[最新版]高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

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2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

考点14不等式选讲1．（2020·全国高三其他（理））设函数f （x ）＝|2x ﹣1|+mx +2，m ∈R ．（1）若m ＝1，解不等式f （x ）＜6；（2）若f （x ）有最小值，且关于x 的方程2()1f x x x =-++有两个不等实根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）5(3,3-；（2）322m -≤<-【解析】（1）当1m =时，()212f x x x =-++，当12x ≤时，()1226f x x x =-++<，得3x >-，综合得132x -<≤，当12x >时，()2126f x x x =-++<，得53x <，综合得1523x <<，综上，不等式的解集为5(3,)3-；（2）当12x ≤时，()122(2)3f x x mx m x =-++=-+，当12x >时，()212(2)1f x x mx m x =-++=++，则1(2)3,2()1(2)1,2m x x f x m x x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩，要使()f x 有最小值，则2020m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得22m -≤≤，要使方程()21f x x x =-++有两个不等实数根，则()y f x =与2()1g x x x =-++有两交点，易知当12x =时，()f x 有最小值122m +，()g x 有最大值54作示意图如图所示：2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总则122m +<54，得32m <-，综合得322m -≤<-.2．（2020·湖北蔡甸汉阳一中高三其他（理））已知函数()22f x x x =--.（1）求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若a R ∈，且0a ≠，证明：()14114a f x a-++≥.【答案】（1）{}|15x x -≤≤；（2）见解析.【解析】（1）法一：()2,02232,012,1x x f x x x x x x x -<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪-+>⎩，作出()f x的图象，如图所示：结合图象，函数()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()13f -=-，()53f =-，所以不等式()3f x ≥-的解集是{}|15x x -≤≤.法二：()223f x x x =--≥-，等价于：0223x x x <⎧⎨-+-≥-⎩或01223x x x ≤<⎧⎨+-≥-⎩或1223x x x ≥⎧⎨-+≥-⎩，解得：10x -≤<或01x ≤<或15x ≤≤，所以不等式()3f x ≥-的解集是{}|15x x -≤≤.（2）由（1）知函数()f x 的最大值是()11f =，所以()1f x ≤恒成立.因为11144111a a aa ++≥-++-11444a a a a =+=+≥，当且仅当12a =±时，等号成立.所以()14114a f x a-++≥.3．（2020·南昌市八一中学高三三模（理））设函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |，ab ＞0.（1）当a ＝1，b ＝1时，求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若f （x ）的最小值为2，求41a b+的最小值.【答案】（1）{x |3322x -＜＜}（2）92【解析】（1）原不等式等价于|x ﹣1|+|x +1|＜3，当x ≥1时，可得x ﹣1+x +1＜3，解得1≤x 32＜；当﹣1＜x ＜1时，可得﹣x +1+x +1＜3，得2＜3成立；当x ≤﹣1时，可得﹣x +1﹣x ﹣1＜3，解得32-＜x ≤﹣1.综上所述，原不等式的解集为{x |3322x -＜＜}；（2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |≥|b +a |，当且仅当（x ﹣a ）（x +b ）≤0时等号成立.∴f （x ）的最小值为|b +a |，即|b +a |＝2.又∵ab ＞0，∴|b +a |＝|a |+|b |＝2，∴()41411412a b a b a b a b ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭141955222b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝.当且仅当4b a a b=时，等号成立，∴41a b +的最小值为92.4．（2020·西藏城关拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =-.（1）解不等式：()()124f x f x +++<；（2）已知2a >,求证：()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.【答案】（1）3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）详见解析【解析】：（1）解：(1)(2)4f x f x +++<，即14x x -+<，①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-，302x ∴-<≤是不等式的解；②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立，01x ∴<≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <，512x ∴<<是不等式的解．综上所述，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（2）证明：2a > ，()()22f ax af x ax a x ∴+=-+-22ax ax a =-+-22ax a ax =-+-≥22222ax a ax a -+-=->，()()2x R f ax af x ，∴∀∈+>恒成立．