重力梯度稳定卫星伸展方案研究
空间飞行器总体设计
第一章—绪论1.各国独立发射首颗卫星时间。
表格 1 各国独立发射首颗卫星时间表2.航天器的分类？答：航天器按是否载人可分为无人航天器和载人航天器两大类。
其中，无人航天人按是否环绕地球运行又分为人造地球卫星和空间探测器两大类；载人航天器可以分为载人飞船、空间站和航天飞机。
3.什么是航天器设计？答：航天器设计就是要解决每一个环节的具体设计，其中主要的几个关键内容为：航天任务分析与轨道设计、航天器构形设计、服务与支持分系统的具体设计。
4.画图说明航天器系统设计的层次关系并简述各组成部分的作用。
答：图 1 航天器系统设计的层次关系图(1).有效载荷分系统：航天器上直接完成特定任务的仪器、设备和核心部分；(2).航天器结构平台：整个航天器的结构体(3).服务和支持系统：有效载荷正常工作的必要条件。
①结构分系统：提供其他系统的安装空间；满足各设备安装方位，精度要求；确保设备安全；满足刚度，强度，热防护要求，确保完整性；提供其他特定功能②电源分系统：向航天器各系统供电③测控与通信系统：对航天器进行跟踪，测轨，定位，遥控，通信；④热控系统：对内外能量管理和控制，实现航天器上废热朝外部空间的排散，满足在飞行各阶段，星船各阶段、仪器设备、舱内壁及结构所要求的温度条件；⑤姿态与轨道控制系统：姿态控制--姿态稳定，姿态机动；轨道控制--用于保持或改变航天器的运行轨道，包括轨道确定（导航）和轨道控制（制导）两方面，使航天器遵循正确的航线飞行。
、⑥推进系统：向地球静轨道转移时的近地点与远地点点火；低轨道转移时，低轨到高轨的提升与离轨再入控制；星际航行向第二宇宙速度的加速过程；在轨运行⑦数据管理系统：将航天器遥控管理等综合在微机系统中⑧环境控制与生命保障：维持密闭舱内大气环境，保证航天员生命安全5.航天器的特点及其设计的特点？答：航天器的特点有5个，(1).系统整体性；(2).系统层次性；(3).航天器经受的环境条件：运载器环境、外层空间环境、返回环境；(4).航天器的高度自动化性质；(5).航天器长寿面高可靠性。
世界重力梯度仪的研究现状
但是高精度 重力梯度测量数 据对 于高精度惯性 制
导、 地球科 学 、 空 间科 学 和地质 科 学都 有着 重要 的意 义¨ Ｊ ， 同时重力 梯度 测 量 已经 被 认 为 是 一 种 资 源 探 测 的有效 手段 之 一 ， 是 对基 础 地质 调查 、 基 础地 质研 究， 油气矿 藏 等资 源 勘 查 等 领 域 具 有 重 要 的应 用 价 值 ， 航空和卫星重力梯度 测量对 山 区、 无 人 区 和
梯 度测 量惯 性稳 定平 台 和加速 度计 的动态 调整 方法 也 开展 了大 量 的研究 工作 。 笔者 主要 描述 了 目前世 界上 正在研 究 中 的重 力 梯 度仪结 构 和原理 ， 同 时对 某 些 样 机 进行 了精 度 描 述 。最后 对 笔者提 出 的基于 激光 干涉 的绝对 重力 梯 度 仪测量 光路 进行 简要 介绍 。
第３ ７卷第 ５期
２ ０ １ ３年 １ ０月
物
探
与
化
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Ｖｏ １ ． ３ ７． Ｎｏ ． ５ ０ｃ ｔ ．． ２ ０ １ ３
ＧＥ０ Ｐ ＨＹＳ Ｉ Ｃ ＡＬ ＆ ＧＥ ＯＣ ＨＥ ＭＩ Ｃ ＡＬ Ｅ ＸＰ Ｌ ＯＲ ＡＴ Ｉ ＯＮ
ＤＯ Ｉ ： １ ０ ． １ １ ７ ２ ０ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０—８ ９ １ ８ ． ２ ０ １ ３ ． ５ ． ０ １
研 究 。后 经 德 国 Ｗ． Ｓ ｃ ｈ ｗ ｅ ｙ ｄ ａ ｒ 对 Ｅ ｏ ｔ ｖ ｏ ｓ的 扭 称 进
义 Ｉ ＿ 。从 １ ９ ７ １ 年 美 国空 军 首 次 提 出 精 度 为 １ Ｅ
的移动级重力梯度仪 到现在 ， 重力梯度仪虽然得 到
了世界 科 学家 的重 视 ， 并 取 得 了迅速 的发展 ， 但是 很
重力梯度稳定卫星伸展动力学研究
其 中 Ｃ表示余 弦函数 ，
