计时双基练39
2015名师一号计时双基练40
计时双基练40机械振动(限时：45分钟满分：100分)A级双基达标1．(2014·上海市松江二中测试)如练图12－1－1所示，两根细线长度均为2 m，练图12－1－1A细线竖直悬挂且在悬点O处穿有一个金属小球a，B悬挂在悬点O′处，细线下端系有一金属小球b，并且有m a>m b，把金属小球b向右侧拉开3 cm到b′处，然后同时让金属小球a、b由静止开始释放(不计阻力和摩擦)，则两小球的最终情况是()A．a小球先到达最低点，不可能和b小球在最低点相碰撞B．b小球先到达最低点，不可能和a小球在最低点相碰撞C．a、b两小球恰好在最低点处发生碰撞D．因不知道m a、m b的具体数值，所以无法判断两小球的最终情况解析小球a到达最低点的时间t a＝2lg＝105s≈0.63 s；b球到达最低点的时间t b＝14T＝π2lg＝π510s≈0.70 s；所以a小球先到达最低点，不可能和b 小球在最低点相碰撞，选项A 正确．答案 A2．一质点做简谐运动的图象如练图12－1－2所示，下列说法正确的是( )练图12－1－2A ．质点振动频率是4 HzB ．在10 s 内质点经过的路程是20 cmC ．第4 s 末质点的速度为零D ．在t ＝1 s 和t ＝3 s 两时刻，质点位移大小相等、方向相同 解析 振动图象表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由图象可看出，质点运动的周期T ＝4 s ，其频率f ＝1T ＝0.25 Hz ；10 s 内质点运动了52T ，其运动路程为s ＝52×4A ＝52×4×2 cm ＝20 cm ；第4 s 末质点在平衡位置，其速度最大；t ＝1 s 和t ＝3 s 两时刻，由图象可看出，位移大小相等，方向相反．由以上分析可知，B 选项正确．答案 B3．铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6 m ，列车固有振动周期为0.315 s ．下列说法正确的是()A．列车的危险速率为20 m/sB．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行解析列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v＝lt＝12.6 m0.315 s＝40 m/s，故A项错误；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁固有频率，防止桥发生共振现象，而不是列车发生共振现象，B项错，C项错；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，D项对．答案 D4．(多选题)如练图12－1－3①所示，小球在内壁光滑的固定半圆形轨道最低点附近做小角度振动，其振动图象如练图12－1－3②所示，以下说法正确的是()练图12－1－3A．t1时刻小球速度为零，轨道对它的支持力最小B．t2时刻小球速度最大，轨道对它的支持力最小C．t3时刻小球速度为零，轨道对它的支持力最大D．t4时刻小球速度最大，轨道对它的支持力最大解析 小球在t 1和t 3时刻，位移最大，小球速度为零，轨道对小球支持力最小；在t 2和t 4时刻，位移为零，小球速度最大，轨道对小球的支持力最大．答案 AD5．一简谐振子沿x 轴振动，平衡位置在坐标原点．t ＝0时刻振子的位移x ＝－0.1 m ；t ＝43s 时刻x ＝0.1 m ；t ＝4 s 时刻x ＝0.1 m ．该振子的振幅和周期不可能为( )A ．0.1 m ，83s B ．0.1 m,8 s C ．0.2 m ，83 s D ．0.2 m,8 s 解析 若振子的振幅为0.1 m ，43 s ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12T ，则周期最大值为83 s ，A 项正确、B 项错误；若振子的振幅为0.2 m ，由简谐运动的对称性可知，当振子由x ＝－0.1 m 处运动到负向最大位移处再反向运动到x ＝0.1 m 处，再经n 个周期时所用时间为43 s ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋n T ＝43 s ，所以周期的最大值为83s ，且t ＝4 s 时刻x ＝0.1 m ，故C 项正确；当振子由x ＝－0.1 m 经平衡位置运动到x ＝0.1 m 处，再经n 个周期时所用时间为43 s ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋n T ＝43 s ，所以此时周期的最大值为8 s 且t ＝4 s 时，x ＝0.1 m ，故D 项正确．答案 B6．弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点之间做简谐运动，B 、C 相距20 cm.某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点，则该振动的周期和频率分别为__________、__________；振子在5 s 内通过的路程及5 s 末的位移大小分别为__________、__________.解析 设振幅为A ，由题意BC ＝2A ＝20 cm ，所以A ＝10 cm ，振子从B 到C 所用时间t ＝0.5 s ，为周期T 的一半，所以T ＝1.0 s ，f ＝1T ＝1.0 Hz ；振子在一个周期内通过的路程为4A ，故在t ′＝5 s ＝5T 内通过的路程s ＝t ′T ×4A ＝200 cm ；5 s 内振子振动了5个周期，5 s 末振子仍处在B 点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10 cm.答案 1.0 s 1.0 Hz 200 cm 10 cm7．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中．(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如练图12－1－4所示，则该摆球的直径为________cm.练图12－1－4(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________．(填选项前的字母)A ．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B ．测量摆球通过最低点100次的时间t ，则单摆周期为t 100C ．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D ．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小解析(1)游标卡尺读数为0.9 cm＋5×0.1 mm＝0.95 cm.(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置计时，故A项错误；若第一次过平衡位置计为“0”，则周期T＝t50，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝t49.5，B项错误；由T＝2πLg得g＝4π2LT2，其中L为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C项正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D项错误．答案(1)0.95(2)C8．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如练图12－1－5所示．练图12－1－5(1)求t＝0.25×10－2 s时的位移；(2)在t＝1.5×10－2s到2×10－2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？(3)在t＝0至8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？解析(1)由图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωt －π2＝－A cos ωt ＝－2cos 2π2×10－2t cm ＝－2cos(102πt ) cm当t ＝0.25×10－2 s 时，x ＝－2cos π4cm ＝－2 cm. (2)由题图可知在1.5×10－2～2×10－2 s 时间内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．(3)从t ＝0至8.5×10－2 s 的时间内质点的路程为s ＝17A ＝34 cm ，位移为2 cm.答案 (1)－ 2 cm(2)位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大(3)34 cm 2 cmB 级 能力提升1．有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS 系统较准确地探究了“单摆的周期T 与摆长l 的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T 2－l 图象，如练图12－1－6①所示．