人教版九年级下册数学26.1.2.1反比例函数和性质
k 一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线， x 它具有以下性质：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. k 的正负决定反比例函 数所在的象限和增减性
A.
O
x
B.
O
x
y
y
x D.
O
C.
O
x
m2 3. 已知反比例函数 y 的图象在第一、三象 x 限内，则m的取值范围是________. m＞2
12 4. 下列关于反比例函数 y 的图象的三个结论： x (1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是 (1)(3) (填序号).
第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的 图象特征和性质的过程 (重点、难点) 2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质. (重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、
4
5
6 … …
－1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2
…
y
6 5 4 3 2 1
12 y x
6 y x
1 2 3 4 5 6x
描点：以表中各组对 应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘
出相应的点．
连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 6 得 y 的图象． x
提示：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的 第一象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.
观察与思考
k 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 y 的 x 图象，有哪些共同特征？
y
2 y x
y
6 y x
y
4 y x
O
x
O
x
O
x
回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究
m2 10
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得 m=3.
当堂练习
8 1. 反比例函数 y 的图象在 x A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限
( B)
1 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 y 的 x 图象大致是 ( B) y y
k 5. 已知反比例函数 y 的图象过点(－2，－3)，图象 x 上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1 > x2 > 0，则
y1－y2 ＜ 0.
－5，它的两个分支分别在 6. 已知反比例函数 y = mxm² 第一、第三象限，求 m 的值. －5 的两个分支分别在第 解：因为反比例函数 y = mxm² 一、第三象限，
－6－5－4－3－2－1O －1 －2 －3 －4 －5 －6
y
6 5 4 3 2 1
y 12 减 y 小 x
6 y xx增大
观察这两个函 思考： 数图象，回答问题：
－6－5－4－3－2－1O －1 －2 －3 －4 －5 －6
(1) 每个函数图象分 别位于哪些象限？ 1 2 3 4 5 6x (2) 在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何 变化？你能由它们的 解析式说明理由吗？
k (3) 对于反比例函数 y (k＞0)，考虑问题(1)(2)， x 你能得出同样的结论吗？ y
O
x
归纳：
k 反比例函数 y (k＞0) 的图象和性质： x
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
练一练
3 1. 反比例函数 y 的图象大致是 x
y y o
(C )
A.
o
x
.
o
x
D.
o
x
8 例2 反比例函数 y 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2， x y2)，且A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞
x2，则 y1与y2的大小关系为 A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2
(C ) D. 无法确定
讲授新课
反比例函数的图象和性质
合作探究
6 12 例1 画反比例函数 y 与 y 的图象. x x
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x
y y
… －6
6 … －1 x 12 … －2 x
－5
－4
－3 －2 －1 1 2 3
难点)
导入新课
情境引入 孙杨 2017游泳世锦赛 200米 自由泳夺冠精彩回放
7 月 30 日，2017 游泳世锦赛在西班牙布达佩斯的 多瑙河体育中心落下帷幕. 在 8 天的争夺中，中国代表 团不断创造佳绩，以 12 金 12 银 6 铜的成绩排名奖牌 榜第二. 孙杨在此次世锦赛中收获了个人世锦赛首枚 200 米自由泳金牌. 回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200米自由 泳比赛中，孙杨游泳所用的时间 t(s) 和游泳速度 v(m/s) 之间的数量关系吗？ 试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？
k 反比例函数 y (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的 x k 方法研究反比例函数 y (k＜0)的图象和性质吗？ x
y
2 y x
y
6 y x
y
y
4 x
O
x
O
x
O
x
归纳：
k 反比例函数 y (k＜0) 的图象和性质： x
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交； ●在每个象限内，y随x的增大而增大.
所以有
m2－5=－1，
m＞ 0 ，
解得 m=2.
能力提升： k 7. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 y (k＞0) x 的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1. 故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．
练一练
2 点(2，y1)和(3，y2)在函数 y 上，则y1 < y2 x (填“>”“<”或“=”).
例3 已知反比例函数 y a 1 x 大而增大，求a的值.
a2 a 7
，y 随 x 的增
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3.
