数学七年级下册第五章生活中的轴对称
重合
轴对
称图形
对称轴
2.如果_________平面图形沿一条直线折叠后能够完全 _________两,那个么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做 这3.两轴重个对合图称形的的性_质_:_在__轴__对__称__图. 形或两个成轴对称的图 形中,对应点所连对的称线轴段被对称轴_____________,对 应线段_________,对应角_________.
相等
垂直平分 相等
【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 判断题: (1)轴对称图形只有一条对称轴 ( ×) (2)轴对称图形的对称轴是一条线段 ( ×) (3)两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形 √( ) (4)轴对称图形指两个图形 ( × )
知识点一 轴对称与轴对称图形(P115议一议拓展) 【典例1】下列图形中,是轴对称图形的是 ( )
第五章 生活中的轴对称 1 轴对称现象
2 探索轴对称的性质
【知识再现】 能够_____________的两个图形称为全等图形. 全等图形完的全对重应合边_________,对应角_________.
相等
相等
【新知预习】阅读教材P115—P116,P118—P119,解决 以下问题: 1.如果_________平面图形沿一条直线折叠,直线两旁 的部分能够互相_________,那么这个图形叫做_______ _________一,这个条直线叫做___________.
【一题多变】 如图,已知点O是∠APB内的一点,M,N分别是点O关于
PA,PB的对称点,连接MN,与PA,PB分别相交于点E,F,已知 MN=6 cm. (1)求△OEF的周长. (2)连接PM,PN,若∠APB=α,求 ∠MPN(用含α的代数式表示).
解:(1)因为M,N分别是点O关于PA,PB的对称点,所以 EM=EO,FN=FO,所以△OEF的周长=OE+OF+EF=ME+FN+EF =MN=6 cm. (2)连接OP, 因为M,N分别是点O关于PA,PB的对称 点,所以∠MPA=∠OPA,∠NPB=∠OPB, 所以∠MPN=2∠APB=2α.
1.如图,正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六
边形A′B′C′D′E′F′,下列判断错误的是 A.AB=A′B′
B( )
B.BC∥B′C′
C.直线l⊥BB′
D.∠A=∠A′
★2.(易错警示题)下列语句中,正确的个数有 ( )
世纪金榜导学号
B
①两个关于某直线对称的图形是全等的
②两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的
3 简单的轴对称图形 第1课时
【知识再现】 1.有两条边___相__等____的三角形叫做等腰三角形. 2.三边都相等的三角形是___等__边____三角形,也叫正三 角形. 3.轴对称图形对应点连线被对称轴___垂__直__平__分____,对 应角和对应线段都___相__等____.
【新知预习】阅读教材P121,解决以下问题: 等腰三角形具有以下性质: 性质1:等腰三角形是___________图形. 性质2:等腰三角形顶角的___________、底边上的 _________、底边上的__轴__对__称_重合(也称“三线合 一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
2.如图,AB是△ABC的一条边,DE是AB的垂直平分线,垂 足为E,并交BC于点D,已知AB=8 cm,BD=6 cm,那么EA= _________,DA=_________.
4 cm
6 cm
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D, 点D到AB的距离为5 cm,则CD=_________.
2.在△ABC中,AB =AC,∠A=80°,则∠B=_________. 50°
知识点一 等腰三角形(P121内容拓展)
【典例1】若一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则
这个等腰三角形的周长是 ( )
A.8
B.10
C.8或10
D.6或12
B
【学霸提醒】 1.要注意分类的数学思想 一边可以是腰长,也可以是底边; 一角可以是顶角,也可以是底角. 2.求边长一定要进行三边关系的判断 三角形任意两边之和大于第三边. 3.会用代数方法解决几何问题.
2
★2.如图,过等边△ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,
则∠2的度数是 ( )
A.100° B.80° C.60° D.40°
A
★3.如图,在等边△ABC中,点D为BC边上的点,DE⊥BC 交AB于点E,DF⊥AC于点F,则∠EDF的度数为________.
60°
★★4.如图所示,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB
(3)直线l垂直平分CC′.
