9.3 三重积分的概念与计算
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高等数学§9.3.1-2三重积分的计算
例．计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区 上域连续 ，且关 于 原 点 对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ） 求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所 围 成 。
z
R
o
Ry
x
解 ： 在 x面 o 上 的 投 y 影 区 域 为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在 上连 ,则 续得 时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（ 先 一 后 二 法 ） 。
若 D x 可 用 y 不 等 式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表 示 ， 则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz
课件：9.3三重积分
4) 根据2) 3)写出的积分限.
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
三重积分
∫∫∫ ( x2 + 5xy2 sin x2 + y2 )d x d y d z, 其中 Ω
Ω 由 z = 1 (x2 + y2 ), z = 1, z = 4围成. 2
解: I = ∫∫∫Ω x2 d x d y d z+ 5 ∫∫∫Ω xy2 sin x2 + y2 d x d y d z
利用对称性
∫∫ ∫ 记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z = z1(x, y)
y xD
dxd y 微元线密度≈ f (x, y, z) dxd y
1
例 1 化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
Ω
次积分，其中积分区域Ω为由曲面 z = x2 + 2 y2
Ω
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
∫∫∫Ω
f
(
x,
y,
z
)
d
v
=
∫b a
d
z
∫∫DZ
f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ f (x, y, z)d v = Ω
b
dx
y2 (x) d y
a
y1( x)
z2 (x, y) f (x, y, z)d z
z1( x, y)
z
1
o
1
x
y
1
例 3 化三重积分∫∫∫ y 1 − x2dxdydz为三次积分，其中 Ω
Ω 由曲面 y = − 1 − x2 − z2 ， x2 + z2 = 1， y = 1所围成.
第三节三重积分的概念与计算
过 z轴且平行 xoy平面的平面去截 ，得截面
Dz ，则三重积分的计算可化为先对
z
x，y 求二重积分，再对 z 求定积分， b
即
Dz
f(x, y,z)dxdydz
b
a
dz f(x,y,z)dxdy
第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )，求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 V i
x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只 ， 看 z的 将 作 函数，则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
再计F算 (x,y)在闭区 Dx间 y上的二重积分
f(x ,y ,z )d vF (x ,y )d[z 2 (x ,y )f(x ,y ,z )d ] d z.
VVdxdydz
例 3 求由曲面 z x2 2 y2及z 2 x2所围成 的闭区域 的体积.
解 由zzx222x2y2,
得 交 线 投 影 区 域 x2y21,
故 {x (,y,z)|x22y2z2x2,(x,y) D x}y 其D x 中 y {x (,y)|x2y21 }
的体积 1dxdydz
Dxy
Dxy
1
1x
xdx2 (1x2y)dy
Dz ，则三重积分的计算可化为先对
z
x，y 求二重积分，再对 z 求定积分， b
即
Dz
f(x, y,z)dxdydz
b
a
dz f(x,y,z)dxdy
第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )，求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 V i
x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只 ， 看 z的 将 作 函数，则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
再计F算 (x,y)在闭区 Dx间 y上的二重积分
f(x ,y ,z )d vF (x ,y )d[z 2 (x ,y )f(x ,y ,z )d ] d z.
VVdxdydz
例 3 求由曲面 z x2 2 y2及z 2 x2所围成 的闭区域 的体积.
解 由zzx222x2y2,
得 交 线 投 影 区 域 x2y21,
故 {x (,y,z)|x22y2z2x2,(x,y) D x}y 其D x 中 y {x (,y)|x2y21 }
的体积 1dxdydz
Dxy
Dxy
1
1x
xdx2 (1x2y)dy
三重积分的概念和计算方法
三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。
本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。
1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。
在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。
2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。
3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。
3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。
对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。
3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。
常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。
3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。
对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。
3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。
对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。
4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。
常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。
5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。
三重积分的概念与计算
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
三重积分(1)
V
Ｖ为图示立体区域
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
f (x,
y, z)dz
这样化成了一个定积分
和一个二重积分的计算
最后. 再把二重积
O
分化成二次积分
D
x
z2(x,y)
z1(x,y)
y
5
I f ( x, y, z)dxdydz dxdy z(x,y) f ( x, y, z)dz
Ｏ
z cos.
１
y
dV 2 sinddd
x
29
例７ 求球面 x2 y2 (z a)2 a2 与锥面
其中Ｖ由抛物柱面 y x
2
及三个平面 y 0, z 0, x z
围成第一卦限部分．
2
y=
D
Ｏ
Ｖ
x
2
解 区域Ｖ如图示，用不
0o
y
.
等式表示就是
0 x,
2
z=0
2
x
0 y x,
0 z x.
