2020年全国硕士研究生招生考试(数学二)真题
2020年全国硕士研究生入学考试 数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上． 1.0x +
→，无穷小最高阶 A.
(
)
2
e 1d x t t -⎰
B.(0
ln 1d x
t ⎰ C.sin 20
sin d x
t t ⎰
D.1cos 0
t -⎰
2.()()()
11
ln 112x x
e
x
f x e
x -+=
--第二类间断点个数
A.1
B.2
C.3
D.4 3.
1
x =⎰
A.2π4
B.2π8
C.π4
D.π8
4.()()2
ln 1,3f x x x n =-≥时，()
()0n f
=
A.!2n n -
- B.!
2
n n - C.()2!n n -- D.()2!n n -
5关于函数0
(x,y)00
xy xy f x
y y x ≠⎧⎪
==⎨⎪=⎩
给出以下结论
①1(0,0)f x ∂=∂ ②21(0,0)
f x y ∂=∂∂③(x,y)(0,0)lim (x,y)0f →=④y 00limlim (x,y)0x f →→=正确的个
数是
.4.3.2.1A B C D
6. 设函数)(x f 在区间[]2,2-上可导，且0)()(>>'x f x f ，则（） A 1)1()2(>--f f B e f f >-)1()0( C 2)1()1(e f f <- D 3)
1()
2(e f f <-
7.设四阶矩阵()
ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组.*A 为A 的伴随矩阵.则方程组*
A x =0的通解为（）.
112233123112234123112334123122334123..A.+ ,,,B.+ ,,,C.+ ,,,D.+ ,,,..
x k k k k k k x k k k k k k x k k k k k k x k k k k k k =+=+=+=+αααααααααααα其中为任意常数其中为任意常数其中为任意常数其中为任意常数
8. 设A 为3阶矩阵，21,αα为A 属于1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于特征值-1
的特征向量，则满足⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-1000100011
AP P 的可逆矩阵P 可为（ ）.
A ),,(3231αααα-+
B ),,(3221αααα-+
C ),,(3331αααα--+
D ),,(3321αααα--+ 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．
9.设⎪⎩⎪⎨⎧++=+=)
1ln(1
22t t y t x ，则==1
2
2t dx y d .
10.
dx x dy y
⎰
⎰
+131
1= .
11. 设[])sin(arctan y x xy z ++=，则=)
,0(πdz .
12.斜边长为2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度
为g ，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为 13.设()y y x =满足20y y y '''++=，且()()0=00=1y y '，，则+0
()d y x x ∞=⎰
14.行列式
0110111101
1
a
a a a
--=--
三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.求曲线()
()101x
x
x y x x +=
>+的斜渐近线方程.
16.已知函数()f x 连续且()
()()100lim
1,d ,x f x g x f xt t x
→==⎰求()g x '并证明()g x '在
0x =处连续.
17.()33,8f x y x y xy =+-极值 18.暂缺
19.平面D 由直线1,2,x x y x ===与x
轴围成，计算d D
x y . 20.()2
1
e d .x
t f x t =
⎰
（1）证：存在()()()2
1,2,2e
;f ξξξξ∈=-
（2）证：存在()()2
1,2,2ln 2e .f ηηη∈=⋅ 21.()f x 可导，()()00f x x '>≥过原点O
上任意点M 切线与x 轴交于T ，MP x ⊥轴，(),,y f x MP x =轴围成面积与MTP ∆面积比为3:2，求曲线方程.
22.设二次型()2
2
2
123123121323,,222f x x x x x x ax x ax x ax x =+++++经可逆线性变换
112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得()22212312312,,42g y y y y y y y y =+++. （1）求a 的值; （2）求可逆矩阵P .
23. 设A 为2阶矩阵，),(ααA P =,其中α是非零向量且是不是A 的特征向量. （1）证明P 为可逆矩阵.
