3.3.1几何概型

我们知道，必然事件的概率 是1，不可能事件的概率是0. 反之成立？
在古典概型中，概率为0的事件是不 可能事件，概率为1的事件是必然事件。 而在几何概型中概率为0的事件可能 发生，概率为1的事件 不一定发生。
5、一张方桌的图案如图所示（小正方形面积都相 等）。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子 不落在线上，求下列事件的概率： （1）A={豆子落在红色区域} （2）B={豆子落在黄色区域} （3）C={豆子落在绿色区域} （4）D={豆子落在红色或绿色区域} （5）E={豆子落在黄色或绿色区域}
(作业本)课本:P142 A组T2, B组
即 点 M 落在图中的阴影部分. 5 所有的点构成一个正方形，即有4 无穷多个结果.由于每人在任一 3 2 时刻到达都是等可能的，所以落1 在正方形内各点是等可 0 能的.
y
.M(x,y)
1
2 3 4
5 x
二人会面的条件是：
| x y | 1,
y
5 4 3 2 1
记“两人会面”为事件A.
阴影(红色）部分的面积 P(A) 正方形的面积 1 2 25 2 4 2 25 9 25.
( x, y )可以看成平面中的点。试验的全部结果 所构成的区域为= ( x, y ) 6.5 x 7.5, 7 y 8， 这是一个正方形区域，面积为S =1 1=1。事件A 表示父亲在离开家前能得到报纸，所构成的区 域为A= ( x, y ) y x, 6.5 x 7.5, 7 y 8， 1 1 1 7 即图中的阴影部分，面积为S A =1- = 。 2 2 2 8 所以
4 1 2 （1） （2） （3） 9 3 9
2 ：在圆心角为 90 0 的扇形中，以圆 心O为起点作射线OC，求使得∠AOC 1 和∠BOC都不小于 30 0的概率.
3
练习7：某一交通路口的红绿灯，红灯的时间是 50秒，黄灯的时间是10秒，绿灯的时间为60 秒，问一车经过此路口遇上红灯或黄灯的概率 是多少?
例1、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,
想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10分 钟}.我们所关心的事件A恰好是 打开收音机的时刻位于[50,60] 时间段内,因此由几何概型的求 概率的公式得
即“等待的时间不超过10分钟”
60 50 1 P( A) , 60 6
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
古典概型 所有的基本事件 每个基本事件的 发生
有限个
几何概型
无限个
等可能
等可能
每个基本事件的 发生的概率
概率的计算
1/n
A所包含的基本事件的个数 P（A）＝ 基本事件的总数
y =x+1
y=x -1
0
1
2 3 4
5 x
• 对于复杂的实际问题,解题的关键是要 建立模型,找出随机事件与所有基本事 件相对应的几何区域,把问题转化为几 何概型问题,利用几何概率公式求解.
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1、两台电脑同时共用一个宽带上网， 各占a%,b%的带宽，当a+b>100时 1 会发生堵塞，求发生堵塞的概率. 2
例2：在等腰Rt△ABC，在斜边AB上
任取一点M，求AM＜AC的长的概率
2 2
变式：等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB 内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求 AM＜AC的长的概率.
0.75
解：在AB上截取AN=AC，连结CN，则ACN=ANC, 在CAN中，因为A=450，所以ACN 67.50， 67.50 所以满足题意的事件的概率为 =0.75. 0 90
提示： 如果用X表示报 纸送到时间,用Y表 示父亲离家时间,那 么X与Y之间要满足 哪些关系呢？
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系, 假设随机试验落在方形区域内任何一点是 等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意, 只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即事件A发生。
3.3.1
几何概型
学习目标 1、初步体会几何概型的意义， 掌握其特点 2、会用几何概型公式解决一些 简单事件的概率问题
复习回顾
1．古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （有限性） （2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性） 2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为： A所包含的基本事件的个数 P（A）＝ 基本事件的总数 3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基 本事件的总数常用的方法是列举法（分类列举、画树状 图和列表）， 注意做到不重不漏。
解：记“这杯水含有这 个细菌” 为事件A.
取出水的体积 P ( A) 所有水的体积 0 .3 ＝ 12 1 ＝ . 40
4、如图,假设你在每个图形上 随机撒一粒黄豆,分别计算它落 到阴影部分的概率.
P 1 1
3 P2 8
豆子落到圆心的概率是？ 豆子落在圆面上除圆心以外的 任意一点的概率是多少？
的概率为
1 6
在本例中，打开收音机的时刻X 是随机的，可以是0--60之间的任何一刻， 并且是等可能的。我们称X服从 0, 60上 的均匀分布，X为 0, 60 上的均匀随机数.
练习1：公共汽车站每隔５分钟有一辆汽车 通过，乘客到达 汽车站的任一时刻都是等 3 可能的，求乘客候车不超过３分钟的概率．
SA 7 P(A)= S 8
例4、(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5
点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,
设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且
二人互不影响。求二人能会面的概率。 解： 以 x , y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是
0 x 5, 0 y 5.
基本事件:
30cm的绳子上的任意一点.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
1 事件A发生的概率P( A) 3
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为 几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多 个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
问题1：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定 当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率？
甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的 长度有关，而与字母B所在区域的位置无关.
问题2：取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任 意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm 的概率有多大？
1 2
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如图,D是横坐标与纵坐标的绝对值均 不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离 不大于1的点构成的区域，假设你在D中随机撒一 . 粒黄豆,则它落到阴影部分E的概率
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在下图中正方形边长为2，随机撒下一粒黄豆， 它落在抛物线部分的概率是7/10，求抛物线部 分的面积.
14 5
2、在区间（0,1)内随机地抽取两个数，求事 件:“两数之和小于 6 ”的概率.
5
17 25
课堂小结
• 1.几何概型的特点. • 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
• 3.公式的运用.
4.在古典概型中，必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0 。而 在几何概型中概率为0的事件可能 发生，概率为1的事件不一定发生。
5
练习2：某公共汽车站，每隔15分种有一辆车 发出，并且发出前在车站停靠3分钟
（1）求乘客到站候车时间大于10分钟的概率
（2）求乘客候车时间不超过10分钟的概率
（3）求乘客到达车站立即上车的概率
1 2 （1） （2） 3 3
1 （3） 5
练习
3、有一饮水机装有12升的水,其中 含有1个细菌,用一个下面的奥运福 娃纪念杯从这饮水机中取出一满杯 水,求这杯水中含有这个细菌的概率.
例3、假设你家订 了一份报纸
送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间 在早上7:00—8:00之间 问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件A)的 概率是多少?
6:30—7:30之间 报纸送到你家 7:00—8:00之间 父亲离开家 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事 件A)的概率是多少?