2014年徐汇区一模理科14）定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->. 已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 答案：2详解：因为求的是区间的长度，原不等式111x a x b+≥--()a b >的解的区间长度和 不等式111x t x+≥-(0)t >的解的区间长度是一样的，因为只是图像发生了平移，移项通分 得220()x tx x tx x t --+≥-，因式分解后用数轴标根法解得22(0,(,22t t x t +-++∈⋃，区间长度之和为2222t t t +-++-2= 教法指导：因为含有两个字母，不等式不好解，所以我们要化归成一个字母的不等式问题，因为描述的是区间长度，根据题意，图像平移并不改变区间长度，就转化成一个字母，然后解出不等式即可求区间长度，注意转化化归的领会；当然，这道题也可以用特殊值法，不再赘述18.（2014年松江一模理11） 对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如 1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为答案：4-详解：1x =-时，()3f x =-；10.5x -<≤-，()1f x =-；0.50x -<≤，()0f x =；{}3,1,0A =-- 教法指导：根据题目定义，引导学生发现规则，用枚举法列出所有元素即可，重在理解19.（2014年松江一模理13）已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<， 且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= 答案：2详解：解法一：设()log 1a f x x t =-=，∴log 1a x t -=±，1tx a ±-=，1tx a±-=±1t x a ±⇒=±四个根为1ta +，1ta -，11t a -，11t a +，它们的倒数为11t a +，11t a --，1t t a a -，1t t a a +倒数之和等于2解法二：特殊值，例如2a =，令()1f x =，解出四个根即可教法指导：本题直接求出四个解，并不难，就怕有些学生认为没这么简单，从而去从其他角度分析，反而复杂了，当然，本题可以借助数形结合的方法进行理解，作为填空题，特殊值不失为一种好方法20.（2014年松江一模理14） 设集合{1,2,3,,}A n =L ，若B ≠∅且B A ⊆，记()G B 为B 中元素的 最大值与最小值之和，则对所有的B ，()G B 的平均值＝ 答案：1n +详解：当最大值为n 时，最小值可以为1，2，3…n ，()G B 个数为n ，()G B 之和为12...n n n ++++⨯＝22(1)31222n n n n n ++=+；同理当最大值为1n -时，()G B 个数为1n -， 和为231(1)(1)22n n -+-；以此类推，所有()G B 的个数为(1)12 (2)n n n ++++=， 所有()G B 的和为1111(1)(21)(1)2222n n n n n ⋅+++⋅+ 22231(12...)(12...)22n n +++++++＝，除以()G B 的个数(1)2n n + 就是()G B 的平均值＝11(21)122n n ++=+ 教法指导：本题可以举一些{1,2,3,,}A n =L 的子集，让学生理解()G B 的意思，然后按最大值或者最小值进行分类，注意B 可能是个单元素集合，不要遗漏这种情况；这类题目注意培养学生的耐心21.（2014年青浦一模理13）已知直角坐标平面上任意两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，定义212121212121(,)x x x x y y d P Q y y x x y y ⎧--≥-⎪=⎨--<-⎪⎩为,P Q 两点的“非常距离”，当平面上动点(,)M x y到定点(,)A a b 的距离满足3MA =时，则(,)d M A 的取值范围是答案：[2详解：根据题意，通过比较两点的水平距离和垂直距离，较大的为“非常距离”，A 为定点，M 的轨迹 是A 为圆心，3为半径的圆，根据下图，例如1,A M 两点的垂直距离较大，那么此时,A M 的非常距离为图中的绿色线段部分，而2,A M 两点的水平距离相比垂直距离更大，那么非常距离为图中的紫色线段部分，可以得出M 与A 的水平距离或垂直距离最大为3， 即图中取4M 的时候教法指导：理解性的题型，注意引导学生如何理解题意，讲解时，一定要辅以图像帮助理解22.（2014年青浦一模理14）若不等式1(1)(1)31n na n +--<++对任意自然数n 恒成立，则实数a 的取值范围是答案：[3,2)-详解：当n 为奇数时，131a n -<++，1(3)1a n >-++，因为是恒成立，大于最大值，不等式右边的 最大值永远小于3-，所以3a ≥-；当n 为偶数时，131a n <-+，小于最小值，因为n N ∈，0n =时 取最小值2教法指导：恒成立问题均为最值问题，注意分类讨论，并且n 是自然数，讨论n 为偶数的时候，n 是可以取0的，学生可能会取2，这是个易错点，需要给学生强调23（2014年金山一模理13）如图，已知直线:4360l x y -+=，抛物线2:4C y x =图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是 答案：1详解：如下图，11'11PH PA PH PB PH PF PH +=+-=+-≥-=，'PH 用点到直线距离公式求教法指导：这是2012长宁区二模题，注意圆锥曲线相关定义，进行巧妙的转化，结合图像引导学生分析24.（2014年金山一模理14）在三棱锥中，、、两两垂直，且.设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积.若1()(,2,)2f M x y =，且恒成立，则正实数的最小值为答案：6-详解：依题意得，122x y +=，122y x =-，将不等式中的a 分离得111(8)(2)6(16)22a x x x x≥--=-+，右边的最大值为6-6a ≥-教法指导：这是2012长宁区二模题，主要是理解题意，得出2x y +是个定值，要引导学生看透看似复杂的表象，抓住条件的本质，然后就是一道常见的恒成立题型25.（2014年奉贤一模理13）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=-， 当11x -≤<时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-只有4个零点，则a 的取值范围是 答案：11(,)(3,5)53⋃详解：根据已知条件，()f x 周期为4，先画()f x 一个周期图像，当13x ≤<时，3(2)(2)()f x x f x -=-=-，3()(2)f x x =--，由此画出[1,3)-的图像，此为一个周期，图像如下，()()log a g x f x x =-只有4个零点，即()f x 与log a y x =只有4个交点，因为a 是未知的，需要分类讨论：①当01a <<时，有两个界值，如下图，此时5个交点，代入点(5,1)--，解出15a =此时3个交点，代入点(3,1)-，解得13a =②当1a >时，也有两个界值，如下图，此时3个交点，代入点(3,1)-，解得3a =P ABC -PA PB PC 3,2,1PA PB PC ===M ABC ()(,,)f M m n p =m n p M PAB -M PBC -M PCA -18ax y+≥a此时5个交点，代入点(5,1)，解得5a =教法指导：数形结合的题型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质以及函数图像的变换26.（2014年奉贤一模理14）已知函数()y f x =，任取t R ∈，定义集合：{(),(,()),(,()),t A y y f x P t f t Q x f x PQ ==≤点，设,t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-，则（1）若函数()f x x =， 则(1)h = （2）若函数()sin 2f x x π=，则()h t 的最大值为答案：（1）2；（2）2详解：定义的意思是函数()y f x =在以定点P （点P 在函数图像上）这部分函数图像的值域即t A ，第一问，1t =，定点P (1,1)，如下图，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以(1)h =2第二问，对于()sin2f x x π=，函数最大值与最小值之差为2，如下图，通过理解观察，可得出t A 能够同时包含最大值和最小值，所以()h t 的最大值为2，此时2,t k k Z =∈教法指导：这是一道理解性的定义题型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像进行分析就不难了27.（2014年黄浦一模理13）设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,，由不等式≤恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b abn am ++≤+（当且仅当βα，即bm an =时等号成立）恒成立.己知+∈R y x ,，k <利用柯西不等式,可求得实数k 的取值范围是答案：)+∞详解：因为+,,0x y R ∈>k <k >+恒成立，令()=1,3=αβ⎛u ru r ，,||||w αβαβ=⋅≤⋅=u r u r u r u r 当且仅当39y x =即时等号成立，此时max w =max k w >=, 所以，实数k的取值范围是)+∞.教法指导：本题是新定义题型，运用类比思想，学会化归，不等式恒成立问题，参变分离转化成函数 求最值问题，注意等号成立的条件即可. 变式练习：（2014年黄浦区一模文科13）设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,，由不等式≤恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b abn am ++≤+（当且仅当βα，即bm an=时等号成立）恒成立.己知+∈R y x ,，若k >+恒成立，利用柯西不等式,可求得实数k 的取值范围是答案：)+∞28.（2014年黄浦一模理14）用己知数列{}n a 满足()()*+∈=-+N n n a annn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________． 