高一课件函数的奇偶性——第八讲
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新课标人教版必修一函数的奇偶性课件(共14张PPT)
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f ( x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2 x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在 R 上的函数 f ( x), 对任意 x, y R都有
f ( x y) f ( x) f ( y) 1, 且x 0时，f ( x) 1, f (1) 2
(1)求证：f ( x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g ( x) f ( x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义：
“数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
-2 -1 0
1 2
x
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
题型二：利用奇偶性求解析式： 例：已知函数
f ( x) ax2 bx c(2a 3 x 1)
b _________ . 是偶函数，则 a _____,
2a 3 1 解：由题意可得：
a 1 解得：
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：已知函数 f ( x)为奇函数，且当 x
f ( x) x3 2 x 2 1,
0时，
则 f (2) _______
则 f (a) _______
在原点处有定义的 f (0) 0 奇函数：
则 f ( x) _______
人教A版高中数学必修一.2《函数的奇偶性》PPT全文课件(19ppt)
判断函数奇偶性步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称; (2)确定f(x)与f(-x)的关系; (3)作出结论. 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
人教A版高中数学必修一.2《函数的奇 偶性》 PPT全 文课件( 19ppt) 【完美 课件】
人教A版高中数学必修一.2《函数的奇 偶性》 PPT全 文课件( 19ppt) 【完美 课件】
(2)对于函数
f
(x)
x2
1 x2
,其定义域为
{x|x 0},定义域内每个x,都有
f(x)(x)2(1 x)2x2x12f(x).
故f(x)为偶函数。
(3)f(x)定义域为R,定义域内每个x都有 f(x)x2x2x2x2
小结：
• 奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把 任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内） ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
• 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 前提条件。
• 性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.
再观察下列函数的图象，它们又有什么相的特点
规律呢？
y
0
x
fx = x3
f (x)1(x0) x
x -3 -2 -1 0 1
f (x) x3 27 8 1 0 1
23
8 27
x -3 -2 -1 1 2 3
1 f (x) 1 x
1 3
1 2
1
1 2
1 3
(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称; (2)确定f(x)与f(-x)的关系; (3)作出结论. 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
人教A版高中数学必修一.2《函数的奇 偶性》 PPT全 文课件( 19ppt) 【完美 课件】
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(2)对于函数
f
(x)
x2
1 x2
,其定义域为
{x|x 0},定义域内每个x,都有
f(x)(x)2(1 x)2x2x12f(x).
故f(x)为偶函数。
(3)f(x)定义域为R,定义域内每个x都有 f(x)x2x2x2x2
小结：
• 奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把 任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内） ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
• 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 前提条件。
• 性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.
再观察下列函数的图象，它们又有什么相的特点
规律呢？
y
0
x
fx = x3
f (x)1(x0) x
x -3 -2 -1 0 1
f (x) x3 27 8 1 0 1
23
8 27
x -3 -2 -1 1 2 3
1 f (x) 1 x
1 3
1 2
1
1 2
1 3
函数的奇偶性(课件PPT)
作业:
P39 : 1、2
5 5 f ( x ) ( x ) x f ( x) ， 于原点对称，并且
所以函数是奇函数。
（4）函数的定义域为 (,0) (0,)关于原点
对称。对于函数定义域内的每一个
f ( x)
x ，都有
1 1 f ( x )所以函数是偶函数。 2 2 ( x) x
问题5：如何判断f(x)是奇函数？ 1 形----函数图像关于原点对称（图像容易画出的
函数） 2 数----利用定义 （1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域
是否关于原点对称
（2）确定f(x)与f(-x)的关系
（3）若f(-x)= -f(x)，则f(x)是奇函数
问题6：你能举一些奇函数吗？
比如： f ( x ) x; f ( x ) 1 等等 x
问题5：请举出一些偶函数，为什么它是偶函数？
比如： f ( x ) x 2 1；f ( x ) 2 等等 2 x 11
练习：下列哪几个函数是偶函数？
(1) f ( x) 2 x
2
不是 不是 不是
(2) f ( x) x , x (1,2)
(3) f ( x ) x 2 (4) f ( x ) 3
问题4：如何判断一个函数是偶函数？
1 形----函数图像关于y轴对称（图像容易画出 的函数） 2 数----利用定义 （1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域 是否关于原点对称 （2）确定 f ( x)与f ( x) 的关系 （3）若 f ( x) f ( x)，则 f ( x )是偶函数
2
不是
奇函数和偶函数的比较：
函数 定义域 函数满足 的条件 图像特点 代表函数 奇函数 偶函数 函数的定义域关于原点对称
函数的奇偶性与周期性
• 答案：B
• • • • •