2
11
y cos( z x)dxdydz
V
I f ( x, y, z)dxdydz z
N
V
Ｖ为图示立体区域
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
f (x,
y, z)dz
M
z2(x,y)
Ｖ
z1(x,y)
Ｏ y
DP
4
x
二、直角坐标下三重积分的计算 —化为三次积分
I f ( x, y, z)dxdydz z
Ｖ为图示立体区域
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
f (x,
y, z)dz
这样化成了一个定积分
和一个二重积分的计算
最后. 再把二重积
O
分化成二次积分
D
x
z2(x,y)
z1(x,y)
y
5
I f ( x, y, z)dxdydz dxdy z(x,y) f ( x, y, z)dz
Ｏ
z cos.
１
y
dV 2 sinddd
x
29
例７ 求球面 x2 y2 (z a)2 a2 与锥面
其中Ｖ由抛物柱面 y x
2
及三个平面 y 0, z 0, x z
围成第一卦限部分．
2
y=
D
Ｏ
Ｖ
x
2
解 区域Ｖ如图示，用不
0o
y
.
等式表示就是
0 x,
2
z=0
2
x
0 y x,
0 z x.
2
11
y cos( z x)dxdydz
V
I f ( x, y, z)dxdydz z
N
V
Ｖ为图示立体区域
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
f (x,
y, z)dz
M
z2(x,y)
Ｖ
z1(x,y)
Ｏ y
DP
4
x
二、直角坐标下三重积分的计算 —化为三次积分
I f ( x, y, z)dxdydz z
0903三重积分-1
过点 ( x , y ) ∈ D 作直线 , 穿出． 从 z1 穿入 , 从 z2 穿出．
x
o
z1
z2 S 2
Ω
S1
z = z1 ( x , y )
D
( x, y)
y
Ω = {( x , y , z ) | z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D }.
Ω
1
1− x
1− x − y
0
z dz
z
1 1 1− x 2 = ∫0 dx ∫0 (1 − x − y ) dy 2
1
1 1 1 3 = ∫0 (1 − x ) dx = . 6 24
o
y
1
x
1
读题 计算三重积分∫∫∫ z2dxdydz,其中Ω是由椭球面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
Ω
= 1(a, b, c > 0)所围成的空间有界闭区 . 域
Ω
Ω1
Ω2
性质4 性质4 三重积分的几何意义 : ◆计算 ∫∫∫ 1 ⋅ dv = ∫∫∫ dv = ? 的体积 . Ω
Ω Ω
性质5 比较性质: 性质5 比较性质: 若在Ω上, 有 f ( x , y , z ) ≤ g ( x , y , z ),
则有
∫∫∫ f ( x , y, z )dv ≤ ∫∫∫ g( x , y, z )dv .
1.先将 x , y 看作定值 , 将 f ( x , y , z )只看作 z 的函数 , 则 :
∫
z2 ( x , y ) f ( x , y , z )dz = F ( x , y ) → 面密度函数; z1 ( x , y )
x
o
z1
z2 S 2
Ω
S1
z = z1 ( x , y )
D
( x, y)
y
Ω = {( x , y , z ) | z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D }.
Ω
1
1− x
1− x − y
0
z dz
z
1 1 1− x 2 = ∫0 dx ∫0 (1 − x − y ) dy 2
1
1 1 1 3 = ∫0 (1 − x ) dx = . 6 24
o
y
1
x
1
读题 计算三重积分∫∫∫ z2dxdydz,其中Ω是由椭球面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
Ω
= 1(a, b, c > 0)所围成的空间有界闭区 . 域
Ω
Ω1
Ω2
性质4 性质4 三重积分的几何意义 : ◆计算 ∫∫∫ 1 ⋅ dv = ∫∫∫ dv = ? 的体积 . Ω
Ω Ω
性质5 比较性质: 性质5 比较性质: 若在Ω上, 有 f ( x , y , z ) ≤ g ( x , y , z ),
则有
∫∫∫ f ( x , y, z )dv ≤ ∫∫∫ g( x , y, z )dv .
1.先将 x , y 看作定值 , 将 f ( x , y , z )只看作 z 的函数 , 则 :
∫
z2 ( x , y ) f ( x , y , z )dz = F ( x , y ) → 面密度函数; z1 ( x , y )
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
z z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
Ω
I =∫∫ dxdy∫z ( x, y) f ( x, y, z)dz
D
1
z2 ( x, y )
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
ρ
o
dz
y
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ , z ) 适用范围: 适用范围
θρ
dθ
dρ
1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
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例3. 计算三重积分
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v = f (ξ,η,ζ )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法 方法2 方法 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 方法 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
c2 z
z
Dz
Ω
I=
∫
.
c2
c1
dz ∫∫ f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
z z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
Ω
I =∫∫ dxdy∫z ( x, y) f ( x, y, z)dz
D
1
z2 ( x, y )
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
ρ
o
dz
y
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ , z ) 适用范围: 适用范围
θρ
dθ
dρ
1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
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例3. 计算三重积分
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v = f (ξ,η,ζ )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法 方法2 方法 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 方法 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
c2 z
z
Dz
Ω
I=
∫
.