答案：1017072详解：当*21()n k k N =-∈时，22121k k a a k --=- ① 当*2()n k k N =∈时，2+12+2k k a a k = ②当*21()n k k N =+∈时，222121k k a a k ++-=+ ③由①②得2121+1k k a a -+=，即任意两个连续奇数项之和为定值1， 所以()()()135720132015+++=504.a a a a a a +++L由②③得*222+41k k a a k k N +=+∈，即任意两个连续偶数项之和是等差数列，()()()()()()246820142016+++=41+1+43+1++41007+1=1016568.a a a a a a +++⨯⨯⨯L L所以，数列{}n a 的前2016项的和2016=1016568+504=1017072S .教法指导：本题的切入点是()1n-，所以分奇偶讨论，然后利用分组求和，最终转化为等差数列求和问题，使问题得以解决，注意分类思想的扑捉. 变式练习：（2014年黄浦区一模文科14）己知数列{}n a 满足421-=a，()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2013项的和2013s的值是___________．答案：101300029.（2014年杨浦一模理13）用设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是 ．答案：59详解：这是道古典概型，事件A ：直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，{}221,9,1,2,3d b a a b =≤≥-∈即，，下面分类讨论：当1a =时，291=83b b ≥-∴=，共1种情况符合题意； 当2a =时，294=53b b ≥-∴=，共1种情况符合题意； 当3a =时，299=01,2,3.b b ≥-∴=，共3种情况符合题意. 由加法原理，该事件A 共5种情况，总事件共33=9⨯种情况.所以，直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是5.9教法指导：本题考察直线与圆的位置关系，古典概率问题.注意审题，加法原理使问题得到解决. 变式练习：（2014年杨浦区一模文科13）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01） 答案：0.3030.（2014年杨浦一模理14）用已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>， 总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 . 答案：②、③详解：对于①：()()1=121F f a =+，但是，()1||1||2f a =+，而当210a +<时，()()1|1|=21F f a ≠-- ①错误；对于②：21,0,()21(0)=11,0.2x xxa x f x a a a x ⎧⋅+>⎪=⋅+≠⎨⎛⎫⋅+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，()()f x f x -=-是偶函数，(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩设0x >，则0x -<，()()()()F x f x f x F x -=--=-=-, 所以，函数()F x 是奇函数，②正确；对于③：当0a <时，()F x 在(),0-∞上和()0+∞，分别单调递减函数，若0mn <，0m n +>，则,m n >- 且m 与n -同号，所以()()()F m F n F n <-=-,()()0F m F n +<成立， ③正确.教法指导：本题考察分段函数的奇偶性，单调性，利用数形结合，本题解决更直观，快些，注意画图时， 注意对a 进行分类讨论. 变式练习：（2014年杨浦区一模文科14）函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为 ． 答案：2.31.（2014年浦东一模理13）用表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、 满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3,4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．答案：96.详解：设A,B,C 为{}1,2,3,4的三个子集，如图所示，因为A B C =∅I I 所以S =Φ不含任何元素，因为1A B B C C A ===I I I ，所以123,,M M M 中各有一个元素，将{}1,2,3,4中的元素排入，有333434C P P =种方法，由题意知，还剩下的一个元素，可以安排在 ,,P Q R ，也可以不排入，共有131+=4P 种方法，由分步原理得344=96P .教法指导：本题要注意分步原理与分类原理的综合运用，抽象出解题模型，从而使问题得到解决，当然也 可以用列举法，{}1,2,3,4有15个非空子集，显然A,B,C 中A 为含有1个或者4个元素的子集不符合题意， A 为含有2个或者3个元素的子集，列举即可求解.对于新定义题型，要善于讲陌生问题化归为熟悉模型， 注重基本原理的运用. 变式练习：（2014年杨浦区一模文科13）用表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、 满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交． 由集合{}1,2,3的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ． 答案：6.32.（2014年杨浦一模文理14）||S ||S已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f = ． 答案：6. 详解： ()()()()313ff n n f f =∴=Q ，()()**11f N f k N ∈∴=∈Q 设,由()f x 单调增函数知，()()()()3=11=,f f f k f k =≥ 所以()1f 只可能取1,2,3.i) 当()1=1f 时，()()()3=11=1,ff f =矛盾，舍去;ii) 当()1=2f 时，()()()()3=121=2,f f f f =≥符合单调递增条件，{}()*[()]3()()[()]3f f n n f n N n f n f f f n f n =∈=Q ，将换成得，;所以()()(3)=3,33(1)6f n f n f f ==于是，(1)(2)(3)f f f <<符合单调性，(3)=6f ∴； iii ）当()1=3f 时，()()()()3=13=1,f f f f =与单调性矛盾，舍去，综上所述，(3)=6f .教法指导：本题主要考察抽象函数的单调性，注意定义域和值域都是正整数，通过复合运算使问题得到 解决，给学生做适当的拓展，注意探究更一般的结论.33.（2014年虹口一模文理12）已知函数xx f 10)(=，对于实数m 、n 、p 有)()()(n f m f n m f +=+，)()()()(p f n f m f p n m f ++=++，则p 的最大值等于 ．答案：2lg2lg3-.详解： 由()()()f m n f m f n +=+得，101010m n m n +=+，从而1111010m n =+≥ 即104m n +≥，当且仅当m n =时等号成立.由()()()()f m n p f m f n f p ++=++， 得1101101p m n +=+-，由104m n +≥得411002lg2lg33p p <≤∴<≤-，，p 的最大值等于2lg2lg3-.教法指导：本题主要考察函数与不等式的综合应用，注意不等式中“一正二定三相等”的条件，通过等价变形，分离变量，转化成函数求最值问题，化归思想，将二元函数两个变元看做一个整体考虑解决问题.34.（2014年虹口一模文理13）已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ． 答案：4032-详解： 易知当*2,n k k N =∈为偶数时，2()4sin 0f n k k π==，所以()()()()()()()()20141232014222222221235720132015123579201320151223579201320154032S a a a a f f f f f f =++++=++++++⎡⎤⎣⎦=+-+-+-+-=++++++-⎡⎤⎣⎦=-L L L L教法指导：本题是一道数列与三角比结合的题目，利用三角函数周期性，化繁为简，转化成等差数列求和，使问题得到解决，注意项数计算个别学生需要给予指导，更进一步的，数列与三角比结合的题目给予拓展. 变式练习1：（2012年上海高考理科18）设1sin25n n a n π=，12...n n S a a a =+++（n N *∈），在12100,,...,S S S 中， 正数的个数是 ． 答案：100 变式练习2：（2012年上海高考文科18）若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中， 正数的个数是 ． 答案：8635.（2014年崇明一模文理14）已知,1->t 当[]2,+-∈t t x 时，函数||4||x x y x =的最小值为4-，则t 的取值范围是答案：2]详解：函数图像如下图所示，x 的区间是关于1x =对称的，当t 从-1渐渐变大时，x 的范围从x=1开始，慢慢向两边扩大，如下图，第三幅图向第四幅图变化的时候，函数的最小值为-4，第三幅图是t=0的时候，第四幅图是244x x -+=-的时候，解得2x t =-=-，所以t∈2]教法指导：本题图像是固定的，要注意区间是如何变化的，并且区间是关于x=1对称的，结合图像帮助理解，需要动态的思考选择题36.（2014年静安一模理18）答案：D详解：如图，在直线1l 与直线2l 处时，直线y x a =+与函数()y f x =在[]0,2内恰有两个交点，直线2l 与2y x =相切，联立解得114a =-，明显直线1l 过原点，即20a =，综上，a 的值是0或14-.教法指导：该题目比较简单，考查学生对于周期函数的理解以及数形结合的应用.37.（2014年长宁一模文理18）函数2xy =的定义域为[,]a b ，值域为[1,16]，a 变动时， 方程()b g a =表示的图形可以是 （ ）A ．B ．C ．D ．答案： B详解：本题考查了函数的图像.