练一练 已知反比例函数 y 3m 8 x 在每个象限 内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
课堂小结
k 反比例函数 y (k≠0) x
k
图象
k>0
图象位于第一、 三象限
k<0
图象位于第二、 四象限
性质
在每个象限内，y 随 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 x 的增大而增大
合集下载
人教版初中数学九年级下册 26.1.2 反比例函数的图像和性质(第1课时)课件 【经典初中数学课件】
60° 缩小 A1 60°
B
C B1
C1
∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1 AB = BC = AC ， A1B1 = B1C1 = A1C1
对应角相等
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 对应边成比例
对应角有什么关系？
正六边形 AF
120° B
放大 B1 E
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
1.反比例函数y= -
5 x
的图象大致是（
D）
y
y
A.
o
x B.
o x
y
y
C.
o
x D.
y
6
6y
5 4
y
=
6 x
3
y=
6 x
5 4
3
2
2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一 些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确． 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把 点的位置描错． 3.线连时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连 线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接． 4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点． 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
B
C B1
C1
∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1 AB = BC = AC ， A1B1 = B1C1 = A1C1
对应角相等
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 对应边成比例
对应角有什么关系？
正六边形 AF
120° B
放大 B1 E
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
1.反比例函数y= -
5 x
的图象大致是（
D）
y
y
A.
o
x B.
o x
y
y
C.
o
x D.
y
6
6y
5 4
y
=
6 x
3
y=
6 x
5 4
3
2
2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一 些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确． 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把 点的位置描错． 3.线连时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连 线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接． 4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点． 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
人教版初三数学9年级下册 第26章 26.1.2 反比例函数的图象和性质 教学课件(共22张PPT)
解：点A(-2,6)与点B（3，m）在同一反比例函数的图象上， ∴-2x6=3m 解得.m=-4 故答案为：-4.
典型例题 例3、反比例函数图象的一支如图所示,POM 的解析式是（D ）
的面积为2,则该函数
A． y 2 x
B． y 4 x
C． y 2 x
D． y 4 x
解: △POM 的面积为 2, 又 图象在第四象限,
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用 光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐 标轴相交。
x
故答案为：y＝ 12 。
x
课堂小结
1、反比例函数图像的画法 2、反比例函数图像的初步特征 3、反比例函数图像及其性质 4、k的的几何意义
感谢聆听，批评指导
THANK YOU
人教版数学九年级下册
第二十六章 反比例函数
教学目标
1、经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函 数模型的一般过程，体会建模思想。 2、会综合运用反比例函数的解析式，函数的图像以及性 质解决实际问题。 3、体验数形结合的思想。
重点难点
重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数 的主要性质。 难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。
图形(对称轴是直线 y =x 和直线 y =-x ).
知识清单
知识清单3 反比例函数图像及其性质
反比例函数
y= (k≠0)
k的符号
k>0
k<0
图象
图象位置
典型例题 例3、反比例函数图象的一支如图所示,POM 的解析式是（D ）
的面积为2,则该函数
A． y 2 x
B． y 4 x
C． y 2 x
D． y 4 x
解: △POM 的面积为 2, 又 图象在第四象限,
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用 光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐 标轴相交。
x
故答案为：y＝ 12 。
x
课堂小结
1、反比例函数图像的画法 2、反比例函数图像的初步特征 3、反比例函数图像及其性质 4、k的的几何意义
感谢聆听，批评指导
THANK YOU
人教版数学九年级下册
第二十六章 反比例函数
教学目标
1、经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函 数模型的一般过程，体会建模思想。 2、会综合运用反比例函数的解析式，函数的图像以及性 质解决实际问题。 3、体验数形结合的思想。
重点难点
重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数 的主要性质。 难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。
图形(对称轴是直线 y =x 和直线 y =-x ).
