初中数学竞赛辅导资料(47)
初中数学竞赛辅导资料(47)
配方法
47
内容提要 1. 配方 这里指的是在代数式恒等变形中 把二次 项式 a2±2ab+b2 写 完全 方式 a±b 2. 有时需要在代数式中添项、折项、分 才能写 完全 方式. 常用的有以 种 2 2 a +b 配 2ab 2 ab 配 a2+b2 a2±2ab 配 b2. 2. 运用配方法解题 初中阶段 要有 用完全 方式来因式分解 例如 把 x4+4 因式分解. 原式 x4+4 4x2 4x2=(x2+2)2 4x2 …… 这是 a2+b2 配 2ab. 二次根式化简常用公式 例如 化简 5 − 2 6 . 们把 5 2 6 写 2 2 2 3 3
a2 = a
这就需要把被开方数写 完全 方式.
( 2)2
2 2 3
( 3) 2
2
3
2
.
这是 2 ab 配 a2+b2. 求代数式的最大或最小值 方法之一是运用实数的 方是非负数 零就是最小值. 即 a2 0 当 a=0 时 a2 的值 0 是最小值. 2 例如 求代数式 a +2a 2 的最值. a2+2a 2= a2+2a+1 3=(a+1)2 3 当 a= 1 时, a2+2a 2 有最小值 3. 这是 a2±2ab 配 b2 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零 则 一个非负数都是零 有时就需 要配方. 例如: 求方程 x2+y2+2x-4y+5=0 的解 x, y. 解 方程 x2+y2+2x-4y+1 4 0. 配方的可化 x+1 2+(y 2)2=0. 要使等式 立 必须且只需
初中一年级,数学竞赛辅导讲义
初中,一年级,数学,竞赛,辅导,讲义,初中,初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（1）数的整除（一）甲内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。
0能被所有非零的整数整除．一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整除(如143，1859，1287，908270等)7，11，13从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除．如1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）乙例题例1已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除．求x，y．解：x，y都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y＝6．∵328＋＝567，∴x＝3例2己知五位数能被12整除，求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x＝2，5，8当末两位能被4整除时，X＝0，4，8∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263．丙练习1. 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859 ③1287④3276⑤10101⑥102962. 若四位数能被3整除，那么a＝_______________．3. 若五位数能被11整除，那么X＝__________．4. 当m＝_________时，能被25整除．5. 当 n＝__________时，能被7整除．6. 能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________．7. 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________．8. 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________，8__________，9_________，11__________．9. 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个．10. 能被3整除但不是5的倍数的共______个．11. 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？12. 己知五位数能被15整除，试求A的值．13. 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数．14. 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（2）倍数约数甲内容提要1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数．例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数．2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除．0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数．如0是7的倍数，7是0的约数．3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……．4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A．例如6的约数是±1，±2，±3，±6．5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数．6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除．乙例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32．解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，322×31，2，3，64221，2，4 3321，3，32 322×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，36 9241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是：设A＝ambn (a，b是质数，m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是（m＋1）(n＋1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]＝360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1．