(4)直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【学霸提醒】
轴对称的性质 (1)成轴对称的两个图形是全等形. (2)对称轴是对应点连线的垂直平分线. (3)对应线段或者平行,或者共线,或者相交.如果相交, 那么交点一定在对称轴上.
【题组训练】
于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则四个结论:①点P在∠BAC
的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP,正
确的结论是 世纪金榜导学号( )
A.①②③④
B.只有①②
C.只有②③
D.只有①③
A
【火眼金睛】 如图,点D,E在△ABC的BC边上,AB=AC,AD=AE.说明:BD =CE.
★3.如图,在△ABC中,若AB=AC,∠A=40°,O点是△ABC 的角平分线BD及高线CE的交点,则∠DOC的度数为 _________.
55°
★★4.如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且
AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为 世纪
金榜导学号( )
A.50°
【正解】因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED,又因为AB=AC, 所以∠B=∠C,所以△ABE≌△ACD,所以BE=CD,所以BEDE=CD-DE,所以BD=CE.
【一题多变】 如图,∠MON=30°,点A1,A2,A3…在射线ON上,点B1,B2,B3…在
射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,从左 起第1个等边三角形的边长记为a1,第2个等边三角形的边长记 为a2,以此类推.若OA1=1,则a2 018= ( ) A.22 014 B.22 015 C.22 016 D.22 017
B.51°
C.51.5° DD.52.5°
知识点二 等边三角形(P121“想一想”拓展) 【典例2】如图,已知:在等边三角形ABC的AC边上取中 点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.试说明:∠DBC =∠E.
【自主解答】因为△ABC是等边三角形, 所以∠ABC=∠ACB=60°, ∠ACE=120°. 因为D为 AC中点,AB=BC, 所以∠DBC=∠DBA= ∠ABC=30°.
所以S△DEF=S△ABC=6 cm2, AB =DE=3 cm, DE上的高等于AB上的高, 因为S△ABC= ·AB·h, 所以h=6×2÷3=4(cm).
1 2
【火眼金睛】 圆的对称轴为 ( )
A.圆的直径 B.圆的半径 C.过圆心的直线 D.圆的直径或半径
【正解】选C.对称轴是直线,圆的对称轴是圆的直径所 在的直线.
A.圆
B.正方形
A
C.角
D.线段
★★4.下列图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形, 请画出它的对称轴.
解:略
知识点二 轴对称的性质(P118内容拓展)
【典例2】如图,△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,下列结
论中正确的有 ( ) B (1)△ABC≌△A′B′C′.
(2)∠BAC=∠B′A′C′.
1.线段是轴对称图形,角是___________图形
23..点点AA到到点直B线的l的距距离离是是__过__点__A_作_轴_l_的对_的垂称长线,所得________
的长
段线AB
垂线段
【新知预习】阅读教材P123-P126,解决以下问题: 1.(1)画一条线段AB,然后对折AB,使A,B两点重合; (2)在折痕上任取一点,测量这个点到点A和点B的距离.
两旁
③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线,
就是它们的对称轴
④平面内两个全等的图形一定关于某直线对称.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
★3.如图,△ABC关于直线l的轴对称图形是△DEF, 如 果△ABC的面积为6 cm2,且DE=3 cm,求△ABC中AB边上 的高h.
解:因为△ABC关于直线l的轴对称图形是△DEF,
B
【学霸提醒】
轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别:①轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对
一个图形而言的;②轴对称描述的是两个图形的位置, 而轴对称图形是一个具有特殊形状的图形.
联系:①两个定义中都有沿着某一条直线折叠后 重合这一条件,这条直线叫做对称轴;②一个轴对称图 形被对称轴分成轴对称的两个图形;反之,把成轴对称 的两个图形看成一个整体时,就成为一个轴对称图形.
1 2
因为CE=CD, 所以∠E=∠EDC= ×(180°-∠ACE)=30°. 所以∠DBC=∠E. 1
2
【学霸提醒】
等边三角形的性质的应用 1.已知等边三角形一边,可知另两边及周长. 2.已知等边三角形,可知每个内角是60°.
