高三数学第二次联合考试答案
湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第二次联考 数学试题(含解析)
2025届湖南省名校联考联合体高三上学期第二次联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合{}2,1,4A =-，{}250B x x x =+<，则A B = （）A．{}1,4B．{}5,2--C．{}2-D．{}12．若复数5i2i+在复平面内对应的点的坐标为（）A．()2,2B．()0,2C．()1,2D．()2,2-3．已知向量a ，b满足23a b += ，a b -=r r ，则()2a a b ⋅+= （）A．3B．3-C．1D．1-4．5(21)x -的展开式中3x 的系数为（）A．80-B．40-C．40D．805．函数()sin cos f x x x =在()0,α（0α>）内没有最小值，且存在()00,x α∈，使得()00f x <，则α的取值范围是（）A．π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B．5ππ,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若α为锐角，且sin 29cos sin cos 15αααα=++-，则cos α=（）A．45B．35C．725D．35-7．已知()222log 41log 40a a a a +<<，则（）A．104a <<B．1142a <<C．122a <<D．12a <<8．已知函数()3213f x x x ax =-+，若()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得()f x 的图象在A ，B 处的切线互相垂直，且过点()0,P a -只能作1条切线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是（）A．()0,1B．()1,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C．()1,0,13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D．()1,01,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共3小题）9．下图为2024年中国大学生使用APP 偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP 的结论正确的是（）A．超过14的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP 是为了学习与生活需要C．使用APP 偏好情况中7个占比数字的极差是23%D．APP 使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%10．已知函数()f x 满足对任意x ∈R ，都有()()()()221f f x f x f x =+-，且()01f =，则（）A．()12f =B．()26f =C．()()22f x f x ⎡⎤=⎣⎦D．()f x 是偶函数11．已知数列{}n a 满足对任意s ，*t ∈N ，都有s t s t a a a +=，且12a =，j ia a -（1i j n ≤<≤）的所有不同的值按照从小到大构成数列{}mb ，则下列结论正确的是（）A．()2112n n n n a a a a ++=+B．510b =C．{}n a 中任意3项不成等差数列D．{}m b 的前15项的和为402三、填空题（本大题共3小题）12．命题“()2,x ∞∀∈+，<.13．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了()*40n n ∈N 个人，得到如下列联表：是社交电商用户不是社交电商用户合计男性8n12n20n 女性12n8n20n合计20n 20n 40n已知0.05 3.841x =，若根据0.05α=的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n 的最小值为.14．已知函数()()2e 0xf x ax x x =-≠有3个极值点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则a 的取值范围是；若存在{},1,2,3i j ∈，使得3j ix x >，则i x 的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A ，B ，C 三点，其中40m AC =，点B 为AC 中点，兴趣小组组长小王在A ，B ，C 三点上方5m 处的1A ，1B ，1C 观察已建建筑物最高点E 的仰角分别为α，β，γ，其中tan 1α=，tan 2β=，tan 3γ=，点D 为点E 在地面上的正投影，点1D 为DE 上与1A ，1B ，1C 位于同一高度的点.(1)求建造中的建筑物已经到达的高度DE ；(2)求111111sin sin A D B B D C ∠∠的值.16．已知函数()fx 是定义域为R 的奇函数，且0x ≥时，()f x x =.(1)求0x <时()f x 的解析式；(2)若方程()f x a =有3个不同的实根1x ，2x ，3x ，求a的取值范围及+17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12n n n n b a a S +=-.(1)求证：数列{}1n n b b +-是等差数列；(2)若10a >，23a a ≠，且{}n b 是等差数列，求证：11123341211n n a a a a a a a a a a ++++<- .18．已知*n∈N ，且1n >，()ln f x x =.(1)求()f x 的最小值；(2)求证：()121e1n n nf x n +-++≥.（参考数据231.9e 2<<）19．若数列（1n k ≤≤）满足{}0,1n a ∈，则称数列为k 项01-数列，由所有k 项01-数列组成集合k M .(1)若是100项01-数列，当且仅当32n k =-（*k ∈N ，34k ≤）时，0n a =，求数列(){}2nna -的所有项的和；(2)从集合k M 中任意取出两个数列，，记1ki i i X a b ==-∑.①求X 的分布列，并证明()2k E X >；②若用某软件产生()2k k ≥项01-数列，记事件A =“第一次产生数字1”，B =“第二次产生数字1”，若()()P B A P B A <，比较()P A B 与()P A B 的大小.参考答案1．【答案】C【详解】由250x x +<，得到5x 0-<<，所以{}50B x x =-<<，又{}2,1,4A =-，所以{}2A B =-I ，故选：C.2．【答案】C 【详解】因为5i 5i(2i)12i 2i (2i)(2i)-==+++-，其对应的坐标为()1,2，故选：C.3．【答案】D【详解】因为向量a ，b 满足23a b +=，a b -= 所以229a b += ，212a b -= ，即22449a a b b +⋅+= ，①22212a a b b -⋅+= ，②所以，-①②得：2363a a b +⋅=-，即221a a b +⋅=- ，所以()2221a a b a a b ⋅+=+⋅=-.故选：D 4．【答案】D【详解】5(21)x -展开式中含3x 的项为()()32235C 2180x x -=，所以3x 的系数为80，故选：D 5．