解：∵[10，9，8]＝360，∴所以所求的数是359丙练习21. 12的正约数有_________，16的所有约数是_________________．2. 分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________．3. 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数．4. 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________．5. 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________．6. 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________．7. 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数．答_____________．8. 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9. 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（3）质数合数甲内容提要1 正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）．合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数．2 根椐质数定义可知1 质数只有1和本身两个正约数，2 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积．能写成几个质数的积的正整数就是合数．乙例题例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)．求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a－2．例2己知两个整数的积等于质数m，求这两个数解：∵质数m只含两个正约数1和m，又∵（－1）（－m）＝m∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m．例3己知三个质数a，b，c它们的积等于30求适合条件的a，b，c的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有：应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a，b，c，d它们的积等于210，即abcd＝2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来．例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数．解：（本题答案不是唯一的）设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数．本题可推广到n 个．令N等于不大于n＋1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋（n＋1）就是所求的合数．丙练习31. 小于100的质数共___个，它们是__________________________________．2. 己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿．3. 己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿．4. 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿．如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿．如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿．5. 两个质数x和y，己知xy＝91，那么x＝__，y＝__，或x＝__，y＝__．6. 三个质数a，b，c它们的积等于1990．那么7. 能整除311＋513的最小质数是＿＿．8. 8，己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M．求M及＋的值．9. 试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数．10. 具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11. 求适合下列三个条件的最小整数：①大于1 ②没有小于10的质因数③不是质数12. 某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是＿＿＿．13. 一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿．。
精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)
精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】l 上求一点P ，使值最小．【问题2】“将军饮马” 作法图形原理l 上求一点P ，使值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为【问题3】 作法图形原理1l 、2l 上分别求点，使△PMN 的周长最分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．lBAlPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P周长最小．【问题5】“造桥选址” 作法图形 原理∥n ，在m 、n ，上分别求点M 、N ，使MN ⊥AM +MN +BN 的值将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连A ＇B ，交n 于点N ，过N 作NM ⊥m 于M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇B +MN ．【问题6】 作法图形原理l 上求两点M 、N （M ，使a MN ，并使将点A 向右平移a 个长度单位得A ＇，作A ＇关于l 的对称点A ＇＇， 连A ＇＇B ，交直线l 于点N ，将N 点向左平移a 个单位得M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇＇B +MN ．m nM NA'BA la BM Nm nABM NlA''A'BAM N一、基础过关1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .2.如右图是一个长方体木块，已知3,4,2===，假设AB BC CD一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