【题组训练】
1.如图,在等边△ABC中,BD⊥AC于点D,若AB=4,则 AD=______.
【题组训练】 1.(2019·呼和浩特中考)甲骨文是我国的一种古代文 字,下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨 文,其中不是轴对称的是 ( ) B
生活中的轴对称知识要点
七年级数学第五章生活中的轴对称第一部分知识要点1、轴对称现象如果一个图形沿着一条折叠，直线两旁的部分能够互相，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作它的．对称轴是直线．对于个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成，这条直线就是对称轴．2、简单的轴对称图形（1）角是轴对称图形，它的对称轴是它的平分线所在的直线．角平分线上的点到的距离相等；到一个角的两边距离相等的点，在上．（2）线段是轴对称图形，线段的是它的一条对称轴．线段的上的点到这条线段两个端点的距离相等．的点，在这条线段的垂直平分线上．轴对称和轴对称图形的区别与联系：区别：(1)轴对称是________个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；(2)轴对称是对两个图形说的，轴对称图形是对_______个图形说的．联系：(1)它们的定义中，都有沿某直线折叠，图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反过来，把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称．3、探索轴对称的性质轴对称图形的对应点所连的线段被垂直平分．如果对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．轴对称图形相等，相等．4、等腰三角形的性质（1）对称性：________________________________________________________________________ (2)“三线合一”:________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (3)“等边对等角”:________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5、线段垂直平分线的定义：_________于一条线段，并且__________这条线段的______________.。
北师大版七年级下册数学《利用轴对称进行设计》生活中的轴对称PPT教学课件
利用轴对称变换设计美丽图案
轴对称变换：
像上面那样，由一个平面图 形得到它的轴对称图形叫作轴对称 变换.
典例精析
例1 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于 直线l对称的图形.
l
A A′
C B
C′ B′
∴△A′B′C′即为所求.
例2 某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地(如 下图)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案 由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且 使整个矩形场地成轴对称图形．请在下边长方形中 画出你的设计方案．
是轴对称图形.
走进生活，动手创作
观察图案： （1）它们是轴对称图形吗？ （2）生活中这些图案可以代表什么含义？ （3）自己设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图.
利用两个圆、两条线段、两个三角形设计 一个轴对称图案，并说明你的设计意图和要表 达的含义.
当堂练习
1. 如图给出了一个图案的一半，其中的虚线 l 是这个
解：如图所示．
做一做
取一张长30厘米、宽6厘米的纸条，将它每3厘米一 段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来，并在折 叠好的纸上画出字母E.用小刀把画出的字母E挖去， 拉开“手风琴”，你就可以得到一条以字母E为图 案的花边.
在上面的活动中，如果先把纸条纵向对折，再 折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时 会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？
（1）你会得到怎样的图案？先猜一猜，再做一做.
（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过 的轴对称知识试一试.
两次对折折出了2条对称轴，因此图案中一定有2条对称轴.