5．（2020·江苏高三其他）设x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求222111x y z x y z+++++的最小值.【答案】14【解析】()()2222111111x y z x y z x y z x y z ⎛⎫+++++++≥++ ⎪+++⎝⎭因为1x y z ++=，即22241111x y z x y z ⎛⎫++≥ +++⎝⎭22211114x y z x y z ∴++≥+++，当13x y z ===时，等号成立，故222111x y z x y z+++++的最小值为14.6．（2020·四川德阳高三其他（理））已知函数()0f x m =-≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．【答案】（1）4m ≤；（2）94．【解析】（1）函数()0f x m =+-≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤；（2）由（1）知4n =，正数a ，b 满足21432a b a b +=++，所以()1217474432a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭()()121622432a b a b a b a b ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()222315432a b a b a b a b ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦54944+≥=，当且仅当23a b a b +=+即3210b a ==时，等号成立，所以74a b +的最小值为94．7．（2020·河北长安石家庄一中高三月考（理））[选修4-5：不等式选讲]设函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}23x x -≤≤(2)24a -≤≤【解析】（1）不等式()()f x 5f x 3≤--，即x 1x 25++-≤等价于1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩或12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得2x 3-≤≤，所以原不等式的解集为{}x 2x 3-≤≤；（2）当[]x 1,1∈-时，不等式()2f x x a x 4++≤+，即x a 2x +≤-，所以x a 2x +≤-在[]1,1-上有解即2a 22x -≤≤-在[]1,1-上有解，所以，2a 4-≤≤．8．（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））已知x ，y ，z 均为正实数，且222111149x y z ++=．证明：（1）1111263xy yz xz++≤；（2）222499x y z ++≥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz +≥，所以22211111224933x y z xy yz xz ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭．当且仅当11123x y z ==时等号成立，即22211111149263x y z xy yz xz ++≥++，又由222111149x y z ++=，所以1111263xy yz xz ++≤．（2）由题意知222111149x y z++=，可得()22222249491x y z x y z ++=++⨯()2222221114949x y z x y z ⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭()21119≥++=．当且仅当23x y z ==时等号成立，所以222499x y z ++≥．9．（2020·全国高三其他（理））已知变量x 、y 、a 、b 、c 且满足0x a ≥>，y b ≥，02c <≤．（1）解不等式280x x x a y b y a b ++-+--++-≤；（2）若x a c =+，y b c =+，试证明不等式232310x y a b +--≤．【答案】（1）{}02x x <≤；（2）证明见解析.【解析】（1）所给变量x 、y 、a 、b ，且满足0x a ≥>，y b ≥，故x a x a -=-，y b y b -=-，于是原不等式等价为280x x x a y b y a b ++-+--++-≤．整理为2280x x +-≥，即有20280x x x >⎧⎨+-≤⎩，则有042x x >⎧⎨-≤≤⎩，于是不等式的解为02x <≤，解集为{}02x x <≤；（2）x a c =+ ，y b c =+，根据已知条件有0x a c -=>，0y b c -=>．即有02c <≤．又()()23232323x y a b x a y b x a y b +--=-+-≤-+-()()2323510x a y b c c c =-+-=+=≤，即232310x y a b +--≤成立．10．（2020·广西七星桂林十八中高三月考（理））已知0m n >>，函数1()()f x x n m n =+-.（1）若4m =，1n =，求不等式()6f x >的解集；（2）求证：2()4f x x m --.【答案】（1）1719 33x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭∣或；（2）证明见解析.【解析】（1）依题意，1()3f x x =+，则11()66633f x x x >⇔+>⇔+>或163x +<-，解得173x >或193x <-，故不等式()6f x >的解集为1719 33x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭∣或.（2）依题意，221()44()f x x m x x m n m n --⇔++--，因为()222111()()()x x m x x m m n m n n m n n m n ++-+--=+---，()m n m n =+-，故214()n m n m -，故222144()m m n m n m ++-，当且仅当m =，2n =时等号成立.。