初中数学竞赛辅导资料(56)
初中数学竞赛辅导资料(56)列表法甲内容提要只要有可能，依题意画个图或列个表给问题以直观的描述，对解题大有好处.因为图表常能把数据的题设和结论之间的相互关系，有条不紊地形象表达出来，特别是纵横关系较多的问题，利用图表，不仅便于思考答题方案，还可以作为答题的步骤. 图解已在枚举法，交集法等处介绍过，本讲主要介绍表解.使用表解的关键是合理地设计纵横栏目.其前提是正确地理解题意，明确各条件之间的从属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一个最基本的定律，就是排中律，即“不是真，必为假”，“不是假，便是真”，列表推理就是把诸多数据按题目条件，逐一填入表中，当发现与题设矛盾时就排除，在排除淘汰的基础上，推出满足所有条件的结论. 乙例题例1. n 为正整数，试证2 n +7 n+2能被5整除.解： n 分别取1，2，3，4时，观察2 nn+2的个位数字情况如下：并且∵2与2； 7 与7(k 为整数)的个位数字相同. ∴n 不论取什么自然数值，2n +7n+2均能被5整除..例2. 小张步行每小时走10里，骑车每小时走30里，他从甲地到乙地步行和骑车走了同样长的路程；然后沿着同一条路从乙地返回甲地，这次步行和骑车走了同样多的时间，结果返回时比去时少用了40分钟.求甲、乙两地的距离及从乙到甲所用的时间.解：设甲乙两地的距离为x 里，从乙到甲所用的时间是y 小时. 列表如下：根据题意，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+⨯+=+x y y y x x23021032302102解这个方程组，得⎩⎨⎧==240y x答：甲乙两地的距离为40里，从乙返甲用了2小时.例3. 从1到10这十个自然数中，每次取两个，要使它们的和大于10，共有几种取法？试列表统计.解：有两种列表法：由大数取小数或以小数取大数共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法.例4. A，B，C，D，E五个人，每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中的一种.他们看见别人所戴的帽子颜色，分别说了以下的话：A说：我看到的是3白1红；B说：我看到的是4红；C说：我看到的是1白3红；E说：我看到的是4白.已知戴白帽子的人说真话，而戴红帽子的人说假话.试判断A，B，C，D，E各戴什么颜色的帽子.解：先由易到难，用否定判断法：若E说了真话，则共有5白，即大家都说了真话，这与其他人所说内容相矛盾，所以E 必是戴红帽；若A说了真话，则共有4白1红，那么除A、E以外，还有2人说真话，就是B、C 也说真话，这也不可能，所以A也戴红帽；在确定A、E之后，我们把B、C说真话或假话的情况列表来判断：若B说真话，则C、D都为红(∵B看到的是4红)，那么C应是说假话，但C说1白3红却是真的，所以矛盾，B没有说真话，应是戴红帽.最后，C确实说了真话(看到1白3红).这时可知D是戴白帽.∴A，B，C，D，E所戴帽子的颜色分别是：红，红，白，白，红.丙练习562.n为自然数,3n与7n的和或差必有一个能被10整除.试证之，并说明n取什么值时，其和能被10整除.3.若自然数a不是2和3的倍数，试证a2+23能被24整除.4.原计划在一定时间内插秧152亩，实际工作时，每天比原计划多插2亩，结果比原计划提前3天并超额完成8亩.问原计划每天插秧几亩？5.甲，乙两人接受同样的任务，开始时乙比甲每天少做4件，做到两人都剩下624件时，乙比甲多用了2天.此后乙改进技术，每天比原来多做6件，这样两人在同一时间内定成任务.求甲、乙两人的工作效率.6.A，B，C，D，E，F六个球队，进行单循环比赛（每队都要与其他各队各比赛一场），经过一段时间询问了A，B，C，D，E五个队，结果是他们都参加了比赛，并且比赛的场数各不相同，问未查询的F队比赛了几场？7.甲，乙，丙三人参加高考后，甲说：我一定考上重点大学.乙说：重点大学我考不上.丙说：我考上大学是没有问题的.发榜后，这三人中有一人考上重点天学，一人考上一般大学，一人落选.对他们的预言，只有一人正确.试判断甲，乙，丙的录取情况.8.甲，乙，丙三同学，来自初三①，②③班各一人，参加语、数、英兴趣小组各一项.已知甲不是①班的，乙不在②班，在①班的不参加数学组，在②班的参加英语组，乙不参加语文组.问丙是哪个班？参加什么组？9.甲，乙，丙，丁四人参加数学竞赛，得了前四名，三位同学在议论名次.A说：甲第一，乙第二；B说：甲第二，丁第四；C说：丙第二，丁第三.结果他们各对了一半.问甲，乙，丙，丁的正确名次是多少？10.一次校运会，小王，小林，小江三人包揽了五个项目的前三名，小王共得22分，小林，小江各得9分，每项目的一，二，三名得分，分别是5，2，1分，并知小江得铅球第一名.试问他们各得几个第一名，第二名，第三名？11.四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种，有一种语言三个人会说，但没有一种大家都会说的语言.还知道：①A会讲日语，D却不会，但他们用同一种语言交谈；②B不会讲英语，当A、C交谈时，他当翻译；③B、C、D三人谈时，没有一种共同的语言；④四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语.试问A，B，C，D四人各会讲何种语言.。
初中数学竞赛辅导资料(47)
初中数学竞赛辅导资料（47）配方法甲内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式 （a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种：①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：① 用完全平方式来因式分解例如：把x 4+4 因式分解.原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝……这是由a 2+b 2配上2ab.② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数写成完全平方式. 例如：化简625-.我们把5－26写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（2－3）2.这是由2 ab 配上a 2+b 2.③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2≥0， ∴当a=0时， a 2的值为0是最小值.例如：求代数式a 2+2a －2 的最值.∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3.