知识清单
知识清单3 反比例函数图像及其性质
反比例函数
y= (k≠0)
k的符号
k>0
k<0
图象
图象位置
人教版九年级下册 第26章 反比例函数 知识点总结
人教版九年级下册第26章反比例函数
知识点总结
一、定义和性质
- 反比例函数是指函数图象是一个直线通过原点，且函数关系
可以用等式 y = k/x 表示。
- 反比例函数的图象是一个双曲线的一个半支。
- 反比例函数的特点是当自变量x 取值越大时，函数值y 越小；反之，当自变量 x 取值越小时，函数值 y 越大。
二、图象和函数关系
- 反比例函数的图象在第一象限和第三象限中。
- 当自变量x 为正数时，函数值y 为负数，二者乘积恒为负数。
- 当自变量x 为负数时，函数值y 为正数，二者乘积恒为负数。
- 当自变量 x 为 0 时，函数值 y 不存在，因为分母不能为 0。
三、反比例函数的特殊情况
1. 当反比例函数的公式为 y = k，其中 k 为非零实数时，函数
图象为一条水平直线并通过 y 轴。
2. 当反比例函数的公式为 y = k/x，同时 k 的符号与 x 的符号相同，函数图象与 y 轴平行，且图象在第二象限和第四象限中。
四、解反比例函数的问题
- 解反比例函数的问题过程中，可以利用 x 和 y 的积恒为一个常数的关系来求解。
- 当已知 x1 和 y1，并且 x2 和 y2 满足 x1y1 = x2y2 时，可以求出反比例函数的公式 y = k/x，其中 k 为常数。
五、实际问题中的应用
- 反比例函数在实际问题中有广泛应用，例如比例尺、浓度稀释、油漆涂刷等问题均可以利用反比例函数来解决。
以上为人教版九年级下册第26章反比例函数的知识点总结。
参考资料：
- 人教版数学九年级下册教材。
26.1.2反比例函数的图像与性质 --(教学课件)- 初中数学人教版九年级下册
解：(1)∵这个函数的图象的一支位于第一象限 ∴另一支必位于第三象限
∵这个函数的图象位于第一、三象限
∴m-5>0, 即m>5
例题练习
例2.如图，它是反比例函数
图象的一支，根据图象，回答下
列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限?常数m 的取值范围是什么?
(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x₁,y₁)和点 B(x2,y2).如果 x₁>x2, 那么 y₁ 和y2有怎样的大小关系?
(2)∵m-5>0
∴在这个函数图象的任一支上，y 随 x 的增大而小 ∴ 当x₁>x2时 ，yi<y2
、练习1 1.下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是(D)
口
解析 ：A、
为反比例函数，在x<0 内，函数值y 随自变量x的值增大而增大，并且在x>0 内，
函数值y 随自变量x 的值增大而增大，故选项错误；
用描点法画出反比例函数
和
个
列表
的图象
X
-12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3
12
12 y=
X
-0.5 1
-1.5 -2 -3 0 6 3 2 1.5 1 0.5
-1 -2 -3 -4 -6- 12 12 6
321
描连 点线
观察反比例函数的y=⁶ 与
图象，回答下面的问题：
(1)反比例函数的图象是什么形状?
D.图像经过点(a,a+2),则a=1
练习3
解析：逐项分析如下.
选项
分析
A
3>0,∴图象位于第一、三象限.
是否符合题意 否
B
x≠0,y≠0,故图象与坐标轴无公共点.
人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质(1)》优秀教学设计
人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质（1）》优秀教学设计一. 教材分析人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质（1）》这一节，是在学生已经学习了正比例函数的基础上进行教学的。
本节内容主要介绍反比例函数的图象和性质，通过实例让学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象特征和性质，为后续的反比例函数应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于正比例函数的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，反比例函数相对于正比例函数来说，概念较为抽象，学生可能难以理解和接受。
因此，在教学过程中，需要通过具体实例和实际操作，帮助学生理解和掌握反比例函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生通过具体实例，理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象特征和性质。
2.培养学生运用函数知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质的理解。
2.反比例函数图象的特征和性质的掌握。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握反比例函数的图象和性质。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.反比例函数的图象和性质的相关案例。
3.学生分组合作学习的任务单。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾正比例函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用PPT展示反比例函数的图象和性质，让学生通过观察和分析，发现反比例函数的特点。
3.操练（20分钟）让学生通过实际操作，绘制反比例函数的图象，进一步理解和掌握反比例函数的性质。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固反比例函数的知识，提高解题能力。
5.拓展（10分钟）让学生运用反比例函数的知识，解决一些实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，让学生明确反比例函数的图象和性质。
人教版数学九年级下册第二十六章 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质
实践探究
1. 已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大
如何变化？
(2) 点B(3，4)、
、D(2，5)是
否在这个函数的图象上？
实践探究
2. 如图，它是反比例函数
的图象的一支.根据
图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么?