高三数学不等式选讲试题答案及解析

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。

2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

12020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .题型三不等式的证明与应用例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【答案】略.【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一解绝对值不等式1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥53或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5，解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数.（1）图中画出的图像；()123f x x x =+--()y f x =（2）求不等式的解集．【答案】（1）见解析（2）. 【解析】⑴如图所示：（2）()()()()+∞⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞->∴><<<><≤∴<>>-≥<<<<-∴<>>-<<--≤∴<>>-≤>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤-=5,1,331,解集为1x f ，5x 或3x 1或31x 综上，5x 或3x 23，3x 或5x 解得14x ，23x 当23x 1或31x 131x 或1x 解得1,23x ，23x 1当1x ，3x 或5x 解得1,4x ，1x 当1,x f 23x x,423x 12,3x 1x 4,x f2.不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，()1f x >()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因为(a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【答案】略.【解析】证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，5即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．3.设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 【答案】略.【解析】(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。

高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》分类汇编及解析

【最新】数学《不等式选讲》高考复习知识点一、141．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．40【答案】B 【解析】【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.2．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-【答案】C 【解析】【分析】利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围，再根据无实数解得出a 的范围。

【详解】解：由绝对值不等式的性质可得，||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=„，即|1||2|3x x +---…. 因为|1||2|x x a +--<无实数解所以3a ≤-，故选C 。

【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。

3．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为（） A ．45[,)33B ．2112(,][,)3333--⋃ C ．12[,)33⋃45(,]33D ．随a 的值而变化【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=13，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-，又当203x <≤时,()f x 单调递增，∴11113(1)()(1)(){23313x f x f f x f x ->->⇔->⇔-≤，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33⋃45(,]33，故选C考点：本题考查了抽象函数的运用点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用4．若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆Q ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.5．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3【答案】C 【解析】【分析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-；当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.故选C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．6．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.7．325x -≥不等式的解集是（） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.8．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.9．已知1a >，且函数()2224f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]4,25B ．(]1,25C ．(]1,16D ．[]4,16【答案】C【解析】【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解. 【详解】当25a =时，()22252425f x x x x x =-++-+且22250,4250x x x x -+≥-+≥ 所以()23975f x x x =-+，此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；当3a =时，()223243f x x x x x =-++-+，当()1,3x ∈时，2230,430x x x x -+>-+<，所以()()222324373f x x x x x x x =-+--+=-+-，此时()()1f x a x ≥-化成()27331x x x -+-≥-，即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立，故D 不对，C 正确；故选C. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.10．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n L L =+++++，那么下列结论正确的是（） A ．413S << B ．5443S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.11．若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（） A ．5或8 B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或8【答案】D 【解析】试题分析：由题意，①当12a->-时，即2a >，3(1),2(){1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-=+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a -<-时，即2a <，3(1),1(){1,123(1),2x a x af x x a x ax a x --+≤-=-+--<≤-++>-，则当2a x =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12a-=-时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.12．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( )A ．33()()f x f a a -≤+B ．24()()f x f a a -≤+C ．()()5f x f a a -≤+D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B 【解析】【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．13．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（） A ．1 B ．13C ．12D ．3【答案】B 【解析】【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》知识点复习