【答案】B【详解】当πα=时，此时()1πsin 2,0,221πsin 2,,π22x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩(]π0,,20,π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()π,π,2π,2π2x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，1()0,2f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不满足存在()00,x α∈，使得()00f x <，故排除A,D当5π4α=时，此时()1πsin 2,0,221πsin 2,,π2215πsin 2,π,24x x f x x x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤=-∈⎨ ⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，(]π0,,20,π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(]π,π,2π,2π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π5ππ,22π,42x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(),02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时不满足题意，故排除C综上所述B 正确故选：B 6．【答案】B 【详解】因为sin 29cos sin cos 15αααα=++-，所以()()()2sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1αααααααααα+-+++-=+-+-9sin cos 1cos 5ααα=++=+，所以4sin 5α=，因为α为锐角，故3cos 5α=.故选：B 7．【答案】B【详解】因为对数的定义域，得021a <<或21a >，又因为()22414210a a a +-=->,所以2414a a +>,因为()222log 41log 40a a a a +<<，所以可得021a <<,因为22log 40log 1a a a <=，可得41a >,所以1142a <<.故选：B.8．【答案】C【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为()3213f x x x ax =-+，所以()22f x x x a =-+'，由题有221122(2)(2)1x x a x x a -+-+=-有解，又222(1)11x x a x a a -+=-+-≥-，所以10a -<，即1a <，。
【新结构】重庆康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断考试数学试题+答案解析
【新结构】重庆康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在()A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内2.已知a，b是空间中的两条直线，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知集合，，若，则()A. B. C. D.4.若函数在上单调递增，则的最小值为()A. B. C. D.5.已知等比数列满足：，且是与的等差中项，则()A.32B.2C.1D.6.有男、女教师各1人，男、女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有()A.10种B.12种C.15种D.20种7.已知圆，P是圆O外一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若，则()A. B.3 C. D.8.设函数，点，，其中，且，则直线AB斜率的取值范围是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，且，则()A.是奇函数B.C.的值域是D.在上单调递减10.英国经济学家凯恩斯研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派——凯恩斯学派.凯恩斯抽象出三个核心要素：国民收入Y，国民消费C和国民投资I，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：其中常数表示房租、水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则()A.若固定I且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大B.若固定Y且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高C.若，则收入增长量是投资增长量的5倍D.若，则收入增长量是投资增长量的11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C相交于点M，与C的一条渐近线相交于点记C的离心率为e，那么()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024年新高考九省联考高三第二次模拟数学试题及答案
2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠， 所以i z a a =−，所以i z a a =+， 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=， 故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>， 当a<0时，由1ab >，得10b a<<； 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >， 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形， 则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1， 直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°， 所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°， 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确； 设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误． 故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >， 因为这些MN 倾斜角不为0， 则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=， 则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=， 则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确； 对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小， 即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确； 对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误； 对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==， 解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=， 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+， 所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥， 当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ， 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ， 令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−， 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ， 故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ， 令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ， 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=， 令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤， 因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论． 【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=； 当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=， 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。