人教版初中数学九年级下册
第二十六章 反比例函数 26.1 .2反比例函数的图像和性质
(2)
重点
难点
温故知新
当k＞0时，图象分布在一、 三象限；在各自象限内，y 的值随x值的增大而减小．
当k＜0时，图象分布在二、 四象限；在各自象限内，y 的值随x值的增大而增大．
y
y
Ox
O
x
课前热身
(4)若反比例函数y =(2k+1)xk²-2 的图象分布 在二、四象限，则k = ．
(2) 在这个函数的图象的某一支上任取
点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2， 那么y1和y2有怎样的大小关系？
做一做
1.已知一个反比例函数的图象经过点A(3，-4). (1)这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上， y随x的增大如何变化？ (2)点B(-3，4)、点C(-2，6)和点D(3，4)是否在这个函 数的图象上？为什么？
做一做
实践探究
P N OM
实践探究
分析： ∵点P(x，y)，
y
∴OM= |x|，ON= |y|． ∵ SOMPN =OM·ON，
∴SOMPN =|x|·|y|．
N
P
M
O
Mx
P
26.1.2 反比例函数的图象和性质 课件 2024-2025学年人教版(2012)九年级下册数学
综合应用创新
解题秘方：紧扣反比例函数的系数k的几何意义，利用轴 对称、勾股定理、正方形的性质解决最小值问题，正确构 造“两点一线”型最小值的基本图形是解题的关键. 解：由题知k>0，∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标都为6，∠B＝90°. ∴ M(6，6k)，N(6k，6). ∴ BN＝6－6k，BM＝6－6k.
感悟新知
反比例函数 k的符号
k＞0
y＝kx(k ≠ 0)
k＜0
知2－讲
图象
图象位置 增减性
第一、第三象限
在每一个象限内，y 随x的增大而减小
第二、第四象限
在每一个象限内，y 随x的增大而增大
感悟新知
知2－练
例2
已知反比例函数y＝
m2 x
(m
≠
0)的图象过点(－3，－12)，
且反比例函数y＝mx 的图象位于第二、第四象限.
知1－练
1-1. (1)在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y＝6x与y＝ －6x的图象．
感悟新知
解：①列表：
知1－练
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 …
y＝6x … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 … y＝－6x … 1 1.2 1.5 2 3 6 …
感悟新知
知1－练
x …1 2 3 4
感悟新知
知2－练
2-2.
在反比例函数y＝
4－k x
的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，
y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是( C )
A. k＜0
B. k＞0
C. k＜4
D. k＞4
感悟新知
知3－讲
人教版九年级数学下册26.1.2第1课时反比例函数的图象和性质课件
y k(k＞0)的图象上， x
若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小.
①当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
，4
4 5
)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 y k ，因为点A(2，6)在其图象上，所
x
以有 6 k ，解得k=12.
2
所以反比例函数的解析式为 y 12 .
x
因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点B，C在
这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.
结论吗？
一般地，当k＞0时，对于反比例函数
y
k x
，由函数图象，并结合解析式，
我们可以发现：
(1)函数图象分别位于第一、第三象限； (2)在每一个象限内，y随x的增大而减小.
归纳： 反比例函数 y k (k＞0) 的图象和性质：
x
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交；
例1 画出反比例函数y 6 与 y 12 的图象.
