广州大学2016-2017(2)线性代数试题(A)
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
全国2017年4月高等教育自学线性代数(经管类)试题与详细答案
线性代数(经管类)试题与详细答案
课程代码：04184
说明：在本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置矩阵，A*表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， |A|表示方阵 A 的行列式，r(A)表示矩阵 A 的秩. 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 1 分，共 5 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸” 的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1. 已知 2 阶行列式 A． 6
所以 r 1 , 2 , 3 2 。 11. 设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 满足 r（A）=2，1 1,2,0 ， 2 1,3,1 为其两个
T T
解，则其导出组 Ax=0 的通解为
.
解答：使用非齐次线性方程组解的性质。由于 A1 b ， A 2 b ，因此 A1 2 0 ， 即 1 2 是 Ax=0 的解，从而 x 1 2 2,1,1 ，即有
6. 行列式
2 0 0 3 1 3 2 5 0 2 0 7
.
解答：使用行列式按行（列）展开法。因为
2 0 0 按第二行展开 2 0 0 3 按第一行展开 3 2 1 4 1 1 1 3 2 111 1 2 8 1 3 2 5 2 0 0 2 0 0 2 0 7
A． 2 B． 1
1 答案整理：郭慧敏 广州大学松田学院
C． 1
D． 2
解答：齐次线性方程组有非零解的 是系数行列式等于零，因此有
2017 年 4 月 线性代数（经管类）
2 k
1 1
1 10
1 1 1
又因为
2 k
《 线性代数》2016-2017-2-A卷答案
2016～2017学年第二学期《 线性代数A 》课程期末考试卷A 卷考核方式： 闭卷 考试日期：20 年 月 适用专业、班级：一. 填空题 (每小题3分，共15分)1. 排列()()12321n n n --的逆序数为(2)(1)2n n -- 2. 向量组()()()123,0,,,,0,0,,TTTa cbc a b ααα===线性相关，则a,b,c 应 满足 abc=03. ,A B 为三阶方阵，1,3,2A B ==则12T B A -= 484. 若齐次线性方程组1232312320250320x x x x x x x kx ++=⎧⎪+=⎨⎪--+=⎩有非零解，则k=___7___5. 设4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为11111,,,,B E 2345--=则__24__二. 选择题（每小题3分，共15分）.1. 若11121321222331323312a a a D a a a a a a ==，则11131112121232122313331322 22 22 2a a a a D a a a a a a a a -=-=-( C ) （A ） 4 （B ） 4- （C ）2 （D ）2-.2. 设,A B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充要条件是( D ) （A ）A 可逆. （B ）B 可逆 （C ）AB 0≠ （D ）AB BA =3. A 为m 行n 列矩阵，A 的n 个列向量线性无关，则r(A)（ D ）（A ）>m （B ）<n （C ）=m （D ）=n 4. 向量组12,,,s ααα线性无关，且可由向量组12,,,t βββ线性表示则必有（A ）t s ≤ （B ）t s ≥ （C ）t s < （D ）t s > （ B ）5.2λ=是非奇异矩阵A 的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭有一个特征值为( B )（A ）43 （B ）34 （C ）12 （D ）14三. 计算下列行列式的值（每小题6分，共12分）1.1 3 5 73 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5解:1 3 5 71 3 5 7 1253 5 7 1 0 -4 -8 -20128134 5 7 1 3 0 -8 -24 -3258117 1 3 50 -20 -32 -44==-12512801120480214=--=--2.1 3 3 3 3 32 33 33 3 3 3 3 3 3 3 1 33 3 33 nn n- 解：1 3 3 3 32 0 0 0 03 2 33 3 0 -1 0 0 03 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 30 0 0 3 3 33 nn n-=- 4 00 0 00 3nn n --2 0 0 0 0 0 -1 0 0 036(3)!0 0 0 4 00 0 0 0 3n n n -==--- 四给定向量组()()()()12341, 1, 0, 4,2, 1, 5, 6,1, 2, 5, 2,1,1, 2, 0,αααα=-===--()53,0, 7, 14α= 求它的一个极大无关组，其余向量用此极大无关组线性表示。
线性代数2016-2017-1A卷答案
1
1 2 3 4
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5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1 5
----6 分
0 0
0 0
x1
x2 x3 x4
1 5
x3
x4
1 5
x3
x4
1x3 0x4
0x3 1x4
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0
0
,方程组的通解为：
x1 x2 x3 x4
证明 因为 A, B 均是 n 阶正交矩阵，所以 AAT AT A E , BBT BT B E
A B AE B ABT B B (ABT E)B ,----------------------------------3 分 ( ABT AAT )B A(B A)T B
10分
0 0 1 1/2 0 1
1/ 2 0 1
x1 x2 2x4 0
19.
求线性方程组
32xx11
2x2 3x2
x3 x3
x4 x4
2014-2015(1)线性代数试题(A)详解
广州大学2014-2015学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一、填空题（每空3分，本大题满分18分）1．设A ,B 都为3阶方阵,且5||1=-A ,54|3|=B ,则=-||1AB .2.若对三阶阵A 先交换第一,三行,然后第二行乘2后再加到第三行,则相当于在A 的 边乘三阶阵 .3．若阵A 为3阶方阵,且秩1)(=A R ，则=)(*AA R .4．设向量组),1,1(1a =α,)1,,1(2a =α,)1,1,(1a =α所生成的向量空间为2维的,则=a .5．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231*********a a a a a a A ,其特征值为3,2,1-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a B ,则B 的行列式中元素的代数余子式=++232221A A A .二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．若AB 为n 阶单位阵，则必有（ ）.（A ）BA 也n 阶为单位阵；（B ）BA 可能无意义；（C ）n BA R =)(；（D ）以上都不对.2．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A 。
若存在三阶阵O B ≠，使得O AB =，则（ ）.（A ）2-=λ，且0||=B ； （B ）2-=λ，且0||≠B ；（C ）1=λ，且0||=B ； （D ）1=λ，且0||≠B .3．对含n 个未知数, 1+n 个方程的线性方程组b Ax =,行列式0|),(|=b A 是它有解的（ ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件.4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2210c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3311c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4411c ζ,其中4321,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( ).(A) 321,,ζζζ; (B) 421,,ζζζ; (C) 431,,ζζζ; (D) 432,,ζζζ.5．设},,{321ααα分别为同维无关向量组,而},,,{1321βαααα+为相关向量组,则有( )成立.(A) },,,{2321βαααα+为相关向量组; (B) },,{132βααα+为无关向量组;(C) 1}),,({}),,,({321321+=αααβαααR R ;(D)1}),,({}),,,({321321-=αααβαααR R三、（本题满分12分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，且A 满足矩阵方程X A AX 2+=,求X .四、（本题满分8分） 计算行列式6741212060311512-----.五、（本题满分6分）设PB AP =,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002B ,求10A .六、（本题满分10分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-0830********43214321x x x x x x x x x x x x 的所有解.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==43333320126624220121),,,,(54321αααααA . 1) 求矩阵A 的行最简形和秩; 2) 求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.八、（本题满分9分） 设A 为2阶方阵，且存在正整数)2(≥l l ,使得O A l =,证明: 1) A 的秩1≤. 2) O A =2.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 的特征值和特征向量.。
2017线性代数试题及答案
（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是 15_______。
2. 若122211211=a aa a ，则=16030322211211a aa a 33. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 R(A)=R(A,b)=n_5.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是R （A ） ＜ n 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 09. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k 1 1-2k+1=0二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组rααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶 方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( D )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
C)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是B _____。
大学课程《线性代数》综合练习题集及答案
03D(1)R、；2,用3,>4)=2;向量组的一个极大无关组为、辽，、；4；
：'1 =2(、七亠'：：4),■?23如
(2)R( ：-1^-2, ：-3, ：-4, ：-5) =3；向量组的一个极大无关组为：■1, ：3 >5；
「2=「1：'5,「4 = ：^'：^'：'5 ;
,其中k为任意常数.
当•=1时，有解，解为
(1)当“且•时，方程组有唯一解；
5
<0A
-1
+k
1
丿
当’=1时，其通解为
，其中k为任意实数；
当，二-4时，原方程组无解；
5
广1、
—4
04F (1) C 3, (CER);
7
/ >
2
-22
1
0
+k2
0
15
5
I2」
,(k1,k^R);
(2) k1
J2、
0
十k!
a =b =0时,r (A) =0;当a = b才0时,r( A) =1;
a-'b,且
a-'b,且
a亠(n -1) b =0时,r (A) =n -1;
a • (n _1) b =0时，r(A) =n.
05G
05H
* *
r[(A )]
05K
05M
05O
06A
n ,如果r(A)=n,
0,如果r(A)cn.
011
排列的逆序数为
k2;
当k为偶数时,
排列为偶排列，当k为奇数时，排列为奇排列.
大学《线性代数》2016-2017第二学期期末卷答案
大学2016—2017学年第二学期末卷课程名称： 线性代数 考试时间： 100 分钟 考试方式：闭卷一、填空题（每小题3分，共18分）1．设向量α＝（－1，2，－2，4），则其单位向量的是ß= b ＝（－0.2，0.4，－0.4，0.8） 2. 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵的秩为()=A R s n -3.设矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13244. 设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 405. 若向量组1a =(1,4,3)，2a =(-2,-3,1), 3a =(2,t,-1)线性相关,则t = 36. 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A 满足⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=421113201BA ,写出初等矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010100001B二、单项选择题（每小题3分，共18分）7. 设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ D ） (A)．－6 (B)．－3 (C)．3 (D)．68. 设A 为m n ⨯矩阵，且非齐次线性方程组AX b =有唯一解，则必有（ C ）(A) m n = (B)()R A m = (C) ()R A n = (D)()R A n <姓名： 学号： 教学班级： 教学小班序号：9. 设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B ) (A) 1234,,,αααα线性无关(B) 1234,,,αααα线性相关(C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示10. 设A 为n 阶方阵，则0=A 的充要条件是(B ).(A).两行（列）元素对应成比例; (B).必有一行为其余行的线性组合; (C).A 中有一行元素全为零; (D).任一行为其余行的线性组合. 11. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ).(A). 111---=B A AB )( (B). (AB)T =B T A T (C). (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 212. 若方程组 02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k =( D )(A). -2 (B). -1 (C). 0 (D). 2三、计算题（每小题5分，共10分）13.求行列式21021001201002。
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院、系领导A 卷审批并署名广州大学 2016-2017学年第二学期考试卷课程：线性代数Ⅰ、Ⅱ考试形式：闭卷考试学院 :____________ 专业班级 :__________ 学号 :____________ 姓名 :___________题次一二三四五六七八九十总分评卷人分数1515 128121*********得分一、填空题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设A，B都为 3阶方阵，且|A| 4 ， B 2E ，则|A1B|.2. 设矩阵 A 1 1 ，则 A2的秩R(A2).1 13 04 13．22 2 2 中第四行各元素的代数余子式之和 A41 A42 A43 A44.6 1 4 05 3 1 21 0 04．设 3 阶矩阵A与对角矩阵0 1 0 相像，则齐次线性方程组 (E A) x 00 0 1的基础解系包括解向量的个数为.1 0 05．已知A 2 3 0 ，B (E A) 1(E A) ，则 (E B) 1 .4 6 5二、选择题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设 n 阶方阵A, B知足关系式AB O ，则必有（）.（A）若A O，则 B O ；（B）若B O，则|A| 0 ；（C）A 2B2(A B)( A B)；（）D |A| 0或|B| 0.2. 设 a 1 , a 2 , a 3 均为 3 维列向量，记 A (a 1, a 2 , a 3 ) , B (a 1 a 2 , a 2 2a 3 , a 3 2a 1 ) , 若 A1，则 B （）.（A ） 2； （B ）3；（C ）4；（D ）5.3．设 n 阶方阵 A 知足 A 2 2 A 2E O ，则(A 3E) 1 （） .（A ）A ；（B ）A E ；（C ） A E ；（D ）E A .4．设 n(n 3) 维向量组 a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 的秩为 3，且知足 a 1 3a 2 2a 4 0 ， 3a 2 2a 3 2a 40 ，则该向量组的一个极大没关组是（）.（A ） a 1, a 2 , a 3 ； （ B ） a 1 , a 2 , a 5 ； （C ） a 1, a 3 , a 5 ； （D ） a 1 , a 3 , a 4 .2 0 15．设 A3 1 3 ，则以下向量中属于矩阵 A 的特点向量的是（） .40 5（A ） (1,T；（） (1, 2, 2) T；（）T；（） (2, 0, T.0, 1) BC (1, 3, 4) D1) 三、（此题满分 12 分）31 0 01 3 0 0 2和 A 1 .设 A0 2 ，求 A 0 0 04 21 2 3 0 2 3 0 1计算队列式 D0 1 .3 2 0 1 2 3五、（此题满分 12 分）2 1设矩阵A 1 1 2 ，矩阵B 知足AB AB E ，求B .111x1 x2 x3 4x4 3x1 x2 3x3 2x4 1 求非齐次线性方程组x2 3x3 5x4 的通解 .2x1 5 3x1 x2 5x3 6x4 7七、（此题满分 10 分）已知向量1 1 3 1a1 1 , a2 3 , a3 1 ，b 3 ，3 1 15 31 5 12 t问： t 取何值时，b可由a1, a2, a3线性表示，并求出该表达式 .八、（此题满分 6 分）设 3 维列向量组 a1, a2 , a3线性没关，P是 3 阶方阵，且 Pa1 a1 2a2 3a3，Pa2 2a2 3a3， Pa3 a2 4a3 . 证明：P是可逆矩阵 .九、（此题满分 12 分）110求矩阵 A 1 0 1的特点值和特点向量.0 1 1院、系领导A 卷审批并署名广州大学 2016-2017学年第二学期考试卷解答课程：线性代数Ⅰ、Ⅱ考试形式：闭卷考试学院 :____________ 专业班级 :__________ 学号 :____________ 姓名 :___________题次一二三四五六七八九十总分评卷人分数1515 128121*********得分一、填空题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设A，B都为 3阶方阵，且|A| 4 ， B 2E ，则|A1B| -2 .2. 设矩阵 A 1 1 ，则 A2的秩R(A2) 0 .1 13 04 13．22 2 2 中第四行各元素的代数余子式之和A41A42A43A44 0 .6 1 4 05 3 1 21 0 04．设 3 阶矩阵A与对角矩阵0 1 0 相像，则齐次线性方程组 (E A) x 00 0 1的基础解系包括解向量的个数为 2 .1 0 0 1 0 05．已知A 2 3 0 ，B (E A) 1(E A) ，则 (E B ) 1 1 2 0 .4 65 2 3 3二、选择题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设 n 阶方阵A, B知足关系式AB O ，则必有（D ） .（A）若A O，则 B O ；（B）若B O，则|A| 0 ；（C）A 2B2(A B)( A B)；（）或|B| 0.D|A|02. 设 a 1 , a 2 , a 3 均为 3 维列向量，记 A (a 1, a 2 , a 3 ) , B (a 1 a 2 , a 2 2a 3 , a 3 2a 1 ) , 若 A1，则 B （ D）.（A ） 2； （B ）3； （C ）4；（D ）5. 3．设 n 阶方阵 A 知足 A 2 2A 2E O ，则(A 3E) 1 （D ）.（A ）A ；（B ）A E ；（C ） A E ；（D ）E A .4．设 n(n 3) 维向量组 a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 的秩为 3，且知足 a 1 3a 2 2a 4 0 ，3a 2 2a 3 2a 4 0 ，则该向量组的一个极大没关组是（B） .（A ） a 1, a 2 , a 3 ； （ B ） a 1 , a 2 , a 5 ； （C ） a 1, a 3 , a 5 ； （D ） a 1 , a 3 , a 4 .2 0 15．设 A3 1 3 ，则以下向量中属于矩阵 A 的特点向量的是（C）.40 5（A ） (1,T；（） (1, 2, 2) T；（） T；（） (2, 0, T.0, 1) B C (1, 3, 4) D1) 三、（此题满分 12 分）3 1 0 01 3 0 0 2和 A 1 .设 A0 2 ，求 A 0 0 04 2解：记 A 13 1 ， A 22 0，则 AA 1 O134 2O，于是A 2A 2A 12 O ， A 1 A 1 1O.------3分O2O1A 2A 210 0 0 0A 210 0 ， A 24 0 ， A 2A 12 O01000 1 0 10 216 4O A 220 0 4 00 0 16 4*3 1110.3 0.1， ------9A 110， A 11 3 ， A 1 |A 1| A 1 0.1 0.3*2 0 1 1 0.5 0A 24，A 2， A 2|A 2|A 2，42 1 0.50.3 0.1 0A1A 1 1O0.1 0.3 0分10 0.5 .------12OA 210.5------6分分四、（此题满分 8 分）1 2 3 02 3 0 1计算队列式 D0 1 .3 2 0 1 2 31 2 3 0 1 2 3 00 1 6 1 0 1 6 1 分解： D6 8 2 0 0 28 ------4 0 4 012 3441 2 3 0 1 2 3 00 1 6 1 0 1 6 1 分0 044 0 0 4 96 .------84 0 0 2840 00 24五、（此题满分12 分）0 2 1设矩阵 A1 12 ，矩阵B 知足AB AB E ，求B .111解：由已知得 ( A E ) BA E ，------2 分1 2 1 1 2 1( A E , A E ) 12 2 1 0 2 ------4 分rr11 0 1121 2 1 1211 2 11 2 1 0 0 1 221r0 1 1 2 110 1 1 2 1 1 0 0 1 2 2 11 0 1 3 0 31 0 05 2 40 112 1 1 r0 1 0 4 3 2 ------10 分0 0 12210 0 1221(E, (AE) 1(AE)) ，所以524B (A E) 1(A E)4 32 .------ 12 分 2 2 1六、（此题满分 10 分）x 1 x 2 x 3 4x 4 3求非齐次线性方程组x 1 x 2 3x 3 2x 4 1的通解 .2x 1 x 2 3x 3 5x 4 53x 1 x 2 5x 3 6x 47解：对增广矩阵 ( A,b) 进行初等行变换：1 1 1 4 31 1 3 21分( A, b)13 5 ------22 53 15 6711 14 31 02 1 20 2 2 6 2 0 1 1 3 1， ------7 分0 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 2 26 20 00 0于是得同解方程组x 1 2x 3x 42分x 2 x 3 3x 4.------81令 x 3 k 1 , x 4k 2 ，求得通解为x 121 2x 2k 1 1k 23 1， k 1, k 2 为随意数 .------10分x 3 1 0 0 x 41七、（此题满分 10 分） 已知向量1 131a 1 1 , a 2 3 , a 3 1，b 3 ， 3 1 15 315 12 t问： t 取何值时， b 可由 a 1, a 2 , a 3 线性表示，并求出该表达式 .1 1 3 111 3 1解：(a 1 , a 2 , a 3 , b)1 3 13r0 2 2 23 1 15 30 4 61 5 12 t6 9 t 11 0 4 01 0 0 8r0 1 1 1r0 1 0 3 ，------7 分0 0 240 0 1 20 0 3t 50 0 0 t1当 t 1 时， b 可由 a 1 , a 2 , a 3 线性表示， ------8分且有b8a 1 3a 2 2a 3 .------10 分八、（此题满分 6 分）设 3 维列向量组 a 1, a 2 , a 3 线性没关， P 是 3 阶方阵，且 Pa 1 a 1 2a 2 3a 3 ，Pa 2 2a 2 3a 3 ， Pa 3a 2 4a 3 . 证明： P 是可逆矩阵 .1 0 0证明： P(a 1, a 2 , a 3 )(Pa 1, Pa 2 , Pa 3 ) ( a 1 , a 2, a 3) 2 2 1 ，3 3 41 0 0 记 A (a 1, a2 , a 3) , K221 ，则 PAAK ，进而3 34 |P| |A||A| |K |.（1）------3分因列向量组 a 1 , a 2 , a 3 线性没关，所以 | A | 0 ，又 | K | 5 0 ，所以，由（ 1）式知| P | 0 ，进而 P 可逆 .------6分第 11 页 共 12 页《线性代数》 A 卷九、（此题满分 12 分）110求矩阵 A 1 0 1的特点值和特点向量.0 1 1解:矩阵A的特点多项式为1 1 0 1 1 0| E A | 1 1 0 10 1 1 1 1 11 1 00 1 ( 1)2，0 0 1矩阵 A 的特点值为 1 2 1, 3 0 .------6 分当0 时，解方程组 (0 E A) x 0 . 由1 1 0 1 1 0 1 0 10 E A 1 0 1 r 0 1 1 r 0 1 1 ，0 1 1 0 1 1 0 0 0得基础解系p1 ( 1, 1,1)T，所以，矩阵A 对应于0 的所有特点向量为 k1 p1（ k1 0 ） .------9 分当 1 时，解方程组(E A) x 0 . 由010E A 1 1 1010 r1 1 1 1 0 10 1 0 r 0 1 0 ，0 1 0 0 0 0得基础解系p2 ( 1, 0,1)T，所以，矩阵 A 对应于1的所有特点向量为k2p2（k2 0 ）.------12 分第 12页共12页《线性代数》 A 卷。