2020届高考数学大一轮复习 第九章 第9课时 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理 北师大版
高考数学大一轮复习 第九章 第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件
D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变
量 X 为这 5 名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，则 X 的数学期
5
望为__4__．
解析：根据题意，5 名志愿者被随机分配到 A，B，C，D 四个 不同岗位，每个岗位至少一人，共有 C25A44＝240 种，而 X＝1,2， 则 P(X＝1)＝C512C4240A33＝128400＝34，P(X＝2)＝C2254A033＝26400＝14，故
(× )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的
平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小
(√ )
(3)若X～B(n，p)，则E(X)＝np(1－p)
(×)
(4) DX 是随机变量的标准差，在统计中常用它来描述X的分
)＝aE(X)，D(Y)＝a2D(X)
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8
考点一 离散型随机变量的均值 (基础送分型考点——自主练透)
1．定义
[必备知识]
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值 或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
识分析分数减少的原因．
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解：(1)X 可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有
P(X＝10)＝C13×121×1－122＝38，
P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38，
P(X＝100)＝C33×123×1－120＝18，
P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18. 所以 X 的分布列为
高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布
离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础知识1.均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.2.方差设离散型随机变量X的分布列为：则(x i－E(X))2描述了x i(i＝)＝(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差4.正态分布(1)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.二、常用结论若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2. 三、考点解析考点一 离散型随机变量的均值与方差例、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).跟踪训练1.随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝( )A.15B.25C.55D.1052.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； (2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望.考点二 二项分布的均值与方差例、某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差.[解题技法]二项分布的期望与方差(1)如果ξ ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )，同样还可求出D (a ξ＋b ).跟踪训练1.设X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，若随机变量X 的数学期望E (X )＝4，D (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.(结果用分数表示)2.一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).考点三 均值与方差在决策中的应用例、某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解题技法]离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E (ξ1)＝E (ξ2)或E (ξ1)与E (ξ2)较为接近时，就需要用D (ξ1)与D (ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.跟踪训练某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.考点四 正态分布例、(1)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B.P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C.对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D.对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) (2)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( ) A.0.682 6 B.0.341 3 C.0.460 3 D.0.920 7(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.[解题技法]正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.跟踪训练1.已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( ) A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.72.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝9.97，s ≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.课后作业1.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C.2D.832.已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ＞1)＝0.5，P (X ＞2)＝0.3，则P (X ＜0)＝( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.83.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A.4 093件 B.4 772件 C.6 827件 D.8 186件4.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A.3B.83C.2D.535.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A.1B.43C.53D.26.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.7.若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________.8.一个人将编号为1,2,3,4每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________. 9.某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：. (1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元.10.某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.提高练习1.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.32.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ 没有零点的概率是12，则μ等于( )A.1B.2C.4D.不能确定 3.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则P (X ＜1)＝________.4.甲、乙两家外卖公司，元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.5.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
2020版高考数学(福建专用)一轮复习课件：12.5 离散型随机变量的均值与方差
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考点1
考点2
考点3
例2某新建公司规定,招聘的职工须参加不少于80小时的某种技 能培训才能上班.公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参 加这种技能培训的数据,按时间段 [75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位:小时)进行统计,其频率 分布直方图如图所示.
②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪
种薪酬方案比较合适,并说明你的理由. (参考数据:0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,
3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16, 15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1 971.36)
知识梳理
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知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.( )
(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它
们是一回事.( )
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的
平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( )
(2)若X~B(n,p),则E(X)= n p ,D(X)= n p( 1- p) .