（2）若062
=-+αααA A ，求AP P 1
-，并判断A 是否相似于对角矩阵.。
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． 1.当0x +→时，下列无穷小量中最高阶的是（ ） A.2(1)xt e dt -⎰B.0ln(1xdt ⎰ C.sin 2sin xt dt ⎰D.1cos 0-⎰2.函数11ln(1)()(1)(2)x xe xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为（ ） A.1 B.2 C. 3 D.4 3.( )=⎰A. 24π B.28π C.4π D.8π4.已知2()ln(1),f x x x =-当3n ≥时，()(0)( )nf =A. !2n n --B.!2n n - C. ()2!n n --D.()2!n n -5.关于,0,(,),0,,0,xy xy f x y x y y x ≠⎧⎪==⎨⎪=⎩给出下列结论：（1）(0,0)1f x ∂=∂ （2）2(0,0)1f x y ∂=∂∂ （3）()(),0,0lim (,)0x y f x y →=（4）00limlim (,)0y x f x y →→=。
其中正确的个数为（ ）A.4B. 3C. 2D. 16.设()f x 在[]2,2-上可导，且()()0f x f x '>>，则（ ）A. (2)1(1)f f ->-B.(0)(1)f e f >-C.2(1)(1)f e f <-D.3(2)(1)f e f <-7.四阶方阵A 不可逆，120A ≠，1234,,,αααα为矩阵A 的列向量组，则*0A X =的通解为（ ）A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++8.A 为3阶方阵，12,αα为属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，满足1111P AP -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的可逆矩阵P 为（ ）A. ()1323,,αααα+-B.()1223,,αααα+-B. ()1332,,αααα+- D.()1232,,αααα+-二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．9.设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ，则==122d d t x y .10.求x x y yd 1d 1310⎰⎰+= .11.设()[],sin arctan y x xy z ++=则()=π,0d z .12.斜边长为a 2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中, 且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水密度为ρ，则三角形平板的一侧收到的压力为 .13.设()x y y =满足,02=+'+''y y y 且()00=y ，()10='y ，则()=⎰+∞x x y d 0.14.求=----aa a a 011011110110 .三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． 15.（本题满分10分）.求曲线()()011>+=+x x x y xx的斜渐近线。
2020考研数学二真题及答案,最新考研数学真题
2020年全国硕士研究生招生考试数学二答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(I )当x 今矿时，下列无穷小中最高阶的是(A )J ; 飞-l)d r (B )J: l n(l +护）d1(C)厂xsin t 2dt 。
（）(D )i 。
1一C O S X嘉巾［答案】(D )【解析】用导数定阶法(A )选项中j 仁－中t 求导得到e ·l--l-x 2, 则(A)选项阶数为3阶，。
(B )选项中J:·1n(1+扩�t 求导得到1n (1+左）－左，则(B }选项中阶数为:阶，2(C )选项中t 虹sin 户山求导得到sin (sin 气）-cosx-x2, 则(C)选项中阶数为3阶，(D)选项中厂s x品忒dt 求导得到sin 3l , 则(D)选项中阶数为5阶，。
✓ (-c o s x)s i n x -二-x 42✓2因此选(D).I(2)函数f(x)=产lnll+xl 的第二类间断点的个数为(e -'-l)(x-2)(B )2个(A ) I 个【答案】(C)【解析】（）(C)3个(D )4个Ilim f() e-'-1 In II+ x ie 一1xlx = lim =li m —=-一，,-➔Or ➔。
(c ?-l ){x -2)仁）o x (-2)2eII产叫l+xe 言l n l l +l l匝J(x )=lim= Jim =oo. x ->I .t ➔i '(e '-l )(x-2) ,,-+1"(e -l )(t -2)II产lnll+xe 百1n 11+ 21limf (x) = lim= Jim 2 =00'x ➔2., ➔ 2 (矿-l){x -2)·➔r (e -l)(x -2) I/() e x -I In l + Xlim x = lirn I I=oo' X ➔-1X ➔ -1(e x-l )(x-2)共3个，选(C).(3)f 1 a r c s m 石。
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解
x (0, 0)
xy (0, 0)
(x, y)→( 0,0 )
y→0 x→0
数是
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：B
6. 设函数 f (x) 在区间 − 2,2上可导，且 f (x) f (x) 0 ，则（）
A f (−2) 1 f (−1)
B f (0) e C f (1) e2 D f (2) e3
3.
1
0
arcsin
x (1−xx)源自dx=π2
A.
4
π2
B.