去北大的同学所测实验结果对应的图线是______(填“A ”或“B ”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了a 、b 两个摆球的振动图象(如练图12－1－6②)，由图可知，两单摆摆长之比l a l b＝________.在t ＝1 s 时，b 球振动的方向是________．练图12－1－6解析 由单摆的周期公式T ＝2π l g得：T 2＝4π2g l ，即图象的斜率k ＝4π2g ，重力加速度越大，斜率越小，我们知道北京的重力加速度比南京的大，所以去北大的同学所测实验结果对应的图线是B ；从题图②可以得出：T b ＝1.5T a ，由单摆的周期公式得：T a ＝2π l a g ，T b ＝2π l b g ，联立解得：l a l b ＝49；从题图②可以看出，t ＝1 s 时b 球正在向负最大位移运动，所以b 球的振动方向沿y 轴负方向．答案 B 49沿y 轴负方向 2．如练图12－1－7所示，图①为一列沿水平方向传播的简谐横波在t ＝0时的波形图，图②是这列波中质点P 的振动图线，那么：练图12－1－7(1)该波的传播速度为________m/s.(2)该波的传播方向为________(填“向左”或“向右”)．(3)图①中Q 点(坐标为x ＝2.25 m 处的点)的振动方程为：y ＝________cm.解析(1)波的周期T＝2 s，波长λ＝1 m，波速v＝λT＝0.5 m/s.(2)P点向上运动，不难判断波是向左传播．(3)Q点此时从最大位移开始向平衡位置运动，振动图象是一条余弦曲线，A＝0.2 cm，ω＝2πT＝π，Q点的振动方程为y＝0.2cos(πt)cm.答案(1)0.5(2)向左(3)0.2cos(πt) cm3．(1)(多选题)将一个力电传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如练图12－1－8所示．某同学由此图象提供的信息作出的下列判断中，正确的是________．练图12－1－8A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点C．摆球摆动过程中机械能减小D．摆球摆动的周期是T＝1.4 s(2)(多选题)如练图12－1－9所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是________．练图12－1－9A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲摆的振幅比乙摆大C．甲摆的机械能比乙摆大D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆解析(1)悬线拉力在经过最低点时最大，t＝0.2 s时，F有正向最大值，故A选项正确，t＝1.1 s时，F有最小值，不在最低点，周期应为T＝1.0 s，因振幅减小，故机械能减小，C选项正确．(2)从题图上看出甲摆振幅大，故B项对．且两摆周期相等，则摆长相等，因质量关系不明确，无法比较机械能．t＝0.5 s时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，所以正确答案为A、B、D.答案(1)AC(2)ABD4．简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如练图12－1－8①所示，在弹簧振子的小球上安装一枝绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如练图12－1－10②所示．练图12－1－10(1)为什么必须匀速拖动纸带？(2)刚开始计时时，振子处在什么位置？t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是多少？(4)振子在________s末负方向速度最大；在________s末正方向加速度最大；2.5 s时振子正在向________方向运动．(5)写出振子的振动方程．解析(1)纸带匀速运动时，由x＝v t知，位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间．(2)由题图②可知t＝0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T＝4 s，t＝17 s时位移为零．(3)由x＝v t，所以1、3间距x＝2 cm/s×2 s＝4 cm.(4)3 s末负方向速度最大；加速度方向总是指向平衡位置，所以t＝0或t＝4 s时正方向加速度最大；t＝2.5 s时，向－x方向运动．(5)x ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2t －π2 cm 或x ＝－10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2t cm. 答案 (1)在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间(2)左侧最大位移 零(3)4 cm(4)3 0或4 －x(5)x ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2t －π2 cm或x ＝－10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2t cm。
(新课标)高考语文一轮总复习 专题3 理解常见文言虚词在文中的意义和用法名师课件
4．把文言文阅读材料中画横线的句子翻译成现代汉语。(12 分)
(1)曳而逐出之，已而竞还啄其粟。(4 分) 译文：_______________________________________________ ________________________________________________________ (2)又奚为既来而共恶所呼者而迫之耶？(4 分) 译文：_______________________________________________ ________________________________________________________
我心里为它伤感，于是为它写传记。将用(它)来警醒我自己， 并且可以把(它)作为世人的一面镜子。
⑭背：背叛。 (例：弃义背．理，不知其恶。《上书谏吴王》) ⑮惠：恩惠，恩德。 (例：小惠．未徧，民弗从也。《曹刿论战》) ⑯寓：寄居。
(例：寓．形宇内复几时。《归去来兮辞》) ⑰校：较量，计较。 (例：犯而不校．。)
④命：召唤。 (例：或命．巾车，或棹孤舟。《归去来兮辞》) ⑤曹：众，群。 (例：民之曹．好，鲜其不济也。《国语》) ⑥恶：讨厌，憎恶，不喜欢。 (例：死亦我所恶．。《鱼我所欲也》) ⑦曳：拖拽。 (例：弃甲曳．兵而走。《寡人之于国也》)
⑧已而：不久。 (例：已．而．相如出。《廉颇蔺相如列传》) ⑨旋：回头，回转。 (例：香气环旋．，入于宫中。《柳毅传》) ⑩延：伸着，伸长。 (例：莫不延．颈举踵。《吕氏春秋》) ⑪去：离开。 (例：则有去．国怀乡，忧谗畏讥。《岳阳楼记》)
[答案] (1)(众鸡)拖拽(它)驱赶(它)使它出去，随后(又)争相回 去啄食那些粟粒。
(2)(众 鸡 )又为 何已经 来了却 一起憎恶 ( 那只 )呼叫 (它 们 )的鸡 并且逼走它呢？
计时双基练
计时双基练(一)走近细胞(计时：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共56分)1．据英国《皇家学会学报B》上发表的一项研究显示，台湾乳白蚁粪便具有一种特殊功效，其所含有的起保护作用的细菌能阻止杀死乳白蚁的真菌的入侵。
下列相关叙述中不正确的是()A．台湾乳白蚁、细菌和真菌三种生物都含有以核膜为界限的细胞核B．对台湾乳白蚁具有保护作用的细菌所含有的DNA是裸露的C．台湾乳白蚁在咀嚼木材时消耗的能量主要由线粒体提供D．台湾乳白蚁、细菌和真菌都含有生产蛋白质的机器——核糖体2．下列有关颤藻、水绵和黑藻所具有的共同结构和生理功能的叙述，正确的是() A．都含有叶绿素和类胡萝卜素，进行光合作用B．都含中心体，决定细胞分裂方向C．都含核糖体，作为蛋白质合成的装配机器D．都不含染色体，只在分子水平产生可遗传变异3．下列有关细胞及细胞学说的叙述，正确的是()A．小麦细胞和发菜细胞的结构有差异，不具有统一性B．原核细胞构成的原核生物都是营腐生或寄生生活的异养生物C．原核细胞没有核膜，结构也比较简单，所以不具有多样性D．细胞学说主要揭示了细胞的统一性和生物体结构的统一性4．细胞行使的功能不同，其形态一般也不同，无论动物细胞还是植物细胞，形态总是与功能相适应，这是生物在长期进化过程中逐渐形成的，下列叙述不正确的是() A．神经细胞有长的突起，有利于接收细胞外的刺激和传导兴奋B．鸵鸟的卵细胞较大，有利于从外界环境中吸收营养物质供给胚胎的发育C．叶表皮保卫细胞呈半月形，2个细胞围成一个气孔，有利于呼吸又有利于蒸腾作用D．人体内的白细胞形状不规则，与其免疫功能相适应5．波浪热是由布鲁氏杆菌引起急性或慢性人畜共患传染病。
下列相关说法正确是() A．布鲁氏杆菌细胞中有线粒体、核糖体B．布鲁氏杆菌在分裂过程中不出现基因重组C．布鲁氏杆菌所含元素中O是最基本的元素D．布鲁氏杆菌的遗传物质分布于细胞核内6．下列是关于几类生物的特点的叙述，正确的是()A．细菌和蓝藻在结构上有统一性，具体体现在它们都有细胞壁、细胞膜、核糖体及相同类型的遗传物质等B．硝化细菌与变形虫结构上的根本区别是前者有细胞壁，营养方式为自养型，后者无细胞壁，营养方式为异养型C．颤藻与发菜共同点都能进行光合作用，但颤藻含光合色素，而发菜细胞中含叶绿体D．一个动物体不同细胞形态和功能有其多样性。
高中数学人教B版必修4：双基限时练(31份打包)双基限时练5
双基限时练(五)基 础 强 化1．下列判断中错误的是( ) A ．α一定时，单位圆的正弦线一定 B ．单位圆中，有相同正弦线的角相等 C ．α和π＋α具有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上解析 终边相同的角的三角函数线相同，反过来，三角函数线相同，角不一定相等．故B 选项错．答案 B2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为( )A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4解析 由于正、余弦线的长度相等、符号相异，故角α的终边在第二、四象限，结合三角函数线可知，D 正确．答案 D3．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 解析 在单位圆上作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线可知，应选D.答案 D4．利用正弦线比较sin1，sin1.2, sin1.5的大小关系，有( )A ．sin1>sin1.2>sin1.5B ．sin1>sin1.5>sin1.2C ．sin1.5>sin1.2>sin1D ．sin1.2>sin1>sin1.5解析 ∵0<1<1.2<1.5<π2，如图，∴sin1<sin1.2<sin1.5，故选C. 答案 C5．若0≤α＜2π，且sin α＜32，cos α＞12.利用三角函数线，得到α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π解析 如图所示，双线阴影部分即为所求．答案 D6．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π5. 其中判断正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析 由正弦、余弦、正切的三角函数线可知②④正确． 答案 B7．如果MP 和OM 分别是4π5的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是________．(把正确命题的序号都填上)①MP ＜OM ＜0 ②MP ＜0＜OM ③OM ＜0＜MP ④OM ＜MP ＜0解析 ∵45π是第二象限角，∴sin 4π5>0，cos 4π5<0. ∴OM <0<MP .故③正确． 答案 ③8．在0到2π内，使cos α≤－32的α的取值范围是________．解析 作直线x ＝－32交单位圆于P 、P ′， ∵cos α≤－32，∴α的终边在如图阴影部分，∴5π6≤α≤7π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，7π6能 力 提 升9．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是________．解析 由sin x ≥0得， 2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，① 由cos x ≥12得，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，② 由①②可得2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z10．画出角－143π的正弦线、余弦线和正切线． 解析 先找出角－143π的终边位置，∵－143π＝－4π－2π3，∴－143π的终边与－2π3的终边相同．它与单位圆的交点为P ，由P 向x 轴作垂线，垂足为M ，过单位圆与x 轴正向的交点A 作圆的切线，与角α终边反向延长线交于T ，如图所示，正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .11．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合． (1)sin x ≥22； (2)cos x ≤12； (3)tan x ≥－1；(4)sin x ≤－12且cos x ≤－12.解析 (1)∵sin x ≥22，由下图可知，x 的取值集合为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z }． (2)∵cos x ≤12，由下图可知，x 的取值集合为{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z }． (3)∵tan x ≥－1，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，由下图可知，x 的取值集合为{x |2k π－π4≤x <2k π＋π2或2k π＋3π4≤x <2k π＋3π2，k ∈Z }，即{x |k π－π4≤x <k π＋π2}．(4)∵sin x ≤－12，cos x ≤－12，由下图可知，x 的取值集合为{x |2k π＋7π6≤x ≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 12．若π4<x <π2，设a ＝21－sin x ，b ＝2cos x ，c ＝2tan x ，试比较a ， b ，c 的大小．解析 如图所示，MP →，OM →，AT →分别是角α的正弦线、余弦线、正切线，在△OMP 中有OM >OP －MP ， 可得cos x >1－sin x .又AT >OA >OM ，即tan x >1>cos x ， 于是tan x >cos x >1－sin x . 又函数y ＝2x 为增函数， ∴21－sin x <2cos x <2tan x . ∴a <b <c .品 味 高 考13．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上解析 如图，根据余弦线的定义可知α的余弦线是OM →，进而可知角α的终边和x 轴正半轴或负半轴重合时，余弦线是单位长度的有向线段，故选择A.答案 A。
导数的应用 知识点与题型归纳
●高考明方向1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)★备考知考情由于高考对本节知识的考查仍将突出导数的工具性，重点考查利用导数研究函数极值、最值及单调性等问题，其中蕴含对转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查，故备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值的关系，强化导数的工具性的作用．另外，导数常与解析几何、不等式、方程相联系．因此，要加强导数应用的广泛意识，注重数学思想和方法的应用.....一、 知识梳理《名师一号》P41注意：定义域优先原则！！！第一课时 函数的导数与单调性知识点一 函数的导数与单调性的关系一般地，函数()y f x =在某个区间内可导：• 如果恒有()'0f x >，则 ()f x 是增函数。
• 如果恒有()'0f x <，则()f x 是减函数。
•如果恒有()'0f x =，则()f x 是常数。
注意：（补充）求函数单调区间的一般步骤：（1）求函数的定义域--单调区间必定是定义域的子集. （2）求函数的导数 （3）令()'0fx >以及()'0f x <,求自变量x 的取值范围，即函数的单调区间。
单调区间须写成区间！单调性的证明方法：定义法及导数法 单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性 (同增异减)、用已知函数的单调性等单调性的简单性质：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反.注意:《名师一号》P40 问题探究问题1、2对于可导函数f(x)，f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件吗？若不是，那其充要条件是什么？f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x ∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.由函数单调性确定参数取值范围的方法是什么？(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即利用“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．二、例题分析：(一)利用函数单调性确定函数的图象..例1.《名师一号》P42 高频考点例1 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()A B C D由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小，观察图象可知只有B符合．故选B.注意:《名师一号》P42 高频考点例1 规律方法已知y＝f′(x)的图象识别y＝f(x)的图象，关键是理解导函数的图象与函数图象的升降关系，本例中导函数y＝f′(x)的图象先递增后递减，且区间具有对称性，从而可得y＝f(x)图象的斜率变化情况也应该是先递增后递减，并注意图象的对称性，正确的选项就不难得到．注意：（补充）....一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图像就比较陡峭(向上或向下); 反之,函数的图像就平缓一些(二) 求函数的单调区间 例1.(1)周练13-44. 函数5224+-=x x y 的单调递减区间为（ ）A.(]]1,0[,1,-∞-B.[)+∞-,1],0,1[C.[-1，1]D.[)+∞--∞,1),1,(例1.(2)周练13-16设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π， 求函数f (x )的单调区间与极值．16.解: 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：..因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.例1.(3)《名师一号》P43 高频考点 例2已知函数f (x )＝ln x ＋kex (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值． (2)求f (x )的单调区间．解析：(1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －ke x，又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1...(2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0， 从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．例2.（1）（补充）周练13-17设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间.17.解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3， 判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）.1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立. ∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.∴在R 上单调递增...3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6362--a a .f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6362--a a .∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减.例2.（2）（补充）周练13-18已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈． (1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；(2)当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间．18.（1）解：.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当所以曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率为3.e（2）22'()[(2)24].xf x x a x a a e =++-+解：.2232.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。
高中数学人教B版必修4：双基限时练(31份打包)双基限时练9
双基限时练(九)基 础 强 化1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]，当y 取得最小值时，x 的值为( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析 由正弦函数的图象知，当x ＝3π2时，y 取得最小值－1，故选C. 答案 C2．下列函数图象相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(π＋x ) B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析 根据诱导公式，y ＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D. 答案 D3．已知函数f (sin x )＝x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( ) A ．sin 12 B.π6 C.2π3D.5π6解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6＝5π6. 答案 D4．与图中曲线对应的函数是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin|x |C ．y ＝－sin|x |D ．y ＝－|sin x |解析 ∵图象关于y 轴对称，且当x >0时，y ＝－sin x . 答案 C5．y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 在同一坐标系中作出y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如图所示．由图象可知，它们有三个交点． 答案 D6．函数y ＝sin x 与函数y ＝sin(－x )的图象关于________对称．( ) A ．原点 B ．x 轴，y 轴 C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π2解析 y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称， ∴y ＝sin x 与y ＝sin(－x )的图象关于y 轴对称．∵y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称， y ＝sin(－x )＝－sin x ，∴y ＝sin x 与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称． 答案 B7．函数y ＝12sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，y 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，128．若函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤3π2的图象和直线y ＝－2围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积为________．解析 作出y ＝2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2与y ＝－2的图象，利用割补法可知，该封闭图形的面积S ＝4π.答案 4π能 力 提 升9．从函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上的图象上看，对应函数值sin x ＝－12的x 的个数为________．解析 如图所示，直线y ＝－12与y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2.3π2上有2个交点．答案 210．作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，136π上的图象． 解析 列表：描点，连线得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6的图象，如图所示．11．利用“五点法”作函数f (x )＝1－sin x 的图象，并利用图象解不等式f (x )<12.解析 列表f (x )从图象中可知，f (x )＝12时，即1－sin x ＝12，sin x ＝12， ∴x ＝π6或x ＝5π6.∴f (x )<12的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋5π6，k ∈Z .12．求函数f (x )＝ sin x －12＋lg(25－x 2)的定义域．解析 由题意可知⎩⎨⎧sin x －12≥0，25－x 2>0，作出函数y ＝sin x 的图象满足sin x －12≥0的x 的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．又25－x 2>0，即－5<x <5，故该函数的定义域为⎝⎛⎦⎥⎤－5，－7π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 品 味 高 考13．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析 画出函数y ＝|sin x |的图象易知选C. 答案 C。
高考物理一轮计时双基练【38】固体、液体和气体(含答案)
计时双基练38 固体、液体和气体(限时：45分钟满分：100分)A级双基达标1．如练图11－2－1所示，曲线M、N分别表示晶体和非晶体在一定压强下的熔化过程，图中横轴表示时间t，纵轴表示温度T.从图中可以确定的是( )练图11－2－1A．晶体和非晶体均存在固定的熔点T0B．曲线M的bc段表示固液共存状态C．曲线M的ab段、曲线N的ef段均表示固态D．曲线M的cd段、曲线N的fg段均表示液态解析晶体有固定的熔点，非晶体无固定的熔点．晶体在熔化过程中，是固液共存的，故B项正确．答案 B2．关于液晶，下列说法中正确的是( )A．液晶是一种晶体B．液晶分子的空间排列是稳定的，具有各向异性C．液晶的光学性质随温度的变化而变化D．液晶的光学性质不随温度的变化而变化解析液晶的微观结构介于晶体和液体之间，虽然液晶分子在特定的方向排列比较整齐，具有各向异性，但分子的排列是不稳定的，所以A、B项错误；外界条件的微小变化都会引起液晶分子排列的变化，从而改变液晶的某些性质，如温度、压力、外加电压等因素的变化，都会引起液晶光学性质的变化，所以C正确，D错误．答案 C3．(2018·上海市徐汇区测试)我们知道，气体分子的运动是无规则的，每个分子运动的速率一般是不同的，但大量分子的速率分布却有一定的统计规律．如练图11－2－2所示描绘了某种气体在不同温度下的分子速率分布曲线，则二条曲线分别对应的温度T1和T2的大小关系是( )练图11－2－2A．T1＝T2B．T1>T2C．T1<T2D．无法确定解析根据分子速率分布曲线可知，不管温度是T1还是T2，大多数分子的速率都在某个值附近，离这个数值越远，分子数越少，也就是说满足“两头少中间多”的正态分布规律，图中温度T1对应的分子平均动能要小于温度T2对应的分子平均动能，所以温度T1<T2.本题答案为C.答案 C练图11－2－34．(多选题)(2018·广东高考)练图11－2－3为某同学设计的喷水装置．内部装有2 L水，上部密封1 atm的空气0.5 L．保持阀门关闭，再充入1 atm的空气0.1 L．设在所有过程中空气可看作理想气体，且温度不变．下列说法正确的有( )A．充分后，密封气体压强增加B．充气后，密封气体的分子平均动能增加C．打开阀门后，密封气体对外界做正功D．打开阀门后，不再充气也能把水喷光解析充气后，一定量气体的体积减小，气体的温度不变，根据玻意耳定律可知，气体的压强增大，A正确；气体分子的平均动能与温度有关，温度不变，气体分子的平均动能不变，B错误；打开阀门后，气体推动液体喷出，气体的体积增大，膨胀对外做功，C正确；当气体的压强减小到使外部与内部压强差等于水柱产生的压强时，液体不再喷出，D错误．答案AC5.练图11－2－4一定质量的理想气体状态变化过程如练图11－2－4所示，第1种变化是从A到B，第2种变化是从A到C.比较两种变化过程，则( )A．A到C过程气体吸收热量较多B．A到B过程气体吸收热量较多C．两个过程气体吸收热量一样D．两个过程气体内能增加不相同解析在p－T图中，等容线是过原点的倾斜直线，由题图可知V C>V A>V B，故从A→C，气体对外做功较多，由T B＝T C可知两过程内能增量相同，根据ΔU＝W＋Q可知，从A→C，气体吸收热量较多，选项A正确，而B、C、D错误．答案 A6．(1)下列说法正确的是________．A．空中下落的雨滴呈球形是因为液体有表面张力B．布朗运动表明了分子越小，分子运动越剧烈C．由能的转化和守恒定律知道，能源是不会减少的D．液晶既有液体的流动性，又有光学性质的各向同性(2)练图11－2－5如练图11－2－5所示，一个绝热活塞将绝热容器分成A、B两部分，用控制阀K固定活塞，保持A体积不变，给电热丝通电，则此过程中气体A的内能________，温度________；拔出控制阀K，活塞将向右移动压缩气体B，则气体B的内能________．解析(1)布朗运动表明了固体颗粒越小，液体温度越高，液体分子运动越剧烈，B项错误；由能的转化和守恒定律知道，能量是守恒的，但能源是会不断减少的，能量与能源的意义不同，C项错误．液晶具有光学性质的各向异性，故D项错误．(2)给电热丝通电，A 容器温度升高，气体内能增加；拔出控制阀K ，活塞将向右移动压缩气体B ，对B 做正功，气体B 的内能增加．答案 (1)A(2)增加 升高 增加 7.练图11－2－6(2018·天星调研卷)如练图11－2－6所示，有一圆柱形绝热气缸，气缸内壁的高度是2L ，一个很薄且质量不计的绝热活塞封闭一定质量的理想气体，开始时活塞处在气缸顶部，外界大气压为1.0×105Pa ，温度为27 ℃.现在活塞上放重物，当活塞向下运动到离底部L 高处，活塞静止，气体的温度57 ℃.(1)求活塞向下运动到离底部L 高处时的气体压强；(2)若活塞横截面积S ＝0.1 m 2，重力加速度g ＝10 m/s 2，求活塞上所放重物的质量．解析 (1)设气缸横截面积为S ，开始时活塞处在气缸顶部，气体体积V 1＝2SL ，压强p 1＝1.0×105Pa ，温度为T 1＝27 ℃＋273 ℃＝300 K.活塞向下运动到离底部L 高处时，气体体积V 2＝SL ，温度为T 2＝57 ℃＋273 ℃＝330 K. 设此时气体压强为p 2，由p 2V 2T 2＝p 1V 1T 1，代入数据得p 2＝2.2×105Pa. (2)活塞上所放重物产生的压强p ＝p 2－p 1＝2.2×105Pa －1.0×105Pa ＝1.2×105Pa.若活塞横截面积S ＝0.001 m 2，由压强公式p ＝mg/s 可得活塞上所放重物的质量m ＝pS g ＝1.2×105×0.00110kg＝12 kg.答案 (1)2.2×105Pa (2)12 kgB 级 能力提升1．(2018·上海市宝山区期末质量监测)如练图11－2－7所示，一定质量的理想气体沿图线从状态a ，经状态b 变化到状态c ，在整个过程中，其体积( )练图11－2－7A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．先减小后增大D ．先增大后减小解析 在整个过程中，气体的温度逐渐升高，压强逐渐减小，根据理想气体状态方程pVT ＝c(常量)可知，其体积逐渐增大，选项A 正确．答案 A2．(2018·上海市静安质检)如练图11－2－8所示，为中学物理课上一种演示气体定律的有趣仪器——哈勃瓶，它是一个底部开有圆孔，瓶颈很短的平底大烧瓶．在瓶内塞有一气球，气球的吹气口反扣在瓶口上，瓶底的圆孔上配有一个橡皮塞．在一次实验中，瓶内由气球和橡皮塞封闭一定质量的气体，在对气球缓慢吹气过程中，当瓶内气体体积减小ΔV 时，压强增大20%.若使瓶内气体体积减小2ΔV ，则其压强增大( )练图11－2－8A ．20%B ．30%C ．40%D ．50%解析 瓶内气体做等温变化，设初始状态，气体压强为p ，体积为V ，当瓶内气体体积减小2ΔV 时，气体压强大小为xp ，则pV ＝1.2p(V －ΔV)＝xp(V －2ΔV)，可求得，x ＝1.5，所以，其压强增大50%.本题答案为D.答案 D3．(2018·新课标全国卷Ⅰ)(1)(多选题)两个相距较远的分子仅在分子力作用下由静止开始运动，直至不再靠近．在此过程中，下列说法正确的是______________．A ．分子力先增大，后一直减小B ．分子力先做正功，后做负功C ．分子动能先增大，后减小D ．分子势能先增大，后减小E ．分子势能和动能之和不变练图11－2－9(2)如练图11－2－9，两个侧壁绝热、顶部和底部都导热的相同气缸直立放置，气缸底部和顶部均有细管连通，顶部的细管带有阀门K.两气缸的容积均为V 0，气缸中各有一个绝热活塞(质量不同，厚度可忽略)．开始时K 关闭，两活塞下方和右活塞上方充有气体(可视为理想气体)，压强分别为p 0和13p 0；左活塞在气缸正中间，其上方为真空；右活塞上方气体体积为14V 0.现使气缸底与一恒温热源接触，平衡后左活塞升至气缸顶部，且与顶部刚好没有接触；然后打开K ，经过一段时间，重新达到平衡．已知外界温度为T 0，不计活塞与气缸壁间的摩擦．求：①恒温热源的温度T ；②重新达到平衡后左气缸中活塞上方气体的体积V x .解析练答图11－2－1(1)当两分子在平衡位置时，分子力为0，故两分子靠近时，分子力先增大后减小，再增大，选项A 错误；当两分子靠近时，分子力先表现为引力后表现为斥力，故分子力先做正功后做负功，分子动能先增大后减小，选项B 、C 正确；由于只有分子力做功，故分子动能和分子势能之和不变，分子势能先减小后增大，选项E 正确，D 错误．(2)①与恒温热源接触后，在K 未打开时，右活塞不动，两活塞下方的气体经历等压过程，由盖·吕萨克定律得TT 0＝7V 045V 04 由此得T ＝75T 0②由初始状态的力学平衡条件可知，左活塞的质量比右活塞的大．打开K 后，左活塞下降至某一位置，右活塞必须升至气缸顶，才能满足力学平衡条件．气缸顶部与外界接触，底部与恒温热源接触，两部分气体各自经历等温过程，设左活塞上方气体压强为p ，由玻意耳定律得练答图11－2－2pV x ＝p 03·V 04(p ＋p 0)(2V 0－V x )＝p 0·74V 0联立以上两式得 6V 2x －V 0V x －V 20＝0 其解为V x ＝12V 0另一解V x ＝－13V 0，不合题意，舍去．答案 (1)BCE (2)①75T 0 ②12V 04.练图11－2－10(1)如练图11－2－10所示的是医院用于静脉滴注的示意图，倒置的输液瓶上方有一气室A ，密封的瓶口处的软木塞上插有两根细管，其中a 管与大气相通，b 管为输液软管，中间又有一气室B ，而其c 端则通过针头接入人体静脉．①若气室A、B中的压强分别为p A、p B，则它们与外界大气压强p0的大小顺序应为________．②在输液瓶悬挂高度与输液软管内径确定的情况下，药液滴注的速度是________(填“越滴越慢”、“越滴越快”或“恒定”)(2)对一定质量的气体，在等温条件下得出体积V与压强p的数据如下表：图线，可得结论是①根据所给数据在坐标纸上(如练图11－2－11所示)画出p－V_________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________.练图11－2－11②由所做图线，求p＝8.85×105 Pa时该气体体积是________．③该图线斜率大小和温度的关系是________________．答案(1)①p A<p0<p B②恒定(2)①画图略，图线为一过原点的直线，证明玻意耳定律是正确的②0.172 m3③斜率越大，该气体温度越高。
双基过关节节练(二) 1.3.4.doc
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双基过关节节练（二）（45分钟 100分）一、选择题(本题包括10小题，每小题5分，共50分)1．下列说法中正确的是( )A．铁的摩尔质量就是铁的相对原子质量B．CO32-的摩尔质量是60 g·mol-1C．1 mol O2的质量是32 g·mol-1D．NO2的摩尔质量是46 g2．下列有关气体体积的叙述中，正确的是( )A．一定温度和压强下，各种气体物质体积的大小由构成气体的分子大小决定B．一定温度和压强下，各种气态物质体积的大小，由构成气体的原子数决定C．无论外界条件是否相同，不同的气体，若物质的量不同，则它们所含的分子数也不同D．相同状况下，相同微粒数的Fe、H2O、H2的体积相同3．实验室里需要480 mL 0．1 mol·L-1的硫酸铜溶液，现选取500 mL容量瓶进行配制，以下操作正确的是( )A．称取7．68 g硫酸铜，加入500 mL水B．称取12．0 g胆矾，配制成500 mL溶液C．称取8．0 g硫酸铜，加入500 mL 水D．称取12．5 g胆矾，配制成500 mL溶液4．(双选)设N A代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是( )A．100 g质量分数为98%的硫酸中所含的硫原子的个数为N AB．标准状况下，11．2 L CCl4中含有的原子数为2．5N AC．标准状况下，22．4 L氦气与22．4 L氯气所含原子数均为2N AD．常温下，2．7 g铝与足量的盐酸反应，失去的电子数为0．3N A5．下列说法中错误的是( )A．从1 L 1 mol·L-1的NaCl溶液中取出10 mL，其浓度仍是1 mol·L-1B．制成0．5 L 10 mol·L-1的盐酸，需要氯化氢气体112 L(标准状况) C．0．5 L 2 mol·L-1BaCl2溶液中，Ba2+和Cl-总数为3×6．02×1023D．10 g 98%的硫酸(密度为1．84 g·cm-3)与10 mL 18．4 mol·L-1的硫酸的浓度是不同的6．已知同温同压下，气体的密度与它的摩尔质量成正比。
双基限时练1[001]
双基限时练(一)1．下列命题中正确的是( )A．终边在x轴负半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同解析易知A、B、C均错，D正确．答案D 2．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是( ) B．第一、二象限A．第一象限D．第一、四象限C．第一、三象限解析取特殊值验证．当k＝0时，知终边在第一象限；当k＝1，α＝30°时，知终边在第三象限．答案C3．下列各角中，与角330°的终边相同的是( )B．－390°A．150°D．－150°C．510°解析330°＝360°－30°，而－390°＝－360°－30°，∴330°与－390°终边相同．答案B4．若α是第四象限角，则180°－α是( )B．第二象限角A．第一象限角D．第四象限角C．第三象限角解析 方法一 由270°＋k ·360°<α<360°＋k ·360°，k ∈Z 得：－90°－k ·360°>180°－α>－180°－k ·360°，终边在(－180°，－90°)之间，即180°－α角的终边在第三象限，故选C.方法二 数形结合，先画出α角的终边，由对称得－α角的终边，再把－α角的终边关于原点对称得180°－α角的终边，如图知180°－α角的终边在第三象限，故选C.答案 C5．把－1125°化成k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是( )A ．－3×360°＋45°B ．－3×360°－315°C ．－9×180°－45°D ．－4×360°＋315° 解析 －1125°＝－4×360°＋315°.答案 D∈k ·90°，k ·180°＋(－1)k ＝x |x ＝{A 6．设集合Z }，B ＝{x |x ＝k ·360°＋90°，k ∈Z }，则集合A ，B 的关系是( )A ．A BB ．A BC．A＝BD．A∩B＝∅解析集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y轴非负半轴上的角．∴A＝B.答案C7.如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC的度数为________．解析解法一根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠AOC＝－75°.解法二由角的定义知，∠AOB＝45°，∠BOC＝－120°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°－120°＝－75°.答案－75°8．在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________．解析与100°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}令k ＝－2，－1,0,1，得α＝－620°，－260°，100°，460°.答案 {－620°，－260°，100°，460°}9．若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．小时，232分＝40小时2∵ 解析 960°.＝－232×360°－∴ 答案 －960°10．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________．解析 2α＝k ·360°＋20°，所以α＝k ·180°＋10°，k ∈Z .答案 {α|k ·180°＋10°，k ∈Z }11．角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.解 由题意得5α＝k ·360°＋α(k ∈Z )，∴α＝k ·90°(k ∈Z )．∵180°<α<360°，∴180°<k ·90°<360°.∴2<k <4，又k ∈Z ，∴k ＝3.∴α＝3×90°＝270°.12.如图所示，角α的终边在图中阴影部分，试指出角α的范围．解 ∵与30°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝30°＋k ·180°，k ∈Z }．与180°－65°＝115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝115°＋k ·180°，k ∈Z }．因此，图中阴影部分的角α的范围为：{α|30°＋k ·180°≤α<115°＋k ·180°，k ∈Z }．13．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中，(1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角？(3)写出第二象限的角的一般表示法．解 (1)在α＝k ·90°＋45°中，令k ＝0,1,2,3知，α＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．.32<k <52，得－45°<180°＋·90°k 180°<由－(2) 又k ∈Z ，故k ＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k·360°＋135°，k∈Z.。
高中数学人教B版必修4：双基限时练(31份打包)双基限时练20
双基限时练(二十)基 础 强 化1．如图，OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，则以下等式成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2q C ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p解析 ∵AC →＝－3CB →，∴AB →＝2BC →.∴OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋12AB →＝OB →＋12(OB →－OA →)． ∴OC →＝－12OA →＋32OB →.∴r ＝－12p ＋32q . 答案 A2．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C ，满足OB →＝13OA →＋23OC →，则|AB →|:|BC →|＝( )A ．1:|3B ．3:|1C ．1:|2D ．2:|1解析 ∵OB →＝13OA →＋23OC →， ∴13(OB →－OA →)＝23(OC →－OB →)． ∴13AB →＝23BC →，∴AB →＝2BC →. ∴|AB →|＝2|BC →|.∴|AB →|:||BC →|＝2:|1. 答案 D3．非零不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析 ∵P A →＝λAB →，∴OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)． ∴OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. ∴2OP →＝(2＋2λ)OA →－2λOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2λ，y ＝－2λ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝x －2，2λ＝－y .∴x ，y 满足x ＋y －2＝0.∴点Q (x ，y )的轨迹方程为x ＋y －2＝0. 答案 A4．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b解析 ∵CD 是∠ACB 的角平分线，∴AD BD ＝ACBC ＝2. ∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →) ＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b . 答案 B5．若点M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A.AB →＋BC →＋AC → B.AM →＋MB →＋BC → C.AM →＋BM →＋CM →D ．3AM →＋AC →解析 如图，设D ，E ，F 分别为各边的中点，AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)． 同理BM →＝13(BC →＋BA →)， CM →＝13(CA →＋CB →)．∴AM →＋BM →＋CM →＝0，0与AB →共线． 答案 C6．如图在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析 ∵B 、H 、C 三点共线， ∴AH →＝(1－t )AB →＋tAC →. ∴2AM →＝(1－t )AB →＋tAC →. ∴AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →， ∴λ＝1－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12. 答案 B7．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 为AC 的中点，点N 为OB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，若用a ，b 来表示向量AN →， 则AN →＝________.解析 以AB →＝a ，AD →＝b 作为以A 点为公共起点的一组基底，则 AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋34DB → ＝AD →＋34(AB →－AD →)＝14AD →＋34AB → ＝34a ＋14b . 答案 34a ＋14b8．向量a 在基底{e 1，e 2}下可以表示为a ＝2e 1＋3e 2，b ＝e 1＋e 2，c ＝e 1－e 2，若a 在基底{b ，c }下可表示为a ＝λb ＋μc ，则λ＝________，μ＝________.答案 52，－12能 力 提 升9．如图，平面内三个向量OA →，OB →，OC →，其中∠AOB ＝120°，∠AOC ＝30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为__________．解析 以OA 、OB 为邻边作平行四边形OECF ，如图所示．则OC →＝OE →＋OF →＝λOA →＋μOB →. 即OE →＝λOA →，OF →＝μOB →.∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝30°，∴∠BOC ＝90°. ∴在△COF 中，|OC →|＝23，∠OCF ＝30°， ∴|OF →|＝2，|FC →|＝4，∴|OE →|＝4. ∵|OA →|＝|OB →|＝1.∴OE →＝4OA →，OF →＝2OB →.∴OC →＝4OA →＋2OB →. ∴λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 答案 610．已知四边形ABCD 为矩形，且AD ＝2AB ，又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，EA →＝e 1，EF →＝e 2，选择{e 1，e 2}作为基底，用基底表示向量AF →，AB →，AD →，BD →.解析 如图，∵e 1＝EA →，e 2＝EF →，∴AF →＝EF →－EA → ＝e 2－e 1.由已知AD ＝2AB ＝DE ，且F 为DE 的中点， ∴四边形ABDF 为平行四边形． ∴AB →＝FD →＝EF →＝e 2，AD →＝ED →－EA →＝2EF →－EA →＝2e 2－e 1. BD →＝AF →＝e 2－e 1.11．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． 解析 (1)若a ，b 共线， 则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)． 由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎨⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，得 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2.n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.12．平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA 、OB 、OC 的中点分别为E 、F 、G ，BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)试用a 、b 、c 表示向量EL →、FM →、GN →；(2)证明：线段EL 、FM 、GN 交于一点且互相平分．解析 (1)∵OE →＝12a ，OL →＝12(b ＋c )， ∴EL →＝OL →－OE →＝12(b ＋c －a )． 同理：FM →＝12(a ＋c －b )， GN →＝12(a ＋b －c )．(2)证明：设线段EL 的中点为P 1，则OP 1→＝12(OE →＋OL →)＝14(a ＋b ＋c )． 设FM 、GN 的中点分别为P 2、P 3，同理可求得OP 2→＝14(a ＋b ＋c )，OP 3→＝14(a ＋b ＋c )．∴OP 1→＝OP 2→＝OP 3→.即EL 、FM 、GN 交于一点，且互相平分．品 味 高 考13．设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 利用向量加法的三角法则，易得①对；利用平面向量的基本定理，易得②对；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，故③错；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④错．答案 B。