若0a >，则0b a >>，∴2xy =在定义域[,]a b 上的值域不可能为[1,16]， ∴0a ≤.又∵02=1，42=16，∴当=0a 时，4b =；当40a -<<时，4b =；当4a =-时，04b ≤≤.故选B.教法指导：主要针对于函数值域一定的情况下求定义域，注意定义域的不确定性，可以结合图像夹在1,16y y ==之间进行定义域的选取.38.（2014年嘉定一模理18）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是； 则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ） A ．函数（）存在“和谐区间” B ．函数（）不存在“和谐区间” C ．函数）存在“和谐区间” D ．函数（，）不存在“和谐区间” 答案：详解：利用(x)f 与2y x =的交点易知：A 中函数()2f x x =在区间[]0,2上单调递增，且其值域为[]0,4，故存在“和谐区间”；B 中函数()exf x =在x ∈R 上单调递增，且不存在“和谐区间”；C 中函数()241xf x x =+在区间[]0,1上单调递增，且其值域为[]0,2，故存在“和谐区间”；D 中函数，当2222log ,log 44a a x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上时，3223222222log ,log 2log ,2log 8844a a a ay ⎡⎤⎡⎤-+-+∈=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故满足 “和谐区间”的定义， )(x f D D b a ⊆],[)(x f )(x f ],[b a )(x f ],[b a ]2,2[b a ],[b a )(x f 2)(x x f =0≥x x e x f =)(R ∈x 14)(2+=x xx f (0≥x ⎪⎭⎫⎝⎛-=81log )(xa a x f 0>a 1≠a D ab O-4 4 ab O4-4a b O4 -4 ab O-4 4。
数学_2014-2015学年上海市某校高三(上)摸底数学试卷_(含答案)
2014-2015学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1. 已知集合A ={x|12≤2x <16}，B ={x|y =log 2(9−x 2)}，则A ∩B =________． 2. 已知向量a →=(2, −1)，b →=(−1, m)，c →=(−1, 2)，若(a →+b →) // c →，则m =________． 3. 二项式(x +2x )6的展开式中常数项的值等于________．4. 若复数z 满足| z 1 2i |=1+i ，（其中i 为虚数单位），则|z|________．5. 不等式x 2−2x +3≤a 2−2a −1在R 上的解集是⌀，则实数a 的取值范围是________．6. 已知数列{a n }是等差数列，a 4=15，S 5=55，则过点P(4, a 2010)和点Q(3, a 2011)的直线的倾斜角是________．（用反三角函数表示结果）7. 若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为arccos 45，则该圆锥的体积为________．8. 等轴双曲线C:x 2−y 2=a 2与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，|AB|=4√3，则双曲线C 的实轴长等于________．9. 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n =a n +1(n =1, 2,…)，若数列{b n }有连续四项在集合{−53, −23, 19, 37, 82}中，则6q =________．10. 将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为________． 11. 定义：关于x 的不等式|x −A|<B 的解集叫A 的B 邻域．若a +b −2的a +b 邻域为区间(−2, 2)，则a 2+b 2的最小值是________．12. 已知函数f(x)={log 2(x +1)(x >0)，−x 2−2x(x ≤0)， 若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．13. 在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →⋅PB →+BC →2的最小值是________．14. 在直角坐标系中，如果两点A(a, b)，B(−a, −b)在函数y =f(x)的图象上，那么称[A, B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点（[A, B]与[B, A]看作一组）．则函数g(x)={(x +2)2−1，x ≤0log 4(x +1)，x >0关于原点的中心对称点的组数为________．二、选择题（每小题5分，满分20分）15. 命题A:|x −1|<3，命题B ：(x +2)(x +a)<0；若A 是B 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A (−∞, −4)B [4, +∞)C (4, +∞)D (−∞, −4]16. 己知空间两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m // n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α // β，m⊊α，n⊊β⇒m // n；③m // n，m // α⇒n // α；④α // β，m // n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A ①④B ②③C ①②④D ①③④17. 将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表4达式为y=2sin2x，则函数f(x)的表达式可以是（）A 2sinxB 2cosxC sin2xD cos2x18. 已知集合M={(x, y)|y=f(x)}，若对于任意(x1, y1)∈M，存在(x2, y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：}①M={(x,y)|y=1x②M={(x, y)|y=e x−2}③M={(x, y)|y=cosx}④M={(x, y)|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A ①②④B ②③C ③④D ①③④三、解答题19. 如图已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P−ABCD的表面积．20. 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=π，acosA=bcosB．3（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．21. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1,√3)在椭圆C上．2（1）求椭圆C的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量d →=(2,1)的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．22. 已知函数f(x)=ax 2−|x|+2a −1（a 为实常数）． （1）若a =1，作函数f(x)的图象；（2）设f(x)在区间[1, 2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； （3）设ℎ(x)=f(x)x，若函数ℎ(x)在区间[1, 2]上是增函数，求实数a 的取值范围．23. 若数列{a n }的每一项都不为零，且对于任意的n ∈N ∗，都有a n+2a n=q （q 为常数），则称数列{a n }为“类等比数列”．已知数列{b n }满足：b 1=b(b ∈R, b ≠0)，对于任意的n ∈N ∗，都有b n ⋅b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n }是“类等比数列”；（2）若{b n }是单调递增数列，求实数b 的取值范围；（3）设数列{b n }的前n 项和为S n ，试探讨limn →∞S n b n +b n+1是否存在，说明理由．2014-2015学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷答案1. [−1, 3)2. −13. 1604. √105. {a|−1<a <3}6. π−arctan47. 16π8. 49. −9 10. 11211. 2 12. (0, 1)13. 2√3 14. 2 15. A 16. A 17. C 18. B 19. 解：（1）解法 一：连接AM ，∵ 底面ABCD 是边长为6的正方形，点M 、N 分别是DC 、AB 的中点， ∴ AN = // CM ，∴ 四边形AMCN 是平行四边形， ∴ CN // AM ，∴ ∠PMA （为锐角）是异面直线PM 与CN 所成角．因为PA 垂直于底面，所以PA ⊥AM ，点M 分别是DC 的中点，DC =6，∴ AM =3√5． 在Rt △PAM 中，PA =8，AM =3√5， ∴ tan∠PMA =83√5=8√515， ∴ ∠PMA =arctan8√515，即异面直线PM 与CN 所成角的大小为arctan8√515． 解法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，可得M(3, 6, 0)，P(0, 0, 8)，N(3, 0, 0)，C(6, 6, 0)， ∴ PM →=(3,6,−8)，CN →=(−3,−6,0)，直线PM 与CN 所成角为θ，向量PM →与CN →的夹角为ϕ， ∵ cosϕ=|PM →||CN →|˙=−45√109⋅√45=−3√545109， 又cosθ=|cosϕ|=3√545109，θ=arccos3√545109， 即异面直线PM 与CN 所成角的大小为arccos3√545109． （2）因为PA 垂直于底面，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，即Rt △PAB ≅Rt △PAD ，又PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴ BC ⊥平面PAB ，∴ BC ⊥PB ． 