江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学(文)试题及参考答案
江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,3,4,5,6,8120A B xx x ==-+>∣，则()RA B ⋂=（ ）A.{}2,3,4,5B.{}2,3,4,5,6C.{}3,4,5D.{}3,4,5,62.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()()23i i (z a =++其中)a R ∈为“等部复数”，则复数i z a +在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“x y >”的一个充分条件可以是（ ） A.12x ye-> B.44x y > C.1xy> D.22xt yt > 4.已知两个非零向量,a b 满足(2)a a b ⊥-，且3a b a b+=-，则,a b 的夹角为（ ）A.3π B.2π C.23π D.4π5.在区间()1,5-与()1,5内各随机取1个整数，设两数之和为M ，则2log 2M >成立的概率为（ ） A.35 B.58 C.815 D.7156.函数()3sin x x f x x x+=-的大致图象为（ ）A. B.C. D.7.作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题.为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%.则下列说法中，正确的是（ ） A.0.0018a =B.若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C.根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为310D.这100份花费费用的中位数是4200元8.过双曲线222x y -=上任意一点(),P x y 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形OAPB 的面积为（ ） A.12B.1C.2D.4 9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比51t -=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin1822427sin 27t t --的值为（ ）A.-4B.4C.-2D.210.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()1112,33nn n n nna S S S S++=-=+，则2023S =（ ） A.202331- B.202331+ C.2023312+ D.2022312+ 11.若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段BA 上，3BA BE =，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）A.83π B.2π C.43π D.π12.已知函数()222ln 1xx ax f x e x++=-，当()0,x ∞∈+时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],1∞-B.(2,1e ∞⎤--⎦ C.(],e ∞- D.(],2∞-二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若前n 项和为n S 的等差数列{}n a 满足712812a a a +=-，则17S =__________.14.已知变量x y ､满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则32x y +的最大值__________.15.已知圆221:1O x y +=，圆222:(2)4O x y -+=.请写出一条与两圆都相切的直线方程：__________.16.函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()33y f x =+为偶函数，()32y g x =++为奇函数，对x ∀∈R ，均有()()21f x g x x +=+，则()()77f g =__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为x （千元），带动的销量为y （千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.y10 12 13 18 19 21 24 27（1）根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程.（2）（i ）若该省A 城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？（ii ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A 城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：()()()()()()()11222111ˆˆˆ,,nniiiii i nnni iii i i x x y y x x y y r ba y bx x x x x y y =====----===----∑∑∑∑∑.参考数据：()()()8821169,20i i i i i x x y y x x ==--=-=∑∑.18.（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知222sin sin cos cos sin 2A B A B C +++=（1）求角C ； （2）若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 面积的取值范围.19.（12分）如图所示，圆锥的高3PO =，底面圆O 的半径为1，延长直径AB 到点C ，使得1BC =，分别过点,A C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E ，点D 是切线CE 与圆O 的切点.（1）证明：平面PDE ⊥平面POD ； （2）点E 到平面PAD 的距离为1d ，求1d 的值. 20.（12分）已知函数()313f x ax x =+，函数()2sin x g x e x x =-+. （1）求函数()g x 的单调区间；（2）记()()()F x g x f x =-'，对任意的()0,0x F x ≥≥恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）已知椭圆方程：22221(0)x y a b a b +=>>，其离心率为22e =，且,P Q 分别是其左顶点和上顶点，坐标原点O 到直线PQ 的距离为233. （1）求该椭圆的方程；（2）已知直线:2l y kx =+交椭圆于,A B 两点，双曲线：22142x y -=的右顶点,E EA 与EB交双曲线左支于,C D 两点，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出定值.