工程力学第九章
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工程力学-第9章
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面 上仅有扭矩（ Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。
圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法，基 本相同，就是：根据表面变形作出平面假定；由平面假定得到 应变分布，亦即得到变形协调方程；再由变形协调方程与应力 －应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式； 最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式。
t G
此即为剪切胡克定律，式中G为比例常数，称为剪切弹性 模量或切变模量
t G
( )
d dx
d t G G dx
TSINGHUA UNIVERSITY 其中
G
d －对于确定的横截面是一个不变的量。 dx
上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成 正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
M x 3 16 185.7 Pa 21.98MPa WP3 π 353 10 -9
承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
扭转实验与扭转破坏现象
扭转强度设计
扭转刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
为了测定剪切时材料的力学性能，需材料 制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。 对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验， 使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布，这样才能 得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。 对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发 生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到 反映剪应力与剪应变关系的曲线。
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面 上仅有扭矩（ Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。
圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法，基 本相同，就是：根据表面变形作出平面假定；由平面假定得到 应变分布，亦即得到变形协调方程；再由变形协调方程与应力 －应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式； 最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式。
t G
此即为剪切胡克定律，式中G为比例常数，称为剪切弹性 模量或切变模量
t G
( )
d dx
d t G G dx
TSINGHUA UNIVERSITY 其中
G
d －对于确定的横截面是一个不变的量。 dx
上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成 正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
M x 3 16 185.7 Pa 21.98MPa WP3 π 353 10 -9
承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计
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扭转实验与扭转破坏现象
扭转强度设计
扭转刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
为了测定剪切时材料的力学性能，需材料 制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。 对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验， 使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布，这样才能 得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。 对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发 生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到 反映剪应力与剪应变关系的曲线。
工程力学第九章
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。
一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。
一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max
(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小
结