8
C. π
D. π
4
8
答案： A
解析： 1 arcsin xdx = arcsin2
0 x(1− x)
x
1 0
2 =
4
.
4. f ( x) = x2 ln (1− x), n 3 时， f (n) (0) =
A. − n! n−2
答案： A
+
y(x)dx =
0
解析：由
y + 2y + y = 0
y
(0)
=0，y
(
0)
y))dy
dz
(0, )
=
(
−1)dx − dy
12.斜边长为 2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度 为 g，水密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为
答案： 1 ega3 3
解析： a g(a − y)[ y − (− y)]dy = 1 ga3
0
3
13.设 y = y ( x) 满足 y + 2y + y = 0 ，且 y (0) =0，y(0) =1，则
2020研究生硕士数学二真题及答案解析
x1 (ex 1)(x 2) 1 e x1
；
1
e x1 ln 1 x ln 2
1
lim
lim e x1 ;
x1 (ex 1)(x 2) 1 e x1
1
e x1 ln 1 x e ln 3
1
lim f (x) lim
lim
x2
x2 (ex 1)(x 2) (e2 1) x2 x 2
故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。
【解析】构造辅助函数 F (x) ，由 F '(x)
，由题
ex
e2x
ex
f (x)
f (0) f (1)
意可知， F '(x) 0 ，从而 F (x) 单调递增.故 F (0) F (1) ，也即
，
ex
e0
e1
f (0)
又有 f (x) 0 ，从而
e .故选(B).
f (1)
（7）设 4 阶矩阵 A aij 不可逆，a12 的代数余子式 A12 0 ,1,2,3,4 为矩阵 A 的列向
x 0, y x0
x0
x0 x
x0 x
xy 0 x y , x 0 x , y 0 y , 从而 x, y 0, 0 时， lim f (x, y) 0 ， x, y0,0
③正确。
0, xy 0或y 0
lim f x, y
, 从而 lim lim f ( x, y) 0 ，④正确
（C） x k11 k23 k34 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数
（D） x k12 k23 k34 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数
【答案】（C）
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的渐近线方程为（ ）。
A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【正确答案】B【参考解析】由已知1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则可得： 1ln 11lim lim lim ln 11x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e 。
2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。
A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【正确答案】D【参考解析】当x ≤0时，可得：()(1d ln f x x x C ==++⎰当x ＞0时，可得：()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx xx x x xx x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰在x ＝0处，有：(110lim ln x x C C -→+=，()22lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+由于原函数在（－∞，＋∞）内连续，所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧+++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩。
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1[单选题]当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是()．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：2[单选题]A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：x=0，x=2，x=1，x=-1为间断点．3[单选题]A.B.C.D.正确答案：A参考解析：令，则4[单选题]已知函数f(x)=x2ln(1-x)，当n≥3时,f(n)(0)=()．A.B.C.D.正确答案：A参考解析：f(x)=x2ln(1-x)，n≥3．5[单选题]A.4B.3C.2D.1正确答案：B 参考解析：6[单选题]设函数f(x)在区间[-2，2]上可导，且f'(x)>f(x)>0，则 A. B. C. D.正确答案：B参考解析：由f'(x)>f(x)>0，x∈[-2，2]知即[lnf(x)一x]'>0．令F(x)=lnf(x)-x，则F(x)在[-2，2]上单调递增．