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂､多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程下图所示形如花瓣的曲线G 称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2sin2ρθ=.（1）若射线:6l πθ=与G 相交于异于极点O 的点P ，求OP ；（2）若,A B 为G 上的两点，且23AOB π∠=，求AOB 面积S 的最大值. 23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()322f x x x x =+---. （1）求()f x 的最小值m ；（2）若,a b 为正实数，且20a b m ++=，证明不等式22111a b b a +≥++.江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）参考答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.68 14.5 15.20(x +=或20)x += 16.61616.由函数()33f x +为偶函数，则()()3333f x f x +=-，即函数()f x 关于直线3x =对称，故()()6f x f x =-；由函数()32g x ++为奇函数，则()()3232g x g x ++=--+-，整理可得()()334g x g x ++-+=-，即函数()g x 关于()3,2-对称，故()()46g x g x =---；由()()21f x g x x +=+，则，可得()()266(6)1f x g x x -+-=-+，得()()24(6)1f x g x x +-=-+故()()()()2214(6)1f xg x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨--=-+⎪⎩，解得()()2621,620f x x x g x x =-+=-， ()()772822616f g =⨯=.故答案为：616.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答.17.（1）3345566810121318192124275,1888x y ++++++++++++++====.经计算可得()()()8182169ˆˆˆ3.45,18 3.4550.7520iii i i x x y y bay bx x x ==--====-=-⨯=-∑∑. 所以所求线性回归方程为ˆ 3.450.75yx =+. （2）（i ）当10x =时，ˆ 3.45100.7535.25y=⨯+=，所以预计能带动的消费达3.525万辆.（ii ）因为3035.2510%35.25->，所以发放的该轮消费补贴助力消费复苏不是理想的.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A 城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A 城市人口数量有限､商品价格水平､消费者偏好､消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.年轻人开始更加注重出行的舒适性和环保性，而传统燃油车的排放和能耗等问题也逐渐成为了消费者们考虑的重点.（只要写出一个原因即可）. 18.（1）因为222sin sin cos cos sin 2A B A B C +++= 所以()()2222sin sin sin 1sin 1sin C A B A B -=+-+-可得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理可得：222a b c ab +-=.由余弦定理知，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===因为()0,C π∈，所以3C π=（2），由（1）知，3C π=所以23A B π+=又ABC 是锐角三角形， 可得02B π<<且2032B ππ<-<解得62B ππ<< 由正弦定理知：sin sin b c B C =又2b =可得sin sin b C c B ⋅==所以2sin 11233sin 2sin 223sin 2tan ABCB Sbc A B B B ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==⨯-== ⎪⎝⎭因为62B ππ<<所以tan B >ABCS<<故ABC面积的取值范围为⎝.19.（1）由题设，PO ⊥平面,ABD D 又是切线CE 与圆O 的切点，CE ∴⊂平面ABD ，则PO CE ⊥，且OD CE ⊥，又,,PO OD O PO OD ⋂=⊂平面,POD CE ∴⊥平面POD ， 又CE ⊂平面PDE ，所以平面PDE ⊥平面POD . （2）,30,OD CE CD OCD AE CE ∠⊥∴==∴==1111111333332P ADE ADE E PAD PAD V S PO V S d d --=⋅===⋅=⋅113d ∴=20.（1）()2sin xg x e x x =-+则()'2cos xg x e x =-+且()00g =，令()()()()()(),'sin ,0,,'sin 1sin 0,x x x g x x e x x x e x x x ϕϕ∞ϕϕ'==-∈+=->-≥在()0,∞+上单调递增，所以()()()00x g x g ϕ''=>=，所以()g x 的单调递增区间为()0,∞+，()(),0,'2cos cos 10x x g x e x x ∞∈-=-+<-≤，所以()g x 的单调递减区间为(),0∞-.（2）()()()22sin 1xF x g x f x e x x x =-'=-+--，且()00F =，()[)cos 22,0,,x F x e x ax x ∞='+--∈+令()()()','sin 2,x G x F x G x e x a ==--令()()()','cos 1cos 0xH x G x H x e x x ==-≥-≥，所以()'G x 在[)0,+∞上单调递增， ①若()()1,''01202a G x G a ≤≥=-≥， 所以()'F x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()'00F x F '≥=， 所以()()00F x F ≥=恒成立. ②若()1,'01202a G a >=-< ()()()'ln 222sin 220G a a +=-+>，所以存在()()00,ln 22x a ∈+，使()0'0G x =，故存在()00,x x ∈，使得()0G x '<，此时()G x 单调递减，即()F x '在()00,x 上单调递减， 所以()()00F x F ''=，故()F x 在()00,x 上单调递减， 所以此时()()00F x F =，不合题意.综上，12a.21.（1）由已知可知：()(),0,0,P a Q b -，所以PQ =POQ 中，等面积可得：1122ab =2,a b ==所以该椭圆方程为22142x y +=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 由()2,0E 可设直线AE 方程：1122x x y y -=+直线BE 方程：2222x x y y -=+ 将直线AE 与双曲线22142x y -=联立可得：()2212111211424420x x x y y y y y --+-+=. 