同理CD ⊥PD ，∴ Rt △PBC ≅Rt △PDC ，∵ 底面四边形ABCD 是边长为6的正方形，所以S 底=36又S 侧=S △PAB +S △PAD +S △PBC +S △PCD =2×(12PA ⋅AB)+2×(12PB ⋅BC)=48+60=108．S 表=108+36=144所以四棱锥P −ABCD 的表面积是144．20. 解：（1）由acosA =bcosB 及正弦定理可得sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B ，又A ∈(0, π)，B ∈(0, π)， 所以有A =B 或A +B =π2． …3分 又因为C =π3，得A +B =2π3，与A +B =π2矛盾， 所以A =B ，因此A =π3． …6分（2）由题设，得在Rt △PMC 中，PM =PC ⋅sin∠PCM =2sinα；在Rt △PNC 中，PN =PC ⋅sin∠PCN =PC ⋅sin(π−∠PCB) =2sin[π−(α+π3)]=2sin (α+π3)，α∈(0, 2π3)．…8分所以，PM +PN =2sinα+2sin (α+π3)=3sinα+√3cosα=2√3sin(α+π6)．…12分 因为α∈(0, 2π3)，所以α+π6∈(π6, 5π6)，从而有sin(α+π6)∈(12, 1]，即2√3sin(α+π6)∈(√3, 2√3]．于是，当α+π6=π2，即α=π3时，PM +PN 取得最大值2√3．…16分．21. （1）解：∵ C 的焦点在x 轴上且长轴为4， 故可设椭圆C 的方程为x 24+y 2b 2=1(a >b >0)，∵ 点(1,√32)在椭圆C 上，∴ 14+34b 2=1，解得b 2=1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1． （2）证明：设P(m, 0)(−2≤m ≤2)， ∵ 直线l 方向向量d →=(2,1)， ∴ 直线l 的方程是y =x−m 2，联立{y =12(x −m)x 24+y 2=1⇒2x 2−2mx +m 2−4=0(∗)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程(∗)的两个根， ∴ x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−42，∴ |PA|2+|PB|2=(x 1−m)2+y 12+(x 2−m)2+y 22=(x 1−m)2+14(x 1−m)2+(x 2−m)2+14(x 2−m)2=54[(x 1−m)2+(x 2−m)2]=54[x 12+x 22−2m(x 1+x 2)+2m 2]=54[(x 1+x 2)2−2m(x 1+x 2)−2x 1x 2+2m 2]=54[m 2−2m 2−(m 2−4)+2m 2]=5（定值）．22. 解：（1）当a =1时，f(x)=x 2−|x|+1={x 2+x +1，x <0x 2−x +1，x ≥0．作图（如图所示）（2）当x ∈[1, 2]时，f(x)=ax 2−x +2a −1．若a =0，则f(x)=−x −1在区间[1, 2]上是减函数，g(a)=f(2)=−3． 若a ≠0，则f(x)=a(x −12a )2+2a −14a −1，f(x)图象的对称轴是直线x =12a ． 当a <0时，f(x)在区间[1, 2]上是减函数，g(a)=f(2)=6a −3． 当0<12a <1，即a >12时，f(x)在区间[1, 2]上是增函数， g(a)=f(1)=3a −2． 当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g(a)=f(12a)=2a −14a−1，当12a >2，即0<a <14时，f(x)在区间[1, 2]上是减函数，g(a)=f(2)=6a −3．综上可得g(a)={ 6a −3，当a <142a −14a −1，当14≤a ≤123a −2，当a >12．（3）当x ∈[1, 2]时，ℎ(x)=ax +2a−1x −1，在区间[1, 2]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则ℎ(x 2)−ℎ(x 1)=(ax 2+2a−1x 2−1)−(ax 1+2a−1x 1−1)=(x 2−x 1)(a −2a−1x 1x 2)=(x 2−x 1)⋅ax 1x 2−(2a−1)x 1x 2．因为ℎ(x)在区间[1, 2]上是增函数，所以ℎ(x 2)−ℎ(x 1)>0，因为x 2−x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2−(2a −1)>0，即ax 1x 2>2a −1， 当a =0时，上面的不等式变为0>−1，即a =0时结论成立． 当a >0时，x 1x 2>2a−1a，由1<x 1x 2<4得，2a−1a≤1，解得0<a ≤1，当a <0时，x 1x 2<2a−1a，由1<x 1x 2<4得，2a−1a≥4，解得−12≤a <0，综上，实数a 的取值范围为[−12，1]． 23. （1）证明：∵ b n ⋅b n+1=2n+1， ∴ b n+1⋅b n+2=2n+2， ∴b n+2b n=b n ⋅b n+1˙=2n+22n+1=2，∴ 数列{b n }是“类等比数列”；（2）解：∵ b 1=b ，b n ⋅b n+1=2n+1， ∴ b 2=22b 1=4b，∴ b n ={b ⋅2n−12，n 为奇数4b⋅2n−22，n 是偶数，∵ 数列{b n }是单调递增数列，∴ b 2k−1≤b 2k ≤b 2k+1， 即b ⋅2k−1≤4b ⋅2k−1≤b ⋅2k ， 整理得：b ≤4b ≤2b ，解得：√2≤b ≤2，∴ 实数b 的取值范围为：[√2, 2]； （3）结论：当b =±√84时limn →∞S n b n +b n+1=√2，否则不存在．理由如下：由（2）可知b n ={b ⋅2n−12，n 为奇数4b ⋅2n−22，n 是偶数，①当n =2k −1(k ∈N ∗)时，b n +b n+1=b 2k−1+b 2k =b ⋅2k−1+4b⋅2k−1=(b +4b)⋅2k−1，S n =(b 1+b 3+...+b 2k−1)+(b 2+b 4+...+b 2k−2) =b(1−2k )1−2+4b(1−2k−1)1−2=(2b +4b )⋅2k−1−(b +4b )，∴ lim n →∞S n b n +b n+1=lim k →∞(2b+4b )⋅2k−1−(b+4b )(b+4b )⋅2k−1=2b+4bb+4b=2−44+b 2； ②当n =2k(k ∈N ∗)时，b n +b n+1=b 2k +b 2k+1=4b ⋅2k−1+b ⋅2k =(2b +4b )⋅2k−1， S n =(b 1+b 3+...+b 2k−1)+(b 2+b 4+...+b 2k−2)+b 2k=(2b +4b )⋅2k−1−(b +4b )+4b ⋅2k−1=2(b +4b )⋅2k−1−(b +4b )，∴ lim n →∞S n b n +b n+1=lim k →∞2(b+4b )⋅2k−1−(b+4b )(2b+4b )⋅2k−1=2(b+4b )2b+4b=1+22+b 2； 令2−44+b2=1+22+b 2，化简得：b 4=8， 解得：b =±√84， 综上所述，当b =±√84时limn →∞S n b n +b n+1=√2，否则不存在．。
上海市普陀区2014届高三上学期12月月考数学(文)试题含解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，共计56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1。
【题文】若集合}02|{2>-=x xx A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .2。
【题文】设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e ea +=与21e e m b -=平行,则实数=m .3.【题文】在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b 。
4。
【题文】在nx )3(-的展开式中,若第3项的系数为27,则=n .5。
【题文】若圆1)1(22=-+y x的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim。
6。
【题文】函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f。
7。
【题文】已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 。
8。
【题文】数列}{na 中，若11=a,n n n a a 211=++(*N n ∈)，则=+++∞→)(lim 221n n a a a 。
9。
【题文】若函数x x x f 1)(+=,则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .10.【题文】如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ,若异面直线A A 1与C B 1所成的角的大小为21arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 。
普陀区一模高三数学试卷
普陀区一模高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为1，4，7，则该数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数y = 2x - 3与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0)B. (3, 0)C. (-3/2, 0)D. (0, -3)4. 已知圆心在原点，半径为5的圆的方程为（）A. x^2 + y^2 = 25B. x^2 + y^2 = 16C. x^2 + y^2 = 9D. x^2 + y^2 = 495. 已知抛物线y^2 = 4px（p > 0）的焦点坐标为（）A. (p, 0)B. (-p, 0)C. (0, p)D. (0, -p)6. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，直线m的方程为x - y + 3 = 0，直线l与直线m的交点坐标为（）A. (-1, -3)B. (1, 3)C. (-1, 1)D. (1, -1)7. 已知复数z = 1 + i，那么|z| =（）A. √2B. 2C. √3D. 18. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. 4B. -1C. 1D. 79. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，那么f'(x) =（）A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x - 2C. x^2 - 6x + 2D. x^2 - 6x - 210. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(-1) = 0，f(1) = 0，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
