东南大学07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案
07-08-3高等数学B期中试卷答案 东南大学高等数学试卷
x，
y0 y z 1，代入准线方程即得所求的柱面方程 4x2 ( y z 1)2 1
五（15）。（本题满分 9 分）
解
e n1
n
xdx e
n
24 n2
，而
n1
1 n2
收敛，由比较判别法得知级数
n1
e n1 x dx 收敛
n
六（16）.（本题满分 10 分）
解 由题设知 an 0, n 0,1, 2,
1 1 1
0
2 3 0 ， 1 1
即 xyz0
11． 解
设所求直线与直线
x 1 3
y 1 2
z 3 5
的交点为 (x0,
y0, z0 )
，
x0
1 3t0 ，
y0 1 2t0 , z0 3 5t0 ，于是
6(x0 4) 2( y0 6) 3(z0 2) 6(5 3t0) 2(7 2t0) 3(5 5t0) 29(t0 1) 0 ，
二．填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分)
5.
.
y2
z2
1；
x 0
8. 3 ；9. [1,3] .
三. 计算下列各题(本题共 4 小题，每小题 9 分，满分 36 分)
ijk
x 1 y 2 z 1
10．解 s1 1 2 1 (1, 2, 3) ，平面方程为 1
止 于 至 善
13. 解 令 y x2 ，
(1)n1 nx2n
n1
(1)n1 ny n
n1
y
(1)n1
yn
n1
y
1
y
y
y (1 y)2
x2 (1 x2 )2
东南大学07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案
07-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫-+ ⎝∑ （常数0a >） [ A ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ C ] (A)31r c t a n d 1x x x +∞+⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ B ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n n n a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ B ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分) 5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为4π； 6. 曲线222340x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是2222324x y z ++=；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是2210y z x ⎧+=⎨=⎩； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为3； 9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为[1,3]. 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.解 1121(1,2,3)111=-=---ij k s ，平面方程为1211230011x y z -----=--， 即 0x y z -+=11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程. 解 设所求直线与直线113325x y z -+-==-的交点为000(,,)x y z ，0013x t =+， 000012,35y t z t =-+=-，于是00000006(4)2(6)3(2)6(53)2(72)3(55)29(1)0x y z t t t t +---+=+--+--=+=，得01t =-，交点为(2,3,8)--，所求直线方程为4622910x y z +-+==- 12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域. 解 ()232()ln 23ln(1)(23)ln18ln 1ln 1(3)29x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=+-=-+=++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(1)12ln18(3)29nn n n n x n -∞=⎛⎫-⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，15x <≤ 13. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.解 令2y x =，21211222111(1)(1)(1)1(1)(1)n nn n n n n n n y y x nxny y y y y y x ∞∞∞---===''⎛⎫⎛⎫-=-=-=== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，11x -<<四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.解 设000(,,1)M x y 是准线上一点，则010x x y y z -=-=-，则0x x =， 01y y z =-+，代入准线方程即得所求的柱面方程224(1)1x y z --+=五（15）。
东南大学《高等数学》2010-2011学年期中试卷B卷 (1)
东南大学成贤学院考试卷 （A 卷）课程名称 高等数学B(下)期中 适 用 专 业 工科各专业考试学期 10 - 11 - 3 考 试 形 式 闭 卷 考 试 时 间 长 度 120 分钟 学 号 姓 名 得 分题 号 一二三四五得 分一、选择题(每题 3 分,共 5 题)1、点 M (−3,−7,− 1) 关于（ ）的对称点是 M ′ 3(,7,− 1)。
（A ） 原点 O ； （B ） Oxy 平面； （C ） z 轴； （D ）平面 x + y − z = 0。
2、直线 = = 与直线 = = 的夹角是（ ）。
1 − 4 12 − 2 − 1 （A ） ； 6 （B ） ； 4 （C ） ；3 （D ） 。
43、为使二元函数 f (x , y ) = 当 (x , y ) 沿着某一特殊路线趋于 0(,0) 时的极限为 2， 这条路x − y线应选择（ ）。
（A ） y = ；（B ） y = ；（C ） y =4、二元函数 z = 3(x + y ) − x 3 − y 3 的极值点是（（A ） 1(,− 1)； （B ） (− 1,1)； （C ） (− 1,− 1)；； （D ） y = 。
）（D ） 0(,0)。
5、设 D = {(x , y ) 1≤ x ≤ 2 , 3 ≤ y ≤ 4 }，则积分的值为（ ）。
4（A ） ln ；3 （B ） ln ； 2 （C ） ln ； 3（D ） ln 。
二、填空题(每题 3 分,共 5 题)1、直线 = = 在 Oxy 平面上的投影直线为 。
- 1 -x = 0 sin(xy )(x ,y )→0(,0)2 −。
4、设z = x y ，则 dz 1(,1) = 。
5、交换积分次序： ∫dy∫yf (x , y )dx = 。
三、计算题(每题 7 分,共 5 题)1、已知某球面的中心在 3(,−5,2) 且与平面 2x − y +3z = 3相切，求球面方程。
东南大学高数试卷及答案-06-07-3高数(B)期末考试
06-07-3高数B 期末试卷一。
填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x = ，0y = ，0z = ；2．已知三角形ABC ∆的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -，则ABC ∆的面积为 ；3． 曲线22221025x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在点(1,3,4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为 ； 4．函数2u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k 的方向导数等于 ；5.交换积分次序⎰⎰-221x -1-11- ),(dx x dy y x f = ；6．设222},,,{z y x r z y x r ++== ，则3rr div= ；7. 设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分dy xy ydx x c 22+⎰= ；8.设2()e x f x =，则)0()2(n f= ；9．设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π= ；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为 。
二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分()22d Dx y y σ+-⎰⎰，其中D 为由1,2y x y x ==及2y =围成的区域.12．计算三重积分zv Ω，其中Ω是yoz 平面上的直线121,3z y y =-=以及1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分d Lz s ⎰，其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤14．求全微分方程22(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解.四．（15）(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值.五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面1z =z = 所围立体表面的外侧的流量.六．（17）(本题满分9分)计算曲线积分(()ln d x y xy x y ++⎰，其中Γ是曲线1y =上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰06-07-3高数B 期末试卷参考答案及评分标准（A ）一。
07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案.
线
07-08-3高数B期中试卷参考答案08.4.11
一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分
1. 级数（常数） [ A ]
(A绝对收敛 (B条件收敛 (C发散 (D敛散性与的取值有关
2.下列反常积分发散的是 [ C ]
(A (B(C (D
3.已知直线与，则与 [ B ] (A相交 (B异面 (C平行但不重合 (D重合
4.设函数，，
，其中，
，则 [ B ]
(A (B(C(D
二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分
5.若垂直于，且，则与的夹角为；
6. 曲线绕轴旋转一周所成的曲面方程是；
7.曲线在面上的投影曲线方程是；
8.设幂级数在处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为；
9.幂级数的收敛域为.
三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分
10．求过点且与直线及直线都平行的平面方程.
解，平面方程为，
即
11．求过点，与平面平行，且与直线
相交的直线方程.
解设所求直线与直线的交点为，，
，于是
，得，交点为，所求直线方程为
12．将函数展开为的幂级数，并求收敛域.
解
，
13.求幂级数的和函数，并指明收敛域.
解令，
，
四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量，准线为的柱面方程.
解设是准线上一点，则，则，
，代入准线方程即得所求的柱面方程
五（15）。
（本题满分9分）判断级数的敛散性.
解，而收敛，由比较判别法得知级数收敛
六（16）.（本题满分10分）将函数展开成正弦级数，并求级数的和.
解由题设知，，，
，
取，得，即。
06-07-3高等数学B期中试卷及答案 东南大学高等数学试卷
12．解
d dx
f1
f2
(g1 2xg2 ) （3
分）
d2 dx2
f11 2 f12 (g1 2xg2 )
f22 (g1 2xg2 )2
f2 (g11 4xg12
4x2g22
2g2 )（5 分）
13.解 f (x) 1 2
1
2
（3 分） (1)n 2 (x 1)n （4 分）
n1 n(2n 1)
n1
x2
n1
2 1 x2
,
x (1,1) ,（2 分）S(0) S(0) 0 ，S(x) 2arctan x ，S(x) 2x arctan x ln 1 x2
（3
分）
n1
(1)n1 n(2n 1)
1
n
3
S
1 3
3
）. （本题满分 8 分）
.
二．单项选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
6． [ C ] 7． [ B ] 8． [ C ] 9. [ C ]
止 于 至 善
三.计算下列各题(本题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分)
10． 解 L 的方向向量 a 2,5, 6 ，（2 分） 的法向量 n 7,8,9，所求直线的方向向
1 收敛. （4 分）收敛域为 (, 1) (1, ) （1 分）
n1 1 x2n
1
止 于 至 善
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
四（15）．（本题满分 8 分）
解 首先对 f (x) 在 x 0 上作奇延拓,再以 2 为周期作周期延拓,得
n1
07-08-3工科数分期中考试试卷参考答案
共 4 页 第 1 页07-08-3工科数分期中试卷参考答案08.4.11一.填空题(本题共5小题，每小题5分，满分2 5分) 1. 交换二次积分的次序()()01121d ,d d ,d x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰2=；2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数， 且0v zF ≠，则z z x yy x x y z∂∂+=∂∂； 3. 二重积分2221()d d 2x y x y x y π+≤+=⎰⎰；4. 曲线2221,,y x z x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在点(1,0,1)处的切线方程为11010x y z --==； 5. 设曲线2224:1x y z L z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分2s =⎰. 二．单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 6.([ B ](A))))c o i s 2- (B)))()c o i s 2+(C)()())c o s 2i s i 2- (D)()())l c o s 2i s i 2+ 7. 函数2222322222, 0(,)() 0 , 0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在)0 ,0(点处 [ C ]（A ）可微 （B ）连续但偏导数不存在 （C ）偏导数存在但不可微 （D ）不连续且偏导数不存在8. 设,e x x z f y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂ [ A ]共 4 页 第 2 页(A ) 21112221232e 1(1)e e x x xx f x f y f f f y y y -+-+-+ (B )21112223e (1)e x x x f x f y f y y +-+(C )2111222132e 1e x xx f f y f f y y y ++- (D ) 211122223e e e x x x x f f y f f y y+++9. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =⋅, 令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '= [ C ] （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．计算二重积分{d ,(,)0Dx y D x y x =≤≤.解2sin 232200816d d d sin d 39Dx y ππϕϕρρϕϕ===⎰⎰⎰11．求函数2(,,)e d xy t zu x y z t -=⎰在点(1,1,1)P 处沿曲面2221236x y z ++=在该点处的法线方向的方向导数. 解 {}222()()111grad e ,e ,e ,,e e e xy xy zPPuy x ---⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭，单位法向量为=±n，111,,e e e Pu n∂⎧⎫=±⋅-=⎨⎬∂⎩⎭12．计算三重积分22()d xyz V Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由旋转抛物面22x y z +=与平面1=z 和4=z 围成的空间闭区域.解422231255()d d d 4xy z V z V z z ππΩΩ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13.计算曲面积分222A ∑⎰⎰，其中∑为上半球面z =面220(0)x y Ry R +-=>内的部分.共 4 页 第 3 页解 投影区域{}22(,)xy D x y x y Ry =+≤，()22222212d d A R A R x y A R ∑∑∑=---⎰⎰⎰⎰22d d xyxyD D R x y x y =-⎰⎰⎰⎰sin sin 202d d d R R R πϕπϕϕρϕρ=-⎰⎰⎰⎰3353239R R π=- 四（14）．（本题满分8分）已知()(,)i (,)f z u x y v x y =+为解析函数，其中实部32(,)32u x y x xy y =--，求虚部(,)v x y 及()f z （必须用变量z 表示）的表达式.解2233u vx y x y∂∂=-=∂∂，233()v x y y x ϕ=-+， 6()62v u xy x xy x yϕ∂∂'=+=-=+∂∂，于是()2x x C ϕ=+，（C 为常数）， 2332v x y y x C =-++，()3223()32i 32f z x xy y x y y x C =--+-++，()3()i 2f x x x C =++，()3()i 2f z z z C =++五（15）。
东南大学09-10-3高等数学B期末考试试卷-答案(A)
共 5 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称高等数学B 期末考试学期 09-10-3得分适用专业 选修高数B 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为[)3,1-； 22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为0322=+--z y x ； 12112x y z m -+-==与3x y z ==相交，m = 91； 101d (,)d x x f x y y -=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+0111102),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy ；22222d ()d x y f x y z z -++⎰⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标dr r r f d d ⎰⎰⎰ππθθϕ020222)(sin ；L 为由点(2,1,2)A 到原点(0,0,0)O 的直线段,则曲线积分2()d Lx y z s ++⎰之值为 253222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则a=2 ,b=-2{,,},x y z r ===r r div(e )r =r )3(r e r +；∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∧+∧+-∧=π2.计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)设 (,)z z x y =是由方程e e e z y xz x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂.共 5 页 第 2 页zxe e y z z ye e x z ye e e z x z z y z x z x z y x y z ++=∂∂++=∂∂+=+∂∂----1,1,)1(11．计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中{}2222(,)2,2D x y x y x y y =+≥+≤. 2sin )22sin 8(32224324sin 222πθθθρρθθππππθ=-==⎰⎰⎰⎰⎰d d d ydxdy D12．计算22222d ed d d yy x y x y x y x ----+⎰⎰.(){})1(8,0,4,4242)(22222--+--===≤≤≤+=⎰⎰⎰⎰ed ed dxdy ey x y x y x D Dyxπρρθππρ原式共 5 页 第 3 页13. 计算三重积分e d d d yx y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω由曲面2221,0,2x y z y y -+===所围成. )1(3)1(,20,1:2222222-=+==≤≤+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑Ωe dy e y dxdz dy e dxdydz e y y z x y yyyyππ三（14）．（本题满分7分）求由抛物面222x y z +=与平面1,2z z ==所围成的密度均匀（密度1μ=）的立体对z 轴的转动惯量.πρρπσ3142()(21203212222222==+=+=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ωd dz d y x dzdv y x I z zy x z ），则题中的立体记为四（15）。
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07-08-3高数B 期中试卷参考答案
08.4.11
一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.
级数
1(1)l n n
n ∞=⎛⎫
-+ ⎝
∑ （常数0a >） [ A ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ C ] (A
)
31
r c t a n d 1x x x +∞
+⎰
(B
) 21x ⎰ (C )321
d l n (1)x x -⎰ (D
) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113
:324
x y z L ---==
-，则1L 与2L [ B ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合
4. 设函数21,01()0,10
x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01
()(c o s s i n )
2n n n a S x a n x b n x ππ∞
==
++∑， x -∞<<+∞，其中11
()c o s d (0,1,2,
)n a f x n x x n π-==⎰， 11
()s i n d (1,2,)n b f x n x x n
π-==⎰
，则()3S = [ B ]
(A )
1
2
(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分) 5. 若23-a b 垂直于+a b
，且=
a ，则a 与
b 的夹角为
4
π； 6. 曲线222340
x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是222
2324x y z ++=；
7. 曲线222222
235
20
x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是2210y z x ⎧+=⎨=⎩； 8. 设幂级数
1
(1)n
n n a x ∞
=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为3； 9.幂级数210(1)(2)21
n
n n x n ∞
+=--+∑
的收敛域为[1,3]. 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)
10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩
及直线2
01x y z +=
=--都平行的平面方程.
解 11
2
1(1,2,3)11
1
=-=---i
j k s ，平面方程为121
1
2300
1
1
x y z -----=--， 即 0x y z -+=
11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113
325
x y z -+-==
-相交的直线方程. 解 设所求直线与直线
113
325
x y z -+-==
-的交点为000(,,)x y z ，0013x t =+， 000012,35y t z t =-+=-，于是
00000006(4)2(6)3(2)6(53)2(72)3(55)29(1)0x y z t t t t +---+=+--+--=+=，
得01t =-，交点为(2,3,8)--，所求直线方程为
462
2910
x y z +-+==
- 12．将函数()
2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域. 解 (
)
2
32()ln 23ln(1)(23)ln18ln 1ln 1(3)29x f x x x x x x -⎛
⎫⎛⎫
=+-=-+=++
++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11(1)12ln18(3)29n
n n n n x n -∞
=⎛⎫
-⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑，15x <≤ 13. 求幂级数
1
21
(1)
n n n nx ∞
-=-∑的和函数，并指明收敛域.
解 令2
y x =，
2
1
21
1222
1
1
1(1)
(1)
(1)1(1)(1)n n
n n n n n n n y y x nx
ny y y y y y x ∞
∞
∞---===''⎛⎫⎛⎫-=-=-=
== ⎪ ⎪+++⎝⎭
⎝⎭
∑∑∑，11x -<<
四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为2241
1
x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.
解 设000(,,1)M x y 是准线上一点，则
010
x x y y z -=-=-，则0x x =， 01y y z =-+，代入准线方程即得所求的柱面方程224(1)1x y z --+=
五（15）。
（本题满分9分）
判断级数
11
e n n
n x ∞
+=∑⎰
的敛散性.
解
1224
e
e
n n
x n +≤≤⎰
，而211n n
∞=∑
收敛，由比较判别法得知级数11e n n n x ∞+=∑⎰收敛
六（16）.（本题满分10分）将函数2()(0)4
x
f x x ππ-=
≤≤展开成正弦级数，并求级
数1
1
(1)21n n n -∞
=--∑的和.
解 由题设知0,0,1,2,
n a n ==，0
2
21(1)sin d 4
2n
n x
b nx x n
π
ππ
-+-=
=⎰
，1,2,
n =，
111(1)1
()sin sin 2,(0,)22n n n f x nx nx x n n
π∞
∞
==+-==∈∑∑，
取4x π
=，得1
1sin 24n n n π
π∞
==∑，即11(1)214n n n π-∞
=-=-∑。