类型一 判断函数的奇偶性 解题准备：1.定义法： (1)求定义域，看定义域是否 (3)依据定义下结论：若f(－x)＝－f(x)，则函数 是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数； 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函 数又是偶函数；若f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)， 则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
• 答案：B
4－x 2 3．函数 y＝ ( |x＋5|－5 A．是奇函数不是偶函数 B．是偶函数不是奇函数
)
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
解析：∵函数定义域为[－2,0)∪(0,2]， 4－x2 ∴|x＋5|－5＝x.∴y＝ . x 4－x2 4－x2 ∴f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)． x －x 故函数为奇函数． 答案：A
1 解析：由 f(－x)＝f(x)得 y＝f(x)为偶函数，用 f(x＋1)＝ ，∴f(x fx 1 ＋2)＝ ＝f(x)， fx＋1 即 f(x)为周期函数，且 T＝2，故①错． 因是周期函数，故对称轴有包括 y 轴在内的无数多条对称轴，即 ②错，结合周期性、奇偶性可知 y＝f(x)在[3,4]上的增减性与[－1,0] 上的增减性相同，为减函数．
1 1 k－ ，k＋ 时，有 f(x)＝|x－k|. 意整数 k，当 x∈ 2 2
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)用偶函数的定义证明函数 f(x)是偶函数(x∈R)． 1 1 [证明] 对任意 x∈R，存在 k∈Z 且满足 k－ ≤x≤k＋ 时，f(x) 2 2
＝|x－k|. 1 1 (1)k＋1－ ≤x＋1≤k＋1＋ ， 2 2 ∴f(x＋1)＝|x＋1－(k＋1)|＝|x－k|＝f(x)， ∴f(x)为周期函数，周期为 1.
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
解:(1)∵由
课堂篇
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(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
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+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
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一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
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4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
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)
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2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
高中数学人教A版必修函数的奇偶性PPT精品课件
1、函数的奇偶性是函数的整体性质。
2、奇函数或偶函数的前提是定义域关于原点对称。
3、若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)成立。 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)成立。 4、若f(x)为奇函数,定义域中有0,则f(0)=0。 5、如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于 原点对称。反之，如果一个函数的图象关于原点对称， 则这个函数是奇函数。 6、如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称。反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数是偶函数。
作业：导学案练习题
7、偶函数在两个关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在两个关于原点对称的区间上单调性相同。
例1:判断下列函数的奇偶性: (1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数) (2) f (x)＝x2＋1； (偶函数) (3) f (x)＝x＋1； (非奇非偶函数) (4) f (x)＝x2,x∈[－1,3]； (非奇非偶函数) (5) f (x)＝0; (既是奇函数又是偶函数)
奇函数； 偶函数； 既是奇函数又是偶函数； 非奇非偶函数。
例2:已知函数y=f(x)是偶函数，y=g(x) 是奇函数，试将下图补充完整：
y
y
-3 -1 o 1 3 x f (x)
-3 -1 o 1 3
x
g(x)
【总一总★成竹在胸】
1、奇函数、偶函数的定义； 2、奇函数、偶函数图象的对称性； 3、判断函数奇偶性的步骤和方法。
f ( x0 )
O
x0 x
函数值：f (x) f (x) 函数值：f (x) f (x)
关于y轴对称
关于原点对称
奇函数、偶函数：
奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数。
人教版函数的奇偶性-高中数学(共41张PPT)教育课件
f(－x)＝ f(x) 函数f(x)叫作偶函数
图象关于 y轴 对称
f(－x)＝ －f(x) 函数f(x)叫作奇函数 图象关于 原点 对 称
3
知识点聚焦：
• 二、奇偶性
定义
如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数 f(x)具有 奇偶性
图象特征 奇(偶)函数 图象关于原点或y轴对称
4
探究一 函数奇偶性的判断
∵f(x)是奇函数，
•
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)(1＋x)]＝x(1＋x)．
• 【答案】B
37
随堂训练
• 5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，那么f(－1)＋f(0)＝( )
•
A．－2
B．0
C．1
D．2
38
解析：
• 【解析】函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
高中数学人教A版(2019)必修第一册3.《函数的奇偶性》课件(15张)
应用概念
FOUR
例2. (1)如果右图是函数 f (x) x3 x图象的一部分,你能根据 的奇偶性把它的图象补充完整吗?
(2)如果知道 y f (x) 为奇（偶）函数，那么可以怎样
简化对它的研究?
y
（1）因为函数 f (x) 是奇函数
所以其图象关于原点对称.
变式练习1：如果右图是偶函数
图象的一部分,你能把 它的图象补充完整吗?
则 y f (x) 在 R 上是偶函数吗?
