初二下学期特殊平行四边形
八下数学18.2特殊的平行四边形(矩形、菱形、四边形)
BD＝ 5 ㎝，∠BDC＝ 120°.
5.设矩形ABCD和矩形AEFC的面 积分别为S1、S2， 则二者的大小 关系是：S1___=_S2．
2.矩形的短边长为3cm,两对角线所成的角是60 °,则它
的周长是6__6___3__.
3. 已知矩形对角线长为4cm,一边长为 2 3 cm,则矩形
的面积是_4__3_c_m__2_.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
A
D
D 如果
B
C
四边形ABCD
AB∥CD AD∥BC
边
B
C
ABCD
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四 边形的 对角线 平行四边形的对角线互相平分；
性质： 角
平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补；
平行四边形 的判定定理
两组对边分别平行的四边形；
2
A
F E
∵∠BFC=900，BM=CM
B
M
C
∴ MF= 1 BC
2
∴ME=MF
练习：如图四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=900，E
是AC中点，EF平分∠BED交BD于点F，
（1）猜想EF与BD具有怎样的关系？
A
（2）试证明你的猜想。
E
B
F
D
C
课堂小结
一、矩形的定义： 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
活动一：
边 平行四
边形的 性质：
对角线
平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
活动二：
人教版(五四 制)八年级下册数学：25.2 特殊的平行四边形课件 (共14张PPT)
。.
（2）菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝_______.
A
B
O
D
C
4
• 教学过程 （三）学以致用 巩固性质
练习2. （1）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形ABCD
的周长是多少？面积呢？
（2）菱形的两条对角线长分别为a和b，则菱形ABCD的面积是
多少？
D
A
O
C
B
4
• 教学过程 （三）学以致用 巩固性质
观察：当菱形的大小形状发生变化时，哪些量没变化
D
A
O
C
B
4
• 教学过程 （二）自主探究 获取性质
问4：你能论证这些性质（菱形的四条边相等；对角线互相 垂直且每条对角线平分一组对角）的正确性吗？
D
A
O
C
B
4
• 教学过程 （三）学以致用 巩固性质
练习1.（1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是
例：如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱
形的对角线修建了两条小路AC和BD。
A
（1）求两条小路的长
（2）求花坛的面积
B
O
D
C
拓展延伸
思考:对任意对角线垂直的四边形，其面积是否也等 于对角线乘积的一半呢？
D
A
C
B
4 • 教学过程 （四）小结反思 作业布置
同学们本节课 你学会哪些知识？ 掌握了哪些方法？ 体会了什么思想？ 还有哪些困惑？
25.2.2 菱形的性质
4
• 教学过程 （一）复习回顾 引入新课
问1：同学们平行四边形当其中一个角变为900时我们得到了什么 图形？那么我们类比矩形定义的形成过程当平行四边形其中一条 边平移到与邻边相等时又能得到什么图形呢？
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）A．10B．12C．15D．20【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【解析】设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=×8×6=24cm2．4.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．20【答案】B【解析】根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．5.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．6.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．7.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC C．∠AFB+∠BEC="90°" D．AG⊥BE【答案】C【解析】∵ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC．∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE．∴AF=BE（第一个正确）．∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）．∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）．∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°．∴∠CBE+∠AFB=90°．∴AG⊥BE（第四个正确）．所以不正确的是C，故选C．9.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形【答案】C【解析】A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．10.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．11.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_______度．【答案】65【解析】因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．13.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．14.如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为_______．【答案】【解析】后面的每一个平行四边形都与第一个矩形ABCD同底不同高，而第n个平行四边形的高是矩形ABCD的，所以平行四边形ABCn On的面积为．15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_______时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）【答案】AC=BC【解析】由已知可得四边形的四个角都为直角，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知添加条件为AC=BC时，能说明CE=CF，即此四边形是正方形．17.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．计算：∠PBA=∠PCQ=30°．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形．∴∠ABC=∠BCD=90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形．∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°．【解析】因为矩形的内角是直角，等边三角形的内角是60∘，所以根据这两个特殊角可以计算角的度数．18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．【答案】解：(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC =∠DAC．∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．∴△ABF≌△ADF．∴∠AFB=∠AFD．又∵∠CFE =∠AFB，∴∠AFD=∠CFE．∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．(2) ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD，∵AB="AD" ， CB=CD，∴AB=CB=CD=AD．∴四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF．∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC =∠DEF=90°．∴∠EFD =∠BCD．【解析】(1)利用已知条件和公共边，证得△ABC≌△ADC，即可证明∠BAC=∠DAC；再证明△ABF≌△ADF，得到∠AFB=∠AFD，再利用对顶角相等，易知结论；(2)有平行线的性质和(1)中结论，易知∠DAC=∠ACD，所以AD=CD，进而证得AB=CB=CD=AD，即可证明结论；(3)当BE⊥CD时，有(2)可知BC="CD" ，∠BCF=∠DCF，利用△BCF≌△DCF证得∠CBF=∠CDF，再利用等角的余角相等即可证明结论∠EFD =∠BCD．20.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．。