高中数学《不等式选讲》知识点概括一、 141．不等式 x 8 x 4 2 的解集为 ()A ． { x | x 4}B ． { x | x 5}C ． { x | 4 x 8}D ． { x | 4 x 5}【答案】 B 【分析】【剖析】分三种状况议论： x 4 ， 4 < x < 8 以及 x8 ，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集 . 【详解】当 x4 时， x8 x 48 x x 44 2 建立，此时 x 4 ；当 4 < x < 8 时， x8x 48 xx 412 2x 2 ，解得 x 5 ，此时4x 5；当 x8 时， x8 x 4 x 8 x 4 4 2，原不等式不建立 .综上所述，不等式x 8 x 4 2 的解集为 x x 5 ，应选 B.【点睛】此题考察绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段议论，从而求解不等式，也能够采纳绝对值的几何意义来进行求解，考察分类议论数学思想，属于中等题.2．已知函数 f ( x) 是定义在 [ a1,2a] 上的偶函数 ,且当 x0 时 , f ( x) 单一递加，则对于 x的不等式 f ( x 1) f (a) 的解集为（）A ．[ 4,5)B ．( 2, 1][1,2) 33333 3C ．[1,2)(4,5] D ．随 a 的值而变化333 3【答案】 C【分析】试题剖析：∵函数f (x) 是定义在 [a 1,2 a] 上的偶函数，∴ 1-a=2a ，∴ a= 1，故函数 f ( x)3的定义的定义域为[ 2,2]，又当 0 x 2 时 , f ( x) 单一递加，∴3 3 3x 1f (1)f ( 1) 1f ( x1)f ( x 1){ 3，解得1 x2 或 4 x5 ，所以33x2333313不等式 f ( x 1)f ( a) 的解集为 [ 1 , 2 )( 4 , 5 ]，应选 C3 33 3考点：此题考察了抽象函数的运用评论：此类问题常常利用偶函数的性质f (x) f ( x ) 防止了议论，要注意灵巧运用3．设 a nsin1sin 2 sin n ，对随意正整数 m 、 n （m>n ）都建立的是（） .2222 nA ． a n1B ． a n a m1 C ． a na m1 D ． a na m1a m2m2n2n2m【答案】 C【分析】【剖析】先作差，再依据三角函数有界性放缩，从而依据等比数列乞降确立选项 .【详解】Q a nsin1sin 2sin na ma n sin( n 1) sin( n 2) sin m2 222n2n 12n 22m| a m a n | |sin( n 1)sin( n 2)sin m2 n 1n 22m |2sin( n 1) sin( n 2) sin m| |2 n 1 || 2 n 2 || 2 m112n 1 2n 2应选： C【点睛】111 2n 1(1 2m n)1 112m11 2n2m 2n2此题考察三角函数有界性、等比数列乞降以及放缩法，考察综合剖析求解与论证能力，属中档题 .4．不等式 32x 5的解集是（）A ． { x | x1} B ． { x | 1 x 4} C ． { x | x1或x 4} D ． { x | x 4}【答案】 C【分析】【剖析】依据绝对值定义化简不等式，求得解集 .【详解】因为 3 2x5 ，所以 3 2x 5或 3 2 x5，即或，选 C.x1 x 4【点睛】此题考察含绝对值不等式解法，考察基本求解能力.5．已知 a ＋ b ＋ c ＝ 1，且 a ， b ， c ＞ 0，则2 22 的最小值为 ( )b b ca caA ．1B ． 3C ． 6D ． 9【答案】 D【分析】2222 a+b+c 11 1Q a b c 1,a b b c c aa b b c c aa bb c c a11 1 1 1 12a b b cc 9 ，当且仅当aa bc1D.时等号建立，应选3【易错点晴】此题主要考察利用基本不等式求最值，属于难题 .利用基本不等式求最值时，必定要正确理解和掌握 “一正，二定，三相等 ”的内涵：一正是，第一要判断参数能否为正；二定是，其次要看和或积能否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后必定要考证等号可否建立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号可否同时建立）.6．若对于 x 的不等式 ax 2 | x 1| 3a ≥ 0 的解集为 R ，则实数 a 的取值范围为A ．[ 1,+ )B ．[ 1,+ )63C ．[ 1,+ )D ．[1,+ )212【答案】 C【分析】【剖析】先将不等式 ax2x 1 3a 0 变形为 ax 1，由不等式 ax 2x 1 3a0 的解集x 23是,，可得 ax 1 恒建立，所以只要求出 x1的最大值即可 .x 23x 23【详解】解：不等式 ax 2 x 1 3a 0 的解集是,，即 x R ， ax 2x 13a 0 恒建立，∴ ax 1 x 1 ，x 2 3x 2 3令g xx 1 ，x 23当 x1 时， g x 0 ；g xx 1 1当 x1 x 234时，，x 12x1若 x 10 ，则 x 14 2 2 x 1 ?42 2 ，x1x 1当且仅当4 ，即 x ＝1 “ ”x 1时上式＝建立；x 1若 x 1＜0 ，则 x 14 2 x 1422x 1 ?426 ，x 1x 1x1当且仅当x 14 ，即 x3 时上式 “＝ ”建立．x 1x 14 ,62,x 2．1gx 0,1．2a1 ．2则实数 a 的取值范围是1 , ．2应选 C ．【点睛】此题主要考察不等式恒建立的问题，由不等式恒建立求参数的范围，往常用分别参数的方法，将不等式转变为参数与一个函数比较大小的形式，只要求出函数的最大值或最小值即可，属于常考题型 .7．若存在 x R , ,使 2x a 2 3 x 1 建立 ,则实数 a的取值范围是（）A ．7，5B ．C ． 5，7D ．【答案】 C【分析】【剖析】5，7，5 7，先利用绝对值三角不等式求2x a 2 3 x 的最小值，即得实数a 的取值范围 .【详解】由题得2x a 2 3x = 2x a 6 2x|6 a |，所以|6 a |1, 1 a 61,5a7 .应选C【点睛】此题主要考察绝对值三角不等式和绝对值不等式的能建立问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.8．已知命题 P: log2( x 1) 1；命题 q: x 2 1,则p是q的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】【剖析】先化简命题p 和 q,再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得命题p:1 ＜ x＜ 3，命题 q:1＜ x＜ 3.所以命题p 是命题 q 的充要条件 .应选 C【点睛】此题主要考察对数不等式和绝对值不等式的解法，考察充要条件的判断，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.9．不等式| x 1|| 2 x | a 无实数解，则a的取值范围是( )A． (,3)B．( 3,)C．(, 3]D．(, 3)【答案】 C【分析】【剖析】利用绝对值不等式的性质||a | | b || a b ，所以得出| a || b | 的范围，再依据无实数解得出 a 的范围。