max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2
梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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(9.4)
工程力学第九章chapter09精品PPT课件
FB= 2F FAx=F FAy=3F
2) 截面法求内力( 取坐标如图) 3) 0x<aF: N=0; FQ=-F; M=-Fx
FM
FN 0 x FQ
6
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
y F 3F
3F
0 AF aa
FB 45 B x
a
ax<2a: FN=-F；FQ=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)
=384-32x4
结果应当相同。 可以用于验算。
FAy q
M0 F
A BC
DE x
4m 2m 2m 4m FE
FAy q M0 F M4
0 x4 B C D c FQ4
M4
0
x4
FQ4 c
FE
内力同样要按正向假设!
12
内力方程:
FAy q
M0 F
AB段: 0x<4m
A BC
DE x
FQ1=49-9x1; M1=49x1-4.5x12 BC段: 4mx<6m
求梁的内力。
FAy q
M0 F
解：1）求约束反力：
FAx=0 A B C
DE x
4m 2m 2m 4m FE
SFx=FAx=0 SFy=FAy+FE-F-4q=0
FAy q M1
MA(F )=12FE+M0-8F-2×4q=0
0 x1 c FQ1
FAy=49kN；FE=32kN
2) 截面法求内力
3) AB段: 0x1<4m
FQ4=-32; M4=384-32x4 x48: FQD13
工程力学最新版教学课件第9章
B
C
1 DE
2
A
F
9.2 平面几何不变体系的组成规则
对于复杂体系，可以采用以下方法：
5. 先确定一部分为刚片，连续几次使用二刚片或三刚片规则，逐步扩大到整个体系。如 下图所示，从下往上看，下层是按三刚片规则组成的几何不变的三铰刚架 ABH，上 层两个刚片CDE与EFG和下层(刚片)按三刚片规则组成为几何不变体系。
【解】 首先以地基及杆AB为二刚片，由铰A和链杆1联结，链杆l延长线不通过铰A，组成几何不变 部分。以此部分作为一刚片，杆CD作为另一刚片，用链杆2、3及BC链杆（联结两刚片的链 杆约束，必须是两端分别连接在所研究的两刚片上）连接。三链杆不交于一点也不全平行， 符合两刚片规则，故整个体系是无多余约束的几何不变体系。 思考：是否有其他分析方法？ 结论：分析同一体系的几何组成可以采用不同的组成规则；一根链杆可视为一个约束，也可 视为一个刚片。
思考：如何理解“多余约束并非真的是多余”？
9.2 平面几何不变体系的组成规则
9.2.1 二元体概念及二元体规则
规则1(二元体规则)：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成无多余约束的 几何不变体系。 由两根不共线的链杆连接一个结点的构造，称为二元体(如图中的BAC)。 推论1：在一个体系上增加或减少任意一个二元体，都不会改变原体系的几何组成性质。
1
2
3
4
A
B
图12-13
9.2 平面几何不变体系的组成规则
对于复杂体系，可以采用以下方法：
2. 从一个刚片(例如地基或铰结三角形等)开始，依次增加二元体，尽量扩大刚片范围， 使体系中的刚片个数尽量少，便于应用规则。以下图为例，将地基视为一个刚片，依 次增加二元体，结点4处有一个二元体，增加在地基上，地基刚片扩大，以此扩充结 点3处二元体，结点2处二元体，结点1处二元体。即体系为几何不变。
工程力学第九章ppt
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
24
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面 杆，只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
d
I p A 2dA
D
02
2
2
d
O
D
D4
32
0.1D4
25
对于空心圆截面：
l与1
以l 及直径 2
与d1 。d已2 知轴总
长为 ，许l 用切应力为
33
§4 圆轴扭转时的变形 ·刚度条件
一、扭转时的变形
由公式
d
dx
T GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
l
d
T
dx
0 GI p
Tl
GI p
34
二、单位扭转角 ：
或
d
dx
T GIp
(rad/m)
d
dx
T GI p
① 校核强度：
T max
[ ]
max
W
P
② 设计截面尺寸：W Tmax
P [ ]
W P
实空：：1DD63（3 116
4）
③ 计算许可载荷：T W [ ]
max
P
29
例题
30
☆工程上采用空心截面构件：节约材料，重量轻， 结构轻31便。
[例4-2] 某传动轴设计要求转速n = 300 r / min，1为主动轮，输 入功率p1 = 50千瓦，输出功率分别 p2 = 10千瓦及 p3、4 = 20千 瓦。M1=1591.5,m2=318.3,m3=m4=636.6n.m
工程力学第九章扭转PPT课件
.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max，但有 2,max<[ ] = 80MPa，故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求：
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C
工程力学第九章
（3） 根据剪力方程逐段画剪力图；
（4） 根据弯矩方程逐段画弯矩图。
例9-5 作如图9-13所示梁的剪力图和弯矩图。 已知 AC CD a ，DB 2a 。