x
x
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
y
6 x
… －1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数图象和性质课件
自变量与因变量的关系
在反比例函数中，自变量 $x$ 和因变量 $y$ 之间存在一种倒数关系。 当 $x$ 增大时，$y$ 减小；当 $x$ 减小时，$y$ 增大。这种关系反映 了反比例函数的基本特性。
函数值域及变化规律
函数值域：反比例函 数的值域为所有非零 实数。当 $k > 0$ 时 ，函数图象位于第一 、三象限；当 $k < 0$ 时，函数图象位于 第二、四象限。
变化规律
1. 当 $k > 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐增大到正无穷大 （或从负无穷大逐渐 减小到零）。
2. 当 $k < 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐减小到负无穷大 （或从正无穷大逐渐 增大到零）。
不具备单调性。
与一次函数比较
关系
一次函数 $y = ax + b$ (a ≠ 0) 和反比例函数无直接关联。
图象
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两条曲线。
性质
一次函数在其定义域内是单调的，而反比例函数在其定义域内不具备单调性。此外，一次 函数的值域为全体实数，而反比例函数的值域为除去使分母为零的点外的全体实数。
3. 在每个象限内，随 着 $x$ 的绝对值增大 ，函数值 $y$ 的绝对 值逐渐减小。
02
反比例函数图象绘制方法
列表法绘制步骤
确定自变量的取值范围，并在此范围 内选取若干个自变量的值。
列出表格，将自变量和对应的函数值 分别填入表格中。
根据反比例函数的解析式，求出与每 个自变量值对应的函数值。
根据表格中的数据，在坐标系中描出 各点，并用平滑的曲线连接各点，即 可得到反比例函数的图象。
在反比例函数中，自变量 $x$ 和因变量 $y$ 之间存在一种倒数关系。 当 $x$ 增大时，$y$ 减小；当 $x$ 减小时，$y$ 增大。这种关系反映 了反比例函数的基本特性。
函数值域及变化规律
函数值域：反比例函 数的值域为所有非零 实数。当 $k > 0$ 时 ，函数图象位于第一 、三象限；当 $k < 0$ 时，函数图象位于 第二、四象限。
变化规律
1. 当 $k > 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐增大到正无穷大 （或从负无穷大逐渐 减小到零）。
2. 当 $k < 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐减小到负无穷大 （或从正无穷大逐渐 增大到零）。
不具备单调性。
与一次函数比较
关系
一次函数 $y = ax + b$ (a ≠ 0) 和反比例函数无直接关联。
图象
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两条曲线。
性质
一次函数在其定义域内是单调的，而反比例函数在其定义域内不具备单调性。此外，一次 函数的值域为全体实数，而反比例函数的值域为除去使分母为零的点外的全体实数。
3. 在每个象限内，随 着 $x$ 的绝对值增大 ，函数值 $y$ 的绝对 值逐渐减小。
02
反比例函数图象绘制方法
列表法绘制步骤
确定自变量的取值范围，并在此范围 内选取若干个自变量的值。
列出表格，将自变量和对应的函数值 分别填入表格中。
根据反比例函数的解析式，求出与每 个自变量值对应的函数值。
根据表格中的数据，在坐标系中描出 各点，并用平滑的曲线连接各点，即 可得到反比例函数的图象。
人教版九年级数学下册：26.1.2反比例函数的图象和性质 课件(共19张PPT)
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：探究反比例函数图象的性质
活动3 探究三角形面积与k值
例2：如图，点A为 y k 上的任意一点，过点A分别作
x
轴的垂线，垂足为点B，求三角形ABO的面积。
y
k y= x
解：设点A的坐标为（a，b），则△ABO
的面积为 1 ab
k2
∵
y x
过点A（a，b）
∴ k=ab，即 k = 1 ab
的增大而减小．
（2）∵ y 12 时，x=2时，y=x6。
∴x=3时，y=4;
x
2
1 2
时， y
4
1 5
∴点B和点C在此反比例函数上，而点D（2，5）不在这个反比例函
数的图象上。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究四：反比例函数性质的应用
活动3 拓展提高，活学活用
例5：过反比例函数
y
k
y
1 x 的图象相交
于A、B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为（ ）
A.1 B.2
3 C. 2
5 D. 2
y
A
方法一：设点B的坐标为（m，n）
∵反比例函数y 1 过点B（m，n） x
∴mn=1
C
x
O
B
∴
S
BOC
1（ m）（ n） 2
1 mn 2
1 2
由反比例函数的对称性知：点A与点B关于原点O对称，即AO=BO
2
∴
S△ABO =
1 2
k
，
即△ABO的面积刚好等于k的绝对值的一半。
B
O
x
A