高考数学复习：不等式选讲练习及答案

（x－ 1）＋（ x＋ 2） ≥５
－ 2<x<1，或
－（ x－ 1）＋（ x＋ 2） ≥５
x≤－2，或
－（ x－1）－（ x＋ 2） ≥５，解得 x≥２或 x≤－3. 故原不等式的解集为 { x|x≤－ 3 或 x≥2}．答案 { x|x≤－ 3 或 x≥2} 高频考点二不等式的证明
例 2．【 2017 课标 II ，理 23】已知
.
（ 2）当 x 1,1 时， g x 2 .
所以
的解集包含 1,1 ，等价于当 x 1,1 时 f x 2 .
又 f x 在 1,1 的学科 & 网最小值必为 f 1 与 f 1 之一，所以 f 1 2 且 f 1 2 ，得 1 a 1 .
所以 a 的取值范围为 1,1 .
1.【 2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分） ,选修 4—5：不等式选讲
4. （ 2018 年江苏卷） [ 选修 4—5：不等式选讲 ] 学 -科网
若 x， y， z 为实数，且 x+2 y+2z=6，求
的最小值．
【答案】 4
【解析】证明：由柯西不等式，得
．
，故当且仅当
因为
，所以
，
当且仅当
时，不等式取等号，此时
，
所以
的最小值为 4．
1.【 2017 课标 II ，理 23】已知
1. （ 2018 年全国 I 卷理数） [选修 4–5：不等式选讲 ]
已知
.
（ 1）当时，求不等式
的解集；
（ 2）若
时不等式
成立，求的取值范围 .
【答案】（1）
．
（2）．【解析】 [来源学科网 ZXXK]