因为-2<-1，所以F(-2)<F(-1)，即lnf(2)+2<lnf(-1)+1，同理，-1<0，F(-1)<F(0)，即ln f(-1)+1<ln f(0)，7[单选题]设四阶矩阵A=(a ij)不可逆，a12的代数余子式A12≠0，α1，α2，α3，α4为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的通解为()．A.x=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1，k2，k3为任意常数B.x=k1α1+k2α2+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数C.x=k1α1+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数D.x=k1α2+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数正确答案：C参考解析：因为A不可逆，所以|A|=0．因为A12≠0，所以r（A）=3，则r(A*)=1，故A*x=0的基础解系有3个线性无关的解向量．因为A*A=|A|E=0．所以A的每一列都是A*x=0的解．又因为A12≠0，所以α1，α3，α4线性无关，故A*x=0的通解为x=k1α1+k2α3+k3α4，故选C项．8[单选题]设A为三阶矩阵，α1，α2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，α3为A的属于特征值-1的特征向量，则满足的可逆矩阵P为()．A.(α1+α3，α2，-α3)B.(α1+α2，α2，-α3)C.(α1+α3，-α3，α2)D.(α1+α2，-α3，α2)正确答案：D参考解析：Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=-α3．所以P的1，3两列为1的线性无关的特征向量α1+α2，α2，P的第2列为A的属于-1的特征向量α3．则P=(α1+α2，-α3，α2)，故选D项．9[填空题]参考解析：【解析】10[填空题]参考解析：【解析】11[填空题]参考解析： (π-1)dx-dy 【解析】12[填空题]斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为p，则该平板一侧所受的水的压力为________．参考解析：【解析】建立直角坐标系，如图所示．13[填空题]参考解析：1【解析】∵特征方程λ2+2λ+1=0，14[填空题]参考解析：a4—4a2【解析】15[简答题]参考解析：因此，曲线的斜渐近线方程为16[简答题]已知函数f(x)连续，且，并证明g'(x)在x=0处连续．参考解析：17[简答题]求二元函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．参考解析：求一阶导数可得当x=0，y=0时，A=0，B=-1，C=0，AC—B2<0，故(0，0)不是极值点．当x=，y=时，A=1，B=-1，C=4，AC—B2>0，且A=1>0，故(，)是极小值点．18[简答题]参考解析：所以①×2-②×x2得19[简答题]设平面区域D由直线x=1，x=2，y=x与x轴围成，计算参考解析：积分区域如下图所示．20[简答题]设函数，证明：(I)(Ⅱ)参考解析：证明：(I)构造辅助函数F(x)=f(x)(x-2)=(x-2)，显然F(1)=0，F(2)=0，又F(x)在[1，2]上连续，(1，2)上可导，由罗尔定理知ξ∈(1，2)，使得F’(ξ)=0．21[简答题]设函数f(x)可导，且f'(x)>0，曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点0，其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP 及x轴所围成的面积与▲MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程．参考解析：设切点M坐标为(x，y)，则过M的切线方程为 Y—y=Y’(X-x)．令Y=0得X=x-．由题意得整理并求导得．22[简答题](I)求a的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P．参考解析：(I)23[简答题]设A 为二阶矩阵，P=(α，A α)，其中α是非零向量且不是A 的特征向量． (I)证明P 为可逆矩阵；(11)若A 2α+A α-6α=0，求P -1AP ，并判断A 是否相似于对角矩阵． 参考解析：(I)α≠0且α不是A 的特征向量，于是A α≠λα， 故α与A α线性无关， 则r(α，A α)=2， 则P 可逆．(II)解法一由已知有A2α=-Aα+6α，于是AP=A(α，Aα)=(Aα，A2α)=(Aα，-Aα+6α)因为P可逆，，所以可得A的特征值也为-3，2．于是A可相似对角化．解法二：P-1AP同解法一．由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，即(A+3E)(A-2E)α=0，由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，故|(A+3E)(A-2E)|=0，得|A+3E|=0或|A-2E|=0，若|A+3E|≠0，则有(A-2E)α=0，故Aα=2α与题意矛盾，故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0．于是A的特征值为λ1=-3，λ2=2，A有2个不同特征值，故A可相似对角化．。
2020考研数学二真题含答案解析
