2014年高考全程复习高三4-5不等式选讲4-5-2

6．适宜用反证法证明的数学命题 (1)结论本身以否定形式出现的一类命题； (2)关于唯一性、存在性的命题； (3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； (4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题； (5)要证的结论与条件之间的联系不明显， 直接由条件推出 结论的线索不够清晰．
7．用放缩法证明不等式的基本方法是：欲证 A≥B，可通 过适当放大或缩小，借助一个或多个中间变量，使得 B≤B1， B1≤B2，„，Bi≤A，或 A≥A1，A1≥A2，„，Ai≥B，再利用 传递性，达到目的．
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又 3(abc) ＋9(abc) ≥2 27＝6 3，③ 所以原不等式成立． 当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当 3(abc) ＝9(abc) 时，③式等号成立． 即当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原式等号成立．
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方法二：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋ b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ac.① 1 1 1 1 1 1 同理a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc② 1 1 1 1 1 2 2 2 ＋ ＋ 2≥ab＋bc＋ac＋3· ＋3· ＋ 故 a ＋b ＋c ＋ a b c ab bc 1 3· ≥6 3.③ ac 所以原不等式成立．
3．分析法 证明命题时，从⑲__________出发，逐步寻求使它成立的 21 22 ⑳__________，直至所寻求的条件成为一个○__________或○ ____________________(定义、公理或已证明的定理、性质等)， 从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一 23 种○__________的思考和证明方法．
考点自测 1.设 t＝a＋2b， s＝a＋b2＋1， s 与 t 的大小关系是( 则 A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t
)
答案：A
2．若 a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1 成立的一个充分不必要条 件是( ) 1 1 A．|a＋b|≥1 B．|a|≥2且|b|≥2 C．b＜－1 D．a≥1
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变式探究 2 (2013· 江苏模拟)已知 a＞0， b＞0， c＞0 且 ab＋bc＋ca＝1， 求证：a＋b＋c≥ 3.
证明： 要证 a＋b＋c≥ 3， 由于 a， c＞0 只需证(a＋b＋c)2≥3， b， 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而 ab＋bc＋ca＝1， 故只需证 a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)， 即证 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca① a2＋b2 b2＋c2 c2＋a2 又 ab＋bc＋ca≤ 2 ＋ 2 ＋ 2 (当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)， ∴①式显然成立，即原不等式成立.
点评： ①作差比较法证明不等式的一般步骤：作差、变形、判断 符号、得出结论． ②变形整理是关键，变形目的是为了判断差的符号．
变式探究 1 求证：当 a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)
a b 2
.
证明： 当 a＝b
a a bb ab
a b 2
＝a
a b 2
b
ba 2
a a b ＝b 2 ，
2． 当被证明不等式(或变形后的不等式)的两端都是正数且 为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法． 作商比较法证明不等式的一般步骤： ①作商：将不等式左右两边的式子进行作商． ②变形：化简商式到最简形式． ③判断：判断商与 1 的大小关系，就是判断商大于 1 或小 于 1 或等于 1. ④结论．
题型三 用反证法证明不等式 例 3 已知 f(x)＝x2＋px＋q， (1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； 1 (2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2.
证明： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q) ＝2. 1 (2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 2 ，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)| ＜2，而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)| ≥|f(1)＋f(3)－2f(2)|＝|(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋ 2q)|＝2，出现矛盾． 1 ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2.
8．放缩法的常用技巧：(1)舍去一些正项或负项如 a2＋a 12 3 12 ＋1＝a＋2 ＋4＞a＋2 等；(2)在和或积中换大(或换小)某些 a a＋m 项；(3)扩大(或缩小)分式的分子或分母，如b＜ (a，b，m b＋m 1 1 1 2 ＋ ∈R 且 a＞b)，k2＜ ， ＜ 等；(4)绝对值不 kk－1 k k＋ k＋1 等式的性质，如|a＋b|≤|a|＋|b|等.