解： （1） 求约束力。 Fx 0
FAx 0
F 0 M 0
y A
FAy FB 2qa
m FB 4a q 2a 3a
由
F
y
0 得
ql qx (0 x l ) 2
Q FAy qx
即剪力方程
由
M
O
0 （ O 为截面形心）得
即弯矩方程
x ql qx 2 M ( x) FAy x qx x (0 x l ) 2 2 4
（3） 画剪力图和弯矩图。 Q ql 2 ； 由剪力方程可知，剪力图为一斜直线，在 x 0 处， Q ql 2 ，剪力图如图9-12（d）所示。由图可知， 在 x l 处， 在靠近梁支座的横截面上，有最大剪力，而梁中间横截面上的剪 力为零。且有 ql Qmax 2
§9-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 梁横截面上的剪力和弯矩，一般随横截面的位置而变化。 剪力和弯矩，都可表示为位置坐标x的函数，即 Q f1 ( x) M f 2 ( x) 此二式分别称为剪力方程和弯矩方程。 为了全面了解剪力和弯矩沿着梁轴线的变化情况，可根据 剪力方程和弯矩方程用曲线把它们表示出来。x坐标表示横截 面位置，剪力 Q 值或弯矩 M 值为纵坐标，所得的图形，分别 称为剪力图和弯矩图。 根据剪力图和弯矩图，很容易找出梁内最大剪力和最大弯矩 （包括最大正弯矩和最大负弯矩）所在的横截面及数值，得到 了这些数值之后，可以进行梁的强度分析。
13 9 dM ( x) 2 x a 0 ，得 令 时，有最大弯矩 M max qa ， 4 32 dx 1 当 x 2a , M qa 2 2
工程力学(材料力学部分第九章)
Pcr
2EI ( l)2
临界应力
cr
Pcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
i
16
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E
l
2
i
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。
29
1 稳定校核问题
1) 计算 1 ， 2， ；
2) 确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆， 小柔度杆) ；
3) 根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P； 5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。 2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆 由两端铰支压杆的临界 压力公式
2EI
Pcr (2l)2
2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）
P
n2 2EI
l2
因为临界压力是微弯平衡状态下的最
小压力， 所以，应取 n = 1 。
Pcr
2EI
l2
欧拉公式
这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。
工程力学第9章(扭转)
解：⑴ 计算外力偶矩 PA 4 M A 9549 9549 76.4N m n 500 PB 10 M B 9549 9549 191N m n 500 PC 6 M C 9549 9549 114.6N m n 500 ⑵ 计算轴各段的扭矩 1-1：
所以BD的直径
d 4.47 102 m
AC AB BC 1.50 102 (1.17 102 ) 0.33 102 rad
⑵ 校核轴的刚度 T T 180 180 max max AB 0.43o /m GI P GI P 80 109 3.0 105 1012 所以轴的刚度满足要求
TBA 468N m TAC 700N m TCD 350N m Tmax 700N m
⑶ 计算BD的直径 按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
M
x
(F ) 0 : (F ) 0 :
T1 M A 0 T2 MC 0
解得： T1 76.4N m 2-2：
M
x
解得： T2 114.6N m
⑶ 绘制扭矩图
§9-3
切应力互等定理与剪 切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不 变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩 形变为平行四边形。
圆轴扭转横截面上的应力
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变； 各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平 行四边形。
· 平面假设 圆轴扭转变形前原为平面的 横截面，变形后仍为平面，形状、 大小不变，半径仍为直线，两相 邻截面间的距离不变。 ·切应变在横截面上的分布
第九章 工程力学 拉伸与压缩
截面杆，其边长a=60mm，P=10KN，试求AB和BC横截
面上的正应力。
d A
解：
FNAB sin 300 F FNAB cos 300 FNBC
FNAB
300
B
AB
FNAB AAB
28.3MPa
C
FNBC a
F
BC
FNBC ABC
4.8MPa
3
许用应力.强度条件
关于 形后仍然保持为平面， 且仍垂直与轴线，称 为平面假设。
(b) 变形和受力关系
F
A
FN
S ——轴向拉伸或压缩时 横截面上应力计算式
是垂直于横截面的应力-
正应力
轴力为拉力时为拉应力
轴力为压力时为压应力 （可用负号表示）
例题9-3
图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆为正方形
❖ 材料所能承受的应力都是有限度的，超过这一限 度，材料就会发生破坏；