（3）如果将正方形按上面方式对折3次，然后沿圆 弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？
三次对折折出了4条对称轴，因此图案中一定有4条对称轴. （4）当纸对折2次后，剪出的图案至少部分的面积相等． (2)答案不唯一，如图所示：
七年级数学下册第五章轴对称的应用将军饮马问题课件(新版)北师大版
A P
B l
B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、QB、 QB/，如图所示。
∵PA+PB=PA+PB/=AB/ QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和大 于第三边）
∴PA+PB＜ QA+QB 即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
小试牛刀
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛 奶，已知居民区A、B分别距离街道1km、2km，两居民区水平距 离4km，请问奶站修建在什么地方才能使得A，B到它的距离之和 最短？最短距离是多少？
C
居民区A 街道
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这 个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？
B A
l
任务驱动 启迪智慧
问题
A
1、截至目前， 你学到那些最短 问题？
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
直线段路径
课后拓展延伸
课后作业
1、如图，菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=600，E是AB 的中点，点P是对角线AC上的一个动点，请找出使得 PE+PB的值最小时点P的位置（找出位置即可）
D
A
P C
E B
课后拓展延伸
☆一点P,让PB与PA 的差最大，并给出证明！
新编【北师大版】2020年春七年级下册数学：第五章-生活中的轴对称-章末复习(含答案)
期末复习(五) 生活中的轴对称01 知识结构生活中的轴对称⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧轴对称现象⎩⎪⎨⎪⎧轴对称图形两个图形成轴对称轴对称的性质⎩⎪⎨⎪⎧对应点所连的线段被对称轴垂直平分对应线段相等，对应角相等简单的轴对称图形⎩⎪⎨⎪⎧等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质角平分线的性质利用轴对称进行设计本章知识在考试中涉及的考点主要有：识别轴对称图形，运用轴对称的性质求线段或角，运用等腰三角形、线段垂直平分线或角平分线的性质求三角形中的角度和边长，证明三角形中相关角度或边长之间的关系等． 02 典例精讲【例1】 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是(D)【思路点拨】 选项A ，B ，C 的图形中分别有1条对称轴；而选项D 的图形中有4条对称轴，在几个备选项中对称轴最多．【方法归纳】 本题考查轴对称图形及对称轴的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，其中这条直线叫做对称轴．轴对称图形是针对一个图形本身而言，成轴对称是对两个图形而言，注意他们的本质区别．【例2】 (黄冈中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为点D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为36°.【思路点拨】 根据垂直平分线的性质可得边相等，再由等腰三角形的性质得角相等．【方法归纳】 此题主要借助等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理等几何知识来求解． 【例3】 如图1，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图2，在△A BC 中，∠ACB 是直角，∠B ＝60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，AD ，CE 相交于点F.请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；(2)如图3，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【思路点拨】首先按题意要求完成画图(作出全等三角形)，易联想到全等三角形的性质、判定及角平分线的性质等相关知识，为解决后面的问题提供了探究的途径和方法．【解答】画图略．(1)FE与FD之间的数量关系为FE＝FD.(2)FE＝FD仍然成立．理由：在AC上截取AG＝AE，连接FG.因为∠BAD＝∠DAC，AF为公共边，所以△AEF≌△AGF. 所以∠AFE＝∠AFG，FE＝FG.因为∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠DAC＋∠FCA＝60°.所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°.所以∠CFG＝60°.又因为∠FCA＝∠DCE，FC为公共边，所以△CFG≌△CFD.所以FG＝FD.所以FE＝FD.【方法归纳】本例是一道设计新颖的几何结论探究性试题，旨在考查学生应用所学知识解决三角形有关问题的综合能力．解决此类问题重点抓住全等三角形的判定和性质及角平分线的性质解题．【例4】如图，有一条小船及A，B两点，如果该小船先从点A航行到达岸边l的点P处补货后，再航行到点B，但要求航程最短，试在图中画出点P的位置．【思路点拨】题目要求航程最短，就是在岸边l上找一点P，使点P到A，B的距离之和最短．只要找出A点关于l的对称点A′，连接A′B，A′B与l的交点就为所求的P点．【解答】(1)作出点A′，使点A′与点A关于直线l成轴对称．(2)连接A′B交直线l于点P，则点P为所求，如图所示．【方法归纳】由轴对称性质可知AP＝A′P，要使AP＋PB的和最小，即A′P＋PB的和最小，于是求出点P的位置的问题，转化为“两点之间，线段最短”的问题．03整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．(龙东中考)下列交通标志图案是轴对称图形的是(B)2．如图所示的轴对称图形中，对称轴最多的是(B)3．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是(C)A．20° B．50°C．65° D．80°4．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是(D)A．