高数C复习题

2008-2009学年第二学期高等数学C 复习题一、填空题1．设22(,)3f xy x y x xy y -=++，则(,)_________,(1,)_________f x y f t ==； 2．ln()arccos2x yz y x -=-+的定义域是______________； 3．22222001cos()lim ___________()xy x y x y x y e →→-+=+；4．设32(,)23f x y x xy y =-+，则0(,1)(,1)lim______________h f x h f x h→+-=；5．ln()2y z x x =+，则(1,0)___________z x∂=∂；6．22(,)y z f x y x=+，则________,___________x y f f ''==； 7．yu x z =，则(1,2,3)_________du=；8．ln 2xz y=，则2___________________z x y ∂=∂∂； 9．(1_________Dd σ=⎰⎰，其中22:1D x y +≤；10．22:19D x y ≤+≤，则3____________Ddxdy =⎰⎰；11．交换积分次序：211(,)____________yydy f x y dx =⎰⎰；110(,)____________dx f x y dy =⎰；12．设22:14D x y ≤+≤，且0x ≥，则Df d σ⎰⎰化为极坐标下的二次积分为：_________；13．若级数21pn n∞-=∑收敛，则p 满足________________；14．若lim n n b →∞=+∞，则级数1111()n n n b b ∞=+-∑的敛散性是； 15．若级数1(3)nn ua ∞=-∑（a 为常数）收敛，则lim ____________n n u →∞=；16．级数1023n n n +∞=∑的和为_______________；17．级数n ∞=______________； 18．级数114(5n n n +∞=+∑的收敛性是______________； 19．若级数nn n a x∞=∑在3x =-处发散，则此级数在6x =处的敛散性是______________；20．级数0(1)(2)nn n x ∞=--∑的收敛性是______________；21．级数1(1)3n n nn x n ∞=-⋅∑的和函数为______________； 22．设一阶非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个线性无关的解12,y y 。

若12ay ay +也是该方程的解，则_____________a b +=；23．已知曲线()y f x =过点(1,2)且曲线任一点处切线的斜率为2x ，则此曲线方程为______； 24．微分方程30xy y '-=的通解____________； 25．若1()()12x f t dt f x =+⎰，（()f x 可导），则()_____________f x =。

二、选择题1．22(,)3f x y xy x xy y +=-+，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ ） A ）2332x y x y --+； B ）22x y +； C ）25x -； D ）23y - 2．二元函数(,)z f x y =在点(,)x y 处满足关系（ ） A ）可微（全微分存在）⇔可导（两偏导数存在）⇒连续； B ）可微⇒可导⇒连续；C ）可微⇒可导，可微⇒连续，但可导不一定连续；D ）可导⇒连续，但可导不一定可微。

3．二元函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处（ ）A ）极限存在；B ）连续；C ）可微；D ）两偏导数都存在。

4．若二次函数(,)z f x y =在区域D 内有二阶偏导数，则（ ）A ）在D 内可微；B ）一阶偏导数连续；C ）22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂；D ）以上三个结论都不对。

5．设(),z f x y =在()00,x y 处全改变量，0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-，若函数(),z f x y =在点00(,)x y 处可微，则在00(,)x y 处 （ ）A ）z dz ∆=B ）0000(,)(,)x y z f x y x f x y y ''∆=∆+∆C ）0000(,)(,)x y z f x y f x y ''∆=+D ）()(z dz o ρρ∆=+=6．若00(,)x y 为(),f x y 的驻点，(),f x y 在00(,)x y 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且2000000[(,)](,)(,)0xy xx yy f x y f x y f x y ''''''∆=-<，则00(,)x y 必为(,)f x y 的（ ）A ）零点；B ）极值点；C ）极大值点；D ）极小值点。

7．设(,)arcsinf x y =(2,1)x f '=（ ） A ）12；B ）12-；C ）14；D ）14-。

8．积分区域D 由曲线2y x =与22y x =-围成，则(,)Df x y d σ⎰⎰等于（ ）A ）12(,)dy f x y dx ⎰； B ）22112(,)x x dx f x y dy --⎰⎰；C ）22121(,)x x dx f x y dy --⎰⎰； D ）22211(,)x xdy f x y dx --⎰⎰。