c2
c1
dz ∫∫ f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
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圆柱面 半平面 平面
z
z
M ( x, y , z )
常数
常数
z 常数
©
o y ( x, y,0) x
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
d v d d d z
因此
z
d
f ( x, y, z)dxd ydz
d d d z
z
o x d d
©
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f ( x, y, z ) 0 , 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”)
方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
2 2 2 2 x y ( z a ) a 解： 边界曲面方程为
z
在球坐标系下方程为 r 2a cos 则 可表示为
: 0 2 ,0 ,0 r 2a cos
2a
y
所以
V dxdydz d d
0 0 2
直角坐标系
柱面坐标系
dx d y dz
d d d z
球面坐标系 r 2 sin dr d d 变量可分离. * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
x
r 2 sin dr
o
2 a cos
0
2 3
©
0
sin (r )
3 2 a cos 0
4 3 d a (1 cos 4 ). 3
例7. 计算三重积分 与球面
其中
所围立体.
z
解: 在球面坐标系下
0r R : 0 4 0 2
方法2. “先二后一”
d z
a
b
DZ
f ( x, y, z )d xd y
z2 ( x, y )
方法3. “三次积分”
d x
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
d y
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
第三节
第九章
三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
©
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得
直角坐标与球面坐标的关系
x rsin cos y r sin sin z r cos
坐标面分别为
0 r 0 2 0
球面
M (r , , )
z z
r o x
M
y
r 常数
常数 常数
2 1
记作
D d xd y z1 ( x, y )
z2 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
x
D
y
d xd y
©
方法1. 投影法 (“先一后二” )
©
1 2 2 2 例1.计算 I 2 2 dxdydz , 其中 由锥面 x y z , x y 1
©
定义. 设 f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) , 若对 作任意分割: 任意取点 下列“乘
积和式” 极限
0 k 1
lim f ( k ,k , k )vk
n
记作
f ( x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.
©
半平面 锥面
r sin z r cos
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有
z
dr d v r sin d rd dr d r 2 sin d r d d r
f ( x, y, z )d xd yd z
x
o
d
d
y
F (r , , ) r 2 sin d r d d
1
z2 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
投影法
d xd y
D
©
z2 ( x, y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二”
d xd y
D
z2 ( x, y ) z1 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
n
记作
f ( x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.
©
定义. 设 f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) , 若对 作任意分割: 任意取点 下列“乘
所以
I
D xy
o D xy
y
dxdy 0
1 1 x 0 0
xy
f ( x, y, z )dz
xy
dx
©
dy f ( x, y, z )dz
0
例
©
©
方法2. 截面法 (“先二后一”)
z b z a
x
以 Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
Dz
y
面密度≈
积和式” 极限
0 k 1
lim f ( k ,k , k )vk
n
记作
f ( x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.
适用范围:
其中 F (r , , ) f (r sin cos , r sin sin , r cos ) 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
©
(0,0,2a)为 在 z 轴的交点. 例6. 如图，求立体 的体积， 上曲面球心在 (0,0, a) ,半径为 a,下锥面半顶角为 .
©
方法1. 投影法 (“先一后二” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D
z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) d xd y f ( x , y , z ) d z D z ( x, y )
平面 z 1 围成.
用投影法.
: Dxy : 0 2 ,0 r 1, r x y z 1,
2 2
I
D xy
dxdy
1 x2 y2
1 dz 2 2 x y 1
1 x2 y2 drd 2 2 x y 1 D xy
©
2. 利用柱坐标计算三重积分
（ , , z ) 设 M ( x, y, z ) R 3 , 将 x, y用极坐标 , 代替, 则
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
坐标面分别为
0 0 2 z
解: 在柱面坐标系下
z
h
x 2 d d z 原式 = d 0 2 0 4 1 d v d d d z 2 2 h 2 (h ) d 2 0 4 1
2
2 h
h
o
y
©
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z ) R 3 , 其柱坐标为 ( , , z ), 令 OM r , ZOM , 则(r , , ) 就称为点M 的球坐标.
