最新冀教版九年级数学上25.5相似三角形的性质第1课时相似三角中的对应线段之比ppt公开课优质教学课件
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冀教版数学九年级上册：相似三角形的性质(1)ppt课件
（1） 1
（2） 2
有什么规律吗？
(1)与(2)的相似比= 1__∶__2__, (1)与(2)的面积比=_1_∶___4_ (1)与(3)的相似比=_1_∶___3_, (1)与(3)的面积比=_1_∶___9_
3
（3）
结论： 相似三角形的面 积比等于_相__似__比__的___平．方
想一想：怎么证明这一结论呢？
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB 边的中点. 求： (1)△DEF的周长与△ABC的周长之比. (2)△DEF的面积与△ABC的面积之比.
解：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，
∴ DE∥AB, EF∥BC，DF∥AC,
且DE 1 AB，EF 1 BC，DF 1 AC.
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
A
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
BD
C
A′
∴△ABD∽△A′B′D′.
AD AB . AD AB
∵△ABC∽△A′B′C′.
B′ D′
C′
AB BC . AB BC
∴AB=CD，AB//CD，
∴△CDF∽△AEF. ∵AE∶EB=1∶2， ∴AE∶AB=1∶3, ∴AE∶CD=1∶3, ∴△AEF与△CDF的周长比为1∶3.
∴S△AEF∶S△CDF=1∶9, ∴S△CDF=9S△AEF=54 cm2.
课堂小结
周长Байду номын сангаас比
相似三角形周长的比等 于相似比．
相似三角 形的性质2
面积的比
相似三角形面积的比等 于相似比的平方．
冀教版九年级上册数学第25章 图形的相似 相似三角形
感悟新知
知1－练
1 如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上， △ADE∽△ABC，AD＝6，DC＝2，AE＝4，EB＝8， 则△ABC与△ADE的相似比是__________，△ADE与 △ABC的相似比是__________．
感悟新知
知1－练
2 如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°， 则∠C等于( )
A．40° B．60° C．80° D．100°
感悟新知
知1－练
3 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若BC＝1， 则EF的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
感悟新知
知识点 2 平行线判定三角形相似
知2－讲
思考
如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB， AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
知1－讲
A
这两个三角形
A′
的形状相同，所
以它们是相似三
角形.
B
C B′
C′
感悟新知
归纳
知1－讲
对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似 三角形(similartriangles)．相似三角形对应边的比叫做 它们的相似比(similarratio).
感悟新知
知1－讲
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B
感悟新知
知2－讲
我们知道，平行于三角形的一边，并且和其他两 边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边 成比例.进而可知，这样截得的三角形与原三角形相似.
已知：如图, EF∥BC，与AB，AC(或它们的延长 线)相交于点E，F. 求证：△AEF∽△ABC.
感悟新知
证明：如图(1)，在△AEF和△ABC中， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B， ∠AFE＝∠C，
冀教版数学九年级上册25 相似三角形的性质 第1课时 相似三角中的对应线段之比课件
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。
（1）两角对应相等的两个三角形相似. （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （3）三边对应成比例的两个三角形相似.
讲授新课
一 相似三角形对应高的比
如图，△ ABC∽△ABC，相似比为k，分别作BC，BC 上的高AD，AD．求证：AADDk .
解: ∵△ ABC ∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B．
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的
中线，那么它们之间有什么关系呢？
证明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
AB BC CA k. A'B' B'C' C' A'
求证：
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠B′= ∠B, AB BC ．
九年级数学上册第25章图形的相似25.5相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质定理1导学课件新版冀教版
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
第1课时 相似三角形的性质定理1
解：小明的解法不正确．正确解法如下：
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 3∶4，
CD 3
9
∴ 3 ＝4，解得 CD＝4.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
么？
图25－5－1
第1课时 相似三角形的性质定理1
[解 析 ]
先
根
据
相
似
的
性
质
得
到
A
A ′
B B′
＝
B
B ′
C C
′
，
再
根
据
三
角
形
中
位
线
的
性
E B
F C
＝
E′ B′
F C
′ ′
＝
1 2
，
利
用
比
例Hale Waihona Puke 性质变形
为
B
B ′
C C
′
＝
E
E ′
F F
′
，
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
第1课时 相似三角形的性质定理1
解：小明的解法不正确．正确解法如下：
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 3∶4，
CD 3
9
∴ 3 ＝4，解得 CD＝4.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
么？
图25－5－1
第1课时 相似三角形的性质定理1
[解 析 ]
先
根
据
相
似
的
性
质
得
到
A
A ′
B B′
＝
B
B ′
C C
′
，
再
根
据
三
角
形
中
位
线
的
性
E B
F C
＝
E′ B′
F C
′ ′
＝
1 2
，
利
用
比
例Hale Waihona Puke 性质变形
为
B
B ′
C C
′
＝
E
E ′
F F
′
，
09-25.5 相似三角形的性质九年级上册数学冀教版
（相似三角形对应高的比等于相似比）.， ，，， ，，，解得 ，的长为 .