普陀区高三一模数学理
普陀区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）一． 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接将结果填写在答题纸的对应的空格，每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分．1.函数()22sin cos 22x x f x =-的最小正周期是 ．2.二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 ．（请用数值作答） 3.函数121log |1|y x =-的定义域是 ． 4.设1e 与2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，则当,,A B D 三点共线时，k = ．5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1321,21a a =+=-则此数列的各项和S = ．6.已知直线l 的方程为230x y --=，点()1,4A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 ．7.如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为 ．8.若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为()10,0，则该双曲线的标准方程为 ．9.如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是232cm 的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm ，照此设计，则这张纸的最小面积是 2cm ． 10.给出问题：已知ABC ∆满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判断ABC ∆的形状，某学生的解答如下： ()()()()()22222222222222222222222222b c a a c b a b bc aca b c a b a c b a b c a b a b c a b +-+-⋅=⋅⇔+-=+-⇔-⋅=-+⇔=+故ABC ∆事直角三角形．（ii ）设ABC ∆外接圆半径为R ，由正弦定理可得，原式等价于 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2R A A R B B A B A B=⇔=⇔= 故ABC ∆是等腰三角形．综上可知，ABC ∆是等腰直角三角形．请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果 ．11.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若102020,60,S S ==则3010S S = ． 12.若一个底面边长为32，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 ．13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…9的个9小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 ．14.设*,n n N a ∈表示关于x 的不等式12)45(log log 144-≥-⨯--n x x n 的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（无论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分．15.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 （ ）A ．充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16.设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为（ ）A ．arccos a π-； B. arccos a C. arccos a - D. arccos a π+ 17.设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭3,|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为 （ ） A 、M N ⋃ B 、M N ⋂ C 、R C M N ⋂ D 、R M C N⋂18、对于平面αβγ、、和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是（ ） A 、若,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，则a α⊥； B 、若//,,a b b α≠⊂则//a α； C 、若,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，则//a β； D 、//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=则//a b ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤．19、（本题满分12分）已知函数()2,0f x kx k =+≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB i j =+，函数()26g x x x =--．当满足不等式()()f x g x >时，求函数()()1g x y f x +=的最小值．20、（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点．（1） 求圆锥体的体积；（2） 异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）21、（本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知ABC ∆中，1AC =，23ABC π∠=，设,BAC x ∠=计()f x AB BC =⋅ （1） 求()f x 的解析式及定义域；（2） 设()()61g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？所存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22、（本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足12()n n n a pa n N *+=+∈（1） 求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2） 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、．．．．．．．第32n -项，．．．．．．，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3） 在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得1113n n T T +=？若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值，若不存在，请说明理由。
数学理卷·2014届上海市普陀区高三12月教学质量调研(2013.12)
（ n ∈ N * ），则 S2014
=
第 10 .题
12. 已 知 全 集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8} ， 在 U 中 任 取 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为
A = {a1 , a2 , a3 , a4} ， 余 下 的 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为 CU A = {b1 , b2 , b3 , b4 } ， 若
| PQ |2 = (x − 2)2 + 2x = x 2 − 2x + 4 = (x −1)2 + 3 （ x ≥ 0 ）…………10 分 当 x = 1时，| PQ |min = 3 ……………………………………12 分 （不指出 x ≥ 0 ，扣 1 分）
20. （本题满分 14 分）本大题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
给出下列说法：
①| OA1 |=| OA2 |= L =| OAn |=| OA | ；
A
第2页共9页
O
B
第 18 题
②| OAi | 的最小值一定是| OB | ； ③点 A 、 Ai 在一条直线上；
④向量 OA 及 OAi 在向量 OB 的方向上的投影必相等.
其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）
（2）在数列{an} 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若
不存在，请说明理由；
（3）若1< r < s 且 r ， s ∈ N * ，求证：使得 a1 ，ar ，as 成等差数列的点列 (r, s) 在某一直
线上.
3.（本题满分 18 分） 本大题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 ，第 3 小题满分 8 分.