2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）当x 0时，下列无穷小量中最高阶的是A. （）x0(e 1)dte1x 1t 2 B.x0ln(1 t )dt3 C.sin x0sin t dt2 D.1 cos xsin 3tdt（2）函数f (x ) A.1个（3）ln1 x(e x 1)(x 2)的第二类间断点的个数为C.3个D.4个（）B.2个arcsin xx (1 x )dx 1（）2A.42 2B.8 C.(n )4D. 8（）（4）已知函数f (x ) x ln(1 x ),当n 3时，f A.(0)(n 2)!nD.n !n 2B.n !n 2 C.(n 2)!n（）xy ,xy 0 （5）关于函数f (x ,y )x ,y 0,给出下列结论： y ,x 0f ① x2f 1;②x yB.3(0,0)(0,0)1;③(x ,y ) (0,0)limf (x ,y ) 0;④lim lim f (x ,y ) 0.y 0x 0其中正确的个数为A.4（C.2D.1（D.）（6）设函数f (x )在区间 2,2 上可导，且f (x ) f (x ) 0.则A.）f ( 2)1f ( 1)B.f (0) e f ( 1)C.f (1) e 2f ( 1)f (2) e 3f ( 1)*（7）设4阶矩阵A (a ij )不可逆，a 12的代数余子式A 12 0， 1, 2, 3, 4为矩阵A 的列向量组，A 为A 的伴随矩阵，则方程组A *x 0的通解为A.x k 1 1k 22k 33,其中k 1,k 2,k 3为任意数B.x k 1 1k 22k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数C.x k 1 1k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数D.x k 12k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数（）（8）设A 为3阶矩阵， 1, 2为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量， 3为A 的属于特征值-1的特1001征向量，则满足P AP 0 10 的可逆矩阵P 可为001A.( 13, 2, 3)B.( 1 2, 2, 3)C.( 1 3, 3, 2)（）D.( 1 2, 3, 2)二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上.x t 2 1d 2y （9）设,则22dxy ln(t t 1)（10） ________.t 110dy1yx 3 1dx ________.(0, )（11）设z arctan xy sin(x y ),则dz ________.（12）斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水的密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为________.（13）设y y (x )满足y 2y y 0,且y (0) 0,y (0) 1,则y (x )dx ________.a（14）行列式a1 1 11a 0110a________.0 11三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15）（本题满分10分）x 1 x求曲线y x 0 的斜渐近线方程. 1 x x（16）（本题满分10分）已知函数f x 连续且lim x 01f (x ) 1,g (x ) f (xt )dt ,求g (x )并证明g (x )在x 0处连续.0x求函数f x ,y x 8y xy 的极值.33（18）（本题满分10分）21 x 2x 设函数f (x )的定义域为 0, 且满足2f (x ) x f.求f (x ),并求曲线2 x 1 x 213y f (x ),y ，y 及y 轴所围图形绕x 轴旋转所成转体的体积.22（19）（本题满分10分）设平面区域D 由直线x 1,x 2,y x 与x 轴围成，计算Dx 2 y 2dxdy .x设函数f (x ) x 1e t dt .22（Ⅰ）证明：存在 (1,2),使得f ( ) (2 )e ;（Ⅱ）证明：存在 (1,2),使得f (2) ln 2 e .2（21）（本题满分11分）设函数f (x )可导，且f (x ) 0，曲线y f (x )(x 0)经过坐标原点O ,其上任意一点M 处的切线与x 轴交于T ,又MP 垂直x 轴与点P .已知由曲线y f (x ),直线MP 以及x 轴所围图形的面积与 MTP 的面积之比恒为3:2，求满足上述条件的曲线的方程.设二次型f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2x 3 2ax 1x 2 2ax 1x 3 2ax 2x 3经过可逆线性变换222 x 1 y 1222x P 2 y 2 化为二次型g (y 1,y 2,y 3) y 1 y 24y 3 2y 1y 2. x y 33（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求可逆矩阵P .（23）（本题满分11分）设A 为2阶矩阵，P ( ,A ),其中 是非零向量且不是A 的特征向量.（Ⅰ）证明P 为可逆矩阵；（Ⅱ）若A A 6 0，求P AP ,并判断A 是否相似于对角矩阵.2 12020考研数学真题（数学二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．1.当x →0+时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.⎰x0(e -1)dtB.⎰ln(1+t )dtC.⎰0t 2x3sin x0sin t dtD.⎰21-cos xsin 3tdt解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。