5.[2021阜新中考]如图，已知每个小方格的边长均为1，则与 的周长比为_____.
【解析】 如图，分别过点，作 直线， 直线，垂足分别为点， ，则，， ，
，，， ，，，，与 的周长比为 ．
6.[2022杭州中考]如图，在中，点 ，，分别在边，，上，连接 ，.已知四边形是平行四边形， .
知识点2 相似三角形的周长比等于相似比
4.[2023重庆中考A卷]若两个相似三角形周长的比为 ，则这两个三角形对应边的比是( )
B
A. B. C. D.
5.[2023邯郸期末]两个相似三角形的一组对应高的长分别是和 ，其中较大三角形的周长为 ，则较小三角形的周长为( )
C
A. B. C. D.
C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】 ，，分别是和 的角平分线，， ，故①正确，③不正确； ，故②正确.
第2题图
2.[2021河北中考指南]如图，将沿 边上的中线平移到的位置，已知 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则 等于( )
B
A.2 B.3 C. D.
【解析】 如图，由题意，易得. 为边上的中线，且易知为 边上的中线，.， ，，， .
（2）当点,分别为边,的中点时，判断与 的数量关系,并证明你的结论.
解： .证明如下： 点,分别为边, 的中点，， ， ， ， .
（3）如图2，，连接并延长，分别交，于点， .
①已知点是的中点.求证： .
证明：， ，，同理可得， .又 点是的中点，， .
②已知，四边形的面积为42，求 的面积.
解：，， ，， ，， .设，则 . 四边形 的面积为42，，解得 ， .
5.[2021阜新中考]如图，已知每个小方格的边长均为1，则与 的周长比为_____.
【解析】 如图，分别过点，作 直线， 直线，垂足分别为点， ，则，， ，
，，， ，，，，与 的周长比为 ．
6.[2022杭州中考]如图，在中，点 ，，分别在边，，上，连接 ，.已知四边形是平行四边形， .
知识点2 相似三角形的周长比等于相似比
4.[2023重庆中考A卷]若两个相似三角形周长的比为 ，则这两个三角形对应边的比是( )
B
A. B. C. D.
5.[2023邯郸期末]两个相似三角形的一组对应高的长分别是和 ，其中较大三角形的周长为 ，则较小三角形的周长为( )
C
A. B. C. D.
C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】 ，，分别是和 的角平分线，， ，故①正确，③不正确； ，故②正确.
第2题图
2.[2021河北中考指南]如图，将沿 边上的中线平移到的位置，已知 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则 等于( )
B
A.2 B.3 C. D.
【解析】 如图，由题意，易得. 为边上的中线，且易知为 边上的中线，.， ，，， .
（2）当点,分别为边,的中点时，判断与 的数量关系,并证明你的结论.
解： .证明如下： 点,分别为边, 的中点，， ， ， ， .
（3）如图2，，连接并延长，分别交，于点， .
①已知点是的中点.求证： .
证明：， ，，同理可得， .又 点是的中点，， .
②已知，四边形的面积为42，求 的面积.
解：，， ，， ，， .设，则 . 四边形 的面积为42，，解得 ， .
最新冀教版初中数学九年级上册精品课件25.5 相似三角形的性质
∴
AB AB
AC AC
BC BC
k,
AD k . AD
∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.