不是
思考2：已知函数 y f (x), x R ,若 f (1) f (1) ,
则 y f (x) 在 R 上是偶函数吗?
不一定是
高中数学人教A版（2019） 必修第一册3.《函数的奇偶性》课件 （15张 ）
形成概念
TWO
偶函数：一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I
应用概念
FOUR
例1.判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x) x4
(4)
f
(x)
1 x2
(2) f (x) x5
（5）f (x) x3 x
(3) f (x) x 1 x
(2)解：该函数定义域为R ，
(3)解：该函数定义域为 x x 0
因为 x R, 都有 x R,且
因为对 x x x 0
9 41 0 1 4 9
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
g(x) 2- x
-1 0 1 2 1 0 -1
结论：当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
形成概念 TWO
问题3：已知函数 f (x) x2， 对于
是否成立？
y f (x) x2
形
f (x) f (x)
高中数学必修一教学课件函数的奇偶性 (共17张PPT)
点 A 关于 y 轴的对称点A1 的坐标是 ( x0 , f ( x0 ))
点 A1 在函数 y f ( x) 图像上吗？ 点 A1 坐标还可以表示为 ( x0 , f ( x0 ))
A1
0
A( x0 , y0 )
y f ( x)
f (-x)= f (x) 对于定义域内的任意实数x，都有 f (-x)= f (x)，这样的函数称为偶函数。
三、判断下列函数的奇偶性 例1 ：f ( x) x4 3x2
解 :Q 函数定义域为R，关于原点对称。 又 Q f ( x) ( x)4 3( x)2 x 4 3x 2 f ( x)
f ( x)是偶函数。
2 (1) f ( x ) x , x [3, 2) 例2.
A1
0
A( x0 , y0 ) 探究：如何用数学语言刻画
函数图像关于y轴对称呢？
点 A 关于 y 轴的对称点A1 的坐标是 ( x0 , f ( x0 ))
点 A1 在函数 y f ( x) 图像上吗？
y f ( x)
A1
0
A( x0 , y0 ) 探究：如何用数学语言刻画
函数图像关于y轴对称呢？
解: 函数的定义域是[3, 2)， 不关于原点对称。
f ( x)是非奇非偶函数。
判断函数奇偶性的步骤：
(1)先求定义域，看是否关于f (-x)= f (x)，则函数称为偶函数。 若f (-x)=- f (x)，则函数称为奇函数。
四、归纳小结 1.两个定义
A1
点 A 关于原点对称的坐标 A1 是 ( x0 , f ( x0 )) 点 A1 在函数 y f ( x) 图像上吗？ 点 A1 坐标还可以表示为 ( x0 , f ( x0 ))
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从以上的讨论，你能够得到什么？
一般地，如果对于函数 f ( x ) 的定义域内 的任意一个 x ，都有 f ( x ) f ( x ), 那么称函 数 y f ( x ) 是偶函数
请同学们考察：图象关于原点中心 对称的函数与函数式有怎样的关系？
一般地，如果对于函数 f ( x ) 的定义域 内的任意一个 x ，都有 f ( x ) f ( x ), 那么 称函数是奇函数
0
0
1
1
2
4
3
9
…
…
… y 2|x| …
x
－3 －2 －1 6 4 2
0 0
1 2
2 4
3 6
…
…
——当自变量x取一对相反数时，相应 的两个函数值相等。
（三）意义建构
【探究】图象关于 y 轴对称的函数满 足：对定义域内的任意一个x ,都有
f ( x ) f ( x ).
反之也成立吗？
（四）数学理论
函数的奇偶性
（一）问题情境
1、请观察以下两组函数的图象，
从对称的角度，你发现了什么？
（1）y x , y 2 | x |;
2
y
y
o
x
o
x
（2）y
y
1 x
( x 0), y 2 x .