高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》知识点总复习附答案

新数学高考《不等式选讲》专题解析一、141．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（） A ．9 B ．3 C ．1 D ．27【答案】B 【解析】【分析】由已知2221x y z ++=，可利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．【详解】由已知，可知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，可构造得2222222(122)()(22)x y x x y z ++++≥++，即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ．【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．2．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式：()20,0a b ab ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.3．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.4．325x -≥不等式的解集是（） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.5．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。

高三高考数学总复习《不等式选讲》题型归纳与训练

高考数学总复习题型分类汇《不等式选讲》篇经典试题大汇总目录【题型归纳1】题型一解绝对值不等式 (3)题型二解绝对值三角不等式 (4)题型三利用绝对值不等式求参数范围 (4)题型四用放缩法、反证法证明不等式 (5)【题型归纳2】题型一绝对值不等式、均值不等式 (6)题型二绝对值不等式的解法、柯西不等式,或均值不等式求最值,以及绝对值不等式解法 (7)题型三利用绝对值不等式求参数范围 (7)高考数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1设函数()12f x x x =-+-（1）解不等式()3f x >.（2）若()f x a >对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()()03∞∞ －，，＋；（2）实数a 的取值范围是()1∞-，【解析】(1)因为()12f x x x =-+-=⎪⎩⎪⎨⎧-.＞23,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以当1x ＜时，323x －＞，解得0x ＜；当12x ≤≤时，()3f x ＞无解；当2x ＞时，233x －＞，解得3x ＞.所以不等式()3f x ＞的解集为()()03∞⋃∞－，，＋.(2)因为()f x ＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以()f x min ＝1.因为()f x a ＞恒成立，所以1a ＜，即实数a 的取值范围是()1∞－，.【易错点】注意定义域取值范围.【思维点拨】试题以考查不等式的性质为目标，以绝对值不等式求解与证明问题为背景，所涉及到的知识均为考生熟悉的，易于入手，可从不同角度思考分析，使得不同基础和能力的考生都有所收获.题型二解绝对值三角不等式例1已知函数()12f x x x =-+-，若不等式||||||()a b a b a f x ≥＋＋－对0a a b R ≠∈，、恒成立，求实数x 的范围.【答案】}15{|22x x ≤≤【解析】由()x f a b a b a ≥-++且0≠a 得()()x f ab a b a ≥-++.又因为()2=-++≥-++a ba b a ab a b a ，则有2()f x ≥.解不等式|12|2x x ≤－＋－得1522x ≤≤.【易错点】注意等号成立的条件【思维点拨】1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.含有两个绝对值符号的不等式，如c b x a x ≥-+-和c b x a x ≤-+-型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.题型三利用绝对值不等式求参数范围例1设函数()212f x x x a a =++-+，R x ∈．（1）当3=a 时，求不等式()7>x f 的解集；（2）对任意R x ∈恒有()3≥x f ，求实数a 的取值范围．【答案】0|{<x x 或}2>x ，[)+∞,2【解析】（1）当3a =时，()174,2135,22341,2x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩所以()7f x >的解集为{}02x x x <>或（2）()2122121f x x a x a x a x a a a=-+-+≥-+-+=-+由()3f x ≥恒成立，有13a a -+≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞【易错点】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【思维点拨】绝对值不等式的解法中，a x <的解集是()a a ,-；a x >的解集是()()+∞-∞-,,a a ，它可以推广到复合型绝对值不等式ax b c +≤，ax b c +≥的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式.题型四用放缩法、反证法证明不等式例1已知a b R ∈，，且1a b ＋＝，求证：2225(2)(2)2a b ≥＋＋＋【证明】方法一：(放缩法)因为1a b ＋＝，所以左边＝()22222(b 2)125(2)(2)2[][()4]222a ab a b +≥＋＋＋＋＝＋＋＝＝右边.方法二：(反证法)假设2225(2)(2))2a b ＋＋＋＜，则22254()82a b a b ＋＋＋＋＜.由1a b ＋＝，得1b a ＝－，于是有2225(1)122a a ＋－＋＜.所以21()02a －＜，这与21(02a ≥－矛盾.故假设不成立，所以2225(2)(2)2a b ≥＋＋＋.【思维点拨】根据不等式左边是平方和及1=+b a 这个特点，选用重要不等式2222(2a b a b ≥＋＋来证明比较好，它可以将具备22a b ＋形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件1a b ＋＝，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【题型归纳】题型一绝对值不等式、均值不等式1.