∴ CABC AB BC AC kAB kBC kAC k， CABC AB BC AC AB BC AC
∴∠BAF=∠B'A'F',∴△ABF∽△A'B'F'.
∴ AF AB k.
AF AB
例1 如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足 为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点 E,F,G, AE 3 ,AD=15.求AG的长.
AB 5
检测反馈
思考: (1)由EF∥BC可以得到哪两个三角形相似? (2)相似三角形的相似比是多少? (3)AG与AD是不是相似三角形的对应线段? (4)根据相似三角形的性质能否求出线段AG的长?
解:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
∵AD⊥BC,∴AD⊥EF.∴ AG AE .
AD AB
又∵
AE AB
3 5
，
AD=15，
∴ AG 3 . 15 5
∴AG=9.
【知识拓展】 相似三角形的性质可用于有关角的计算、 线段长的计算等，还可以用于证明两角相 等、两条线段相等.
1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4,
2.如图所示,在等边三角形ABC中,点D,E分别在 AB,AC边上,且DE∥BC,如果BC=6 cm, AD 1 ,
AB 3
那么△ADE的周长等于 6 cm,△ADE与四 边形BCED的面积比为 1∶8 .
解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴两个三角形的周长比等
冀教版九年级数学上册 (相似三角形的性质)教学课件(第1课时)
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ，
BD
C
A'
∴△ABD ∽△A' B' D' .
∴ AD AB k. A'D' A'B'
B' D'
C'
如果△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比等于相 似比，那么它们对应中线、对应角平分线的比又是多少？
解：如图， AE， A ' E '分别为两个三角形的对
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应角的平分线，则∠BAE ＝ ∠B′ A′ E′ .
∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ，
∴△ABE ∽△A' B' E' . ∴ AE AB k.
A'E' A'B' 同理可得 AF AB k.
A'F ' A'B'
B DEF C A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
AB BC CA kA' B ' kB 'C ' kC ' A' k. A' B ' B 'C ' C ' A' A' B ' B 'C ' C ' A'
归纳： 由此我们可以得到：
相似三角形周长的比等于相似比.
★ 相似三角形面积的比等于相似比的平方
最新冀教版初中数学九年级上册精品教案25.5 相似三角形的性质
25.5 相似三角形的性质
┃教学整体设计┃
【教学目标】
理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)与相似比之间的关系，掌握定理的证明方法；并能灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析、推理能力.
【重点难点】
重点：相似三角形性质定理的探索.
难点：运用性质解决实际问题.
┃教学过程设计┃
二、师生互动，探究新知
1.△ABC∽△A′B′C′，相似比AB∶A′B′＝
(1)这两个三角形相似吗？______. 如果相似，相似比是______. (2)这两个三角形的周长分别为
如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形
上，矩形相邻两边的比为
┃教学小结┃
【板书设计】
相似三角形的性质
1.相似三角形的性质
2.探究相似三角形中的三线的性质
3.例题讲解
4.展示练习，解决问题
【教学反思】
本节类比全等三角形的相关知识学习探究相似三角形的相关性质，详细探究相似三角形对应高的比，之后给学生一定的时间，小组探究完成对应中线，对应角平分线的比，有利于培养学生的交流能力，体会类比的数学思想.学生板演证明的过程，教师进行点评，并及时的鼓励，有助于提高学生学习的兴趣。
冀教版九年级数学上册 (相似三角形的判定)教学课件(第1课时)
A
试说明△ADE ∽ △EFC.
解 : ∵DE∥BC，
D
E
∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C.
B
F
C
∵EF∥AB， ∴∠B＝∠EFC .
∴ ∠AED＝∠C.
∴△ADE ∽ △EFC.
随堂训练
4.如图， ∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB 的长.
解： ∵ ∠A= ∠A，∠ABD=∠C , ∴ △ABD ∽△ACB , ∴ AB :AC=AD :AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2，AC=8, ∴ AB =4.
∵
BP 3PC,∴PC
1 4
a,∴
AD QC
a 1a
2, DQ PC
1a 2 1a
2,
2
4
又∵∠ D ＝∠ C ＝ 90°，
∴ △ ADQ ∽ △ QCP.