zdxdydz，其中 是上半椭球体
解： : 0 z c, 则 而
x2 y 2 z2 Dz : 2 2 1 2 . a b c
c
zdxdydz
2
0
zdz dxdy
Dz
2
2 z z z ab(1 ), 2 2 dxdy S Dz a (1 2 ) b (1 2 ) 2 c c c Dz c z2 1 原式 ab(1 2 ) zdz abc 2 . 0 4 c
z d xd y d z, 其中 为三个坐标
z
1
zdxdydz dxdy
D xy
1 x y
0
zdz
2
1
o
1
y
dy
0 1
1
1 y
0
(1 x y ) dx 2
x
(1 y )3 1 dy 0 6 24
©
例4. 计算三重积分
z
z
M ( x, y , z )
常数
常数
z 常数
©
o y ( x, y,0) x
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
d v d d d z
因此
z
d
f ( x, y, z)dxd ydz
d d d z
z
o x d d
©
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f ( x, y, z ) 0 , 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”)
方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
2 2 2 2 x y ( z a ) a 解： 边界曲面方程为
z
在球坐标系下方程为 r 2a cos 则 可表示为
: 0 2 ,0 ,0 r 2a cos
2a
y
所以
V dxdydz d d
0 0 2
直角坐标系
柱面坐标系
dx d y dz
d d d z
球面坐标系 r 2 sin dr d d 变量可分离. * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
x
r 2 sin dr
o
2 a cos
0
2 3
©
0
sin (r )
3 2 a cos 0
4 3 d a (1 cos 4 ). 3
例7. 计算三重积分 与球面
其中
所围立体.
z
解: 在球面坐标系下
0r R : 0 4 0 2
方法2. “先二后一”
d z
a
b
DZ
f ( x, y, z )d xd y
z2 ( x, y )
方法3. “三次积分”
d x
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
d y
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
第三节
第九章
三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
©
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得
直角坐标与球面坐标的关系
x rsin cos y r sin sin z r cos
坐标面分别为
0 r 0 2 0
球面
M (r , , )
z z
r o x
M
y
r 常数
常数 常数
2 1
记作
D d xd y z1 ( x, y )
z2 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
x
D
y
d xd y
©
方法1. 投影法 (“先一后二” )
©
1 2 2 2 例1.计算 I 2 2 dxdydz , 其中 由锥面 x y z , x y 1
©
定义. 设 f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) , 若对 作任意分割: 任意取点 下列“乘
积和式” 极限
0 k 1
lim f ( k ,k , k )vk
n
记作
f ( x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.
©
半平面 锥面
r sin z r cos
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有
z
dr d v r sin d rd dr d r 2 sin d r d d r
f ( x, y, z )d xd yd z
x
o
d
d
y
F (r , , ) r 2 sin d r d d
1
z2 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
投影法
d xd y
D
©
z2 ( x, y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二”
d xd y
D
z2 ( x, y ) z1 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
n
记作
f ( x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.
©
定义. 设 f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) , 若对 作任意分割: 任意取点 下列“乘
所以
I
D xy
o D xy
y
dxdy 0
1 1 x 0 0
xy
f ( x, y, z )dz
xy
dx
©
dy f ( x, y, z )dz
0
例
©
©
方法2. 截面法 (“先二后一”)
z b z a
x
以 Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
Dz
y
面密度≈
积和式” 极限
0 k 1
lim f ( k ,k , k )vk
n
记作
f ( x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.
适用范围:
其中 F (r , , ) f (r sin cos , r sin sin , r cos ) 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
©
(0,0,2a)为 在 z 轴的交点. 例6. 如图，求立体 的体积， 上曲面球心在 (0,0, a) ,半径为 a,下锥面半顶角为 .
©
方法1. 投影法 (“先一后二” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D
z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) d xd y f ( x , y , z ) d z D z ( x, y )
平面 z 1 围成.
用投影法.
: Dxy : 0 2 ,0 r 1, r x y z 1,
2 2
I
D xy
dxdy
1 x2 y2
1 dz 2 2 x y 1
1 x2 y2 drd 2 2 x y 1 D xy
©
2. 利用柱坐标计算三重积分
（ , , z ) 设 M ( x, y, z ) R 3 , 将 x, y用极坐标 , 代替, 则
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
坐标面分别为
0 0 2 z
解: 在柱面坐标系下
z
h
x 2 d d z 原式 = d 0 2 0 4 1 d v d d d z 2 2 h 2 (h ) d 2 0 4 1
2
2 h
h
o
y
©
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z ) R 3 , 其柱坐标为 ( , , z ), 令 OM r , ZOM , 则(r , , ) 就称为点M 的球坐标.
zdxdydz，其中 是上半椭球体
解： : 0 z c, 则 而
x2 y 2 z2 Dz : 2 2 1 2 . a b c
c
zdxdydz
2
0
zdz dxdy
Dz
2
2 z z z ab(1 ), 2 2 dxdy S Dz a (1 2 ) b (1 2 ) 2 c c c Dz c z2 1 原式 ab(1 2 ) zdz abc 2 . 0 4 c
z d xd y d z, 其中 为三个坐标
z
1
zdxdydz dxdy
D xy
1 x y
0
zdz
2
1
o
1
y
dy
0 1
1
1 y
0
(1 x y ) dx 2
x
(1 y )3 1 dy 0 6 24
©
例4. 计算三重积分