又因为2211142x y -=代入上式中可得：()()111221122420x x x y y y y --+= 解得：1312y y x =-代入直线AE 方程：314x x =所以C 点坐标为11124,y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理可得D 点坐标为：22224,y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以直线CD 的斜率()()2112122112121212222222441444444CD kx kx y y x x x x x x k x x x x x x ⎛⎫++-----+ ⎪⎝⎭====----.所以直线CD 的斜率为定值该定值为-122.（1）62sin2πϕρρθ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩（2）设()[)2,,0,23A B A B πρθρθθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 2sin2A ρθ= 42sin 23B πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭12sin 23AOBA B Sπρρ=⋅⋅142sin22sin 223πθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1sin2sin2cos222θθθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭11sin 4264πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当462ππθ-=时即6πθ=时AOBS23.（1）()min 1102101()251313x x x f x f x x x x =-<⎧⎪+≤≤⎪=∴⎨-+≤<⎪⎪-≥⎩（2）由（1）可知2a b +=()()()()222222221111111211144114a ab b a b a b a b ab a b b a b a ⎡⎤++⎛⎫++++=+++≥++=⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦或由柯西不等式114≥=当且仅当1a b ==时取等号.。
湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考数学试题含答案
数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|3100M x x x =+-<，{|N y y ==，则=M N （）A ．[)0,2B ．[)1,2C ．[)5,2-D ．()5,2-2，已知i ．为虚数单位，复数z 满足2z i z +=，则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．iD ．i-若πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）3．若tana -a 2，SIn 2u -A ．35B ．35-C ．45D ．45-4．已知向量a ，b ，满足a b a b ==-，则()a a b ⋅+= （）A ．212aB ．212bC ．21()2a b + D ．21()2a b -5．如图，A 是平面α内一定点，B 是平面α外一定点，且AB =AB 与平面α所成角为45°，设平面α内动点M 到点AB 的距离相等，则线段AM 的长度的最小值为（）A ．4B ．C ．2D ．26．()()6211x ax x +---的展开式中2x 的系数是2-，则实数a 的值为（）A ．0B ．3C ．1-D ．2-7．平面直角坐标系xOy 中，已知点(),0A a -，(),0B a 其中0a >，若圆()()22212x a y a a -++--=上存在点P 满足23PA PB a ⋅=，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1,)+∞8．若对于任意正数xy ，不等式()1ln ln x x x y ay +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．311,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若()2~100,1.5X N ，则下列说法正确的有（）A ．()11002P X <=B ．() 1.5E X =C ．()()101.598.5P X P X <=>D ．()()97101.598.5103P X P X <<=<<10．如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n 行n 列(0)10n ≥，ij a 表示第i 行第j 列的数，比如237a =，5421a =，则（）234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………………………………………A ．7750a =B ．数字65在这个数阵中出现的次数为8次C ．1ij a i j =⨯+D ．这个数阵中2n 个数的和()2214n n S +=11，用平面α截圆柱面，圆柱的轴与平面α所成角记为θ，当θ为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．下列结论中正确的有（）A ．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等B ．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距12O O 相等C ．所得椭圆的离心率cos e θ=D ．其中12G G 为椭圆长轴，R 为球1O 半径，有1tan2R AG θ=⋅三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数()1,0()ln 1,0x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩，则关于x 的不等式()1f x ≤的解集为______．13．在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，将四边形ABEF 沿EF 折起使得二面角1A EF D --的大小为90°，则三棱锥1A CDE -的外接球的表面积为______．14．已知在数列{}n a 中，111,a a N +∈，数列{}n a 的前n 和为n S ，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，1477S =，则100S =______．四、解答题：本题共5小题，共77分。
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。
湖北省高中名校联盟2024-2025学年高三上学期第二次联合测评数学试卷含答案