Hale Waihona Puke 3．分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能 使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系较难发 现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使 用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆． 4．利用综合法证明不等式一般有两种途径：①从分析法 找思路；②从“重要不等式”，特别是均值不等式找思路．用 综合法证明不等式的逻辑关系是： A⇒B1⇒B2⇒„⇒Bn⇒B.综合 法的思维特点是：由因导果．
5．反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题 的一般步骤为 (1)反设：假定所要证的结论不成立；(否定结论) (2)归谬： 将“反设”作为条件， 由此出发经过正确的推理， 导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的 事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反 设”的谬误． 既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成 立)
点评： ①直接由条件推出结论很困难时，常用反证法． ②从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论时，常从反 面进行证明．
变式探究 3 若函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，当 f(a) ＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)时，试证明 a＋b≥0.
选修4－5－2 不等式的证明
考纲点击 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、 放缩法.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.比较法 (1)作差比较法 ① 理 论 依 据 ： a ＞ b ⇔ ① __________ ＞ 0 ； a ＜ b ⇔ ② __________；a＝b⇔③__________. ②证明步骤：作差→④__________→⑤__________→得出 结论．
(2)作商比较法 a ①理论依据：b＞0，b＞1⇒⑥__________； a b＜0，b＞1⇒⑦__________. ② 证 明 步 骤 ： 作 商 → ⑧ __________→ ⑨ ________________→得出结论．
2．综合法 (1)一般地，从⑩__________出发，利用⑪__________、⑫ __________、⑬__________、⑭__________等，经过一系列的 ⑮__________、⑯__________而得出命题成立，这种证明方法 叫做综合法．综合法又叫⑰__________或⑱__________. (2)使用综合法证明不等式应注意对基本不等式或已证不 等式的使用，常用的不等式有：①a2≥0；②|a|≥0；③a2 ＋ a＋b 2 b ≥2ab；④ 2 ≥ ab(a，b＞0)等．
题型探究 题型一 用比较法证明不等式 例 1 设 a，b 是非负实数，求证：a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
证明：由 a，b 是非负实数，作差得 a3＋b3－ ab(a2＋b2)＝a2 a( a－ b)＋b2 b( b－ a) ＝( a－ b)[( a)5－( b)5]． 当 a≥b 时， a≥ b， 从而( a)5≥( b)5， 得( a－ b)[( a)5 －( b)5]≥0； 当 a＜b 时， a＜ b， 从而( a)5＜( b)5， 得( a－ b)[( a)5 －( b)5]＞0. 所以 a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
答案：C
x y z 3．P＝ ＋ ＋ (x＞0，y＞0，z＞0)与 3 的大小 x＋1 y＋1 z＋1 关系是( ) A．P≥3 B．P＝3 C．P＜3 D．P＞3
答案：C
4．已知|a＋b|＜－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式： ①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c； ④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c. 其中一定成立的不等式是__________(注：把成立的不等 式序号都填上)
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当 a＝b＝c， 2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时， (ab) ③式等号成 立． 即当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原式等号成立． 点评：综合法是由因导果，要求学生要有较强的观察与变 形的能力．分析法是执果索因，利于思考，但是表述格式要求 严谨，二者各有所短，相互补充．凡是能用分析法证明的不等 式，一定可以用综合法证明．
a a b 时，b 2 ＝1.
a a b a－b a 当 a＞b＞0 时，b＞1， 2 ＞0，则b 2 ＞1. a a b a－b a 当 b＞a＞0 时，0＜b＜1， 2 ＜0，则b 2 ＞1.
综上可知，当 a、b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)
a b 2
成立.
题型二
用分析法或综合法证明不等式
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例 2 已知 a，b，c 均为正数，证明：a ＋b ＋c
2
1 1 1 ＋a＋b＋c
≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
解析：方法一：因为 a，b，c 均为正数， 所以 a2＋b2＋c2≥3(abc) ① 1 1 1 1 ＋b＋c ≥3(abc) 3 ，② a 2 1 1 1 所以a＋b＋c 2≥9(abc) 3 . 2 2 1 1 1 故 a2＋b2＋c2＋a＋b＋ c 2≥3(abc) 3 ＋9(abc) 3 .