知识梳理
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知识梳理 双基自测
1234
4.常用结论 (1)如果X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2). (2)均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X). (3)超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则
C.n=8,p=0.2
D.n=7,p=0.45
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高考江苏数学大一轮精准复习课件离散型随机变量的均值与方差
方差的定义与性质：描述随机变量取值的离散程度，即波动大小。
常见离散型随机变量的分布及其均值、方差：如二项分布、泊松分布 等。
易错难点剖析指正
01
均值与方差的计算中，要注意 随机变量所有可能取值的概率 之和为1。
02
在求解复杂问题时，要灵活运 用均值和方差的性质进行化简 和计算。
风险评估
在金融、保险等领域中，方差常被用来评估风险的大小。 例如，股票的收益率的方差越大，说明该股票的风险越高 。
质量控制
在工业生产中，方差可以用来衡量产品的质量稳定性。如 果产品的某项指标的方差较小，说明该产品的质量较为稳 定。
社会学研究
在社会学研究中，方差可以用来分析不同群体之间的差异 程度。例如，可以比较不同收入群体的消费水平的方差， 以了解收入对消费水平的影响程度。
制定决策
在企业管理、政策制定等领域中，均值可以为决策者提供重要参考。例
如，在制定产品定价策略时，可以计算消费者对该产品价格的接受程度
的均值，以确定最合适的定价水平。
03 方差计算与应用
方差定义及性质
方差定义
方差是各数据与其平均值之差的平方的平均数，用字母D(X)或Var(X)表示。
方差性质
方差是衡量一组数据波动大小的一个量，它反映了数据与其均值的偏离程度。 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小 ，越稳定。
均值
E(X) = nM/N，表示抽 取的n个元素中属于一 类的元素的平均个数。
方差
D(X) = n(M/N)(1M/N)((N-n)/(N-1))， 表示抽取的n个元素中 属于一类的元素个数的 波动程度。
高考数学总复习 109 离散型随机变量的均值与方差课件 苏教版
感
等可能的，每把钥匙试开后不能放回，求试开次数 ξ 的数学期望和
悟 提 升
方差．
课 时
规
范
训
练
【解】 ξ 的可能取值为 1，2，3，…，n.
P(ξ＝1)＝1n， 基
P(ξ＝2)＝n－n 1·n－1 1＝1n，
础 知 识 梳 理
P(ξ＝3)＝n－n 1·nn－ －21·n－1 2＝1n，
聚 焦 考 向
升
课
时
规
范
训
练
【基础自测】
1．已知 ξ 的分布列为
－
ξ
01
基 础
1
知 识
梳
P1 1 1
理
236
聚 焦
考
则在下列式子中，①Eξ＝－13；②Dξ＝2237；③P(ξ＝0)＝13.正确的
向 透 析
个数是________．
方 法
感
悟
解析：Eξ＝－12＋16＝－13，①正确．
提 升
课
Dξ＝(－1＋13)2·12＋(0＋13)2·13＋(1＋13)2·16＝59，②错，③正确．
聚
焦
解析：由题意得，a＋b＋c＋112＝1，①
考 向 透 析
∵EX＝0，∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，
方 法 感 悟
提
则－a＋c＋16＝0，②
升
课 时
∵ DX＝ 1，∴(－ 1－0)2×a＋ (0－ 0)2×b＋ (1－ 0)2×c＋(2－0)2×
规 范 训
练
112＝1，即 a＋c＝23，③
透
…
析
方
P(ξ＝k)＝n－n 1·nn－ －21·…·nn－－kk＋＋12·n－1k＋1＝1n，
2020高三数学总复习离散型随机变量的均值与方差PPT课件
[答案]
9 5
[解析] ∵P(ξ＝0)＝15×25×35＝1625，P(ξ
＝1)＝45×25×35＋15×35×35＋15×25×25
＝13275，P(ξ＝2)＝45×35×35＋45×25×25
＋15×35×25＝15285，P(ξ＝3)＝45×35×25
课堂考点探究
解：(1)设顾客所获的奖励金额为 X. ①依题意，得 P(X＝60)＝CC11C42 13＝12， 即顾客所获的奖励金额为 60 元的概率为12. ②依题意，得 X 的所有可能取值为 20，60. P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝CC2324＝12， 即 X 的分布列为
X 20 60
课前双基巩固
2．离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn 则__(_1_)_(x_i_－__E_(_X_)_)2___________描述了 xi(i＝1，2，…，n)相对于均值 E(X)的偏离程度．而 D(X)＝___________________________________________________________________ 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的_平__均__偏__离__程__度_．称 D(X) 为随机变量 X 的方差，其_算__术__平__方__根_______为随机变量 X 的标准差． (2)D(aX＋b)＝_a__2D__(_X_)_． (3)若 X 服从两点分布，则 D(X)＝_p_(_1_－__p_)_． (4)若 X～B(n，p)，则 D(X)＝_n_p_(_1_－__p_)．
高考数学一轮复习离散型随机变量的均值与方差