【答案】2014年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析
2014年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2014•普陀区一模）用放大镜将图形放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．对称变换D．旋转变换【考点】几何变换的类型．【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．2．（4分）（2003•南京）在比例尺是1：38000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实际长度约为（）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km【考点】比例线段．【分析】比例尺=图上距离：实际距离．按题目要求列出比例式计算即可．【解答】解：根据：比例尺=图上距离：实际距离．得它的实际长度约为7×38000=266000（cm）=2.66（km）．故选B．【点评】理解比例尺的概念，正确进行有关计算，注意单位的转换．3．（4分）（2014•普陀区一模）在△ABC中，tanA=1，，那么△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【考点】特殊角的三角函数值．【分析】先根据△ABC中，tanA=1，cotB=求出∠A及∠B的度数，再由三角形内角和定理求出∠C的度数，进而可判断出三角形的形状．【解答】解：∵△ABC中，tanA=1，cotB=，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣30°=105°，∴△ABC是钝角三角形．故选A．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，先特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数是解答此题的关键．4．（4分）（2014•普陀区一模）二次函数y=ax2﹣2x﹣3（a＜0）的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．【考点】二次函数的性质．【分析】先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2x﹣3（a＜0）的对称轴为直线x=﹣=﹣=＜0，∴其顶点坐标在第二或三象限，∵当x=0时，y=﹣3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图象一定不经过第一象限．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．5．（4分）（2014•普陀区一模）下列命题中，正确的是（）A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边B．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个D．相似三角形的中线的比等于相似比【考点】命题与定理；*平面向量．【分析】定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同；一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；相似三角形的对应中线的比等于相似比．【解答】解：A、如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，故本选项错误．B、不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同，故本选项错误．C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，正确．D、相似三角形的对应中线的比等于相似比，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查真假命题的概念关键是了解黄金分割点，相似比，向量等知识．6．（4分）（2014•普陀区一模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（）A．AB=a•sinθB．AB=a•cosθC．AB=a•tanθD．AB=a•cotθ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦、余弦、正切、余切定义可得sinθ=，cosθ=，tanθ=，cotθ=，再变形可得答案．【解答】解：A、sinθ=，故此选项错误；B、cosθ==，则CB=a•cosθ，故此选项错误；C、tanθ==，则AB=a•tanθ，故此选项正确；D、cotθ=，则AB=，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦、余弦、正切、余切定义．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2016•无锡一模）如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是2．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据BC=AC可得=，再根据条件AD∥BE∥CF，可得=，再把DE=4代入可得EF的值．【解答】解：∵BC=AC，∴=，∵AD∥BE∥CF，∴=，∵DE=4，∴=2，∴EF=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．8．（4分）（2014•普陀区一模）在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i=．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据山坡的坡度=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题．【解答】解：如图所示：AC=5米，BC=3米，则AB===4（米），则坡度i==．故答案为：3：4．【点评】本题考查了坡度的概念，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比．9．（4分）（2014•普陀区一模）抛物线y=x2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式是y=﹣x2+1．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据关于x轴对称的两点x坐标相同，y坐标互为相反数即可得出【解答】解：根据题意，﹣y=x2﹣1，化简得：y=﹣x2+1，故抛物线y=x2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为：y=﹣x2+1．故答案为：y=﹣x2+1．故答案为：y=﹣x2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．10．（4分）（2014•普陀区一模）请写出一个以直线x=﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是y=﹣（x+2）2等．【考点】二次函数的性质．【分析】在对称轴左侧部分是上升的抛物线必然开口向下，即a＜0，直线x=﹣2为对称轴可直接利用配方法的形式写出一个二次函数的解析式．【解答】解：根据题意得：y=﹣（x+2）2．（答案不唯一）．【点评】配方法：将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．二次函数当a＞0，函数开口向上，当a＜0，函数开口向下．11．（4分）（2014•普陀区一模）如果E、F是△ABC的边AB和AC的中点，=，=，那么=．【考点】*平面向量；三角形中位线定理．【分析】先根据向量的三角形法则得出+=，故=﹣，即=﹣，再由三角形中位线定理可知，=，进而可求出答案．【解答】解：∵+=，∴=﹣，即=﹣，∵=，∴=．故答案为：．【点评】本题考查的是向量的三角形法则，即首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点．规定：零向量与向量的和等于．12．（4分）（2014•普陀区一模）如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是△APB∽△CPA．【考点】相似三角形的判定．【分析】△APB∽△CPA，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【解答】解：△APB∽△CPA，理由如下：由题意可知：AP==，PB=1，PC=5，∴，，∵∠APB=∠CPA，∴△APB∽△CPA，故答案为：△APB∽△CPA．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．13．（4分）（2015•张店区一模）已知α为一锐角，且cosα=sin60°，则α=30度．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据∠A，∠B均为锐角，若sinA=cosB，那么∠A+∠B=90°即可得到结论．【解答】解：∵sin60°=cos（90°﹣60°），∴cosα=cos（90°﹣60°）=cos30°，即锐角α=30°．故答案为：30．【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的关键．14．（4分）（2014•普陀区一模）已知α为一锐角，化简：+sinα=1．【考点】二次根式的性质与化简；锐角三角函数的定义．【分析】先根据α是锐角得出sinα＜1，再根据二次根式的性质解答即可．【解答】解：∵α是锐角，∴sinα＜1，∴原式=1﹣sinα+sinα=1．故答案为：1．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．15．（4分）（2014•普陀区一模）如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与外心之间的距离为2．【考点】三角形的重心；三角形的外接圆与外心．【分析】根据重心是三角形三边中线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点，以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．