2020考研数学二真题
绝密★启用前2020年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：302）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试题册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在答题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。
不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。
3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
5.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题（1）0x +→时，下列无穷小量中最高阶的是(A) 2(e 1)d xt t −∫(B) 0ln(1d xt +∫(C)sin 20sin d xt t ∫(D)1cos 0t −∫（2）11e ln |1|()(e 1)(2)x xx f x x −+=−−第二类间断点个数 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（3）0x =∫(A) 2π4(B) 2π8(C)π4 (D)π8（4）2()ln(1)3f x x x n =−， 时，()(0)n f =(A) !2n n −− (B) !2n n − (C) (2)!n n−−(D)(2)!n n− （5）关于函数0()00xy xy f x y x y y x ≠== =，，，，，给出以下结论①(00)1f x∂=∂，②2(00)1fx y ∂=∂∂，③()(00)lim ()0x y f x y →=，，，④00lim lim ()0y x f x y →→=，正确的个数是(A) 4 (B) 3 (C) 2(D) 1（6）设函数()f x 在区间[22]−，上可导，且()()0f x f x ′>>，则(A) (2)1(1)f f −>− (B) (0)e (1)f f >− (C)2(1)e (1)f f <− (D)3(2)e (1)f f <− （7）设4阶矩阵()ij a =A 不可逆，12a 代数余子式120A ≠，1234αααα，，，为矩阵A 的列向量组，∗A 为A 的伴随矩阵，则方程组∗=A x 0通解为 (A) 112233k k k =++x ααα，其中123k k k ，，为任意常数 (B) 112234k k k =++x ααα，其中123k k k ，，为任意常数 (C) 112334k k k =++x ααα，其中123k k k ，，为任意常数 (D) 122334k k k =++x ααα，其中123k k k ，，为任意常数（8）设A 为3阶矩阵，12αα，为A 属于特征值为1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于特征值1−的特征向量，则1100010001−=− P AP 的可逆矩阵P 可为 (A) 1323()+−αααα，， (B) 1223()+−αααα，， (C) 1332()+−αααα，， (D) 1232()+−αααα，，二、填空题（9）若ln(x y t == ，则221d d t y x ==____.（10）10d y x =∫____. （11）设arctan[sin()]z xy x y =++，则(0π)d z =，____.（12）斜边长为2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g ，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为____. （13）设()y y x =满足20y y y ′′′++=，且(0)0(0)1y y ′==，，则0()d y x x +∞=∫____.（14）行列式011011110110a a a a −−=−−____.三、解答题 （15）求曲线1(0)(1)xxx yx x +>+的斜渐近线方程.（16）已知函数()f x 连续且10()lim 1()()d x f x g x f xt t x→==∫，，求()g x ′并证明()g x ′在0x =处连续.（17）33()8f x y x y xy =+−，极值. （18）待补充.（19）平面D 由直线12x x y x ===，，与x轴围成，计算d Dx y . （20）21()e d xt f x x =∫（I ）证：存在2(12)()(2)e f ξξξξ∈=−，，； （II ）证：存在2(12)(2)ln 2e f ηηη∈=⋅，，.（21）()f x 可导，()0(0)f x x ′> 过原点O 上任意点M 切线与x 轴交于T ，MP x ⊥轴，()y f x MP x =，，轴围成面积与MTP ∆面积比为32：，求曲线方程. （22）设二次型222123123121323()222f x x x x x x ax x ax x ax x =+++++，，经可逆线性变换112233x y x y x y=P 得22212312312()42g y y y y y y y y =+++，，. （I ）求a 的值； （II ）求可逆矩阵P .（23）设A 为二阶矩阵，()=P αA α，，其中α是非零向量且不是A 的特征向量：（I ）证明P 为可逆矩阵；（II ）若260+−=A αA αα，求1−P AP ，并判断A 是否相似于对角矩阵.。