这是由a 2±2ab 配上b 2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y.解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0.要使等式成立，必须且只需⎩⎨⎧=-=+0201y x . 解得 ⎩⎨⎧=-=21y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.乙例题例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组）＝（ab+1）2－(a －b)2 （配方）＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2. 化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-.解：化简的关键是把被开方数配方 ①347+＝33224+⨯+＝2)32(+ ＝32+＝2＋3. ②32-＝2322-＝2324-＝2)13(2- ＝2)13(2-＝226-. ③223410+-＝2)12(410+- ＝）＋（12410- ＝246-＝22224+⨯-＝2)22(-=2－2.例3. 求下列代数式的最大或最小值：① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 . 解：①x 2+5x+1＝x 2+2×2`5x+225⎪⎭⎫ ⎝⎛－425+1 ＝（x+25）2－421. ∵（x+25）2≥0，其中0是最小值. 即当x=25时，x 2+5x+1有最小值－421. ②－2x 2－6x+1 ＝－2（x 2+3x-21）=－2(x 2+2×23x+4949-－21) ＝－2（x+23）2+211 ∵－2（x+23）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－23时，－2x 2－6x+1有最大值211. 例4. 解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0.解：①（x 4－2x 2＋1）＋（x 2+2xy+y 2）=0 . （折项，分组）(x 2－1)2+(x+y)2=0. （配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-0012y x x ∴⎩⎨⎧-==1,1y x 或 ⎩⎨⎧=-=11y x ②x 2+2xy+y 2+6x+6y+9+y 2－2y+1=0 . (折项，分组)(x+y)2+6（x+y ）+9+y 2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y －1)2＝0. （配方）∴⎩⎨⎧=-=++0103y y x ∴⎩⎨⎧=-=14y x 例5. 已知：a, b, c, d 都是整数且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2, 则mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. （1986年全国初中数学联赛题）解：mn=( a 2+b 2)( c 2+d 2)= a 2c 2+ +a 2d 2 +b 2 c 2+ b 2 d 2= a 2c 2+ b 2 d 2+2abcd+ a 2d 2 +b 2 c 2－2abcd (分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解解：x 2-4x+16+y 2+10y+25=25 (添项)（x －4）2+(y+5)2＝25 （配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222y x y x y x y x 或（或或（ 由⎩⎨⎧=+=-5504y x 得⎩⎨⎧==04y x 同理，共有12个解⎩⎨⎧-==104y x ⎩⎨⎧==5-9y x ⎩⎨⎧-=-=51y x ……丙练习471. 因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4 ； ②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9 ； ③x 4+x 2-2ax-a 2+1.2. 化简下列二次根式： ①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<25）； ②2234432++-+-+x x x x x (1<x<2)； ③21217-； ④53+； ⑤324411-+； ⑥5353-++；⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（x -3）2＋1682+-x x . 3求下列代数式的最大或最小值：①2x 2+10x+1 ； ②－21x 2+x-1. 4.已知：a 2+b 2－4a －2b+5 . 求：223-+ba 的值. 5.已知：a 2+b 2+c 2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 .试判断代数式cb a 111++值的正负. （1987年全国初中数学联赛题） 7.已知：x=3819- .求：1582316262234+-++--x x x x x x . （1986年全国初中数学联赛题） 8.已知：a 2+c 2+2(b 2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c.9. 解方程：①x 2-4xy+5y 2-6y+9 ； ②x 2y 2+x 2+4xy+y 2+1=0 ；③5x 2+6xy+2y 2-14x-8y+10=0.10.求下列方程的整数解：①（2x-y －2）2＋(x+y+2)2=5；②x 2-6xy+y 2+10y+25=0.。
初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料
初一上目录
1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数
6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则
初一下目录
9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类
初二上目录
17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质
初中数学竞赛辅导资料
初二下目录
29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）
初三上目录
45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形