△ABD≌△ACDB．AF垂直平分EGC．∠B＝∠CD．DE＝EG5．(凉山中考)如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为(C)A．30° B．45°C．60° D．75°6．如图，已知五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1关于直线MN对称，点B到直线MN的距离是3，则下列说法中正确的是(B)A．点A1到MN的距离是3B．点B1到MN的距离是3C．点C1到MN的距离是3D．点D1到MN的距离是37．(丹东中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为(D)A．70°B．80°C．40°D．30°8．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点A′处，BC为折痕，若BE是∠A′BD的平分线，则∠CBE的度数为(C)A．65° B．115°C．90° D．75°9．下列说法不正确的是(D)A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等C．圆有无数条对称轴D．等腰三角形的对称轴是底角平分线所在直线10．如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是(D)A．△ACE≌△BCDB．△BGC≌△AFCC．△DCG≌△ECFD．△ADB≌△CEA二、填空题(每小题4分，共20分)11．在方正黑体字：“幸、福、开、阳”中，是轴对称图形的字是幸．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边中点，∠BAD＝20°，则∠CAD＝20°.13．如图，△ABC与△A1B1C1关于某条直线成轴对称，则∠A1＝75°.14．如图，D，E为AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，点A落在点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝80°．15．(河南中考)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，若CD ＝AC ，∠B ＝25°，则∠ACB 的度数为105°．三、解答题(共50分)16．请作出图中四边形ABCD 关于直线a 的轴对称图形，要求：不写作法，但必须保留作图痕迹．解：如图所示，四边形A ′B ′C ′D ′即为所求．17．(6分)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F ，∠BFE 与∠D 相等吗？并说明理由．解：∠BFE ＝∠D. 理由：因为AB ＝AC ， 所以∠B ＝∠C. 因为DE ⊥BC ，所以∠BEF ＝∠DEC ＝90 °. 在△BEF 和△CDE 中，因为∠B ＝∠C ，∠BEF ＝∠DEC ， 所以∠BFE ＝∠D.18．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，把△BCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，若∠DBC ＝15°，求∠BOD 的度数．解：因为AD ∥BC ，∠DBC ＝15°，所以∠BDO ＝15 °. 由折叠可知，∠DBC ＝∠DBO. 所以∠BDO ＝∠DBO ＝15 °. 又因为三角形内角和为180 °， 所以∠BOD ＝180 °－2∠DBO ＝180 °－2×15 ° ＝150 °.19．(10分)某中学七(2)班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C 处，请你在图上帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．解：①分别作点C 关于OA ，OB 的对称点M ，N ；②连接MN ，分别交OA 于点D ，OB 于点E ，则C →D →E →C 为所求的行走路线．图略．20．(12分)如图所示，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D. (1)求∠DBC 的度数；(2)若△DBC 的周长为14 cm ，BC ＝5 cm ，求AB 的长．解：(1)因为AB ＝AC ， 所以∠ABC ＝∠C. 因为∠A ＝40 °，所以∠ABC ＝180 °－40 °2＝70 °.因为MN 是AB 的垂直平分线， 所以DA ＝DB.所以∠DBA ＝∠A ＝40 °.所以∠DBC ＝70 °－40 °＝30 °.(2)因为MN 垂直平分AB ，所以DA ＝DB.△DBC 的周长为BD ＋DC ＋BC ＝DA ＋DC ＋BC ＝AC ＋BC. 因为△DBC 的周长为14 cm ，BC ＝5 cm ， 所以AC ＝14－5＝9(cm )． 所以A B ＝9 cm .21．(12分)如图1所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 或BC 的延长线于点M.(1)如图1所示，若∠A ＝40°，求∠NMB 的大小；(2)如图2所示，如果将(1)中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小； (3)你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．解：(1)因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠ACB.所以∠B ＝12(180 °－∠A)＝12(180 °－40 °)＝70 °.又因为∠BNM ＝90 °，所以∠NMB ＝90 °－∠B ＝90 °－70 °＝20 °. (2)同理可得：∠NMB ＝35 °.(3)猜想规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边延长线的夹角等于顶角的一半，即∠NMB ＝12∠A.理由：因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ＝12(180 °－∠A)．因为∠BNM ＝90 °，所以∠NMB ＝90 °－∠B ＝90 °－12(180 °－∠A)＝12∠A.故∠NMB ＝12∠A.。
新北师大版七年级数学下第五章《生活中的轴对称》学案及答案
第五章生活中的轴对称第一课时 5.1 轴对称现象一、学习目标:1、经历观察、分析现实生活实例和典型图案的过程，认识轴对称和轴对称图形培养学生探索知识的能力与分析问题、思考问题的习惯。
2、会找出简单对称图形的对称轴,了解轴对称和轴对称图形的联系与区别。