2020考研数学二真题
2020考研数学二真题2020年12月20日，在全国范围内举行了研究生入学考试，其中数学科目是所有考生必考的一门科目。
本文就为大家详解2020考研数学二真题，帮助考生们更好地备考数学科目。
一、考试概述2020考研数学二试卷总共分为两部分，共计150分，分为A卷和B卷。
其中，A卷是选择题，共75分，B卷是非选择题，共75分。
A卷共有12道选择题，每道题目5分，B卷共有7道大题，每道题目均分不等。
二、选择题分析考生在考试中完成选择题部分的答题时间为90分钟。
选择题主要考察数学基础的掌握程度，题目涵盖了高等数学中比较基础的知识点。
因此，考生在备考选择题方面应该注重基础知识的学习及练习。
本次考试的选择题难度适中，部分题目的答案与计算过程比较简单，但也有些题目需要考生有一定的数学思维、分析与推理能力。
1. 题目分析第一道选择题：设$z$是复数，$z=x+yi$，其中$x,y$是实数，若$(1+i)z=|z|^2$，则$x+y$的值是多少？2. 计算过程根据题目给出的信息，我们可以列出如下方程：$$ (1+i)(x+yi)=|x+yi|^2 $$化简可得：$$x-y=0 $$将$x=y$代入$x+y$中，可得：$$x+y=2x=2y$$所以$x+y=0$。
因此，答案为0。
3. 建议与总结通过对这一选择题的分析，我们可以看出，选择题虽然难度不高，但需要考生熟练掌握基础知识，能够在短时间内快速完成计算。
因此，考生在备考时需要做大量的题目练习，提高计算速度和准确率。
三、非选择题分析非选择题共有7道大题，每道题目的分值不等。
本次考试的非选择题难度适中，部分题目考查了考生的数学思维，需要考生有一定的创新能力和分析能力。
1. 题目分析第一道非选择题：已知$n$个实数$x_1,x_2,\dots,x_n$，它们的平均值是$\overline{x}$。
记$\max\{x_i\}-\min\{x_i\}$为极差，记$\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}$为标准差。
2023年考研数学真题卷及答案(数学二)
, y 3.已知 x n n 2023年全国硕士研究生招生考试（数学二）试题及答案解析一、选择题1.曲线1ln e 1y x x的斜渐近线方程为A. e.1B..eC..1D..ey x y x y x y xx 0,2.函数f (x ) (x 1)cos x ,x 0的一个原函数为 x ),x 0,A.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ) 1,x 0,B.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ),x 0,C.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0. x ) 1,x 0,D.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0.A.x n 是y n 的高阶无穷小.B.y n 是x n 的高阶无穷小.C.x n 与y n 是等价无穷小.D.x n 与y n 是同阶但不等价的无穷小.2,x n 1 sin x n ,y n 1 y n 2(n 1,2, ), 则当n 满足：x 1 y 11 时，C.B *A *B *A *BO A D.*8.设A,B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则A E OB A. A B * B *A *O B A * B.5.设函数y f (x )由 上有界，则B.a 0,b 0.D.a 0,b 0.4.若微分方程y ay by 0的解在 ，A.a 0,b 0.C.a 0,b 0.2,sin x t t y t t确定，则A.f (x )连续,f (0)不存在.B.f (0)存在,f (x )在x 0处不连续.C.f (x )连续,f (0)不存在.D.f (0)存在,f (x )在x 0处不连续.2x (ln1x )1d x 在 0处取得最小值，则 0 B. ln(ln 2)C.ln 12D.ln 26.若函数f ( )A.ln(l 1n 2)7.设函数f (x ) (x 2+a )e x ，若f (x )没有极值点，但曲线y f (x )有拐点，则a 的取值范围B.[1, )C.[1,2)D.[2, )A.[0,1)A B *A *B *O B A * B *A * A *B *BO A 9.二次型f (x 1,x 2,x 3) (x 1 x 2)2+(x 1 x 3)24(x 2 x 3)2的规范形为A.y 12y 22B.y 12y 22C.y 12y 224y 32D.y 12y 22y 322311 12 2 1 5 09 1 10.已知向量 1 , 2 , 1 , 2 .若 既可由 1, 2线性表示，也可由1, 2线性表示，则3 4 3 A.k,k R50 3 B.k1 ,k R1 2 1 C.k,k R1 D.k 58,k R二、填空题11.当x 0时，函数f (x ) ax bx 2 ln(1 x )与g (x ) e x 2cos x 是等价无穷小,则ab______.12.曲线yt 的弧长为_______.2(1,1)=______.2z13.设函数z z (x ,y )由e zxz 2x y 确定,则 x14.曲线3x 3 y 5 2y 3在x 1对应点处的法线斜率为______.15.