初三下目录
61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习。
初中数学竞赛辅导资料(总24页)
初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
初中生数学竞赛教案
教案名称：初中生数学竞赛辅导年级：八年级学科：数学课时：2课时教材：《数学竞赛教程》教学目标：1. 提高学生的数学思维能力，培养学生的逻辑推理和解决问题的能力。
2. 巩固和拓展初中数学知识点，提高学生的数学成绩。
3. 培养学生的团队合作意识和竞赛意识，激发学生的学习兴趣。
教学内容：1. 数论基础：质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与同余方程。
2. 几何基础：平面几何的基本性质、三角形的不等式、圆的性质。
3. 代数基础：一元二次方程、不等式、函数的概念与应用。
4. 初等数学问题：逻辑推理题、几何证明题、计算题、应用题等。
教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1. 老师简要介绍数学竞赛的背景和意义，激发学生的学习兴趣和竞争意识。
2. 学生分享自己参加数学竞赛的经验和感受，促进彼此的交流和启发。
二、数论基础（15分钟）1. 老师讲解质数与合数的概念，引导学生理解和掌握质数与合数的性质。
2. 学生通过例题练习最大公约数和最小公倍数的计算方法，巩固相关知识。
三、几何基础（15分钟）1. 老师讲解平面几何的基本性质，如三角形内角和定理、平行线性质等。
2. 学生通过例题练习三角形的不等式证明，提高几何证明能力。
四、课堂小结（5分钟）1. 老师引导学生总结本节课的重点知识点和注意事项。
2. 学生分享自己的学习心得和困惑，老师进行解答和指导。
第二课时：一、代数基础（20分钟）1. 老师讲解一元二次方程的解法，如因式分解、公式法等。
2. 学生通过例题练习一元二次方程的解法，掌握解题技巧。
二、初等数学问题（20分钟）1. 老师讲解初等数学问题的类型和解决方法，如逻辑推理题、几何证明题等。
2. 学生通过练习题巩固所学知识，提高解决问题的能力。
三、课堂小结（10分钟）1. 老师引导学生总结本节课的重点知识点和注意事项。
2. 学生分享自己的学习心得和困惑，老师进行解答和指导。
四、课后作业（10分钟）1. 老师布置课后作业，要求学生在规定时间内完成，巩固所学知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛辅导资料（47）
配方法
甲内容提要
1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式
（a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.
常用的有以下三种：
①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2.
2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：
① 用完全平方式来因式分解
例如：把x 4+4 因式分解.
原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝……
这是由a 2+b 2配上2ab.
② 二次根式化简常用公式：a a =2
，这就需要把被开方数写成完全平方式. 例如：化简625-.
我们把5－26写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（2－3）2.
这是由2 ab 配上a 2+b 2.
③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2≥0，
∴当a=0时， a 2的值为0是最小值.
例如：求代数式a 2+2a －2 的最值.
∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3
当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3.
这是由a 2±2ab 配上b 2
④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.
例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y.
解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0.
配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0. 要使等式成立，必须且只需⎩
⎨⎧=-=+0201y x . 解得 ⎩⎨⎧=-=2
1y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.
乙例题
例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.
解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组）
＝（ab+1）2－(a －b)2 （配方）
＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）
本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.
例2. 化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-.
解：化简的关键是把被开方数配方 ①347+＝33224+⨯+＝2)32(+ ＝32+＝2＋3. ②32-＝2322-＝2
324-＝2)13(2
- ＝2
)13(2-＝226-. ③223410+-＝2)12(410+- ＝）
＋（12410- ＝246-＝22224+⨯-＝2)22(-
=2－2.
例3. 求下列代数式的最大或最小值：
① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 . 解：①x 2+5x+1＝x 2+2×2`5x+225⎪⎭
⎫ ⎝⎛－425+1 ＝（x+
25）2－421. ∵（x+2
5）2≥0，其中0是最小值. 即当x=25时，x 2+5x+1有最小值－4
21. ②－2x 2－6x+1 ＝－2（x 2+3x-2
1） =－2(x 2+2×23x+4949-－2
1) ＝－2（x+23）2+2
11 ∵－2（x+2
3）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－23时，－2x 2－6x+1有最大值2
11. 例4. 解下列方程：
①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0.