即可得出答案．【解答】解：∵直角三角形斜边长为12，∴斜边上的中线AM长为6，∵重心O到顶点A的距离与重心O到外心M的距离之比为2：1，∴三角形的重心与外心之间的距离OM为2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了三角形的重心的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解决问题的关键．16．（4分）（2014•普陀区一模）已知二次函数的顶点坐标为（﹣2，3），并且经过平移后能与抛物线y=﹣2x2重合，那么这个二次函数的解析式是y=﹣2（x+2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先设原抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，再根据经过平移后能与抛物线y=﹣2x2重合可知a=﹣2，再由二次函数的顶点坐标为（﹣2，3）即可得出结论．【解答】解：先设原抛物线的解析式为y=a（x+h）2+k，∵经过平移后能与抛物线y=﹣2x2重合，∴a=﹣2，∵二次函数的顶点坐标为（﹣2，3），∴这个二次函数的解析式是y=﹣2（x+2）2+3．故答案为：y=﹣2（x+2）2+3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．17．（4分）（2002•绍兴）若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为6，10，12．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】求△ABC的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2；当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；当2为腰，4为底时4﹣2=2＜4+2不能构成三角形，当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．18．（4分）（2014•普陀区一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=15，CD=13，AD=8，∠B是锐角，∠B的正弦值为，那么BC的长为22或12．【考点】梯形；解直角三角形．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，易得四边形AEFD是矩形，然后由AB=15，∠B的正弦值为，求得AE与BE的长，再由勾股定理求得CF的长，继而可求得答案．【解答】解：如图①，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，∴EF=AD=8，AE=DF，∵AB=15，∠B的正弦值为，∴AE=AB•sin∠B=15×=12，∴BE==9，∴DF=AE=12，∴CF===5，∴BC=BE+EF+CF=9+8+5=22．如图②，BC=BE+EF﹣CF=9+8﹣5=12．故答案为：22或12．【点评】此题考查了梯形的性质以及解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014•普陀区一模）求值：【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：==﹣1【点评】本题考查了特殊角的三角函数，是基础知识比较简单．20．（10分）（2014•普陀区一模）已知：如图，△ABC中，点D是AC边上的一点，且AD：DC=2：1．（1）设=，=，先化简，再求作：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）；（2）用x+y（x、y为实数）的形式表示．【考点】*平面向量．【分析】（1）首先化简：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣），可得原式=+，然后根据三角形法则求解，即可作出：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）；（2）首先根据三角形法则求得，然后由AD：DC=2：1，求得，继而求得答案．【解答】解：（1）（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）=﹣2﹣+3+=+；如图①，作BC的垂直平分线，交BC于点E，则==，如图②，==，==，则即为所求；（2）∵=，=，∴=﹣=﹣，∵AD：DC=2：1，∴==（﹣）=﹣，∴=+=+（﹣）=+．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．21．（10分）（2014•普陀区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC 形内一点，且∠APB=∠APC=135°．（1）求证：△CPA∽△APB；（2）试求tan∠PCB的值．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．【分析】（1）结合题意，易得∠BAC=45°，从而可得出∠PAC+∠PAB=45°，又在△APB中，∠APB=135°，以及∠APB=∠APC，即可得出△CPA∽△APB；（2）由于△ABC是等腰直角三角形，即可得出CA和AB之间的关系，利用（1）的条件，，在△BCP中，∠BPC=90°，易得出tan∠PCB的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，又在△APB中，∠APB=135°，∴∠PBA+∠PAB=45°，∴∠PAC=∠PBA，又∠APB=∠APC，∴△CPA∽△APB．（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴，又∵△CPA∽△APB，∴，令CP=k，则，又在△BCP中，∠BPC=360°﹣∠APC﹣∠APB=90°，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度．22．（10分）（2014•普陀区一模）如图，浦西对岸的高楼AB，在C处测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进100米到达D处，在D处测得A的仰角为45°，求高楼AB的高．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先AB=x，在Rt△ADB中，∠ADB=45°，可得BD=AB=x，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，可得BC==x，继而可得方程：x﹣x=100，解此方程即可求得答案．【解答】解：由题意可知：AB⊥CD，设AB=x，在Rt△ADB中，∠ADB=45°，∴BD=AB=x，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，∴BC==x．∵CD=CB﹣BD，∴x﹣x=100，解得：x=50+50（m）．答：高楼AB的高为（50+50）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，还考查了三角函数的定义，一个角的正切值等于对边比邻边．23．（12分）（2014•普陀区一模）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC 上的一点，且CD2=BC•CE，AD=6，AE=4．（1）求证：△BCD∽△DCE；（2）求证：△ADE∽△ACD；（3）求CE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（3）根据两个三角形相似，对应边成比例，可得答案．【解答】（1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，∴∠BCD=∠DCE．∵CD2=BC•CE，∴，∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；（2）证明：∵△BCD∽△DCE，∴∠EDC=∠DBC（相似三角形的对应角相等）．∵∠ADC=∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE=∠ACD．∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；（3）解：∵△ADE∽△ACD，∴，AC=9，CE=AC﹣AE=9﹣4=5．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，两角对应相等的两个三角形相似．24．（12分）（2014•普陀区一模）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣），且与x轴交于点A、点B，若tan∠ACO=．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），∠MPQ=45°，射线PQ与线段BM交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线y=ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣），求出b=﹣，再根据tan∠ACO=，求出点A的坐标，再代入y=ax2﹣2ax﹣即可得出此抛物线的解析式；（2）①过点M作MP⊥AB，垂足为点P，过点P作PQ⊥MB，垂足为点Q，先求出PB=PM=2，再根据∠PMQ=45°，得出∠MPQ=45°，再求出点P的坐标即可；②当∠MPQ=45°，PM=PQ时，设点P的坐标为（m，0），则BP=3﹣m，根据△MPQ∽△MBP，得出MB=BP，2=3﹣m，求出m的值即可得出点P的坐标，再根据点P是线段OB上一动点，得出不合题意，舍去；③当∠MPQ=45°，PM=QM时，点P与点A重合，得出不合题意，舍去．