【题干】已知函数()21----=x x m x f ，R m ∈，且()01≥+x f 的解集为[]1,0.（1）求m 的值；（2）若a ，b ，c ，x ，y ，R z ∈，且m c b a z y x =++=++222222，求证:1≤++cz by ax .【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121|m x m x （2）见解析【解析】（1）()mx x x f ≤-+⇒≥+|1|||01 当1<m 时， |1|1||≥-+x x ，1|1||<-+∴x x 的解集为空集，不符合题意当1≥m 时①021,210<≤-∴-≥<x mm x x 时，得②恒成立时，得1110≥∴≤-+≤≤m m x x x ③121,211>≥+∴+≤>x m m x x 时，得综上：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-+21,21|1|||m m m x x 的解集为由题意得：1121021=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-m m m（2）zcc z by b y ax a x 2,2,2222222≥+≥+≥+ ()cz by ax c z b y a x ++≥+++++∴22222221222222=++=++c b a z y x ()22≤++∴cz by ax 1≤++∴cz by ax 题型二绝对值不等式的解法、柯西不等式,或均值不等式求最值,以及绝对值不等式解法1.【题干】.已知函数()12-=x x f ．（1）求不等式()1+<x x f 的解集；（2）若1=+b a ，()()ba ab x f x f 221+>+-对任意正实数a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1){}02x x <<(2)14x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【解析】（1）因为()1+<x x f 所以1121+<-<--x x x ,不等式()1+<x x f 的解集为：{}20|<<x x (2)因为1=+b a ，且a ，b 为正实数,()()1222=+≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a a b 当且仅当b a =时等号成立.因为()()ba ab x f x f 221+>+-对任意正实数a ，b 恒成立,所以()()11>+-x f x f 当21≥x 时不等式不成立；当2121<<-x 时解集为⎭⎫⎩⎨⎧-<<-4121|x x ；当21-≤x 时不等式恒成立解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤21|x x .综上不等式解集为⎭⎫⎩⎨⎧-≤41|x x .题型三利用绝对值不等式求参数范围1.【题干】设函数()222f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）若27,()2x R f x t t ∀∈≥-，恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦,(2)322t ≤≤【解析】（1）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，当1,42,6x x x <--->∴<-当12,x -≤<32x >，223x ∴<<当2x ≥，42,2x x +>∴≥。

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高考数学题型归纳与训练高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .题型三不等式的证明与应用例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【答案】略.【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一解绝对值不等式1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5高考数学题型归纳与训练或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5，解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数()123f x x x =+--.（1）图中画出()y f x =的图像；（2）求不等式()1f x >的解集．【答案】（1）见解析（2）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，.【解析】⑴如图所示：（2）()()()()+∞⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞->∴><<<><≤∴<>>-≥<<<<-∴<>>-<<--≤∴<>>-≤>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤-=5,1,331,解集为1x f ，5x 或3x 1或31x 综上，5x 或3x 23，3x 或5x 解得14x ，23x 当23x 1或31x 131x 或1x 解得1,23x ，23x 1当1x ，3x 或5x 解得1,4x ，1x 当1,x f 23x x,423x 12,3x 1x 4,x f2.不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．高考数学题型归纳与训练题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c). 【答案】略.【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因为(a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【答案】略.【解析】证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．3.设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 【答案】略.【解析】(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。