湖北省高中名校联盟2025届高三第二次联合测评数学试卷（答案在最后）命题单位：武汉外国语学校数学备课组审题单位：圆创教育教研中心宜昌市第一中学本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.考试时间：2024年11月7日下午15：00—17：00★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区战均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{12}A xx a B x x =<<=<∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A.()2,∞+ B.[)2,∞+ C.()0,2 D.(]0,22.已知()()2,3,4,3A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且2AP PB =，则点P 的坐标为（）A.10,13⎛⎫-⎪⎝⎭B.101,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()6,9-D.()9,6-3.已知,p q 为实数，1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q -=（）A.2- B.2C.4D.4-4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（）A.2y x=± B.12y x =±C.43y x =±D.34y x =±5.若关于x 的函数()()2lg log 2a f x x ax ⎡⎤=++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A.()()0,11,2⋃B.()(0,11,⋃C.()1,2 D.(1,6.如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD ，点E 在下底面圆周上，且CE =，点F 在母线AB 上，点G 是线段AC 上靠近点A 的四等分点，则EF FG +的最小值为（）A.4B.4C.6D.927.在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（）A.14 B.13C.512D.128.已知函数()()sin (0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，若所在平面不等式()()20f x f x a +-在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.,12∞⎛-+⎝⎦B.1,2∞⎛+- ⎝⎦C.,2∞⎛- ⎝⎦D.,12∞⎛--⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为167,170,172,178,184,185，则下列说法正确的是（）A.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大B.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小C.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小D.这组数据的第75百分位数为18110.已知抛物线2:4E y x =，过点()2,0M 的直线l 与E 交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与E 的准线l '交于,C D 两点.则下列说法正确的是（）A.4OA OB ⋅=-B.直线,OA OB 的斜率分别记为12,k k ，则12k k ⋅为定值C.CD 的取值范围为)∞+D.AOB 面积的最小值为11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB AA AD E ===为棱AD 上一点，且3AE =，平面1A BE上一动点Q 满足0,EQ AQ P ⋅=是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为O ，则下列结论正确的是（）A.长方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为2B.点A 到平面1A BEC.球心O 到平面1A BE 的距离为3 D.点Q 的轨迹在1A EB 内的长度为6π3三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
辽宁省沈阳市重点联合体2025届高三第二次调研数学试卷含解析
辽宁省沈阳市重点联合体2025届高三第二次调研数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．352．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米4．已知集合{}{13,},|2xA x x x ZB x Z A =|-≤∈=∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,25．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．346．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．2337．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --8．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．310．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ） A ．1B ．-1C ．2D ．-212．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高三数学第二次联合考试答案
一、1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.C 8.D 9.B 10.A 11.B 12.B 二、13.-33 14. -1或6 15.(理)2
2 (文)-2 16.①②④ 三、17.解：由(62)2
1--x x ＜1得x 2-x -6＞0，解得x ＞3或x ＜-2 A ={x |x ＞3或x ＜-2} 4分
由log 4(x +a )＜1得0＜x +a ＜4
∴B ={x |-a ＜x ＜4-a } 8分
∵A ∩B =∅,
∴⎩⎨⎧≤--≥-3
42a a 10分 ∴1≤a ≤2
即a 的取值范围是：{a |1≤a ≤2}12分
18.解：(Ⅰ)(z +1)(z +1)=|z |2
, ∴z z zz +++1=|z |2 ∵zz =|z |2
∴z +z +1=0 3分
设z =x +ｙi (x ,ｙk ∈R ),则z =x -ｙi ∴x =-
21,z =-2
1+ｙi 5分 又∵yi yi z z ++-=+-2
13
211且是纯虚数 ∴ｙ2-43=0且ｙ≠0 7分 ∴ｙ=±2
3 ∴z =-21±2
3i 10分
(Ⅱ)当z =-21+23i 时，arg z =3
2π 11分 当z =-21-23i 时，arg z =3
4π 12分 19.(Ⅰ)证明：∵ABCD 是矩形 ∴CD ⊥AD
又∵PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在平面ABCD 上的射影
由三垂线定理：CD ⊥PD 3分
(Ⅱ)证明：取CD 中点N ，连结EN 、FN
∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点
∴FN ∥PD ,EN ∥AD .
∵FN ⊄平面PAD ，EN ⊄平面PAD
∴FN ∥平面PAD ，EN ∥平面PAD 5分
∵FN ∩EN =N
∴平面EFN ∥平面PAD
∵EF ⊂平面E F N ，
∴EF ∥平面PAD 7分
(Ⅲ)解：当平面PCD 与平面ABCD 成45°角时，直线EF ⊥平面PCD 8分 ∵AB ∥CD
∴CD ⊥AD ,PD ⊥CD ,即∠PDA 就是侧面PCD 与底面ABCD 所成二面角的平面角. 连结PE ，EC
又∠PDA =45°
∴PA =AD =BC ,
又AE =EB
∴Rt △PAE ≌Rt △CBE
∴PE =EC 10分
∵F 为PC 的中点
∴EF ⊥PC ，又FN ∥PD ,EN ∥AD
∴CD ⊥FN ,∴CD ⊥EN
∴CD ⊥平面EFN
∴CD ⊥EF
∵CD ∩PC =C ，
∴EF ⊥平面PCD 12分
20.解：(Ⅰ)易知点P 在抛物线C 上，设PA 的斜率为k
则直线PA 的方程是ｙ-4=k (x -2) 1分
代入ｙ=-2
1x 2+6中，整理得：x 2+2kx -4(k +1)=0 此时方程应有根x A 及2，由韦达定理得：
2x A =-4(k +1)
∴x A =-2(k +1)
∴ｙA =k (x A -2)+4=-2k 2-4k +4 4分
∴A (-2(k +1),-2k 2-4k +4)
由于PA 与PB 的倾斜角互补，故PB 方程的斜率为-k .
