等差数列等比数列学案
等差数列与等比数列数学教案
等差数列与等比数列数学教案引言：数列是数学中一种重要的数学概念，是指按照一定规律排列的数的集合。
其中，等差数列和等比数列是数学中最常见的两种数列。
它们是数学中的基础概念，掌握它们的性质与运算方法对深入理解数学知识、提高解决问题的能力具有非常重要的意义。
本教案将通过丰富的案例和实际问题，帮助学生全面掌握等差数列和等比数列的相关知识。
一、等差数列1. 等差数列的定义与公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都是一个常数的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可表示为an=a1+(n-1)d。
其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
案例：一个等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。
2. 等差数列的通项公式推导与应用等差数列的通项公式是指可以通过首项、公差和项数，直接求得等差数列的第n项。
通项公式为an=a1+(n-1)d。
案例：已知一个等差数列的第5项为21，公差为7，求该等差数列的前10项和。
3. 等差数列的性质与运算等差数列具有以下性质和运算方法：（1）等差数列的任意两项的和等于这两项所夹项的两倍。
（2）等差数列的前n项和可以通过n(n+1)/2求得。
案例：某等差数列的前5项和为30，公差为2，求该等差数列的首项和第7项。
二、等比数列1. 等比数列的定义与公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都是一个常数的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项可表示为an=a1 * q^(n-1)。
其中，a1为首项，q为公比，n为项数。
案例：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该等比数列的第5项。
2. 等比数列的通项公式推导与应用等比数列的通项公式是指可以通过首项、公比和项数，直接求得等比数列的第n项。
通项公式为an=a1 * q^(n-1)。
案例：已知一个等比数列的第3项为16，公比为2，求该等比数列的前6项和。
3. 等比数列的性质与运算等比数列具有以下性质和运算方法：（1）等比数列的任意两项的比等于这两项所夹项的指数幂。
《等差数列》学案2(新人教A版必修5)
等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用 二、自主学习： 【课前检测】1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( D )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，若243=k a ，则k 等于（ C ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。
略解：6k 22433q a a 3a a q 51-k 2-k 2k 23=⇒====⇒==3．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．4．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43． 说明：2121n n n n a S b T --=． 【考点梳理】1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。
转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
解读：“知三求二”。
2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。
（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。
3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
三、合作探究：例1 （2010陕西文16）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.变式训练1 （2010北京文16）已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。
等差和等比数列的综合应用教案
教学过程一、复习预习师：这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、数比数列的综合问题．（请学生叙述公式的内容并写在黑板上）生甲：等差、等比数列的通项公式分别是an=a1+（n-1）d，an=a1qn-1．生丙：等比数列的前n项和公式要分成q=1和q≠1两种情况来表示，即生丁：如果m，n，p，q都是自然数，当m+n=p+q时，那么在等差数列中有：am+an=ap+aq，在等比数列中有：am·an=ap·aq．师；在上述公式中，涉及到a1，n，d（q），an，Sn五个量，运用方程思想，已知其中三个量，就可以求另外两个量．二、知识讲解考点1：等差数列{an}的性质（1）am=ak+（m －k ）d ，d=k m a a km --.（2）若数列{an}是公差为d 的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b 为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d 的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.（3）下标成等差数列且公差为m 的项ak ，ak+m ，ak+2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.（4）若m 、n 、l 、k ∈N*，且m+n=k+l ，则am+an=ak+al ，反之不成立. （5）设A=a1+a2+a3+…+an ，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n ，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n ，则A 、B 、C 成等差数列.（6）若数列{an}的项数为2n （n ∈N*），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S =n n aa 1+，S2n=n （an+an+1）（an 、an+1为中间两项）；若数列{an}的项数为2n －1（n ∈N*），则S 奇－S 偶=an ，奇偶S S =n n 1-，S2n －1=（2n－1）an （an 为中间项）.考点2：等比数列{an}的性质（1）am=ak·qm－k.（2）若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q2.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm.（4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am·an=ak·al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，则M、N、P也成等比数列.考点3：用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、q∈R）.当p=0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：an=a1qn－1.可用指数函数的性质来理解.当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.三、例题精析【例题1】.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对于任意自然数n，都有an+1＞an”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.【例题2】已知数列{a n}满足a n+2=－a n（n∈N*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为A.0B.－3C.3D.1【答案】C【解析】由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=－a1=－1，a4=－a2=－2，a5=－a3=1，a6=－a4=2，…，a2001=－a1999=1，a2002=－a2000=2，a1+a2+a3+a4=0.∴a1+a2+a3+…+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.四、课堂运用【基础】1.若关于x 的方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a +b 的值是 A.83B.2411C.2413D.7231【答案】D【解析】依题意设四根分别为a 1、a 2、a 3、a 4，公差为d ，其中a 1=41，即a 1+a 2+a 3+a 4=1+1=2.又a 1+a 4=a 2+a 3，所以a 1+a 4=a 2+a 3=1.由此求得a 4=43，d =61，于是a 2=125，a 3=127.故a +b =a 1a 4+a 2a 3=41×43+125×127=14462=7231.2.在等差数列{a n}中，当a r=a s（r≠s）时，数列{a n}必定是常数列，然而在等比数列{a n}中，对某些正整数r、s（r≠s），当a r=a s时，非常数列{a n}的一个例子是___________________.【答案】a，－a，a，－a…（a≠0）【解析】只需选取首项不为0，公比为－1的等比数列即可.【巩固】1.等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于___________________.【答案】4【解析】设a1，a3，a11成等比，公比为q，a3=a1·q=2q，a11=a1·q2=2q2.又{a n}是等差数列，∴a11=a1+5（a3－a1），∴q=4.2、已知{a n}是等比数列，a1=2，a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n的公式；（3）设P n=b1+b4+b7+…+b3n－2，Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论.【答案】见解析【解析】（1）设{a n }的公比为q ，由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9，q =±3. 当q =－3时，a 1+a 2+a 3=2－6+18=14＜20， 这与a 1+a 2+a 3＞20矛盾，故舍去.当q =3时，a 1+a 2+a 3=2+6+18=26＞20，故符合题意. 设数列{b n }的公差为d ，由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d =26. 又b 1=2，解得d =3，所以b n =3n －1. （2）S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n .（3）b 1，b 4，b 7，…，b 3n －2组成以3d 为公差的等差数列， 所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d =29n 2－25n ； b 10，b 12，b 14，…，b 2n +8组成以2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d =3n 2+26n . P n －Q n =（29n 2－25n ）－（3n 2+26n ）=23n （n －19）.所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n ＞Q n ； 当n =19时，P n =Q n ； 当n ≤18时，P n ＜Q n .【拔高】1、已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意正整数n 均有11b c +22mb c +323b mc +…+nn nb mc 1 =（n+1）an+1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{cn}的前n 项和Sn.【答案】（1）a n =2n －1（n =1，2，3，…），b n =3n －1（n =1，2，3，…）.（2）S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n .31,31≠=m m【解析】（1）由题意得（a 1+d ）（a 1+13d ）=（a 1+4d ）2，整理得2a 1d =d 2.∵a 1=1，解得d =2（d =0不合题意舍去）， ∴a n =2n －1（n =1，2，3，…）.由b 2=a 2=3，b 3=a 5=9，易求得b n =3n －1（n =1，2，3，…）. （2）当n =1时，c 1=6； 当n ≥2时，nn n b mc 1-=（n +1）a n +1－na n =4n +1，∴c n =（4n +1）m n －1b n =（4n +1）（3m ）n －1.∴c n =⎩⎨⎧+-1)3)(14(6n m n .,4,3,2,1⋅⋅⋅==n n 当3m =1，即m =31时， S n =6+9+13+…+（4n +1）=6+2)149)(1(++-n n=6+（n －1）（2n +5）=2n 2+3n +1. 当3m ≠1，即m ≠31时， S n =c 1+c 2+…+c n ，即S n =6+9·（3m ）+13·（3m ）2+…+（4n －3）（3m ）n －2+（4n +1）（3m ）n －1.①3mS n =6·3m +9·（3m ）2+13·（3m ）3+…+（4n －3）（3m ）n －1+（4n +1）（3m ）n .② ①－②得（1－3m ）S n =6+3·3m +4·（3m ）2+4·（3m ）3+…+4·（3m ）n －1－（4n +1）（3m ）n =6+9m +4［（3m ）2+（3m ）3+…+（3m ）n －1］－（4n +1）（3m ）n=6+9m +m m m n 31])3()3[(42--－（4n +1）（3m ）n .∴S n =m m n m n 31)3)(14(96-+-++22)31(])3()3[(4m m m n --.∴S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n .31,31≠=m mcb d a cba c bc a c b a cad a a cd cd d c c d cdd c cd d c >∴>>>>∴>>>>>∴>>>∴>-=-∴>>->∴>>,0d 21)2(,0,01,0)1(,0,0,011,011,01,0,0,0）得）（由（又又课程小结等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d（q），充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒．课后作业【基础】1.在等比数列{a n }中，a 5+a 6=a （a ≠0），a 15+a 16=b ，则a 25+a 26的值是A.abB.22abC.ab 2 D.2ab【答案】C【解析】 由等比数列的性质得三个和成等比数列，由等比中项公式可得选项为C. 【巩固】2.若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是___________________.【答案】［4，+∞）或（－∞，0］【解析】在等差数列中，a 1+a 2=x +y ；在等比数列中，xy =b 1·b 2.∴21221)(b b a a ⋅+=y x y x ⋅+2)(=y x y xy x ⋅++222=y x +x y +2.当x ·y ＞0时，y x +x y≥2，故21221)(b b a a ⋅+≥4；当x ·y ＜0时，y x +x y≤－2，故21221)(b b a a ⋅+≤0.答案：［4，+∞）或（－∞，0］【拔高】3．已知数列{a n }中，a 1=65且对任意非零自然数n 都有a n +1=31a n +（21）n +1.数列{b n }对任意非零自然数n 都有b n =a n +1－21a n .（1）求证:数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式.【答案】见解析【解析】（1）证明：b n =a n +1－21a n =［31a n +（21）n +1］－21a n =（21）n +1－61a n ，b n +1=（21）n +2－61a n +1=（21）n +2－61［31a n +（21）n +1］=21·（21）n +1－181a n －61·（21）n +1=31·（21）n +1－181a n =31·［（21）n +1－61a n ］， ∴n n b b 1+=31（n =1，2，3，…）. ∴{b n }是公比为31的等比数列. （2）解：∵b 1=（21）2－61a 1=41－61·65=91，∴b n =91·（31）n －1=（31）n +1.由b n =（21）n +1－61a n ，得（31）n +1=（21）n +1－61a n ，解得a n =6［（21）n +1－（31）n +1］.5.设{a n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 2+a 4=b 3，b 2b 4=a 3，分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.解：设公差为d ，公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,21,4242q d q d∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=22,83q d 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.22,83q d ∴S 10=10+2910⨯（－83）=－855. 当q =22时，T 10=32)22(31+；当q =－22时，T 10=32)22(31-.＝a ＋b ab －2ab2a ＋b＝ab a －b 2a ＋b＞0，∴C ＞D ，∴A ＞B ＞C ＞D .。
2020版新高考复习理科数学教学案：数列含答案 (2)
6．[20xx·惠州调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中.a1＝1,2a3.a5,3a4成等差数列.则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．2n－1B．2n－1－1
C．2n－1D．2n
解析：通解：设{an}的公比为q(q>0).由题意知2a5＝2a3＋3a4.∴2a3q2＝2a3＋3a3q.∴2q2＝2＋3q.∴q＝2或q＝－ (舍去).所以an＝2n－1.
■备考工具——————————————
1．求数列的前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式
Sn＝ ＝na1＋ .
②等比数列的前n项和公式
a．当q＝1时.Sn＝na1；
b．当q≠1时.Sn＝ ＝ .
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项相消：把一个数列的通项分成两项差的形式.相加过程中消去中间项.只剩有限项再求和．
通项公式的推广
an＝a1qn－1
(揭示首末两项的关系)
an＝amqn－m
(揭示任意两项之间的关系)
(2)前n项和公式
Sn＝ 或Sn＝
7．等比数列的性质
若{an}为等比数列.则
(1){a }. .{c·an}(c≠0)都是等比数列．
(2)各项及公比都不为0.
8．等比数列项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m.n.p.q∈N*).则am·an＝ap·aq.
令n＝101.则S101＋a101＝2×101－6＋ .所以S101＋(S101－S100)＝196＋ .得2S101－S100＝196＋ ②.
将①代入②得S100＝2× －196－ ＝396＋ －196－ ＝200.选B.
答Байду номын сангаас：B
浙江省富阳市第二中学2013-2014学年高一下学期数学期末专题复习学案《等差数列与等比数列》
类型一、基本量的计算1.若数列{a n }为等差数列，公差为12，且S 100＝145，则a 2＋a 4＋…＋a 100的值为 2.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为3.等比数列}{n a 的公比为,q 前n 项和为,n S 若21,,++n n n S S S 成等差数列，则=q4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________．5.已知数列{a n }对于任意p 、q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝类型二.等差等比的性质的应用例1 (1).已知三角形的三边构成公比为q 的等比数列，则q 的取值范围(2)已知三角形的三角A,B,C 构成等差数列，B=(3).直角三角形的三边a ，b ，c 成等差数列，求两锐角的正弦值(4)直角三角形的三边a ，b ，c 成等比数列，求两锐角的正弦值 例2.在等差数列中，S n 表示{a n }的前n 项和，(1)a 3＋a 17＝10，求S 19的值；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，S n ＝210，求项数n ；(3)S 4＝1，S 8＝4，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．(4)S 10＝10，S 20＝30，求S 30＝(5) 两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B 且7453n n A n B n +=+求77b a例3.(1)在等比数列{}n a 中,如果817643=⋅⋅⋅a a a a ,那么91a a 的值为(2)在等比数列}{n a 中，已知前10项的和为5，前20项的和为15，求前30项的和？(3)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为(4)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝______. (5).已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1，2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1=例4.已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性．例5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：{1S n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．《课后作业》 班级 姓名1.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }中的公差为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝ ( )A ．8B ．7C ．6D ．53.设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ ( )A ．18B ．20C ．22D ．244．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝ ( )A ．12B ．16C ．20D ．245.已知数列的前n 项和为S n ＝a n －2(a 是不为0的实数)，那么数列{a n }( )A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或成等差数列6.设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 ( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列7.已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0，2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－328.．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝9.在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求n = 时，S n 有最大值10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________．11.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝______，S n ＝__ _． 12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数=13.已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是______________．14.已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．15. 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．16.设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．17.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．18.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．附件2：律师事务所反盗版维权声明。
等差数列与等比数列的性质教案
等差数列与等比数列的性质教案一、引言数列是数学中的重要概念，它可以用来描述一系列按照一定规律排列的数。
等差数列和等比数列是最常见的两种数列，它们有着很多有趣的性质和特点。
本教案旨在通过介绍等差数列和等比数列的定义、通项公式以及相关性质，帮助学生深入理解这两种数列的规律和应用。
二、等差数列1. 定义等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则其通项公式为$ a_n = a_1 + (n-1)d$。
其中，$n$表示第$n$项。
2. 性质（1）首项与公差确定一个等差数列；（2）通项公式$ a_n = a_1 + (n-1)d$可以推导出公式$ a_n = a_{n-1}+ d$；（3）等差数列的前$n$项和可以通过求和公式$S_n =\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$来计算。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列的首项为$a_1$，公比为$r$，则其通项公式为$ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$。
其中，$n$表示第$n$项。
2. 性质（1）首项与公比确定一个等比数列；（2）通项公式$ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$可以推导出公式$a_n =\frac{a_{n-1}}{r}$；（3）等比数列的前$n$项和可以通过求和公式$S_n = \frac{a_1 \cdot (1-r^n)}{1-r}$来计算。
四、等差数列与等比数列的比较1. 基本特点等差数列的相邻两项之差相等，而等比数列的相邻两项之比相等；等差数列的通项公式中有一个常数项$d$，而等比数列的通项公式中有一个常数项$r$；等差数列中的公差$d$可以为任意实数，而等比数列中的公比$r$必须为非零实数。
2. 差异点等差数列的相邻两项之差为定值，而等比数列的相邻两项之比为定值；等差数列的项之间的差值随着项的增加保持不变，而等比数列的项之间的倍数随着项的增加保持不变；等差数列的通项公式中涉及到项的位置$n$，而等比数列的通项公式中涉及到项的幂数$n-1$。
等差数列与等比数列教案高考例题目精析
一、等差数列与等比数列的概念解析1. 等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公差，这样的数列叫做等差数列。
2. 等比数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公比，这样的数列叫做等比数列。
二、等差数列的性质与通项公式1. 等差数列的性质：（1）等差数列的相邻两项之差相等。
（2）等差数列的任意一项都可以用首项和公差表示。
（3）等差数列的前n项和公式为：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。
2. 等差数列的通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$a_n$是第n项。
三、等比数列的性质与通项公式1. 等比数列的性质：（1）等比数列的相邻两项之比相等。
（2）等比数列的任意一项都可以用首项和公比表示。
（3）等比数列的前n项和公式为：$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。
2. 等比数列的通项公式：$a_n = a_1 q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$a_n$是第n项。
四、等差数列与等比数列的判定1. 等差数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之差相等，则这个数列是等差数列。
2. 等比数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之比相等，则这个数列是等比数列。
五、等差数列与等比数列的求和1. 等差数列的求和：已知首项$a_1$，公差$d$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。
根据公式$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，直接代入求解。
2. 等比数列的求和：已知首项$a_1$，公比$q$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。
根据公式$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，直接代入求解。
小学数学等差数列教案【优秀8篇】
小学数学等差数列教案【优秀8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等差数列学案（一）1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 二、必记知识1．等差数列的定义： 或 ,2．等差数列的通项公式： a n= = ， =3．等差中项 若三个数a ，A ，b 成等差数列. 则有 。
4．等差数列的前n 项和 S n = = = 。
5 等差数列的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．此性质常与S n ＝n （a 1＋a n ）2联系(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12(6)在等差数列{a n }中，若项数为偶数2n ， S 偶－S 奇＝nd ；(7)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.三，讲授疑点 四．方法，规律1利用等差数列的性质巧妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义实行对称设元．2 等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需使用方程思想求解，特别是求a 1和d . 五，学会应用 第一环节：我能行A1 (2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若 a 2，a 4，a 8 成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2A2 (2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8 B ．10 C ．12 D ．14n S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27A2．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝26，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176A3．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40A4. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 013等于( ) A ．2 013 B ．－2 013 C ．－4 026 D ．4 026第二环节:小组讨论 （合作，互助） 第三环节：展示问题，答案 六 课堂小结（学生写下来）1．我学会了： 2.我的难点是：七：更上一层楼B1 (2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6B2 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10等差数列学案（二）一：学习目标1掌握等差数列的判定与证明2会求等差数列前n 项和的最值二、必记知识，方法1等差数列的判定方法(1)定义法：对于任意自然数n ≥2，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 2．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值．即找到a n 的正负分界点即可。
三，讲授疑点 四．学会应用 第一环节：我能行A1. 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2 ，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．A1 (2015·深圳模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17 第二环节:小组讨论 （合作，互助）第三环节：展示问题，答案 五．课堂小结（学生写下来）1．我学会了：2.我的难点是：六：更上一层楼B1 设等差数列{a n } a 3＝12，S 12>0，S 13<0 则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值时n为 .B2.若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．等比数列及其前n 项和学案（一）一．考纲要求1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式． 3．了解等比数列与指数函数的关系．二、必记知识1．等比数列的定义 a n ＋1a n ＝q (q 是常数且q ≠0，n ∈N *)，或a na n －1＝q (n ≥2，n ∈N *，q 为常数且q ≠0)．2．等比数列的通项公式及其推广a n ＝a 1·q n －1＝a m ·q n －m = ， 3．等比中项及其推广如果三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，即G 2＝ab . 推广 ，4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q= ，5等比数列的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列． (4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列．当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(6)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；(7)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列．三，讲授疑点 四．学会应用 第一环节：我能行必须注意对q ＝1和q≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情况而导致错误．A1 (2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．A2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．A2 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________．第二环节:小组讨论（合作，互助）第三环节：展示问题，答案五．课堂小结（学生写下来）1．我学会了：2.我的难点是：六：更上一层楼B1(2014·重庆高考)已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．(1)求a n及S n；(2)设{b n}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{b n}的通项公式及其前n项和T n.B2．在等比数列{a n}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，则a41·a42·a43·a44＝________.等比数列及其前n项和学案（二）一：学习目标1掌握等比数列的判定与证明2掌握等差数列与等比数列的综合应用二、必记知识等比数列的判定方法(1)定义法：若a n＋1a n＝q(q为非零常数)或a na n－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{a n}是等比数列；(2)等比中项法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a n}是等比数列；(4)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{a n}是等比数列．注意：证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．三，讲授疑点四．学会应用第一环节：我能行()nA．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列B2 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＋1＝4a n＋2(n∈N*)，若b n＝a n＋1－2a n，求证：{b n}是等比数列．B1 (2014·湖北高考)已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．第二环节:小组讨论（合作，互助）第三环节：展示问题，答案五．课堂小结（学生写下来）1．我学会了：2.我的难点是：。