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣），∴b=﹣，∴OC=，∵tan∠ACO=，∴OA=1，∴点A的坐标是：（﹣1，0），把（﹣1，0）代入y=ax2﹣2ax﹣得；a=，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣，（2）①过点M作MP⊥AB，垂足为点P，过点P作PQ⊥MB，垂足为点Q，∵点M的坐标为：（1，﹣2），点B的坐标为：（3，0），∴PB=PM=2，∴∠PMQ=45°，∴∠MPQ=45°，∴PQ=MQ，∴点P的坐标为（1，0）；②当∠MPQ=45°，PM=PQ时，设点P的坐标为（m，0），则BP=3﹣m，∵∠M=∠M，∠MPQ=∠MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=，∵PM=PQ，∴MB=BP，∵MB==2，∴2=3﹣m，∴m=3﹣2，∴点P的坐标为（3﹣2，0）；③当∠MPQ=45°，PM=QM时，点P与点A重合，（当PM=QM时，∠MPQ=∠MQP=45°，所以∠M=90°，又因为∠B=45°，所以△MBP是等腰直角三角形，所以，点M在线段BP的垂直平分线上．又点M是抛物线的顶点，所以，点M在BA的垂直平分线上，所以，点P与点A重合）∵点P是线段OB上一动点，∴不合题意，舍去．综上所述：点P（1，0），（3﹣2，0）．【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质，关键是根据题意画出所有图形，注意把不合题意的结果舍去．25．（14分）（2014•普陀区一模）如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，联结AP，作PF⊥AP交∠DCE的平分线CF上一点F，联结AF交边CD于点G．（1）求证：AP=PF；（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用全等三角形证明．如答图1，在线段AB上截取AQ=PC，构造△APQ≌△PFC；（2）利用相似三角形求解．如答图2，过点F过FN⊥CE于点N，易证△ABP≌△PNF，则有FN=BP=x；过点F作FM⊥CD于点M，则MCNF为正方形，从而得到：MF=x，MG=2﹣x﹣y；最后利用相似三角形△ADG∽△FMG，列出比例关系式，求出表达式；（3）与（2）相同方法求解，如答图3所示，结论不变．【解答】（1）证明：如答图1，在线段AB上截取AQ=PC，则有BP=BQ，∴△BPQ为等腰直角三角形，∴∠AQP=135°．∵PF⊥AP，∴∠FPC+∠APB=90°，又∠PAQ+∠APB=90°，∴∠PAQ=∠FPC．在△APQ与△PFC中，，∴△APQ≌△PFC（ASA）∴AP=PF．（2）解：如答图2，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，∴FN=BP=x．过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，∴MC=MF=FN=BP=x，∴MG=MD﹣DG=CD﹣MC﹣DG=2﹣x﹣y．∵MF∥AD，∴△ADG∽△FMG，∴，即，解得：y=（0≤x≤2）．（3）解：解析式变化．理由如下：如答图3，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，∴FN=BP=x．过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，∴MC=MF=FN=BP=x，∴MG=MC﹣DG﹣CD=x﹣y﹣2．∵MF∥AD，∴△ADG∽△FMG，∴，即=，解得：y=．【点评】本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形、角平分线性质等知识点，题目难度不大，重点是对几何基础知识的考查．。
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2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷2013.12一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e a +=与21e e m b -=平行，则实数=m .3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .4. 在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .5. 若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9. 若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .10．【文科】如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 【理科】如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若直线C B 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 11. 【文科】在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S .第10题【理科】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2c o s1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种.13. 【文科】若函数2cos1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .【理科】正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点D 是线段BC 的中点，过D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 .14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的………………………………………………………………（ ）)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）)(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+baa b . )(C 4)11)((≥++ba b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos.第13题18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：①||||||||21OA OA OA n ==== ； ②||i OA 的最小值一定是||OB ；③点A 、i A 在一条直线上；④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C :x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标； （2）求||PQ 的最小值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）【文科】求函数)(x f 的值域，并写出函数)(x f 的单调递增区间；【理科】求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值. 21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？第18题第21题（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注:3310001mm cm =）22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.已知数列{}n a 中，13a =，132nn n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.3.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求(f 的值；（2）【文科】已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =函数()y f x x =-在)8,1(上无零点；【理科】已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =函数()y f x x =-在()1,+∞上无零点；（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k +⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. )0,3(-； 2.1-； 3. 4；4.3； 5.1； 6. =-)(1x f )0(21≤+x x （不标明定义域不给分）；7. 8； 8.32； 9.)2,21( 10．32； 11.【文科】 14--n n （*N n ∈）； 【理科】1006； 12.31； 13.【文科】150；【理科】49π； 14.2<a ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22= （1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分 （2）||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分当1=x 时，3||m in =PQ ……………………………………12分（不指出0≥x ，扣1分）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分【文科】由于2)62sin(22≤+≤-πx ，所以函数)(x f 的值域为]2,2[-………4分 由πππππk x k 22)6222+≤+≤+-得ππππk x k +≤≤+-63所以函数)(x f 的单调的增区间为]6,3[ππππ+-k k ，Z k ∈………6分（文科不写Z k ∈，不扣分；不写区间，扣1分）【理科】由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(m ax =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分 21. （本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分. 【解】（1）设每分钟滴下k （*N k ∈）滴，………………1分则瓶内液体的体积πππ1563294221=⋅⋅+⋅⋅=V 3cm ………………3分k 滴球状液体的体积75340103432ππk mm k k V ==⋅⋅⋅=3cm ………………5分 所以15675156⨯=ππk ，解得75=k ，故每分钟应滴下75滴。