二、学习重点：通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析，认识轴对称和轴对称图形,会找出简单的轴对称图形的对称轴.三、学习难点：找出简单轴对称图形的对称轴与理解轴对称和轴对称图形的联系与区别（一）预习准备（1）预习书115~117页（2)预习作业：1．如图所示的几个图案中,是轴对称图形的是（）2．如图所示,下面的5个英文字母中是轴对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图所示的图案中，是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（二）学习过程：1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做_______图形，这条直线叫做_______.2、对称轴是一条_______，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴.3、把一个图形沿着一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这_______图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
4、轴对称图形与轴对称的区别:区别：轴对称是_______图形的位置关系，而轴对称图形是_______具有特殊形状的图形. 5．你认识世界上各国的国旗吗？如图7-4所示，观察下面的一些国家的国旗，是轴对称图形的有（ )A．甲乙丙丁戊 B．甲乙丁戊 C．甲乙丙戊 D．甲乙戊6．小红将一张正方形的红纸沿对角线对折后，得到等腰直角三角形，然后在这张重叠的纸上剪出一个非常漂亮的图案,她拿出剪出的图案问小冬，打开后的图案的对称轴至少有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条7．如图所示，从轴对称的角度来看，你觉得下面哪一个图形比较独特？简单说明你的理由．8．观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴?在图中画出所有的对称轴．9．如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？•请指出这个图形，并简述你的理由．拓展：1．如图所示，以虚线为对称轴画出图形的另一半．回顾小结：1．如果一个图形沿某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做。
北师大版数学七年级下册《 第五章 生活中的轴对称 5-4 利用轴对称进行设计》教学课件
连接中考
（2020•吉林）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每
个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网
格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB
关于某条直线对称，且M，N为格点．
3. 利用轴对称进行简单的图形设计. 2. 能按要求画出一个图形关于某条直线对称的 另一个图形. 1. 进一步理解图形轴对称的性质.
探究新知
知识点
利用轴对称进行图案设计
剪纸在生活中经常见到，你知道它是利用图形的轴对称性
进行设计的吗？
探究新知
做一做: 取一张长30cm、宽6cm 的纸条，将它每3cm一段，一反一 正像 “手风琴”那样折叠起来. 在折叠好的纸上画出字母 E，并用小刀把画出的字母E挖去. 拉开“手风琴”纸条， 你就可以得到一条以字母 E 为图案的花边．
北师大版 数学 七年级 下册
5.4 利用轴对称进行设计
导入新知
“对称是一种思想，通过它，人们毕生追求，并创 造次序、美丽和完善…”在我们生活的世界中，许多 美丽的事物都是利用轴对称设计的，它们不仅装点了 我们的生活，更让我们感受到了自然界的美与和谐.下 面就让我们动脑动手发现美、感受美、创造美.
素养目标
课堂检测
解：（1）答案不唯一，例如，所给的四个图案具有的共 同特征可以是：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小 正方形的面积之和；③都是直线型图案；④图案中不含钝 角等等．只要写出两个即可．
（2）答案不唯一，只要设计的图案同时具有所给出的两 个共同特征，均正确， 例如，同时具备特征①、②的部分图案如图：
解：如图所示；
七年级数学下册第五章生活中的轴对称知识归纳
第五章生活中的轴对称轴对称图形轴对称分类轴对称角平分线轴对称实例线段的垂直平分线等腰三角形等边三角形生活中的轴对称轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质图案设计轴对称的应用镶边与剪纸一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点:（1）指一个图形；(2）存在一条直线(对称轴）；（3)图形被直线分成的两部分互相重合;（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条;（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；二、轴对称1、对于两个图形,如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
可以说成:这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意：(1）有两个图形;（2）沿某一条直线对折后能够完全重合;（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段;三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴（等边三角形除外）,其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。
7、等腰三角形底边上的高,底边上的中线，顶角的平分线互相重合,简称为“三线合一”。
8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。
七年级 下册 数学 PPT课件 精品课 第5章生活中的轴对称 角平分线的性质
（来自《点拨》）
知2－练
1 【中考·怀化】如图，OP为∠AOB的平分线， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列 结论错误的是( B ) A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
（来自《典中点》）
知2－练
2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若 AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC， DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.