八年级下册特殊平行四边形
八年级下册特殊平行四边形复习教案四边形：平行四边形平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等。
平行四边形的两条对角线互相平分、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
平行四边形判定定理：1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
4、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；注意：矩形具有平行四边形的一切性质。
矩形判定方法1：对角线相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 注意：菱形也具有平行四边形的一切性质菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四条边都相等的四边形是菱形3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形的定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 . 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质正方形的判定定理：1、有一组邻边相等的矩形是正方形2、有一个角是直角的菱形是正方形梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形等腰梯形的性质：1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.等腰梯形的判定：1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．例1.等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点. (1) 求证:四边形MENF 是棱形; (2) 若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论?练习：如图,梯形ABCD 中AD ∥BC,AB=AD=DC,点E 为底边BC 的中点,且DE ∥AB,试判断△ABC 的形状,并 给出证明.二 矩形 例2. 如图在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC.(1) 试猜想AE 与BF 有何关系?说明理由;(2) 若△ABC 的面积为23cm ,求四边形ABFE 的面积;(3) 当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由?C F E BD A N M FE C BA B E CDA练习：1、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．2、如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．(1)求证：AB=CF ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．三 菱形例3. 如图:菱形ABCD 中,AB=4,E 为BC 中点,AE ⊥BC,AF ⊥CD 于点F,CG ∥AE,CG 交AF 于点H,交AD 于点G.(1)求菱形ABCD 的度数.(2)求∠GHA 的度数.C FDE B A G HF E D C B A练习：1、已知:如图, □ABCD 中,AB ⊥AC,AB=1,BC=5,对角线AC,BD 交于点0,将直线AC 绕0顺时针旋转,分别交BC,AD 于点E,F.(1) 证明:当旋转角为90时,四边形ABEF 是平行四边形;(2) 试说明在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等;(3) 试说明在旋转过程中,四边形BEDF 可能是棱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由.并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数.2、已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．3、（湖南益阳）如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．求线段BE 的长．A B F E DC OD A BCO E 60四 正方形例4. 已知:如图,正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交 ∠CBE 的平分线于N.(1)求证:MD=MN;(2)若将上述条件中“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变(如图乙),则结论“MD=MN ”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.练习： 1、如图:∠MON=90°,在∠MON 的内部有一个正方形AOCD,点A,C 分别在射线OM,ON 上,点1B 是ON 上的任意一点,在∠MON 的内部作正方形D C AB 11.(1) 连接D D 1,求证: 901=∠ADD ;(2) 连接C C 1,猜一猜, CN C 1∠的度数是多少?并证明你的结论;(3) 在ON 上再任取一点2B ,以2AB 为边,在∠MON 的内部作正方形D C AB 22,观察图形,并结合(1),(2)的结论,请你再做出一个合理的判断.D A M B CE N甲 D A M B C E N 乙 MA O D C N1B 1D 1C2、已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A 、C 两点作l 1∥l 2，作BM ⊥l 1于M ，DN ⊥l 1于N ，直线MB 、DN 分别交l 2于Q 、P 点．求证：四边形PQMN 是正方形．3、（2008海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB . （1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.A B C P D E。
初二数学 平行四边形重点知识
知识的升华
习题8.6 1,2题.
祝你成功！
独立 作业
1.如图,四边形ABCD是正方形,△ABC是等边 三角形. 求:∠θ的度数.
A θ E D
B
C
独立 作业
2.已知:如图,四个小朋友分别站在正方形ABCD的 四条边的点A1,B1,C1,D1处,并且AA1=BB1=CC1=DD1,那 么四个小朋友分别所站点为顶点的四边形A1B1C1D1 是一个怎样的图形?请证明你的结论.
C
D
C
驶向胜利 的彼岸
∴ ∠ACB=900.
2
C
B
回顾
思考
菱形的性质
定理:菱形的四条边都相等. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD.
D A B C A
D
O C
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对 角线平分一组对角. ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. 驶向胜利 ∴AC⊥BD.. 的彼岸
八年级数学(下)第八章 证明(三) 8.2.特殊平行四边形(2) 综合复习
回顾
思考
学好几何标志是会 “证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”, 执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
B
回顾
思考
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中, ∵AB=BC=CD=AD, D ∴四边形ABCD是菱形.
