高等数学(本科少学时类型)第三版上册
高等数学(本科少学时类型)同济第三版课后习题答案选解1
高等数学（本科少学时类型）同济第三、四版课后习题答案选解1第一章函数与极限1.1函数P.17习题1.11..005.0:01.0;05.0:1.0,222,1),,1(<=<=<<-<-∈δεδεεδδδx x U x 1..3.下列函数是否为同一函数？为什么？（1）2()2ln ()ln f x x x x j ==与；（2）()f x =()x x j =；（2）（3）()f x =与()g x x =；（4）()f x =与()sin g x x =；解：（1）否；因为定义域不同；（2）否；因为对应关系不同；（2）否；因为函数的定义域不同；（3）是；因为定义域和对应关系及值域都相同；（4）否；因为对应关系及值域都相同；4.求下列函数的定义域：（1）1y x =（2）2232x y x x =-+；（3）arcsin(3)y x =-；（4）1arctan y x =；（5）ln(1)y x =+；（6）1x y e =；解：（1）要使1y x=有意义，需使20,10x x ¹-³故函数的定义域为[-1,0)[(0,1].（2）要使2232x y x x =-+有意义，需使2320x x -+¹故函数的定义域为(-,-2)(-2,1)[1,+.) （3）要使arcsin(3)y x =-有意义，需使31x -£故函数的定义域为[2,4].（4）要使1arctan y x=有意义，需使30,0x x ->¹故函数的定义域为(-,0)(0,3].¥（5）要使ln(1)y x =+有意义，需使10x +>故函数的定义域为+).(1,-¥（6）要使1xy e =有意义，需使0x ≠故定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .5.6.7.8.9.10.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇函数又非偶函数？（1）22(1)y x x =-；（2）233y x x =-；（3）(1)(1)y x x x =-+；（4）2x xa a y -+=；（5）2x xa a y --=；（6）sin cos 1y x x =-+；解：（1）按运算：偶函数与偶函数的和差积仍是偶函数；也可以按定义判定；（2）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；（3）按运算：奇函数与奇函数的积是偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数；所以是奇函数；也可以按定义判定；（4）定义域对称，()()f x f x -=所以函数是偶函数；（5）定义域对称，()()f x f x -=-所以函数是奇函数；（6）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,)l l -内的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数；两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
课程标准
《高等数学》课程标准《高等数学》课程是本科非数学类各理科专业的重要专业基础课，在大学教育及高素质人才的培养过程中占有十分重要的地位。
随着时代的发展、科学的进步、经济的腾飞，数学科学已与自然科学、社会科学并列为三大基础科学，数学地位的巨大变化必将影响到高等数学课程在整个高等教育中的地位与作用。
同时，《高等数学》课程还担负着培养学生严谨的思维、求实的作风、创新的意识等任务。
因此，《高等数学》不仅要向学生传授数学知识，更要注重培养学生的数学修养。
但是，不同学科和专业对高等数学知识的需求不同，同时，为了满足我校学生将来考研的需要，根据专业需求的特点和考研《数学一》至《数学三》的要求，将《高等数学》课程划分为如下三个层次。
《高等数学I》（第一层次）一、课程说明：《高等数学I》由微积分、线性代数和概率论与数理统计三部分构成，本课程是物理教育专业和计算机等专业的一门必修的基础课程，也可供将来考研时需要考《数学一》的其它专业同学选修。
课程总学时为276学时，分四个学期行课，其中，第一学期78学时，4学分，第二学期90学时，5学分，第三学期54个学时，3学分，第四学期54个学时，3学分，共15学分。
1．参考专业：物理教育和计算机等专业。
2．课程类别：专业基础课3．参考教材与参考书目教材：1 《高等数学》第六版，同济大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2007年。
2 居余马等编著，线性代数（第2版），北京，清华大学出版社，2002年9月第2版3 盛骤等，概率论与数理统计（第二版），北京：高等教育出版社，1989。
参考书目：1 四川大学数学系高等数学教研室编，高等数学（第一、二、三、四册），北京，高等教育出版社，1997。
2 同济大学应用数学系编，线性代数（第4版）北京，高等教育出版社，2003年7月。
3 高世泽，概率统计引论，重庆：重庆大学出版社，2000年。
4．课程教学方法与手段以教师讲授为主，学生自学为辅的教学方式进行教学，课堂上的教学以启发式的方式进行讲授，学生作适当的课内练习。
高等数学 高等教育出版社 第三版 上册 课后答案(童裕孙 金路 张万国 於崇华 著)
1 x2 2． （1） 3 ln 3 ； （2） 2 x arcsin x ； x ln 3 1 x2
x
1 e x ln x x 2 shx （3） e x arcsin x ； （4） arccos x(2 x chx) ； x 1 x2 1 x2
1 1 n(n 1) ； （4）6； （5） ； （6） 。 2 2 2 x
4． （1）
m n2 m2 ； （2）1； （3） sin x ； （4） ； （5） x ； n 2
3 1 （7） ； （8） 。 （6） 1 ； 5 2
5． lim f ( x) ， lim f ( x )
1 x x （2） y log a ，0 x 1； 11． （1） y arcsin ， 2 x 2 ； 3 2 1 x x （3） y log a ( x x 2 1) ， x ； （4） y cos ， 0 x 2 。 4
3． （1）3； （2）2； （3）1； （4）0； （5）
4． （1）{a n bn } 必发散；{a n bn } 不一定发散； （2）{a n bn } 和 {a n bn } 均不一定发 散。
2 5．提示： a n
1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 1 1 2 。 2 2 2n 1 2n 1 2 4 ( 2 n)
§ 3 微分运算
1． （1） (sin 2 x 2 x cos 2 x)dx ； （2）
dx (1 x 2 )
3 2
ln x 2 2x
3 2
dx ；
（3）
； （4） e 2 x (3 x 2 2 x 3 )dx ；
教育部办公厅关于公布2007年度普通高等教育精品教材书目的通知
教高厅函〔2007〕46号
教育部办公厅关于公布2007年度普通
高等教育精品教材书目的通知
各省、自治区、直辖市教育厅（教委），新疆生产建设兵团教育局，部属各高等学校，有关出版社：
为进一步提高高等教育教材质量，推动优秀教材进课堂，我部决定在已出版的“十一五”国家级规划教材中评选精品。
经出版社申报、专家评审，确定了218种教材为2007年度普通高等教育精品教材。
现将精品教材书目予以公布，供各高等学校选用教材时参考。
附件：2007年度普通高等教育精品教材书目
教育部办公厅
二○○七年七月二日
2007年度普通高等教育精品教材书目。
高等数学(上) 第3版教学课件5-6 定积分应用举例
《高等数学》
谢谢观看
于是 A f ( x)dx
b
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
o a x x dxb x
所求量U 符合下列条件时能用定积分
表达：
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有关
的量；
（ 2 ） U 对 于 区 间 a, b具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间a, b分成许多部分区间，则
例８ 计算从时刻 0 到 T 秒时间段内
自由落体运动的平均速度.
解：自由落体运动的速度为 v gt
根据定积分的物理意义及平均值公式得：
v 1 T
T 0
gtdt
g T
1 2
t2
T 0
1 2
gT
例９ 计算纯电阻电路中正弦交流电 i m sin t
在一个周期上的平均功率.
解： 设电阻为 R ，则这个电路的电压为
积分变量，在 2,1 上任取一个小区间 x, x dx
则相应 于此小区间的窄条面积可用高为 x 1 1 x
xx
，宽为dx 的小矩形面积近似代替，从而得面积微元
根据微元法得
dA 1 x dx x
A 1 1 x dx
2 x
ln x 1 x2 1 3 ln 2
2 2 2
形的曲边是上半个（或下半个）椭圆
y
a b
a2 x2 ，
代入体积公式得：V
a b a a
a2 x2 dx
2b 2
a2
a a 2 x2 dx
0
2b 2
a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 3
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
高等数学(本科少学时类型)(第三版)上册4ppt课件
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例1. 设f(x)在(a,b)内可导, 且 f(x) M,
证明f(x)在(a,b)内有界.
证: 取点 x0(a,b),再取异于x0的点 x(a,b), 对 f(x)在 以x0,x 为端点的区间上用拉氏中值定理,
得 f(x ) f(x 0 ) f()(x x 0 )(界于 x0与x之)间
且F(0)F(1)0, 由罗尔定理知: (0,1),
使 F()0,
即 a0a1xanxn0在(0， 1)内至少有一 .
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例4.设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f( 0 ) f( 1 ) f( 2 ) 3 ,f( 3 ) 1 ,证 明 (0,3),使 f()0.
x2 x
f (x)
提示: 根据f(x)的连续性及导函数 的正负作 f (x) 的示意图.
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例6. 填空题
(1) 设 f(x)在(,)上连续，
其导数图形如图所示,则f(x)的
单调减区间为 (, x1)(,0,x2); x 1 O
单调增区间为 (x1,0)(,x2, );
极小值点为 x 1 , x 2 ;
极大值点为 x 0
.
y
f ( x )
习题课
一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
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高等数学第3版教材
高等数学第3版教材高等数学是一门研究函数、极限、微分、积分等数学概念和方法的学科，是理工科学生必修的一门课程。
作为大学数学的一部分，高等数学的教材在不断更新和改进中，第3版教材是其中的一份。
教材特点高等数学第3版教材是一本综合性的教材，涵盖了高等数学的各个知识点和应用。
与前两版相比，第3版教材在内容上进行了更新和扩充，更加注重理论与实际应用的结合，同时更加注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
第3版教材的内容分为多个章节，每个章节都涵盖了一个或多个相关的数学概念和方法。
教材采用了逐步深入的方式，由基础概念引入，逐步展开，形成完整的数学体系。
每个章节都包括了理论知识的介绍、基本公式的推导以及大量的例题和习题，以便学生巩固和应用所学的知识。
在教学方法上，第3版教材注重启发式教学，通过引导学生主动思考和解决问题，提高学生的学习主动性和创造性。
教材还加入了一些趣味性的问题和案例，以增加学生的兴趣和动力。
教材内容丰富多样，包括但不限于以下几个方面：1. 数列与极限：介绍了数列的概念和性质，引入了极限的概念和计算方法，以及一些典型的极限问题，如无穷小量和无穷大量的比较等。
2. 无穷级数：介绍了级数的概念和判敛法则，包括正项级数、一般项级数以及幂级数等。
教材给出了一些常用的级数收敛和计算方法，以及级数应用于实际问题的案例。
3. 微分学：包括了函数的极限、连续性、可导性和微分中值定理等内容。
教材详细介绍了常见函数的导数计算方法，以及一些典型问题的求解方法。
4. 积分学：介绍了定积分和不定积分的概念、性质和计算方法。
教材还介绍了曲线的弧长、曲线旋转体的体积和曲线下面积等应用问题。
5. 多元函数微分学：包括了多元函数的偏导数、全微分以及多元函数的极值问题等。
教材给出了一些常见函数的偏导数计算方法，以及一些典型问题的求解方法。
6. 多元函数积分学：介绍了二重积分和三重积分的概念、性质和计算方法。
教材还介绍了曲面的面积和曲线围成的曲面的体积等应用问题。
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1、求函数29x y -=的定义域 解：092≥-x解得：33≤≤-x2、求函数x x y 53++=的定义域 解:3+X>=0, 解得： X>=-3 X.>=05X>=0 X>=03函数)2)(3(-+=x x y 的定义域解：(X+3)(X-2)>=0 解得：X ≤-3，X ≥24函数213--=x x y 的定义域 解： 3X-1>=0 解得： X ≥31 2.,231><≤x x X-2≠0 X ≠25、求函数211x xy --=的定义域 解： X ≠0 解得: X ≠0 012≥-x 11≤≤-x6、求函数212--=x x y 的定义域解：022>--x x 解得;x<-1,x>27、求极限237135lim 424+-+-∞→x x x x x =5/7 12、求极限3711129lim 2436+-+-∞→x x x x x = ∞ 13、求极限3711127lim 2523+-+-∞→x x x x x =0 14、求极限xx x 1sinlim 0→=1 15、求极限x x x 1sin lim ∞→=∞16、求极限x x x )51(lim -∞→=e 5- 17、求极限x x x 10)31(lim -→=e 3-18、求极限x x x3)21(lim -∞→=e 6- 19、求极限xx x )1ln(lim 0+→ =1 20、求极限ax a x a x --→sin sin lim =cos a 21、、求极限)1311(lim 31x x x ---→=1- 22、5)(0='x f ，则h x f h x f h )()2(lim000-+→=10 23、3)2(='f ，则h f h f h )2()52(lim0--→=-15 24、函数x e y 5=，求y y ''',，)0(),0(y y '''y’=e x 55 y ’’ =e x 525y ’(0)=5 y ’’(0)=25 25、函数)13(cos 2+=x y ，求dy y ,'，y’=-6COS(3X+1)SIN(3X+1) dy= -6cos(3x+1)sin(3x+1)dx26、函数)1(sin 22+=x y ，求dy y ,'y’ =4XSIN(x 2+1)COS(x 2+1) dy=4xsin(x 2+1)cos(x^2+1)dx 27、函数)35(tan 22+=x y ，求dy y ,'y’=20xtan(x 25+3)sec^2(x 25+3) dy=20xtan(5x^2+3)sec^2(5x^2+3)dx 28、函数n x y =，求)1(+n yy’=nx^(n-1)y ’’=n(n-1)x^(n-2)y ’’’=n(n-1)(n-2)x^(n-3)y(4)=n(n-1)(n-2)(n-3)x^(n-4)...y(n)=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)…….1=n!y(n+1)=029、求由方程0333=-+xy y x 所确定的隐函数的导数dxdy x y dx dy y x 333322--+dx dy =0 3y 2dx dy -3x dx dy =3y-3x 2 x y dx dy y x 333322--==xy y x --2230、求由方程xy e xy =所确定的隐函数的导数dxdy e e e e e xy xy xy xy xy x x yy dx dy y y x x dxdy dxdy x y dx dy x y --=-=-+=+)()( 31、求由方程y xe y +=1所确定的隐函数的导数dxdy )1('x y dx dy dx dy x e ee y y y y +=+= 32、用对数求导法求0,sin >=x x y x 的导数。
)sin (cos )sin (cos sin cos sin sin xx Inx x x xInx y dx dy xxxInx y dx dyxInxIny x x +=+=+== 33、用对数求导法求)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数。
)41312111()4)(3()2)(1(21)4(21)3(21)2(21)1(21)4(21)3(21)2(21)1(21)4)(3()2)(1(-----+-----=-----+-=-----+-=----=x x x x x x x x dx dy x x x x y dx dyx In x In x In x In Iny x x x x InIny 34、求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 22所确定的函数的导数dx dy tdx dy 1= 35、求由参数方程⎩⎨⎧==t y t x cos sin 所确定的函数的导数dx dy x tt dx dy tan cos sin -=-= 36、求由参数方程⎩⎨⎧==2θθey e x 所确定的函数的导数dx dy e e dx dy θθθ22=37、求由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定的函数的导数dx dy tt dx dy cos 2sin 2-= 在3π=t 处的值，及曲线在该点的切线和法线方程。
4523)23(232123......4163)23(632121.23.63,32-=-=+=--=--=+-==-==x y x y x y x y y x k t k 切线方程时π38、判断函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=21210)(2x x x x x f 的连续性。
右极限故函数连续左极限=∴=∴==-++→→→→lim lim lim lim 111111_x x x x39、函数在一点连续是函数在该点可导的 充分非必要 条件，函数在一点可导是函数在该点连续的 充要 条件40、函数在一点可导是函数在该点可微的 充分非必要 条件。
41、求函数23122+--=x x x y 的间断点，并判断其类型。
是函数可去间断点是函数的间断点。
是函数没有定义，故12211,21,21,20)2)(1(21)2)(1()1)(1(lim 1=∴-=-+====∴≠≠∴≠---+=--+-=→x x x x x x x x x x x x x x x x x y x 42、求函数⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y 的间断点，并判断其类型。
函数是跳跃间断点右极限左极限∴≠∴==-+→→0121lim lim x x46、函数⎩⎨⎧≥+<+=003)(2x k x x x x f 在0=x 连续，求k 的值。
.30)(3),0()()(3)3(0)()(0)()(03)(,000lim 0lim 022=∴====∴=+===+=<∴+=<-+→-→+-+k x x f k f f f f kk x f x f X x f x x x x x 处连续。
在时，即而是连续的。
时在是初等函数当47、函数⎩⎨⎧≥+<-=0202)(2x k x x x x f 在0=x 连续，求k 的值。
2)0()()(0)(2)2(0)()2(0)()(02)(00lim 0lim 02-=∴==∴=≡-=-==+=<∴-=-+→-→+-+k f f f x x f x f kk f x f x x x f x x x 处连续在右极限时当左极限是连续的。
时在是初等函数当 48、计算极限)112(lim 2x x x +-∞→=2 49、计算极限xx x arctan lim ∞→=0 50、计算极限 xx x 5sin lim 0→=5 51、计算极限 x x x 35sin lim 0→=35 52、计算极限x x x 3sin 5sin lim 0→35 53、计算极限x x x 35tan lim 0→=3554、计算极限32lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=e 6- 55、计算极限x x x 11lim 0-+→=21 56、计算极限2)11(lim x x x+∞→=e 21 57、计算极限122lim x x x x →∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭=1 58、计算极限3lim 1x x x x -→∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭=e1 59、计算极限313lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x =e 4 60、计算极限xx x 3tan tan lim 2π→ 32cos 26cos 62sin 6sin (3(lim lim)3sec )sec lim22222====→→→xx x x x x x x x πππ解：原式61、计算极限xx x ln cot ln lim 0+→=-1 62、计算极限2112lim()11x x x →---=21 63、函数2arctan x y =，求y '。
x y x4'12+=64、函数2)(arcsin x y =，求dy y ,'dxxdy xx x y 22'1arcsin 21arcsin 2-=-= 65、函数x x e y 352-= ，求dy y ,'。
dxx x dy x x e e y x x3535'22)310()310(---=-= 66、求函数7186223---=x x x y 的单调区间和极值；拉格朗日中值定理。
61)3()(3)1()(.)(31--)(3,1-3,10'''2'3103,1.018126-===-=∞+∞∴>-<><<-<=-==--=f x f f x f x f x f x x y y y x y x x x x 极小值：极大值：为增函数），函数，），（，在（为减函数，）区间内，函数在（即即解得：令解： 67、 求函数xx y 82+= 的单调区间和极值。
8)2(:,8)2(:),2(),2,)2,2()(2,2082'2'-=-=+∞-∞--∴=-==-=f f x f x x y x y 极小值极大值区间内是减函数。
区间内是增函数，在（在，解得：令 68、 求函数)1ln(2x x y ++= 的单调区间。
区间内是单调递增在恒成立恒大于零),1()(0)(0)0(0111112)(11min '222''+∞-∴>∴==∴>+=++++=->∴>++x f x f f x xx f y x x x y x x x69、求函数)1ln(x x y +-= 的单调区间和极值。