9．设DI =，其中222:,0,0D x y a x y +≤≥≥ ，则I =（ ）A ）343a B ）323a π C ）343a π D ）33a π 10．cos sin ,:1,1xyDI xe xyd D x y σ=≤≤⎰⎰，则I =（ ）A ）2；B ）2-；C ）e ；D ）0 11．1100(,)x dx f x y dy -=⎰⎰（ ）A ）110(,)x dx f x y dy -⎰⎰；B ）110(,)x dy f x y dx -⎰⎰；C ）110(,)dy f x y dx ⎰⎰；D ）110(,)y dy f x y dx -⎰⎰12．设(,)f x y 连续，(,)(,)Df x y xy f u v dudv=+⎰⎰，其中D 由20,,1y y x x ===所围成，则(,)f x y =（ ）A ）xy ；B ）2xy ；C ）18xy +；D ）1xy + 13．设(,)f x y 是222x y a +≤上的连续函数，则201lim(,)a Df x y d a σπ→=⎰⎰（ ）A ）0；B ）∞；C ）(0,0)f ；D ）114．设D 由直线1,2x y x y +=+=及0,0x y ==所围成，1sin()DI x y d σ=+⎰⎰，2()DI x y d σ=+⎰⎰，23()DI x y d σ=+⎰⎰，则123,,I I I 的大小关系是（ ）A ）123I I I >>；B ）123I I I <<；C ）231I I I <<；D ）312I I I >>。

15．下列级数中，条件收敛的是（ ），发散的是（ ）A ）12()3n n ∞=∑；B ）11(1)n n n -∞=-∑；C ）1(1)51n n n n ∞=-+∑；D）1n n -∞=16．1(2)!nn n ∞=-∑＝（ ）A ）2e -B ）2eC ）21e-- D ）2e -17．()()1111nn n x n∞-=+-∑的收敛域为 （ ）A ）()2,0-B ）(]2,0-C ）[)2,0-D ）[]2,0- 18．设级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数中必收敛的是（ ）A ）1(1)nn n u n ∞=-∑ B ）21n n u ∞=∑ C ）2121()n n n u u ∞-=-∑ D ）11()n n n u u ∞+=+∑19．若幂函数1nn n a x∞=∑的收敛半径为2，则级数nn a∞=∑是（ ）A ）条件收敛；B ）绝对收敛；C ）发散；D ）收敛性不能确定。

20．设10n u n≤≤，则下列级数中一定收敛的是（ ） A ）1nn u∞=∑；B ）1(1)nnn u∞=-∑；C）1n ∞=D ）221(1)n n u ∞=-∑21．将1()f x x=展开成(3)x -的幂级数后，其收敛区间为（ ） A ）(1,1)-；B ）(6,0)-；C ）(3,3)-；D ）(0,6)22．函数36x y cx =+（c 为常数）对微分方程22d yx dx=而言（ ）A ）是通解；B ）是特解；C ）是解但既非通解也非特解；D ）不是解 23．微分方程22()xy dx dy y dx x dy -=+是（ ）A ）可分离变量方程；B ）一阶齐次；C ）一阶线性；D ）全微分方程 24．下列方程中是一阶线性方程的是（ ） A ）2y y '=；B ）21x y xy '=+；C ）1y x y'=+；D ）y y e '= 25．微分方程2310y x y e y+'+=的通解是（ ） A ）2323xy ee C +=；B ）2323x y e e C -+=；C ）2323x y e e C --=；D ）23x y e e C --=。

三、多元函数微分学1．y z x =,,z z dz x y∂∂∂∂ 2．(1)2x y z ex y -+=+，求22222,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂3．(2)(2)x y z x y +=+，求,z z x y∂∂∂∂4．z arc =，而2,tx e y t ==，求dz dt5．220xy t z e dt xy -=+⎰，求,z z x y∂∂∂∂ 6．函数(,)z z x y =由方程2ln 2y z z x =确定，求,z z x y∂∂∂∂ 7．1()(2)z f xy y x y xϕ=+-，,f ϕ可微，求,z z x y ∂∂∂∂8．函数(,)z z x y =由方程22()z x z yf y +=确定，f 可微，求,z z x y∂∂∂∂9．()y z xy xf x =+，f 可微，证明：z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂。