安徽省潜山中学2015届高三上学期质量检测数学理试题 W

安徽省潜山中学2014—2015学年度高三质量检测数 学 试 题（理科）本卷满分：150分，试卷用时：120分钟 第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}0,4,3,2,1----=U ，集合{}0,2,1--=A ，{}0,4,3--=B ，则=⋂B A C U )( A ．{}0 B ．{}4,3-- C ．{}2,1-- D ．φ 2．各项都是正数的等比数列}{n a 中,32161,2a a a a a ==，则公比=q A.2B. 2C.3D. 33．已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为 A ．83B ．32C ．83- D ． 32-4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)= p ，则P(-1<ξ<0)= A ．p +21 B ．p -1 C ．p 21- D ．p -21 5．若函数f （x ）=sinx 的图象的两条相互垂直的切线交于P 点，则点P 的坐标不可能是 A ．（，）B ． （，﹣） C ． （﹣，﹣） D ． （，）6．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e 为A ．B ．C ．D ．7．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为 A ．815 B ．8114 C ．8122 D ．81258．抛物线2x py =与直线10x ay ++=交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(2,1)，设抛物线的焦点为F ，则||||FA FB +等于A ．13 B ．176 C ．289 D ．3199．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个 正三角形，则这个几何体的A. B.C.1D.外接球的表面积为163π10．设f （x ）是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f （1－x ） + f （1十x ）＝0恒 成立，如果实数m ，n 满足不等式组那么m2＋n2的取值范围是 A.（3，7） B 、（9,25） C 、（13,49） D 、（9,49）第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：（共25分）11．8()x 的展开式中62x y 的系数是_________12．已知偶函数)(x f 在R 上可导,且'(1)1f =,(2)(2),f x f x +=-则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为 ．13．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断 框内①处应填的整数为 .14．已知对于],1,0[∈∀x 不等式0)1(4)1(4222>-+-+-x x x x a a 恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 15．给出下列5种说法：①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③回归直线过样本点的中心(),x y ；④在回归分析中对于相关系数r ，通常,当r 大于0,75时,认为两个变量存在着很强的线性相关关糸. ⑤极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，曲线C 的极坐标方程为，直线l 的参数方程为(t 为参数）,直线l 与曲线C 交于A 、B,则 线段AB 的长等于；其中说法正确的是____________（请将正确说法的序号写在横线上）.三、解答题（共75分）16．（ 12分）设函数211()sin(2)cos cos2622f x x x x π=+--+,（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和在区间[0,]2π上的取值范围；（Ⅱ）△ABC 中,设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若()1f B =,4a c +=,求b 的取值范围．17．（ 12分）如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，M D ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD =2，NB=1，MB 与ND 交于P 点． （Ⅰ）在棱AB 上找一点Q ，使QP // 平面AMD ，并给出证明；（Ⅱ）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值． 18．（ 12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生6 女生10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到不喜爱打篮球的学生的概率为1.3（I ）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；（II ）你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由。

（III ）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X ，求X 的分布列与期望。

下面的临界值表供参考：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（ 13分））已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为22=e ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点B （2，0）的直线l （斜率不等于零）与椭圆C 交于不同的两点E ，F （E 在B ，F 之间），且∆OBE 与∆OBF 的面积之比为12，求直线l 的方程．20．（ 13分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+ 其中（2n ≥，*n ∈N ）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设14(1)2(na nn n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．21．（ 13分）已知函数32()ln(21)2().3x f x ax x ax a R =++--∈（Ⅰ）若x=2为()f x 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（III ）当12a =-时，方程3(1)(1)3x bf x x--=+有实根，求实数b 的最大值。