八年级下册数学18.2特殊的平行四边形
两组对边__分__别__相__等___ 两组对边__分__别__相__等___ 一组对边__平__行__且__相__等_ 的四边形是平行四边形 两组对角_互__相__平__分____ 对角线 __分__别__相__等____
二、学习目标
1、理解矩形定义； 2、掌握矩形的性质
知 识 点
1、菱形是邻边相等 的平行四边形，它 具有平行四边形 的一切性质. 2、菱形的特殊性质.
二 （1）边：菱形的四条边都 相等 ；
菱 （2）对角线：菱形的两条对角
形 线 互相垂直 ，并且每一条对角
的 线 平分一组对角 ； 性 （3）对称性：菱形是 轴 对称图形， 它 质 的对称轴就是对角线所在的直线.
1菱形具有而平行四边形不具有的性质a对角线互相平分b对角线相等c对角线互相垂直且相等d对角线互相垂直每一条对角线平分一组对角2四边形abcd是菱形对角线acbd相交于点o且ab5ao4
新课引入 学习目标 研读课文 归纳小结
18.2
谁把握机遇，谁就心想事成.
-- 歌德
特殊的平行四边形
一、新课引入
1、平行四边形的性质有：平行四边形的对 边 _平__行__且__相__等_____ ； 对 角 _相__等__ ； 邻 角 _互__补_；对角线_互__相__平__分_.
练 (3)对角线互相平分且相等的四边形是
矩形.
(√ )
(4)四个角都相等的四边形是矩形. ( √ )
(5)一组邻角相等的平行四边形是矩
形.
(√ )
(6)对角互补的平行四边形是矩形. ( √ )
矩 形 知判 识定 点定 二理 ：的 应 用
三、研读课文
例B∠解∴ODOB2相O：=AAD∵交_==如_O四_5于__DO0图_边_°点C__，形=_O._，求在=A_12_B且口∠__12CB_AOODDABAAC是C=BDO的，平中D，度行，数四对.边角形线AC、
八年级下 特殊的平行四边形
特殊的平行四边形1．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．2．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四边形．3．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．4．矩形的性质（1）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是____；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线____；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．5．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形 + 一组邻边相等=菱形）①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有__条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）6．菱形的判定（1）四条边都_____的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形7．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．8．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．（1）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的_____的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．10．等腰梯形的判定（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．教学重点：能用综合法来证明特殊的平行四边形的相关结论；教学难点：运用特殊的平行四边形的性质定理和判定定理解决计算问题；1.菱形的性质；平行四边形的性质．【例1】菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直练1.如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=°．练2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2.菱形的性质；坐标与图形性质．【例2】如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．练3.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．3. 矩形的性质；菱形的判定．【例3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定练4.下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直练5.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE 交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．4．正方形的判定；矩形的性质．【例4】（2014•山东淄博一中期末）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是．练6.下列说法中，错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．四个角都相等的四边形是矩形D．等腰梯形的对角线相等5．直角梯形；平行四边形的性质；等腰梯形的性质．【例5】如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A 点开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？等腰梯形？练7．已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．1、下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形2、关于下列结论，正确的是_______________________。
初中数学八下《特殊的平行四边形》ppt课件
形 对角线相互( 垂直 ) 菱
正 方 形
形 有一组邻边(相等 ) 形 有一个内角是( 直角 )
四条边都(相等 )
综合运用：
1、知，如图，把一张矩形纸片折叠,使相对两顶点C、
A重合，折痕为EF。
D′
〔1〕判别四边形AECF的外形并证明. 归纳小结：1.解“折叠图形〞问 A
F
D
题的关键是要认识到折叠前后
O
的两部分可以完全重合，从而
得到相应的线段或角相等。 B
ED
C
〔2〕假设矩形长为8，宽为6，
求AF的长.