解：∵CD是∠ACG的平分线， DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD DE
CD, DF,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
总结
因为∠AEB＝∠AOB＝90°， 所以∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°. 所以∠OAF＝∠OBD. 又因为OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°， 所以△AOF≌△BOD(ASA)． 所以AF＝BD. 所以BD＝2AE.
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方 法 4 截取作对称图形法
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝ 2∠B.
即为所求．
（来自《点拨》）
知识点 2 角的平分线的性质
做一做
(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的
两边将角剪下，将这个角对折，使 角的两边重合，折痕就是∠AOB的 平分线. (2)在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C 且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将 ∠AOB再次对折， 线段CD与CE能重合吗？ 改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?
北师大版七年级数学下册课件简单的轴对称图形
Ｂ
C
D
性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC 的中线．求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC．
A 证明：∵ AD 是底边BC 的中线，
∴ BD =CD．
∵ AB =AC，
A
B
C
等边三角形
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合
你画的图形说出它们有什么区分和联系？
A
A
B
CB
C
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形； 区分：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形 只有两条.
问题 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等； 从角的角度：等边对等角； 从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．
呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启示？
证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．求证：∠B =
∠C． A
证明：作底边的中线AD．
∵ AB =AC，
BD =CD，
AD =AD，
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
∴ ∠B =∠C．
Ｂ
C
D
证明等腰三角形的性质
你还有其他方法证明性质1吗？ 可以作底边的高线或顶角的角平分线. A
３．上面剪出的等腰△ABC是轴对称图形吗？如果是，其对 称轴是什么(借助图中的线表示)？
(1)由折叠和对称可知，在△ABC中，∠B与∠C的大小关系如 何;
(2)由折叠和对称又可知：∠BAD与∠DAC, BD与DC大小关 系如何， AD与BC的位置关系是什么？
学习目标
北师大版七年级数学下册课件：轴对称现象
A
B
C
D
4.【例2】下列四个图形:
其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
.下列“数字”图形中,有且仅有一条对称轴的是( A )
A
B
C
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.【例3】下列图形中,△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对 称的是( B )
A
B
C
D
如图,(1)属于轴对称图形的有 ①③④⑧⑩; (2)两个图形成轴对称的有 ②⑤⑥⑦⑨ .(填序号)
(2)找出如图所示的轴对称图形的对称轴.是否有些图形的对 称轴不止一条呢?
画对称轴略.一个轴对称图形的对称轴可以有1条,也可以有多 条,还可以有无数条.
对点训练 1.(1)下列是轴对称图形的是( D )
A
B
C
D
(2)(传统文化)甲骨文是我国的一种古代文字,下面是 “北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文,其中不是轴对称图形的 是( B )
第五章 生活中的轴对称
轴对称现象
学习目标
1.(课标)了解轴对称图形的概念,认识并欣赏自然界和现实生 活中的轴对称图形. 2.通过具体实例了解轴对称的概念(课标).理解成轴对称的图 形的意义,能够识别这些图形并能指出它们的对称轴.
知识要点
知识点一:轴对称图形 (1)如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能 够互相 重合 ,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫 做 对称轴 . 注意:对称轴是一条直线,不是射线或线段.
6.【例4】(北师7下P117改编)下面四个图形中,哪些是轴对称 图形?如果是轴对称图形,各有几条对称轴?分别画出来.