极坐标与参数方程
数学极坐标与参数方程
数学极坐标与参数方程
数学中的极坐标与参数方程是两种常见的描述平面曲线的方式。
极坐标是一种用极径和极角表示点在平面直角坐标系中位置的方法，而参数方程则是一种使用参数表示曲线上每个点的方法。
首先来看极坐标。
在极坐标系中，每个点都由极径和极角两个数值表示。
极径表示点到极点的距离，极角表示点与极轴正半轴的夹角。
因此，在极坐标系中，同一个点可以有多种不同的表示方法，例如(1,π/4)和(√2,π/4+2π)都表示平面直角坐标系中的(1,1)点。
极坐标可以用于描述许多常见的曲线形状，例如圆、椭圆、双曲线、螺旋等等。
对于一般形状的曲线，可以通过将其分解为多个简单形状的曲线来进行描述。
例如，一个心形曲线可以分解为两个相交的圆弧和一个尖端。
相比之下，参数方程则更加灵活，可以描述许多更为复杂的曲线形状。
在参数方程中，曲线上每个点的位置都是通过使用一个参数来表示的。
例如，一个简单的圆可以用以下参数方程表示：
x = r cos(t)
y = r sin(t)
其中，r为圆的半径，t为参数，x和y分别表示点的横纵坐标。
通过改变r和t的值，可以得到圆上的任意一点。
参数方程的优势在于可以用来描述一些无法用简单的函数来描述的曲线形状，例如心形线、花瓣线等等。
这些曲线形状都可以通过一些简单的数学运算来得到。
总的来说，极坐标和参数方程都是用于描述平面曲线的常见方法。
它们各有优劣，可以根据具体的需求来选择使用哪种方法。
无论是哪种方法，都需要一些数学知识和技能来理解和应用。
参数方程与极坐标
参数方程与极坐标参数方程和极坐标是数学中常用的描述平面曲线的两种方法。
两者分别适用于不同类型的曲线，并且在不同的数学领域中都有广泛的应用。
下面将详细介绍参数方程和极坐标。
1.参数方程参数方程是用参数形式描述曲线的方程。
一条平面曲线可以用参数方程表示为：x=f(t)y=g(t)其中x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过改变参数t的取值，我们可以获得曲线上的各个点。
参数方程的优点是可以轻松地描述一些复杂的曲线，例如椭圆、双曲线、直角坐标系不容易表示的曲线等。
此外，参数方程也常用于描述运动学问题，其中x和y可以表示物体在不同时间点的位置。
然而，参数方程也有一些限制。
一条曲线可以有多种不同的参数方程表示，而同一条曲线也可能存在无穷多个参数方程。
因此，在使用参数方程时，需要选择恰当的参数范围以确保曲线的完整性和正确性。
2.极坐标极坐标是一种描述平面上点的方法，其中每个点由一个距离和一个角度组成。
极坐标系中，坐标轴被称为极轴，原点为极点，极轴正方向为极角为0的方向。
一个点的极坐标可以用(r,θ)表示，其中r是点到极点的距离，θ是点相对极轴的角度。
通过改变r和θ的取值，我们可以获得平面上的各个点。
极坐标的优点在于能够简洁地表示出具有对称特点的曲线，例如圆、椭圆、双曲线等。
此外，极坐标也常用于描述极坐标系下的物体运动，其中r和θ可以表示物体在不同时间点的位置。
然而，极坐标也有一些局限性。
极坐标系不适用于描述直线和垂直于极轴的曲线。
此外，极坐标系下的计算也相对复杂，需要进行数学变换来转换为直角坐标系进行计算。
3.参数方程与极坐标的关系参数方程和极坐标是可以相互转换的。
对于一个曲线的参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以将x和y转换为极坐标r和θ，从而得到曲线的极坐标方程。
设x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)，则有：r*cos(θ) = f(t)r*sin(θ) = g(t)通过这个转换，我们可以将一个曲线从参数方程转换为极坐标方程，并反过来。
参数方程与极坐标
来表示，使点 P ( x , y ) 随着变量 t 在某一范围内变化而 描出曲线C ，且只描出 C， 则方程 ( * * ) 称为曲线 C 的参数方程，变量 t 称为参变量。
常用的曲线的参数方程
1. 圆 x2 y2 R2 的参数方程
x R cos , y R sin
a
0
a a
x
4. 摆线的参数方程
y
x a ( t sin t ) , y a (1 cos t )
t ( , )
x
4、摆线
半径为a(a 0)的圆沿直线滚动无滑动), (
研究圆周上一定点的运 动轨迹.
y
aP
t
T
o P
x
一拱 x at a sin t a(t sin t ), y a a cos t a(1 cos t ).
2、极坐标及心形线
画图 : r a(1 cos )(a 0).
y
y
r
P(x,y) θ
y
( r , )
o
x
x
o
x
直角坐标与极坐标的关系 : x r cos . y r sin
常用曲线的极坐标方程 1. 圆
a
O
圆心在极点 O上，半径为 a 的
圆的极坐标方程为
参数方程与极坐标方程
（1）参数方程 原点为圆心，半径为R的 圆方程为： x 2 y 2 R 2
RyBiblioteka R yP( x, y)
xR
R
o
x R cos
y R sin
x
(*)
显然，对于圆上的任一点 P ( x , y ) ，总存在一 [0, 2 ) 满足(*). 反之，当任取 [0, 2 ) 时，(*)式就确定了相应
曲线积分中参数方程和极坐标方程
曲线积分中参数方程和极坐标方程在曲线积分中，有两种常用的参数化方式：参数方程和极坐标方程。
参数方程：参数方程使用一个或多个参数来描述曲线上的点的坐标。
通常，一个参数对应于曲线上的一个自变量（例如时间），而每个参数的取值范围定义了曲线的范围。
参数方程的一般形式可以表示为：
x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
这里，x、y、z是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过改变参数t的值，可以得到曲线上的不同点。
例如，单位圆的参数方程可以表示为：
x = cos(t)
y = sin(t)
这个参数方程描述了一个圆，其中t的取值范围是[0, 2π]。
在曲线积分中，参数方程可以用于描述曲线的路径，并根据参数来定义被积函数。
曲线积分的计算可以根据参数方程进行参数化积分。
极坐标方程：极坐标方程使用极坐标系统中的角度和半径来描述曲线上的点的位置。
一般而言，极坐标方程的形式为：
r = f(θ)
这里，r是距离原点的距离，θ是与极轴的夹角。
通过改变θ的值，可以得到曲线上的不同点。
例如，单位圆的极坐标方程可以表示为：
r = 1
这个极坐标方程描述了一个圆，其中r的取值始终为1，θ的取值范围是[0, 2π]。
在曲线积分中，极坐标方程可以用于描述曲线的路径，并根据极坐标来定义被积函数。
曲线积分的计算可以根据极坐标方程进行极坐标积分。
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。
Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。
解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。
2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。
P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。
其中，t代表有向距离的几何意义。
需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。
直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。
只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。
因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。
例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。
极坐标与参数方程的区别
极坐标与参数方程的区别极坐标和参数方程是数学中常见的两种描述曲线的方式，它们在表达方式、使用场景和计算方法等方面存在一些区别。
本文将以标题为线索，详细介绍极坐标和参数方程的特点和应用。
一、极坐标的描述方式极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它由极径和极角两个参数组成。
极径表示点到原点的距离，而极角表示点与极轴的夹角。
通过极径和极角，可以唯一确定平面上的一个点。
极坐标可以用一个有序数对(r,θ)来表示，其中r表示极径，θ表示极角。
极径r通常为非负实数，极角θ通常以弧度为单位，取值范围为[0,2π)。
例如，点P在极坐标系中的表示为(r,θ) = (2,π/4)，表示P到原点的距离为2，与极轴的夹角为π/4。
极坐标适用于描述圆形、螺旋线等具有对称性的曲线。
其中，圆形的极坐标方程为r=a，表示到原点距离恒定为a的点构成的集合；螺旋线的极坐标方程为r=aθ，表示极径与极角之间的关系。
二、参数方程的描述方式参数方程是一种将自变量和因变量都用参数表示的方式，通过给定参数的取值范围，可以得到曲线上的一系列点。
参数方程中的参数通常用t表示，它可以是时间、弧长等。
参数方程可以用一个有序数对(x(t),y(t))来表示，其中x(t)表示点的横坐标，y(t)表示点的纵坐标。
通过给定参数t的取值范围，可以得到曲线上的一系列点。
例如，点P在参数方程中的表示为(x(t),y(t)) = (2cos(t),2sin(t))，表示P的横坐标为2cos(t)，纵坐标为2sin(t)。
参数方程适用于描述复杂的曲线，例如心形线、螺线等。
其中，心形线的参数方程为x(t) = a(2cos(t) - cos(2t))，y(t) = a(2sin(t) - sin(2t))，表示点的坐标与参数t之间的关系；螺线的参数方程为x(t) = a*cos(t)，y(t) = a*sin(t)，表示点的坐标与参数t之间的简单线性关系。
1. 表达方式不同：极坐标使用极径和极角表示点的位置，参数方程使用参数t表示点的位置。
极坐标与参数方程极坐标与参数方程的转化与应用
极坐标与参数方程极坐标与参数方程的转化与应用极坐标与参数方程的转化与应用极坐标与参数方程是数学中常见的两种描述曲线的方式。
它们分别以极坐标形式和参数方程形式表达了曲线上的点的位置。
本文将探讨极坐标与参数方程之间的转化方法以及它们在不同领域的应用。
一、极坐标与参数方程的转化1. 极坐标转参数方程极坐标中，一个点的坐标由极径（r）和极角（θ）表示。
为了将极坐标转化为参数方程，我们可以使用三角函数来表示坐标中的sinθ和cosθ。
考虑一个圆的极坐标方程：r = a，其中a为常数。
我们可以将其转化为参数方程：x = a * cosθy = a * sinθ类似地，对于其他曲线的极坐标方程，可以使用类似的方法进行转化。
2. 参数方程转极坐标要将参数方程转化为极坐标方程，我们可以使用以下方法。
考虑参数方程：x = f(t)，y = g(t)，其中t为参数。
我们可以计算出r和θ的值：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)根据具体的参数方程形式，可以采用类似的方法进行转化。
二、极坐标与参数方程的应用1. 极坐标的应用极坐标常用于描述圆形和对称曲线。
其在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛的应用。
例如，在物理领域中，极坐标常常用于描述旋转和循环运动。
在天文学中，极坐标可以描述行星轨道的形状。
此外，在计算机图形学中，极坐标可以用于绘制对称图形，如花瓣、螺旋等。
它可以帮助我们更好地理解和模拟自然界中的曲线形状。
2. 参数方程的应用参数方程能够描述复杂的曲线和曲面。
它在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
在物理学中，参数方程常用于描述粒子运动轨迹。
例如，可以通过参数方程来描述自由落体运动中物体的位置随时间的变化。
在工程学中，参数方程可以用于描述曲线或曲面的形状。
例如，在建筑设计中，可以使用参数方程来描述曲线形状的建筑物外观。
在计算机图形学中，参数方程常用于绘制复杂的曲线和曲面。
极坐标与参数方程的互化关系是什么
极坐标与参数方程的互化关系是什么在数学中，极坐标和参数方程是表示平面上点的两种不同的方法。
极坐标系统将点的位置表示为径向距离和角度，而参数方程则使用参数的函数表示来描述点的位置。
这两种表示方法之间存在一种互化关系，可以通过互相转换来得到相同的点的位置。
极坐标转换为参数方程首先，让我们来看看如何将极坐标转换为参数方程。
给定一个以原点为中心的平面上的点，其在极坐标系统中的位置由它的径向距离r和与正x轴之间的角度$\\theta$确定。
假设我们要将这个点的位置表示为参数方程。
我们可以使用以下公式来进行转换：$x = r\\cos(\\theta)$$y = r\\sin(\\theta)$这里，x和y是点的笛卡尔坐标（直角坐标），r是点到原点的距离，$\\theta$是点与正x轴之间的角度。
通过这个公式，我们可以将极坐标$(r,\\theta)$转换为参数方程(x(t),y(t))。
其中，x(t)和y(t)是关于参数t的函数。
参数方程转换为极坐标接下来，我们来看看如何将参数方程转换为极坐标。
给定一个点在参数方程(x(t),y(t))中的表示，我们希望找到它在极坐标系统中的位置。
要将参数方程转换为极坐标，我们需要找到参数t与r和$\\theta$之间的关系。
具体而言，我们需要找到r和$\\theta$作为t的函数。
让我们用x(t)和y(t)来表示点的笛卡尔坐标。
然后，我们可以使用以下公式来进行转换：$r = \\sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}$$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y(t)}{x(t)}\\right)$这里，r是点到原点的距离，$\\theta$是点与正x轴之间的角度，x(t)和y(t)是关于参数t的函数。
通过这个公式，我们可以将参数方程(x(t),y(t))转换为极坐标$(r,\\theta)$。
互化关系的应用极坐标和参数方程的互化关系具有广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
(3) 变形为23cos 5ρρθ-=,即35x =，整理得22(3)145x y +-=，x ≥故原方程表示中心在(3,0)-，焦点在x 轴上的双曲线22(3)145x y +-=的右支(4)∵242ππρθθρ-+=, ∴(2)(2)04πρθρ-+-=，∴(2)()04πρθ-+=，∴2ρ=或4πθ=-，∴224x y +=或0x y +=故原方程表示圆224x y +=和直线0x y +=. 二、参数方程与普通方程互化53-【例2】把参数方程化为普通方程 (1) ⎩⎨⎧+==θθ2cos 2sin y x (R θ∈，θ为参数)； （2）⎩⎨⎧=+=θθθθcos sin cos sin y x (R θ∈，θ为参数）；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t t y t t x 1211 (1t ≠,t 为参数)；【解析】（1）∵222cos2212sin 32sin y y θθθ=+⇒=+-=-，把s i nx θ=代入得232y x =-；又∵ |sin |1θ≤,|cos 2|1θ≤, ∴||1x ≤,13y ≤≤, ∴ 所求方程为：223y x =-+(11x -≤≤,13y ≤≤)(2)∵22(sin cos )12sin cos x θθθθ=+=+,把sin cos y θθ=代入得212x y =+.又∵sin cos )4x πθθθ=+=+，1sin cos sin 22y θθθ==∴||x ≤1||2y ≤. ∴ 所求方程为21122y x =-(||x ≤1||2y ≤).(3) （法一）：1211111t t tx y t t t-++=+==+++,又2(1)21111t x t t -+==-≠-++，2(1)222211t y t t+-==-≠++,∴ 所求方程为10x y +-=(1x ≠-,2y ≠).（法二）：由11t x t -=+得11x t x -=+,代入1222(1)11111111x t x x y x x t x xx-⋅-+====--+++-++,∴10x y +-=（余略） 【思路点拨】（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参； （2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把t 用x 表示，反解出()t f x =后再代入另一表达式即可消参；【变式1】 （1）圆3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数的半径为_________ ；（2）参数方程|cos sin |221(1sin )2x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()20π<θ<表示的曲线为（ ）。
A 、双曲线一支，且过点)21,1( B 、抛物线的一部分，且过点)21,1(C 、双曲线一支，且过点)21,1(-D 、抛物线的一部分，且过点)21,1(- 【答案】：（1）2222(3sin 4cos )(4sin 3cos )x y θθθθ+=++-22229sin 24sin cos 16cos 16sin 24sin cos 9cos θθθθθθθθ=+⋅++-+91625=+=其中15sin()[5,5]x θϕ=+∈-，25sin()[5,5]y θϕ=-∈-，∴ 半径为5。
（2）y 2sin 12cos 2sin 21)2cos 2(sin x 22=θ+=θθ+=θ+θ=，且0|2s i n 2c o s |x ≥θ+θ=，因而选B 。
【变式2】 （1）直线l : 3cos 201sin 20x t y t ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩(t 为参数)的倾斜角为（ ）。
A 、20B 、70C 、160D 、20-（2）α为锐角，直线31cos()232sin()2x t y t απαπ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩的倾斜角（ ）。
A 、αB 、2π-αC 、2π+αD 、π+α23【答案】： （1）1sin 203cos 20y t x t ⎧+=-⎪⎨-=⎪⎩，相除得1tan 20tan1603y x +=-=-，∴倾斜角为160，选C 。
（2）31cos()232sin()2x t y t απαπ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，相除得23tan()tan()122y x παπα-=+=+-，∵),2(2ππ∈π+α，∴ 倾角为α+π2，选C 。
三 求曲线交点坐标例4：已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为_____________思路：曲线方程为222125:1,:54x C y C x y +==，联立方程可解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或5x =-（舍）由[)0,θπ∈可得：0y >所以1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，坐标为⎛ ⎝答案：⎛ ⎝ 例8：已知曲线的极坐标方程分别为12:cos 3,:4cos C C ρθρθ==，其中0,02πρθ≥≤<，则曲线12,C C 交点的极坐标为_______思路一：按照传统思路，将12,C C 转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为极坐标解：1:cos 33C x ρθ=⇒=2222:4cos 4cos 4C x y x ρθρρθ=⇒=⇒+=22334x x x y x y ==⎧⎧⎪∴⇒⎨⎨+==⎪⎩⎩或3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩将两个点转化为极坐标分别为,66ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0,02πρθ≥≤<，所以只有6π⎛⎫ ⎪⎝⎭符合条件思路二：观察到所给方程12:cos 3,:4cos C C ρθρθ==形式简单，且所求也为极坐标，所以考虑直接进行极坐标方程联立求解解：cos 34cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入消去ρ可得：24cos 3cos 2θθ=⇒=±0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭cos 6πθθ∴=⇒=4cos6πρ∴==∴ 交点坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭小炼有话说：（1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对,ρθ的限制条件 （2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的,ρθ本身是实数，所以关于它们的方程与,x y 方程一样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由于其具备几何含义（尤其θ）导致方程形式有些特殊（数与三角函数）。
但在本题中，通过代入消元还是容易解出,ρθ的 四 求三角形面积例9：已知在极坐标系中，O 为极点，圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则OCP 的面积为___________ 思路一：将C 转变为直角坐标系方程：24sin 2sin 2sin cos 3πρθρθθρρθθ⎛⎫=+⇒=+⇒=+ ⎪⎝⎭(()2222214x y y x y ⇒+=+⇒-+-=，所以)C，再求出P 的直角坐标为(2,，则12OCPP OC SOC d -=⋅，因为:303OC y x x y =-=，所以2P OC d -==，且2OC =，所以12222OCPS=⋅⋅=思路二：本题求出)C后，发现其极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，而4,3P π⎛⎫⎪⎝⎭，所以可结合图像利用极坐标的几何含义求解，可得366C O P πππ∠=-=，2,4OC OP ==，所以11sin 24sin 2226OCP S OC OP COP π=⋅=⋅⋅⋅= 答案：2OCPS =小炼有话说：（1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单：()(3,1,2,OC OP ==，所以()()22OCPSOC OPOC OP=-⋅，代入即可（2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（ρ）与角()θ，在解决一些与几何相关的问题时，灵活运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果 五 距离例1：已知直线参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩，圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩，则圆心到直线的距离为____________思路：将参数方程转化为一般方程：()22:6,:24l x y C x y +=+-=所以圆心为()0,2，到直线的距离为：d ==答案：例2：以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，则曲线C 上的点到点A 距离的最大值为___________思路：()()()222,2,:221A C x y -++=，故曲线上距离A 最远的距离为A 到圆心的距离加上半径，故5d = 答案：5例3：已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为cos 06πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则圆C 截直线所得弦长为__________思路：圆C的方程为：(()2219x y +-=，对于直线方程cos 06πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，无法直接替换为,x y ，需构造cos ,sin ρθρθ再进行转换：cos 06πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭11sin 002222x y ρθθ⎛⎫⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭再求出弦长即可：l =答案：例4：在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线=2cos 4sin ρθθ-相交于,A B 两点，且AB =a 的值为_____________思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程：()sin cos a y x a ρθθ-=⇒-=，曲线222=2cos 4sin =2cos 4sin 24x y x y ρθθρρθρθ-⇒-⇒+=-，所以问题转化为直线:0l x y a -+=与圆()()22125x y -++=相交于,A B ，且AB =利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离d ==即32a +=，解得5a =-或1a =-答案：5a =-或1a =-例5：以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点,A B ，则AB =_________思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。