y
o
x
o
x
（二）学生活动
再观察表，你看出了什么？
x
yx
2
… …
－3 －2 －1
9 4 1
x
意味着定义域关 于数“0”对称
解：（1） f ( x ) 的定义域是 R ，
因为对任意的 x R , 都有
f ( x ) x 1 x 1 f ( x ),
2 2
验证
下结论
所以函数
f ( x) x 1
2
是偶函数。
练习： （1）函数 f ( x ) x 的大致图象可能是（
x ，使 f ( x )
f ( x ),
（3）若对于定义域内的无数个 x ，使 （4）若对于定义域内的任意 x ，使
则 f ( x ) 是偶函数；
f ( x ) f ( x ),
f ( x ) f ( x ),
（5）若 f ( 1) f (1), 则 f ( x )不是偶函数。
【探索】具有奇偶性的函数，满足
f ( x ) f ( x ) 或 f ( x ) ，
意味着其定义域满足怎样的条件？
f (1)有 意 义 ， 则 f ( 1) 有 意 义 ；
f ( 2) 有 意 义 ， 则 f 2 f (2) 有 意 义 ；
【想一想】具有奇偶性函数的图象的 对称如何？
——偶函数的图象关于y轴对称，奇 函数的图象关于原点对称。
对于定义在 R 上的函数f ( x ) 【强化】判断：
（1）若 f ( 1) f (1), 则 f ( x )是偶函数；
，
（2）若对于定义域内的一些 则 f ( x ) 是偶函数；
则 f ( x ) 是偶函数；
3Hale Waihona Puke ）(2)判断函数 y x x 的奇偶性;如图 3 是函数 y x x 图象的一部分，请根据 函数奇偶性画出它在y轴左侧的部分。
3
（六）回顾反思
思想与方法： 形（图象对称） （坐标）相等 点（点对称） 数
式相等（f ( x ) f ( x ) ）。
f ( 3 )有 意 义 ， 则 f ( 3 )有 意 义 ；
……
——定义域关于数“0”对称。
（五）数学应用
(1) f ( x ) x
2 2
例1、判断下列函数是否为奇函数或偶函数：
1; 1 .
2
( 2 ) f ( x ) x ( 1 x 1); (3) f ( x )
一般地，如果对于函数 f ( x ) 的定义域内 的任意一个 x ，都有 f ( x ) f ( x ), 那么称函 数 y f ( x ) 是偶函数
请同学们考察：图象关于原点中心 对称的函数与函数式有怎样的关系？
一般地，如果对于函数 f ( x ) 的定义域 内的任意一个 x ，都有 f ( x ) f ( x ), 那么 称函数是奇函数
0
0
1
1
2
4
3
9
…
…
… y 2|x| …
x
－3 －2 －1 6 4 2
0 0
1 2
2 4
3 6
…
…
——当自变量x取一对相反数时，相应 的两个函数值相等。
（三）意义建构
【探究】图象关于 y 轴对称的函数满 足：对定义域内的任意一个x ,都有
f ( x ) f ( x ).
反之也成立吗？
（四）数学理论
函数的奇偶性
（一）问题情境
1、请观察以下两组函数的图象，
从对称的角度，你发现了什么？
（1）y x , y 2 | x |;
2
y
y
o
x
o
x
（2）y
y
1 x
( x 0), y 2 x .
y
o
x
o
x
（二）学生活动
再观察表，你看出了什么？
x
yx
2
… …
－3 －2 －1
9 4 1
x
意味着定义域关 于数“0”对称
解：（1） f ( x ) 的定义域是 R ，
因为对任意的 x R , 都有
f ( x ) x 1 x 1 f ( x ),
2 2
验证
下结论
所以函数
f ( x) x 1
2
是偶函数。
练习： （1）函数 f ( x ) x 的大致图象可能是（
x ，使 f ( x )
f ( x ),
（3）若对于定义域内的无数个 x ，使 （4）若对于定义域内的任意 x ，使
则 f ( x ) 是偶函数；
f ( x ) f ( x ),
f ( x ) f ( x ),
（5）若 f ( 1) f (1), 则 f ( x )不是偶函数。
【探索】具有奇偶性的函数，满足
f ( x ) f ( x ) 或 f ( x ) ，
意味着其定义域满足怎样的条件？
f (1)有 意 义 ， 则 f ( 1) 有 意 义 ；
f ( 2) 有 意 义 ， 则 f 2 f (2) 有 意 义 ；
【想一想】具有奇偶性函数的图象的 对称如何？
——偶函数的图象关于y轴对称，奇 函数的图象关于原点对称。
对于定义在 R 上的函数f ( x ) 【强化】判断：
（1）若 f ( 1) f (1), 则 f ( x )是偶函数；
，
（2）若对于定义域内的一些 则 f ( x ) 是偶函数；
则 f ( x ) 是偶函数；
3Hale Waihona Puke ）(2)判断函数 y x x 的奇偶性;如图 3 是函数 y x x 图象的一部分，请根据 函数奇偶性画出它在y轴左侧的部分。
3
（六）回顾反思
思想与方法： 形（图象对称） （坐标）相等 点（点对称） 数
式相等（f ( x ) f ( x ) ）。
f ( 3 )有 意 义 ， 则 f ( 3 )有 意 义 ；
……
——定义域关于数“0”对称。
（五）数学应用
(1) f ( x ) x
2 2
例1、判断下列函数是否为奇函数或偶函数：
1; 1 .
2
( 2 ) f ( x ) x ( 1 x 1); (3) f ( x )