同理可得：B (-2(-k +1),-2k 2+4k +4)
∴k AB =2 6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）得∴直线AB 的方程为：ｙ=2x +b ,b ＞0，
代入方程ｙ=-2
1x 2+6消去ｙ得： 2
1x 2+2x +b-6=0 |AB |=2)216(52)]6(24)[21(b b 2-=--+ 9分
分12 9
364)3216( )216(5
)216(5221213=++-≤⋅⋅-=⋅-⋅==∴b b b b b b b b d AB S 此时方程为：ｙ=2x +3
16 13分 21.(理)解：建立如图所示的直角坐标系，设机艇先沿OP
方向前进m 到P 处，然后向北前进n 到达Q ，设∠XOP =θ，
Q (x ,ｙ)2分
可知20,sin cos =+⎩
⎨⎧+==n m m n y m x θθ 4分 ∴|AQ |2=x 2+ｙ2=m 2+n 2+2m nsin θ≤(m +n )2=400
∵机艇中途左拐
∴x 2+ｙ2＜400 7分
又∵x +ｙ=m (sin θ+cos θ)+n =)4sin(2π
θ+²m +n ≥m +n =20
即⎩⎨⎧≥++20
40022y x y x 10分
根据题中的提示及对称性，结合上述不等式组，可得营救区域为上图所示阴影区域，但不包括圆周上的点. 12分
(文)解：设第n 月月底所得现款a n 万元，
依题意a n +1=a n (1+20%)-a n (1+20%)10%-0.3=1.08a n -0.3 4分
化为a n +1-
415=1.08(a n -415) 则{a n -415}为等比数列，其中a 1=1.08³10-0.3=(10-415)³1.08+4
15 8分 ∴a n -415=(10-4
15)1.08n 即a n =(10-415)1.08n +4
15 10分 ∴a 12 =(10-45)²1.0812+4
15
代入1.0812≈2.5,得a 12=19.375 12分
答：到这一年年底，个体户有现款193750元.
22.解：(Ⅰ)∵a k +1=a k +1+d ,a k =a k +1-d
∴a k +2²a k =2
1221++-k k a d a
又∵a k +1＞0,a k +2＞0,a k ＞0 ∴k
k k k a a a a 1
12+++ 4分
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论可得1
112
-+++mk mk mk mk mk mk a a a a a a 6分
令A =1
2122212
++++++⋅⋅⋅nk nk k k k k a a a a a a ，从而有
A k ＞11
)1()1(1)1(231212222222312+++++++++++++++++=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k n k n k n nk nk nk nk k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a 9
分 又A k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++++++1
2
1342312122212)()()(k k k k k nk nk k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a 2
2122)1(3
)1(1)1(2)1(a a a a a a a a nk nk nk k n k n k n k n ++++-+-+-+-=⋅⋅⋅⋅ 从而k nk k k k n a a A a a 2
2
11
)1(++++ 13分
(文)(Ⅰ)ｙn =2log a x n ，
设{x n }的公比为q (q ≠1)
∵ｙn +1-ｙn =2(log a x n +1-log a x n )=2log a n
n x x
1+=2log a q
∴{ｙn }为等差数列，设公差为d 2分
∵ｙ3=18,ｙ6=12,
∴d =-2,
∴ｙn =ｙ3+(n -3)(-2)=24-2n
设前k 项为最大，则12110
1≤≤⇒⎩⎨⎧≥≤+k y y k k 4分
∴前11项和前12项和为最大，其和为1325分
(Ⅱ)x n =a 12-n ,n ∈N *
若x n ＞1，则a 12-n
＞1
当a ＞1时，n ＜12，显然不成立 7分
当0＜a ＜1时，n ＞12，
∴存在M =12，13，14，…， 当n ＞M 时，x n ＞1 9分 (Ⅲ)a n =1211log log )1(12121--==+--+n n a x n n a n x n 10分 ∵0)12)(11(1121111101 ---=-----=-+n n n n n n a a n n 12分 ∴a n +1＜a n
∴n ＞13时数列{a n }为递减数列 13分。