第8节离散型随机变量的均值与方差最新考纲了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念口归敦材，夯实:基础IS础诊断知识梳理i. 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E (X)= X]p]+ X?02+…+ X]p i+…+ X n P n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差n称D (X)=£_(x i — E (X)) 2p丄为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与i = 1其均值E (X)的平均偏离程度，其算术平方根 D (X)为随机变量X的标准差.2. 均值与方差的性质(1) E (aX+ b)= aE (X)+ b.(2) D (aX+ b)= a2D (X) (a, b 为常数).3. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E (X)= p, D (X)= p (1 —p).(2)若X〜B (n, p)，则 E (X)= np，D (X)= np (1 —p).[常用结论与微点提醒]1. 已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数丫= aX+ b的均值、方差和标准差，可用均值、方差的性质求解；2. 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.诊断自测1•思考辨析（在括号内打“/或“ X”） （1） 期望值就是算术平均数，与概率无关•（）（2）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 .（）（3） 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差 或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.（）（4） 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事 （ ） 解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（1）（4）均 不正确.答案（1）X （2）V2. （选修2-3P68T1改编）设丫二2X + 3,则E (丫)的值为( )A.3B.4C.-1D.111 1 解析 E (x )= — 2+ g =-3，（3）V（4）X4. (2017全国U 卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则 D (X )= _____________ 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，则 X 〜B (100，0.02)，所以 D (X )= np (1 — p )= 100X 0.02X 0.98=1.96.答案 1.96则a= _________ ，数学期望E (X )= _____________49 25 9 1 65E (X )=1X 84+ 2X 84+ 3X 84+ 4X 84=42. 答案25 65答案 84 42 6. (2018湖州调研)甲、乙两人被随机分配到 A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位).记分配到A 岗位的人数为随机变量X ,则随机变量X 的数 学期望E (X )= _____________ ，方差D (X )= _____________ .0 OA解析 由题意可得X 的可能取值有0，1, 2，P (X = 0)= 亍 =9 P (X = 1)3X 3 9C 2X 2 4 11^44 12 =3X 3 = 9,P (X= 2) = 3X 3=9，则数学期望 E (X )= 0X 9+ 1X9+ 2X 9= 3,已知随机变量X 的分布列如下: 5. (2018金华十校联考)解析 由分布列的性质可得:49 9 1 84+ a + 84+ 84= 1,解得a = 2584.考克突破分类讲竦，以例求试考点一 一般分布列的均值与方差方差D (X )224=0—3 X 9+21-3X 4+ 2-22 43 X9=9.【例3】(3)(2038浙江三市联考)已知某口袋中有3个白球和a 个黑球(a € N ), 现从中随机取出一球，再放回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一 个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是 E若 E (— 3,则 D (5 = ( )3 3 A.|B.3C.|D.2(2) (2038浙江五校联考)从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不 放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束，则第一次 试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是 ___________________ ;若记试验次数为X ，则X 的 数学期望E (X )= ___________ .3a解析(3)由题意，知 5= 2 或 4，P ( 5= 2)=， P ( 5= 4)= ，则 E a + 3 a + 3 3 a (5 = 2X ------- + 4X ------ = 3,解得 a = 3，a + 3a + 33 3 22••• P ( 5= 2)= P ( = 4)= 2,则 D (5 = $ (2-3) 2+(4-3) 2] = 3. c !c 3 3(2)第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是p=-c£=2；若记试验次数为X ,则X = 3, 2, 3, 4,于是c l c 4 C 2C 3+ C 2 93P ( x =3)= C 9C 4—^1 二 84二 l8，P(X = 4) = C l C 4 C |=需,则 X 的数学期望 E(X ) = 3 X -32+ I X 84+ 3x 18+ 4X 84 65 =4I .答案(3) B (I ) 3 45P (X = 3)c 3c 3 + c i 7 —c —=32,P (X = 2)2629c 「c25一规律方法(3)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能(2) (2018温州九校联考)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲 班级至少有一位同学的概率是 _________________ ，用随机变量a 表示分到丙班级 的人数，则E ( a = _____________ .1 1 1 解析 (1)由已知，得1+3+ p = 1,所以p =6, 且 E (X ) — 2X 1+ O X 1+ 1X 1一 6, ••• E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3 = 2X 1 + 1 + C 4 + C 4 + C 4 16 =81,所以甲班级至少有一位同学的概率为1-81=H •随机变量a 的可能取值为【例2】(1)已知随机变量X 服从二项分布B (n , p ),若E (X )= 30, D (X ) =20」p = (2)(一题多解)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时, 就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 _____________ 解析 (1)依题意可得 E (X )= np = 30,且 D (X )= np (1 — p )= 20,解得 p4- 3 --3+(2 )甲班级没有分到同学的概率为0, 1, 2, 3, 4,则 P (E=0)=話 P ( E= 1)=C 4 ( 1 + 1 + C 3+ C 3)32= P 81’ P(V 2)=C 2 (1 + 1+ 2)3 24 C 4X 2 8 21, P (= 3)= 丁=81, P (片4)24 8 1 4 +2X 81+3X 81+4X 81=3. 答案(1) 1 3(2) 8? 4考点二与二项分布有关的均值、方差=扛81,于是E (a =0X 暮+1X 32值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算则 p = ________ ;若 Y = 2X + 3,贝U E (Y )= __________ .1=3.1 3(2)法一由题意可知每次试验不成功的概率为4,成功的概率为4,在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1, 2,则1 1 1 3 3P (X=o)= 16, P(x= 1)= C2X4X4二8,29P(X= 1 2 = 4 =所以在2次试验中成功次数X的分布列为则在2次试验中成功次数X的均值为1 3 9 3E (X)二o x 16+ 1X8+2X—=^.3法二此试验满足二项分布，其中p= 4,所以在2次试验中成功次数X的均值为3 3E (X)= np= 2X4 = 21 3答案(1) 3 (2) 3规律方法二项分布的期望与方差(1)如果E〜B (n, p),则用公式E (B = np；D ( $ = np (1 —p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E (a& b)= aE ( $ + b以及E ( $ = np求出 E (a& b),同样还可求出D (a& b).【训练2】(1)有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.1已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为-.假设每题答对与否相互独立，记E为该考生答对的题数，n为该考生的得分，则P (E= 9)= ________ , E ( n) = _________ .(2) (2018杭州学军中学模拟)商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖•每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是 __________ ;若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,贝U E (X)= ____________ .2解析(1) P ( 9)= C3x 1 x 1 —£= |.由题意可得：E 7，8，9，10，n= 4g 且(E—7)〜B$, 3 4j.3P ( &7)= C3x 1—3 二27，2P ( &8)= C1X3X 1—3 二9，22 Q 2 2P ( E9)= C3X 3 x3二9，31、 1P( 10)= c3x 3 = 27.••• E的分布列为：8 4 2 1E ( 0 = 7X27+ 8X9+ 9X9+ 10X27 = 8.E (n) = E (4 0 = 4E (0 = 32.2 3(2 )由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为5，5,在乙箱中抽中红球、3 7 2 1 13 1 3 13白球的概率分别为2 2.抽奖一次不获奖的概率为£x?=10，所以其(对立事件)获奖的概率为1-10二缶.因为每次获得一等奖的概率为2x 1 = 1, 3次抽奖相互独、” 1 3立，故 E (X)= np= 3x5= 5.2 7 3答案(1)9 32 (2)和 5I课乍业另层训练，提升能右基础巩固题组一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D (X) = ( )A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5+ m+ 0.2= 1 得m= 0.3,二 E (X)= 1 x 0.5+ 3X 0.3+ 5X 0.2= 2.4,2 2 2••• D (X) = ( 1-2.4) X 0.5+( 3-2.4) X 0.3+( 5-2.4) X 0.2= 2.44.答案C2. (2018稽阳联谊学校联考)随机变量E的分布列如下，且满足E ( $ = 2,则E (a + b)的值为( )A.0B.1C.2D.无法确定，与a, b有关解析E ( $) = 2,贝U a + 2b+ 3c= 2,又a+ b+ c= 1,由两式可得a= c, 2a + b=1,二 E (a $+ b)= aE ( $ + b = 2a + b= 1.答案B2 13. (2018绍兴检测)设X是离散型随机变量，P (X= X1)=彳P (X= X2) = 3,4 2且X1V X2，若 E (X)= 3, D (X)= 9，则X1 + X2=( )2 1 43x1 + 3x2=3,由已知得12( 4、2 1( 4、2 23x1 3 + 3x2 3 _9,答案 D4•已知随机变量X + n= 8,若X 〜B (10, 0.6),则E ( n, D ( n 分别是( )A.6, 2.4 C.2, 5.6解析 由已知随机变量X + n= 8,所以有n= 8— X. 因此，求得 E ( n) = 8— E (X )= 8— 10X 0.6 = 2, D ( n) = (— 1) 2D (X )= 10X 0.6X 0.4= 2.4. 答案 B5. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子， 每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400解析 设没有发芽的种子有E 粒，则 〜B (1 000, 0.1)，且X = 2E, ••• E (X )= E (2$ = 2E ( 5 = 2X 1 000 X 0.1 = 200. 答案 B6. 口袋中有5只球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只球，以X 表示取 出的球的最大号码，贝U X 的数学期望E (X )的值是( )A.4B.4.5C.4.75D.51 1 解析 由题意知，X 可以取3, 4, 5, P (X = 3) = & = 10,A ・| D.3解析 |xi = 1, 解得 1x2= 2 LX 1 = 或 X 2 = 5 3,2 3, x1 =1,因为X 1V X 2，所以所以X 1 + x 2= 1 + 2= 3. X 2二 2,B.2, 2.4 D.6, 5.6C s 3 C2 6 3 P (X= 4) = C3= 10，P (X= 5) = C5= 10=5，13 3所以 E (X )= 3X 10 + 4X 10+ 5X 5= 4.5. 答案 B7. (2017浙江卷)已知随机变量&满足P (E = 1)= P i , 1P (&= 0)= 1 — p i , i = 1, 2.若 0v p i <p 2V 2，则( )A. E ( gi)v E (切，D ( &)< D (切B. E ( &)< E ( £>) , D ( 8)> D ( ^2)C. E ( gi)> E (切，D ( &)< D (动D. E ( &)> E (切，D( 8)> D ( ®解析 由题设可知E ( gi)= p 1， E ( $)= p 2，从而 E (8)< E (色)，而 D ($)= p 1 (1 — p 1)，D (&) =p 2 ( 1 — P 2)，所以 D (&)— D (&)<0，即 D (@)< D (切.答案 A甲、乙两人轮流从袋中取球，甲先取，个球，取后不放回，直到其中有一人取出白球时终止•用X 表示取球终止时取球的 总次数，则X 的数学期望E (X ) = ( )A.9B.学C^6 2 3X 6 1 3X 2X 6 1 3X 2X 1 X 6="=9 = 3；P ( X =5 6 = 9X 8 = 4；P ( X = 7= 9^X7=X = 8= 9X 8X 7X 65 2 1 1 1 10 =84所以 E (X )= 1X 3+2X 4+3X 初+4X 84=〒. 答案 B 二、填空题9. (2018湖州调研)设X 为随机变量，X 〜Bn , 3，若随机变量X 的数学期望=(P 1 — P 2)( 1 — P 1 —)9个，从中任取2个都是白球的概率为寻.现 乙后取，然后甲再取，……，每次取出 8.袋中装有大小相同的黑球和白球共 ‘ 12 D.〒解析 易得袋中白球的个数为6•则由题意得, X 的可能取值为1, 2，3, 4.P (XE (X)= 2,则P (X = 2)= ____________ ; D (X)= ___________ .解析由X〜B n, 3 , E (X)= 2,得np=罗=2, •••n = 6,则P (X= 2)=43 二243, D（X）二np（—P）二6x卜3二4.10. 某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的4- 3概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是_________ 元.1 1 解析由题意知a+ 2a + 4a= 1, • a = 7, •获得一、二、三等奖的概率分别为7,2 4 1 2 47, 7，•所获奖金的期望是E（ X）二7X 7 000+ 7X 5 600+7X 4 200= 5 000 （元）答案 5 00011. （2018嘉兴测试）已知随机变量E的分布列如下.$ 012P b 2 a1a22则E （ $的最小值为___________ ，此时b= __________ .解析由题意得E （ $ = 0X b+ 1 X a2+ 2X号一2 = a2-a+ 1 = g —舟了+弓，所以E （$的最小值为4，此时a = 2，又因为b+ a2+1—1,所以b= —a2+1+舟=12.3 1答案3112. （2018杭州高级中学模拟）已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为$则随机变量$的均值是________________________ ;方差是___________ .解析由题可得，$的所有可能取值分别为0, 1, 2.且P （ $= 0）= 2Q=5,2 1 1 2八C4C2 12 3 , / " c、C4C2 4 1 比「、十八升知斗P （$=1）=CCT=12=5, P （= 2）= "CT二20=1.所以其分布列为$ 0 1 2 P1 3 1 555”、「 1 3 1 2 1 2 3 所以 E ( o = O X 5+ 1X 5+ 2X 5 = 1； D ( $ = ( 0— 1) X 5+( 1- 1) X-5 +2 1 2(2-1) X厲2 答案1 2 513.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢 玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p M 0)，射击次数为 Y ,若Y 的数学期望E (Y ) #，则p 的取值范围是 ______________ . 解析 由已知得 P (丫= 1)= p ， P (丫= 2) = ( 1 — p ) p ， P (Y = 3) = ( 1 — p ) 2，227则 E (Y )= p + 2 (1 — p ) p + 3 (1 — p ) = p — 3p + 3>4又 E (X )= = 3,二 m = 2,m + 3答案 BA.5解析 由题X 〜B 5,3、m + 3 /i 3、则 X 〜B 5, 5，故 D (X )642-X3- 5X15. 袋中装有大小完全相同，标号分别为 1, 2, 3,…，9的九个球.现从袋中随机 取出3个球.设E 为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为 3, 4, 3, 4和4, 5,此时9的值是2),则随机变量9的均值解析 依题意得，9的所有可能取值是0, 1, 2.口 C 7 5且 P (片 o )= &= 12, P (E = 1) c j 丄P (E 2)= C 9=12，… 5 1 1 2 因此 E ( 9 = o x 12+1 x 2+ 2x 12= 3. 答案 D16. (2018北京海淀区模拟)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从 标有5, 6, 7, 8, 9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小 球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将 两个小球上数字之差的绝对值的 2倍作为其奖金(单位：元).若随机变量X 和Y 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则 E (X )— E (Y )=元.1解析 根据题意可得P (X = k )= 5 (k = 5, 6, 7, 8, 9), 1 一可得 E (X )= 5X (5+ 6+ 7 + 8+ 9)= 7 (兀).丫的取值可能为2, 4, 6, 8,其中23115,则有两组相邻的标号A.61- 2 --P (Y = 4)= P (Y = 6)= P (Y = 8)=310155丄10 - - -- 3&2& 注)P (Y = 2)所以E (丫)= 2x5+ 4X10 + 6X5 + 8X —= 4 (元) 故E (X)—E (Y)= 7—4= 3 (元)答案 317. (2018衢州质检)一个袋中装有质地均匀、大小相同的 2个黑球和3个白球, 从袋中一次任意摸出2个球，则恰有1个是白球的概率为 ____________;从袋中一 次任意摸出3个球，摸出白球个数的数学期望 E ( 0 = _____________ . 解析 由题意得从5个小球中任意摸出2个共有C 2= 10种取法，其中满足恰有 一个白球的取法有c 2c 3=6种，所以恰有一个白球的概率为10=&.任意摸出3个C 2C 1 小球，设其中白球的个数为 0贝U 0的可能取值为1, 2, 3,且P ( 0= 1)=-(育 3 c 2c 2 3 c 3 1 十“3 3=10； P ( 0= 2)= c 3 = 5； P ( 0= 3)=况=10,所以 E ( 0 = 1 X 1o + 2X 5 +27E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3= — 3+ 3=?. 答案 A13X10 18. (2018金华一中模拟)有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有 3个小球，乙盒子 中装有5个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球，则甲盒子中的球被取完 时，乙盒子中恰剩下2个球的概率为 _____________ ;当取完一个盒子中的球时，另一 个盒子恰剩下0个球，则0的期望为 _________ . 解析 甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下 2个球的概率P =1-221-1 52 = 32；由题意，知曲勺可能取值为1, 2, 3, 4, 5,因为7 7 P ( & 1)= C 6 2 + C 62 二 64, 1- 22^-1164--4526 -743 2lQ 3⑴」P (E= 4)= C 3 2 = 16，P (E 5)= 2 = 8,所以 E ( 0二 1X65 + 2X 64+ 3X 32 + 4X 老 + 5X 基器答案5 17532 643. _______ 设随机变量X的分布列为P (X= k)= 5 (k= 2, 4, 6, 8，10)，则D (X)等于 ____ .1解析••• E (X)= 5 (2+ 4+ 6+ 8+ 10)= 6，••• D (X)= |[ (- 4) 2+(- 2 ) 2+ 02+ 22+ 42] = 8.答案85 1解得p>2或p<2，又p€ (0，1)，所以p€ 0, 2 .答案0, 1能力提升题组14. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X,已知E (X)= 3,则D (X)=。
高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)9.9离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件
当 X＝3 时， 甲参加随机抽取的两项测试应该是一项合格 1 另一项不合格， 必须参加第三项测试， 此时 P(X＝3)＝ × 3
1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 1 3 17 × ＋ × ＋ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝ . 2 3 2 3 2 4 2 4 3 4 3 4 36
但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．
答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位： 元)，那么Y的分布列为： Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54
Y的数学期望为 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
2．由正态分布计算实际问题中的概率百分比时，关键是
把正态分布的两个重要参数μ、σ求出，然后确定三个区间(μ －σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]与已知概率值
进行联系求解．
离散型随机变量的均值与方差
[例1]
(2012· 湖北高考)根据以往的经验，某工程施
工期间的降水量X(单位： mm)对工期的影响如下表：
*二、正态分布密度函数满足的性质 1．函数图像关于直线 x＝μ 对称． 2．σ(σ>0)的大小决定函数图像的 “胖”“瘦”． 3．P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%， P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%， P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.
[小题能否全取]
1．设 X 为随机变量，且
由以上的计算结果可以看出，E(X)＜E(Y)，即购进17
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1 3 6 P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－10－10＝10.
故X的分布列为 X 200 300 400 P 1 10 3 10 6 10
1 3 6 EX＝200×10＋300×10＋400×10＝350.
考点二
离散型随机变量的方差
[例2] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰 花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰 花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关 于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
量X与其均值EX的 平均偏离程度
2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aEX＋b . (2)D(aX＋b)＝ a2DX .(a，b为常数) 3．二项分布的均值、方差 若X～B(n，p)，则EX＝ np ，DX＝
np(1－p) ．
4．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 1 e σ 2π 函数f(x)＝
确．由分布列知③正确．
答案：C
2．(2015· 高考安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在一起， 现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放 回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概 率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出 2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．
1．已知X的分布列 X －1 0 1 P 1 2 1 1 3 6
1 23 则在下列式子中①EX＝－3；②DX＝27； 1 ③P(X＝0)＝3，正确的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3 )
1 1 1 解析：由EX＝(－1)×2＋0×3＋1×6 1 ＝－3，故①正确．
1 2 1 1 2 1 1 2 1 5 由DX＝－1＋3 ×2＋0＋3 ×3＋1＋3 ×6＝9，知②不正
(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算数 学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．
解：(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ 的可能取值为1,2,3；η取值分别为0,1,2,3.
2 1 C1 1 C2 3 4C2 4C2 P(ξ＝1)＝ C3 ＝5，P(ξ＝2)＝ C3 ＝5， 6 6 0 C3 1 4C2 P(ξ＝3)＝ C3 ＝5； 6
P 0.1 0.2 0.7 X的数学期望为EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X的方差为DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－ 76)2×0.7＝44.
②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)， 那么Y的分布列为 Y 55 65 75 85
∴考生甲正确回答题数的分布列为： ξ 1 2 3 P 1 3 1 5 5 5
1 3 1 Eξ＝1×5＋2×5＋3×5＝2.
2 又η～B3，3，其分布列为
η 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27 2 ∴Eη＝np＝3×3＝2.
审题视点 解．Biblioteka 解根据随机变量分布列、期望、方差的求法进行求
(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80. 所以y关于n的函数解析式为
10n－80，n＜16， y＝ 80，n≥16
(n∈N)．
(2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70) ＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列为 X 60 70 80
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ
和σ(σ＞0)为参数，我们称f(x)的图像(如图)为正态分布密度曲线， 简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质 ①曲线位于x轴 上方 ，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； 1 ③曲线在 x＝μ 处达到峰值 ； σ 2π ④曲线与x轴之间的面积为 1 ； ⑤当σ一定时，曲线随着 μ 示； 的变化而沿x轴平移，如图甲所
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正
1 A1 A 3 2 3 品”为事件A，P(A)＝ A2 ＝10. 5
(2)X的可能取值为200,300,400. A2 1 2 P(X＝200)＝A2＝10， 5
1 1 2 A3 ＋ C 3 3 2C3A2 P(X＝300)＝ ＝10， 3 A5
解得a＝7.
答案：C
2．(教材改编题)设随机变量X～B(n，p)且EX＝1.6，DX＝ 1.28，则( ) B．n＝4，p＝0.4 D．n＝7，p＝0.45
n＝8， 解得 p＝0.2.
A．n＝8，p＝0.2 C．n＝5，p＝0.32
EX＝np＝1.6， 解析： DX＝np1－p＝1.28，
答案：4.6%
考点一 离散型随机变量的均值 [例1] 气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气 温的统计表如下：
日最高气温t(单位：℃) t≤22 22<t≤28 28<t≤32 t>32 6 12 Y Z 天数
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气 象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率 为0.9.
1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
(1)均值 称EX＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量X的均值 或 数学期望 ，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 ．
(2)方差 称DX＝ E(X－EX)2 为随机变量X的方差，它刻画了随机变 ．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ 越小 ，曲线越“瘦 高”，表示总体的分布越集中；σ 越大 ，曲线越“矮胖”，表示 总体的分布越分散，如图乙所示．
5．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X＜b)＝
b
f(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作 N(μ，σ2) (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
审题视点
根据频率估计天数Z及Y，再利用频率作为概率写
分布列，根据分布列由条件概率计算不低于5千元的概率．
解析 (1)由已知得：P(t≤32)＝0.9， ∴P(t＞32)＝1－P(t≤32)＝0.1， ∴Z＝30×0.1＝3， Y＝30－(6＋12＋3)＝9.
6 (2)P(t≤22)＝30＝0.2， 12 P(22＜t≤28)＝30＝0.4， 9 P(28＜t≤32)＝30＝0.3， 3 P(t＞32)＝30＝0.1， ∴六月份西瓜日销售额X的分布列为 X 2 5 6 8
Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望为EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54 ＝76.4. 由以上的计算结果可以看出，EX＜EY，即购进17枝玫瑰花 时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17 枝玫瑰花．
求离散型随机变量的方差，应先求分布列，根据分布列，求 期望，再由方差公式求方差．若分布列中的概率值是待定常数 时，应先由分布列的性质求出待定常数，再求方差．
1．(2016· 湖北六校联考)在2015年全国高校自主招生考试 中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次 性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少 正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能 2 正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为 3 ，且 每题正确回答与否互不影响．
答案：A
3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ＞1)＝P，则P(－1 ＜ξ＜0)等于( 1 A.2P C．1－2P ) B．1－P 1 D.2－P
解析：∵1＝P(ξ＜－1)＋P(－1＜ξ＜0)＋P(0＜ξ＜1)＋P(ξ＞1) ＝2P(ξ＞1)＋2P(－1＜ξ＜0)＝2P＋2P(－1＜ξ＜0)，∴P(－1＜ξ＜ 1 0)＝2－P.
P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的数学期望为EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54 ＝76.4. Y的方差为DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－ 76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，DX＜DY，即购进16枝玫瑰花 时利润波动相对较小．另外，虽然EX＜EY，但两者相差不 大．故花店一天应购进16枝玫瑰花． 答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)， 那么Y的分布列为
某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位： ℃)对西瓜的销售影响如下表： 日最高气温t(单位：℃) t≤22 22<t≤28 28<t≤32 t>32 日销售额x(单位：千元) (1)求Y，Z的值； (2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差； (3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概 率． 2 5 6 8
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下 表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率． ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位： 元)，求X的分布列、数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17枝？请说明理由．
P 0.2 0.4 0.3 0.1
∴EX＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5， DX＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1 ＝3. (3)∵P(t≤32)＝0.9，P(22＜t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7， ∴由条件概率得：P(X≥5|t≤32)＝P(22＜t≤32|t≤32)＝ P22＜t≤32 0.7 7 ＝0.9＝9. Pt≤32