解：①（x 4－2x 2＋1）＋（x 2+2xy+y 2）=0 . （折项，分组）
(x 2－1)2+(x+y)2=0. （配方）
根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.
得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-0
012y x x ∴⎩⎨⎧-==1,1y x 或 ⎩⎨⎧=-=1
1y x ②x 2+2xy+y 2+6x+6y+9+y 2－2y+1=0 . (折项，分组)
(x+y)2+6（x+y ）+9+y 2－2y+1=0.
(x+y+3)2+(y －1)2＝0. （配方）
∴⎩⎨
⎧=-=++0103y y x ∴⎩⎨⎧=-=14y x 例5. 已知：a, b, c, d 都是整数且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2, 则mn 也可以表示为两个整数的平方和，
试写出其形式. （1986年全国初中数学联赛题）
解：mn=( a 2+b 2)( c 2+d 2)= a 2c 2+ +a 2d 2 +b 2 c 2+ b 2 d 2
= a 2c 2+ b 2 d 2+2abcd+ a 2d 2 +b 2 c 2－2abcd (分组，添项)
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
例6. 求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解
解：x 2-4x+16+y 2+10y+25=25 (添项)
（x －4）2+(y+5)2＝25 （配方）
∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-9
)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222y x y x y x y x 或（或或（ 由⎩⎨⎧=+=-5504y x 得⎩⎨⎧==0
4y x 同理，共有12个解⎩⎨
⎧-==104y x ⎩⎨⎧==5-9y x ⎩⎨⎧-=-=51y x ……
丙练习47
1. 因式分解：
①x 4+x 2y 2+y 4 ； ②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9 ； ③x 4+x 2-2ax-a 2+1.
2. 化简下列二次根式： ①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<2
5）； ②2
234432++-+-+x x x x x (1<x<2)； ③21217-； ④53+； ⑤324411-+； ⑥5353-++；
⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（x -3）2＋1682+-x x .
3求下列代数式的最大或最小值：
①2x 2+10x+1 ； ②－2
1x 2+x-1.
4.已知：a 2+b 2－4a －2b+5 . 求：223-+b
a 的值.
5.已知：a 2+b 2+c 2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值.
6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 .
试判断代数式c
b a 111++值的正负. （1987年全国初中数学联赛题） 7.已知：x=3819- .
求：15
82316262234+-++--x x x x x x . （1986年全国初中数学联赛题） 8.已知：a 2+c 2+2(b 2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c.
9. 解方程：
①x 2-4xy+5y 2-6y+9 ； ②x 2y 2+x 2+4xy+y 2+1=0 ；
③5x 2+6xy+2y 2-14x-8y+10=0.
10.求下列方程的整数解：
①（2x-y －2）2＋(x+y+2)2=5；
②x 2-6xy+y 2+10y+25=0.
练习47
1. ②（x －y －3）2
2. ①8， ②0.5x ， ③3－22， ④
2210+， ⑤2＋3， ⑥10 ⑦3＋5， ⑧7－2x （x ≤3）
3. ①当x=－25时，有最小值－2
23 ②x=1时，有最大值－21 4. a=2, b=1 代数式值是3＋22
5. ±13
6.负数。
由（a+b+c ）2=0 得出ab+ac+bc<0
4. 值为5。
先化简已知为4－3，代入分母值为2， 可知x 2－8x+13=0
分子可化为（x 2+2x+1）(x 2－8x+13)+10 ＝10
5. 配方（a －b ）2+(b －c)2=0
6. ①⎩⎨⎧==3
6y x ②⎩⎨⎧-=-=1,11,1y x ③⎩⎨⎧-==12y x 7. ①⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==2
1312111y x y x y x y x ②（x-3）2+(y+5)2=9 ……。