数 学 试 题（理科） 评 分 标 准一,1．B 2。

B 3。

D 4。

D 5。

D 6。

C 7。

B 8。

C 9。

D 10。

C 二,11．56 12. -1 13. 4 14. )2,(--∞ 15. ②○3④⑤ 三,16．解：解：（Ⅰ）211()sin(2)cos cos2622f x x x x π=+--+sin(2)6x π=-，∴22T ππ==． 3分∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤， ∴1sin(2)126x π-≤-≤，即()f x 在区间[0,]2π上的取值范围是1[,1]2-．6分（Ⅱ）()sin(2)16f B B π=-=，由0B π<<，得112666B πππ-<-<，∴262B ππ-=，得：3B π=． 8分由余弦定理：， ∴2222()3163b a c ac a c ac ac =+-=+-=-，又2()42a c ac +≤=， ∴21634b ac =-≥，即2b ≥， 11分由三角形两边之和大于第三边，已知b 的范围是：24b ≤< 12分17. （Ⅰ）当13BQ AB =时，有QP //平面AMD. 证明：∵MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，∴MD//NB ，…………2分∴12BP NB PM MD ==，又12QB QA =，∴QB NB QA MD =，…………4分 ∴在MAB 中，QP//AM ，又QP ⊄面AMD ，AM ⊂面AMD ，∴QP // 面AMD.…………６分（Ⅱ）解：以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （0,0,0），B （2,2,0），C （0,2,0），M （0,0,2）N （2,2,1），∴CM =（0,-2,2），CN=（2,0,1），DC=（0,2,0），………………7分 设平面CMN 的法向量为1n =（x,y,z ）则110n CMn CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22020y x x z -+=⎧⎨+=⎩，∴1n=（1,-2,-2）.………………9分又NB ⊥平面ABCD ，∴NB ⊥DC ，BC ⊥DC ，∴DC ⊥平面BNC ，∴平面BNC 的法向量为2n =DC=（0,2,0），………………11分 设所求锐二面角为θ，则121242cos 323n n n n θ⋅===⨯⋅.………………12分18.19解：（I ）椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b ya x，由已知得22222c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得1,1a b c == ∴所求椭圆的方程为1222=+y x . ……5分(II)由题意知l 的斜率存在且不为零，设l 方程为2(0)x my m =+≠ ①，将①代入1222=+y x ，整理得22(2)420m y my +++=，由0>∆得2 2.m > ……7分设),(11y x E ，),(22y x F ，则1221224222m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩②. ……8分由已知， 12OBE OBF S S ∆∆=， 则||1||2BE BF = ……9分由此可知，2BF BE =，即212y y =. ……10分代入②得，12212432222m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去1y 得222221629(2)2m m m ⋅=++ 解得，2187m =， 满足2 2.m >即m = ……12分 所以，所求直线l的方程为71407140x x --=+-=或. ……13分20.解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， 即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），……3分 且211a a -=．……4分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． ∴1n a n =+．……5分（2）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立， ∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立， ∴()1112n n λ---<恒成立． ……8分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1， ∴1λ<． ……10分 （ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-， ∴2λ>-． ……11分 即21λ-<<，……12分又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．……13分21．(1)解：222[2(14)(42)]2()222121x ax a x a a f x x x a ax ax +--+'=+--=++ ……1分 因为x = 2为f (x)的极值点，所以(2)0f '= ……2分即22041aa a -=+，解得：a = 0 ……3分 又当a = 0时，()(2)f x x x '=-，从而x = 2为f (x)的极值点成立． ……4分(2)解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数， ∴22[2(14)(42)]()021x ax a x a f x ax +--+'=+≥在区间[3，+∞)上恒成立． ……5分 ①当a = 0时，()(2)0f x x x '=-≥在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数， 故a = 0符合题意． ……6分②当a ≠0时，由函数f (x)的定义域可知，必须有2ax + 1 > 0对x ≥3恒成立，故只能a > 0， 所以222(14)(42)0ax a x a +--+≥在区间[3，+∞)上恒成立． ……7分 令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114a-∵a > 0，∴1114a-<，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，由2(3)4610g a a =-++≥a∵a > 0，∴0a <．综上所述，a 的取值范围为[0] ……9分 (3)解：12a =-时，方程3(1)(1)3x b f x x --=+可化为，2ln (1)(1)b x x x x --+-=．问题转化为2[ln ]b x x x x =+-在(0，+∞)上有解 ……10分 令2()ln h x x x x =+-，则(21)(1)1()12x x h x x x x+-'=+-= …11分 当0 < x < 1时，()0h x '>，∴h (x)在(0，1)上为增函数 当x > 1时，()0h x '<，∴h (x)在(1，+∞)上为减函数故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故()0b xh x =≤ 即实数b 的最大值是0． ……13分。