A
2.一题多解，更要优解。
FD
提示：两角对应相等的两个三
O
角形类似
B
E
C
矫正补偿：
1、〔09.滨州〕依次衔接对角线相互垂直的四边形 的各边中点，所得图形是〔 A 〕 A 矩形 B 直角梯形 C 菱形 D 正方形
祝
祝
教
同
师
窗
们
们
任
学
务
业
顺
有
利
成
课后拓展：
2、
M
中考情报站：
四边形是历年中考的必考内容之一，能够出现的 题型主要有选择题、填空题、解答题和证明题等，注 重调查学生的根底证明和计算才干，以及灵敏运用数 学思想方法处理问题的才干。近两年又出现了开放题、 运用题、阅读了解题、动点问题、折叠问题等。复习 中，要弄清知识间的联络、对比与归类，使知识系统 化。
4
A
D
O
四边相等 , 四角相等
对角线相互垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角。
B
C
知识回想：
4、 以下说法正确的选项是C〔 〕
新课标人教版初中数学八年级下册第十九章19.2特殊的平行四边形--正方形的判定-精品课件
练习1：判断 （1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）对角线相等的菱形正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 （6）四边相等，有一角是直角的四边形是 正方形
例2 已知：在正方形ABCD中，A′、B ′、C ′、 D ′分别从顶点A、B、C、D沿AB、BC、CD、 DA方向同时以同样速度向B、C、D、A移动。
D
M
A
E
F
C
N
B
练习2（2019年山东省济南市中考试题）如图，是 一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由5种颜色 不同的正方形组成。设中间最小的一个正方形边 长为1，则这个矩形的面积是
练习4 （2019年陕西省中考题）如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，BF平行 于DE。若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5： 2，求阴影部分的面积。
例题3：已知正方形ABCD中，Q在CD上，且 DQ=QC,P在BC上，AP=CD+CP; 求证：AQ 平分∠DAP.
证明：延长AQ交BC延长线与E,
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD,AD∥CD;
A
D
∴∠D=∠QCE,∠DAQ=∠E, 又∵DQ=CQ,
Q
∴⊿ADQ≌⊿ECQ (AAS).
∴∴ACDD==CCEE,,又∴AADP==CCDD,+CP=CE+CP=EPB.
①AE与BF相等吗？为什么？
②AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
练习7：如图，已知正方形ABCD中，
E、F分别为BC和DC上的点，且
人教版八年级数学下册特殊的平行四边形PPT
四边形BMDN是矩形
5.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交 于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长. 解析:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,且 OA OC AC. 2 1 OB OD BD. 2 ∴OA=OD, ∵∠AOD=120°,
（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一
切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）.
A
D
O
B C
（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特
殊性质. ①边：对边分别平行且相等（与平行四边形相同），邻边 互相垂直 ②角：四个角都是直角（性质1）
③对角线：相等且互相平分
例
题
A
D
已知:如图,四边形ABCD是矩形.
知识讲 解
观察
A D
A
D
B
C
一个角变成直角
B
C
分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变 到质变的变化过程. （2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，
不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩
形. 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形与平形四边形之间的关系
平行四边形 矩形
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 【定理】有三个角是直角的四边形是矩形.
2.填空 ⑴四条边都相等的四边形是菱形 , 有三个角是直角的四边
形是 _______ 矩形
所以DE=4.
答案：4
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第一章特殊平行四边形
一、单选题
1．下列命题错误的是( )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
2．在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A．B．C．D．
3．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9
(3) (4) (5) (6)
4．如图，正方形ABCD的面积是（）
A．5B．25C．7 D．10
5．如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC上任意一点，EG⊥BD于G，EF⊥AC 于F，若AC=10，则EG+EF的值为（）A．10B．4C．8D．5
6．如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若
EF=2，FG=GC=5，则AC的长是（）A．12 B．13 C．D．
7．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论
①AE=BC②AF=CF③BF2=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（）
(7) ( 8) (9)
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．正方形ABCD 的边长AB ＝2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE 、BD 相交于点M ，N ，则MN 的长为( )
A ．6
B ．3﹣1
C ．15
D ．3
9．如图，矩形ABCD 中，折叠矩形一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE =
,且CE :CF =3:4,则矩形ABCD 的周长为（ ）
A ．36cm
B ．3
C ．72cm
D ．7
10．对角线互相平分且相等的四边形是（ ）
A ．菱形
B ．矩形
C ．正方形
D ．等腰梯形
二、填空题
11．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线之比3:4，则菱形面积为________cm 2 ． 12．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是 .
（12） （13） （14） （16）
13．如图，在四边形ABCD 中，，对角线AC 与BD 相交于点O ，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是______．
14．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在、轴的正半轴上，以OA 为边长作一等边OAD ，顶点D 在正方形内部，连接CD 并延长CD 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为________ .
15．菱形的两条对角线长分别为16和12，则菱形的周长为________．
16．如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为________．
17．我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有 个．
18．如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），
则点F 的坐标为_____．
（ 17） （18） （19）
19．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AB ＝4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于________．
20．如图，在正方形ABCD 中，AB=2cm ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 以一定的速度从A 向B 移动，点F 以相同的速度从B 向C 移动，连结OE 、OF 、EF ．则线段EF 的最小值是________cm ． 三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，过点B 作BE∥AC 交DA 的延长线于E ，求证：BE=BD ．
22．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
23．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点。
四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形
B A
E C
D
第23题
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24．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD
于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．
25．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，直线AE交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若∠CBF=65°，求∠AGC的度数．
26．如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF。
⑴求证：四边形AECF是平行四边形；
⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长。
27．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．。