设连续函数f (x )满足：f (x 2) f (x ) x ,13f (x )d x ______.2f (x )d x 0,则131221111a x a2x x 0a 21ax x ax 3a a a2 bax 1 bx 22 ax 1 x3 1，0，16.已知线性方程组 有解，其中a ,b 为常数，若1 4,则10，三、解答题17.设曲线L :y y (x )(x e )经过点(e 2,0),L 上任一点P (x ,y )到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距.(1)求y (x );(2)在L 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积.22x 的极值.18.求函数f (x ,y ) x ecos y19.已知平面区域D {(x ,y )|0 y x 1}.(1)求D 的面积；(2)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.y 20.(12分)设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线x 2 y 2 xy 1,x 2 y 2 xy 2与直线1y2d x d y .,y 0围成，计算3x 221.（12分）设函数f (x )在[ a ,a ]上具有2阶连续导数，证明：1a（1）若f (0) 0，则存在 a ,a ,使得f ''( )2[f (a ) f ( a )];（2）若f (x )在( a ,a )内取得极值，则存在 a ,a 使得1.2f ''a2 f (a ) f ( a )12122323.x x 3x 1x x 3x x x2x xx22.设矩阵 满足对任意x 1,x 2,x 3均有A （1）求 ;（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵 ，使得P 1AP Λ.2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二答案一、选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.A7.C8.D9.B10.D二、填空题12、11、-23+43π13、-324、-119115、1216、8x ( ln x c )又x 1,y 2则c 2因此y (x ) x ( ln x 2)(2)f (x ) y (x ) x ( ln x 2) 0则x 0或x e 2.又x 0故f (x )的驻点为x e 21f (x ) ln x 2 x x 2 2 1 1 0f e 21.y则x x y y yx11ex d x y (x ) e x xd x c 1x xd x c【解析】由题意得y y (x x ) y 为切线方程，切线在y 轴上得截距为 x y y17e 21e 44为最大值， 5故f e 2x ( ln x 2)d x18【解析】f x e cos y x 0 f y 1 k e cos y ( sin y ) 0，得驻点( e,2n ), e ,(2n 1)π；1f x x f xy e cos y ( sin y )f y y x e cos y sin 2y k e cos y ( cos y )2e 2对于( e,2n π),A 1,B 0,C e 2,AC B 20,A 0.有极小值f ( e,2n π)1对于e ,(2n 1)π ,A 1,B 0,C e 12,AC B 2，无极值.π2π141(1)tan tx tan t sec t 24se tan sec 2t d t c tππ4t d t2csc t d t ln121π (2)11 1 πd x x 2 x 211 π d x x 2 1 1x 2π4)d x π(1 解析19【解析】D3x 21y2d x dy π012cos 23d r d r r 2 2r 224π201 x 22f【解析】（1）f (x ) f (0) f (0)x1 2则f (a ) f (0)a 2f 1 12f a 2,f ( a ) f (0)( a ) a 2,其中 1 a ,0 ，212 0,a .12 1 2 f ( a ) f (a )ff a 212 1 2 f f 2f (a )a f ( a ) f , 1, 2 a ,a ,由介值定理可知平均值 即证（2）x 0 0设f (x )在x =x 0处取得极值即x 0 ( a a ),f22x 0( )f f (x ) f x 0 fx x 0 x x 0代入x a ,x a21f f ( a ) f x 0 a x 02(1), 1 a ,x 02n 1f f (a ) f x 0a x 02(2), 2 x 0,a(2)-(1)得22 1f f f (a ) f ( a )a x 02a x 02222 1f f |f (a ) f ( a )|a x 02a x 02222( )f ( )f a x 0 a x 0 f ( ) 2 a x 0a x 02 22f ( ) 2a 2 2x 02f ( ) a 2 x 02f ( ) 1 2 f 2a 2，其中f ( ) maxf, a ,a f ( )21a 2|f (a ) f ( a )|.A 中 1对应的线性无关特征向量 1 (4,3,1)T (2)|A E | (2 )( 2)( 1) 0A 中 1 2, 2 1, 3 12123311111011x x x xx x2解(1)由题可知，A 11.11 1112 0A 2.1T2,0,1A 中 2对应的线性无关特征向量 2A 中 3对应的线性无关特征向量 3 (0, 1,1) p 1, 2, 3 2P 1AP 1222。