知识讲解
练一练
1.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且 △ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ A ） A.AB 2=BC·BD B.AB 2=AC·BD C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD
如果∠A =∠A1， ∠B =∠B1，
B
C B1
C1
那么△ABC ∽ △A1B1C1.
注意 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
知识讲解
常见的相似图形
A
C
D
O
A O
D
E
B
C
A
A
B B
A
D
E
B
C
1
2 E
D
B
C
C D
知识讲解
典型示例
例 如图所示，点D 在△ ABC 的边AB 上，满足 怎样的条件时，△ ACD ∽△ ABC.
冀教版数学九年级上册：相似三角形的性质ppt课件
BD 1 BC,B'D' 1 B'C ',
2
2
BD BC AB B'D' B'C ' A'B'
E
B
D
C
A' E'
B'
C'
D'
∴△ABD∽△A'B'D'
AD AB k 结论：相似三角形的对应中线的比等于相似比
A'D' A'B'
验证猜想2
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
AB BC CA k. A'B' B'C' C'A'
2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分线， 已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ΔABC与ΔA1B1C1 的对应高之比为 8:3 .
3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影 子为CD，AB//CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的 距离是3m，则P到AB的距离是 1.5 m.
E
F
5.如图，在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上，AG⊥BC于G,AF⊥DE 于点F,∠EAF=∠GAC,若AD=3，AB=5，求AF:AG.
A
E
F
D
解：∵∠EAF=∠GAC,∠AFE=∠AGC=90° ∴△AFE∽△AGC ∴∠AED=∠C 又∵∠EAD=∠CAB ∴△AED∽△ACB
B
AE、A′E'分别是边
∠ABC和∠A′B'C'的角平分线.
A
求证： BE k
E
B'E'
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中线，那么它们之间有什么关系呢？
证明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
AB BC CA k. A' B ' B 'C ' C ' A'
求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
AB BC ∴ ∠B′= ∠B, ． A ' B ' B 'C '
又AD,AD′分别为对应边的中线.
G
C
D H
4.8 6 , EH 4
解得,EH＝3.2(cm). 答：EH的长为3.2cm. E
F
课堂小结
1.相似三角形的对应线段之比 对应高的比等于相似比，
对应中线的比等于相似比，
对应角平分线的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.
课后作业
见本课时练习
AB BC CA k. A' B ' B 'C ' C ' A'
求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B′= ∠B, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又AD,AD′分别为对应角的平方线
∴ △ABD∽△A′B′D′.
三 相似三角形对应中线的比 合作探究
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的
4:3 4:3 为________ ，对应中线之比为________.
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角
平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长. A 解：∵ △ABC∽△DEF，
BG BC （相似三角形对应角平 EH EF 线的比等于相似比）， B
问题 判定两个三角形相似的方法有哪些？
（1）两角对应相等的两个三角形相似. （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （3）三边对应成比例的两个三角形相似.
讲授新课
一 相似三角形对应高的比
BC 如图，△ ABC ∽△ABC，相似比为k，分别作BC，
上的高AD， AD．求证： AD k . 解: ∵△ ABC ∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ADB =∠ADB =90°， ∴△ ABD ∽△ABD. (两角对应相等的两个三角形相似)
D A B k . 从而 A (相似三角形的对应边成比例) AD AB
AD
归纳
相似三角形的对应高的比等于相似比.
二 相似三角形对应角平分线的比
图中△ABC和△A′B′C′相似，BE、B′E′分别为对应角的角平
分线，那么它们之间有什么关系呢？
证明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
第二十五章 图形的相似
25.5 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的对应线段之比导入新课讲授新课当堂练习课堂小结
学习目标
1.理解并掌握相似三角形中对应高之间的关系. 2.理解并掌握相似三角形中对应角平分线之间的关系. (重点) 3.理解并掌握相似三角形中对应中线之间的关系.（难点）
导入新课
回顾与思考
AB BD . A' B ' B ' D '
∴ △ABD∽△A′B′D′.
归纳
相似三角形的性质:
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比，对应中线 的比都等于相似比.
当堂作业
1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角
平分线的比等于多少？______. 3∶5 0.4 ， 2．相似三角形对应边的比为0．4，那么相似比为______ 对应角平分线的比为______ 0.4 ． 3.若两个三角形对应边之比为4:3，则它们的对应高之比