❖ 极限应力：材料所能承受的最大应力； ❖ 工作应力：正常工作时由载荷引起的应力； ❖ 许用应力：为保证构件安全正常工作，应使其工
作应力小于材料的极限应力，因此有必要低于极 限应力若干来确定构件所允许承受的最大应力， 此最大应力称为许用应力，符号[σ]。
第九章 拉伸与压缩
❖轴力 ❖轴向拉伸与压缩时横截面上的应力 ❖ 许用应力.强度条件 ❖轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力 ❖ 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律 ❖材料在拉伸时的力学性能 ❖材料在压缩时的力学性能 ❖应力集中的概念 ❖安全系数和许用应力的确定 ❖简单拉压静不定问题
受力特点：作用在杆件上的外力的作用线或外力合 力的作用线与杆件轴线重合。
σα α pα
τα
5 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律
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9.1.3
应力状态的分类
围绕一点所取单元体的方向不同时，单元体各
面上的应力也不同。可以证明，对于受力构件 内任一点，总可以找到三个互相垂直的平面， 在这些面上只有正应力而没有切应力，这些切 应力为零的平面称为主平面。作用在主平面上 的正应力称为主应力。三个主应力分别用σ1、 σ2、σ3表示，并按代数值大小排序，即 σ1≥σ2≥σ3。围绕一点按三个主平面取出的单元 体称为主单元体。
为了研究一点处的应力状态，可围绕该点截
取一微小的正六面体，称为单元体。由于单 元体各边边长均为无穷小，故可以认为单元 体各面上的应力是均匀分布的，并且每对互 相平行的平面上的应力大小相等，方向相反。 如果知道了单元体的三个互相垂直平面上的 应力，其他任意截面上的应力都可以通过截 面法求得，则该点处的应力状态就可以确定 了。因此，可用单元体的三个互相垂直平面 上的应力来表示一点处的应力状态。
大量观察与研究表明，尽管强度失效现象比
较复杂，但强度失效的形式可以归纳为两种 类型：一种是脆性断裂；另一种是塑性屈服。 强度理论认为，不论材料处于何种应力状态， 只要强度失效的类型相同，材料的强度失效 就是由同一因素引起的。这样就可以将复杂 应力状态和简单应力状态联系起来，利用轴 向拉伸(压缩)的试验结果，建立复杂应力状 态下的强度条件。 根据材料强度失效的两种形式，强度理论可 分为两类：一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。
9.3.2
广义胡克定律
单元体在σ1、σ2和σ3三个主应力方向的线应
变称为主应变，用ε1、ε2、ε3表示。当 应力未超过材料的比例极限时
此式称为广义胡克定律。式中μ、E分别为材
料的泊松比和弹性模量。
9.4
强度理论
9.4.1 强度理论的概念
强度理论的提出，是为了解决构件在复杂应力状
态下的强度计算问题。 长期以来，人们不断地观察材料强度失效的现象， 研究影响强度失效的因素，根据积累的资料与经 验，假定某一因素或某几种因素是材料强度失效 的原因，提出了一些关于材料强度失效的假说， 这些假说以及基于假说所建立的强度计算准则， 称为强度理论。
第9章
应力状态分析和强度理论
9.1
应力状态的概念
9.1.1 一点处的应力状态
一般而言，受力构件内不同截面上的应力分
布不同；同一截面上不同点的应力不同；同 一点不同方位截面的应力不同。受力构件内 一点处各个不同方位截面上应力的大小和方 向情况，称为一点处的应力状态。
9.1.2
应力状态的表示方法
9.4.2
常用的四种强度理论
9.4.2.1 最大拉应力理论(第一强度理论)
该理论认为，引起材料脆性断裂的主要因素是
最大拉应力。
9.4.2.2 最大拉应变理论(第二强度理论)
该理论认为，引起材料脆性断裂的主要因素是
最大拉应变。
9.4.2.3 最大切应力理论(第三强度理论)
该理论认为，引起材料塑性屈服的主要因素是
如果某点主单元体上的三个主应力均不为零，
就称这点的应力状态为三向或空间应力状态； 如果有两个主应力不为零，则称为二向或平 面应力状态；如果只有一个主应力不为零， 则称为单向或简单应力状态。前两种应力状 态也统称为复杂应力状态。
9.2
ห้องสมุดไป่ตู้平面应力状态分析
9.2.1 斜截面上的应力
平面应力状态下任意斜截面上应力的计算公
式
9.2.2 主平面方位及主应力值
正应力为极值的平面，就是切应力等于零的
平面，即主平面。 主应力的值为
9.3
最大切应力和广义胡克定律
9.3.1 最大切应力
经理论分析证明，不管何种应力状态，最大
切应力的值为
其作用面与第一(σ1)和第三(σ3)主平面均成
45°夹角，并与第二(σ2)主平面垂直。
9.4.3
强度理论的选用原则
9.4.3.1 强度条件的统一形式
式中，σr称为相当应力，它由三个主应力按
一定的方式组合而成。对于上述四个强度理 论，其相当应力分别为
9.4.3.2
强度理论的选用原则
在常温、静载条件下，脆性材料多发生脆性断
裂，宜采用最大拉应力理论或最大拉应变理论； 塑性材料多发生塑性屈服，宜采用最大切应力 理论或形状改变比能理论。但材料的强度失效 形式，不仅取决于材料的性质，而且与其所处 的应力状态、温度和加载速度等都有一定关系。 试验表明，塑性材料在一定的条件下(如低温 或三向拉伸时)，也会表现出脆性断裂。此时 也应该选用最大拉应力理论或最大拉应变理论； 脆性材料在一定的应力状态(如三向压缩)下， 也会表现出塑性屈服，此时应选用最大切应力 理论或形状改变比能理论。
最大切应力。
9.4.2.4形状改变比能理论(第四强度理论)
构件在变形过程中，假定外力所做的功全
部转化为构件的弹性变形能。单元体的变 形能包括体积改变能和形状改变能两部分。 对应于单元体的形状改变而积蓄的变形能 称为形状改变能，单位体积内的形状改变 能称为形状改变比能。 该理论认为，引起材料塑性屈服的主要因 素是形状改变比能。