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计时双基练三十九 合情推理与演绎推理A 组 基础必做1．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，而是复合函数，所以小前提不正确。
答案 C2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )。
答案 D3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14。
推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18 B.19 C.164 D.127解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127。
答案 D4．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析 由选项A 可知其为椭圆的定义；由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，归纳出数列的前n 项和S n 的表达式，选项B 属于归纳推理；由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab ，选项C 是类比推理；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，选项D 属于类比推理。
故选B 。
答案 B5．(2015·龙岩质检)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则数列{b n }也是等差数列。
类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则{d n }的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝ n c n 1＋c 2n ＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析 因为数列{a n }是等差数列，所以b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝a 1＋a n2，{b n }也为等差数列。
因为正项数列{c n }是等比数列，设公比为q ，则d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝n c 1·c 1q ·…·c 1qn －1＝c 1q n －12，所以{d n }也是等比数列。
答案 D6．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92 解析 通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80。
答案 B7．(2016·石家庄模拟)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一列正三角形(如图)。
则第7个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30解析 a 1＝1，a 2＝1＋2＝3，a 3＝1＋2＋3＝6，a 4＝1＋2＋3＋4＝10，a 5＝1＋2＋3＋4＋5＝15，a 6＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，a 7＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28。
答案 B8．(2015·云南省昆明高三统一考试)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________。
解析 第一个等式13＝12；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 答案 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 9．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c＝1。
把它类比到空间，三棱锥中的类似结论为____________________。
答案 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1。
10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2。
在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由。
证明如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2。
又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2。
猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2。
证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF 。
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD。
∴AB⊥AF。
在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2。
∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD。
∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD。
又AB与AE交于点A，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF。
∴在Rt△ACD中，1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2。
11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°。
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
解(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝3 4。
(2)归纳三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34。
证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34。
B 组 培优演练1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n 。
若存在正整数m ，n (m <n )，使得S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0。
类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n 。
若存在正整数m ，n (m <n )，使得T m ＝T n ，则T m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．m ＋nD ．mn解析 因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2...b m b m ＋1...b n b n ＋1...b n ＋m －1b n ＋m ＝(b 1b n ＋m ).(b 2b n ＋m －1)...(b m b n ＋1).(b m ＋1b n ) (1)答案 B2．如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r 2。
所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r 2为长的矩形面积。
请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 2解析 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d 。