表 示 正 弦 函数 。 设 ∞０ 为
卫 星 相 对 轨 道 坐 标 系 的 角 速 度 ， 则 有
ｌｃＩ． ＋ ｌ即 ， Ｃ
。
＝
Ｉ Ｉ
心 指 向地 心 ，ｒ轴 沿 着 轨 道 面 的 负法 线 方 向， ｏ
系，如果卫 星运行 轨道 是圆形 ，
轴
ｆ 即＋ Ｊ — ｃ
Ｉ ＋妒
在 轨 道 平 面 内与 Ｚ 垂 直 ，与 ， ｎ 构 成 右 手 坐 标 ０ Ｚ轴 轴 恰 好 是 卫 星 速 度 方 向 ；卫 星 本 体 坐 标 系 Ｄ。】 如 图 ｌ所 示 。采 Ｙ 用 卫 星 本 体 坐 标 系 与 轨 道 坐 标 系 之 间 的 姿 态 角 描
收 稿 日期 ： ２ ０ － ２ １ ０ １０ ． ９： 修 改 日期 ： ２ ０ ． ５ １ ０ １ ．０ ０
作 用 在 卫 星 上 的 重 力 梯度 力 矩 为 １
基 金 项 目： 国 家 自然 科 学 基 金 项 １ １７ ２ １） ￣（９ ０ ０ １ 作者简介：林 原（９ ６． 男 ．贵 州 人 ，硕 士 生 ， 从 事航 天 器 动 力 学 与 控 制 研 究 １７） 李 俊 峰０９ ４， 男 ， 黑龙 江 人 ．教 授 ，从 事航 天 器 动 力学 与 控 制 研 究 ６）
述 卫 星 姿 态 ，其 中滚 动 角 为 、俯 仰 角 为 ０、 偏 航 角 为 ｌ 。如 果 转 动 体 轴 顺 序 为 １２３ ， 从轨 道 坐 标 ｆ ， ．． 系 Ｏ ｒＺ 到 本 体 坐 标 系 Ｏ Ｚ的转 移 矩 阵 为【 Ｘ０ｏ ０ ＸＹ ２ Ｊ
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维普资讯
１６ ３
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卫星定位系统原理及各国发展的历史
简述:卫星定位系统原理及各国发展的历史1、子午卫星导航系统（NNSS）该系统又称多普勒卫星定位系统，它是58年底由美国海军武器实验室开始研制,于64年建成的“海军导航卫星系统”（Navy Navigation Satellite System）。
这是人类历史上诞生的第一代卫星导航系统。
1957年10月前苏联成功发射了第一颗人造卫星后，美国霍普金斯大学应用物理实验室的吉尔博士和魏分巴哈博士对卫星遥测信号的多普勒频移产生了浓厚的兴趣。
经研究他们认为：利用卫星遥测信号的多普勒效应可对卫星精确定轨；而该实验室的克什纳博士和麦克卢尔博士则认为已知卫星轨道，利用卫星信号的多普勒效应可确定观测点的位置。
霍普金斯大学应用物理实验室研究人员的工作，为多普勒卫星定位系统的诞生奠定了坚实的基础。
而当时美国海军正在寻求一种可以对北极星潜艇中的惯性导航系统进行间断精确修正方法，于是美国军方便积极资助霍普金斯大学应用物理实验室开展进一步的深入研究。
1958年12月在克什纳博士的领导下开展了三项研究工作：①研制卫星；②建立地球重力场模型以便卫星的精确定轨和准确预报卫星的空间位置；③研制多普勒接收机。
经过众人的努力子午卫星导航系统于1964年1月正式建成并投入军方使用，直至19 67年7月该系统才由军方解密供民间使用。
此后用户数量迅速增长，最多达9.5万户，而军方用户最多时只有650个，不足总数的1%，可见因生产的需要民间用户远远大于军方。
1.1 子午卫星导航系统的组成（1）卫星星座：子午卫星星座，由六颗独立轨道的极轨卫星组成。
在设计上要求卫星的轨道的偏心率为零，轨道倾角i =90°；卫星运行周期为T=107m；卫星高度约为H=1075km；按理论上的设计，六颗卫星应当均匀分布在相互间隔为30度轨道平面上。
但由于早期卫星入轨精度不高，各卫星周期、倾角、偏心率都存在不同程度的误差，故各卫星轨道进动的大小和方向也都不尽相同，这样经过一段时间后各卫星轨道间的间距就变得疏密不一。
航天器制导与控制课后题答案(西电)
航天器制导与控制课后题答案(西电)1.3 航天器的基本系统组成及各部分作用？航天器基本系统一般分为有效载荷和保障系统两大类。
有效载荷:用于直接完成特定的航天飞行任务的部件、仪器或分系统。
保障系统:用于保障航天器从火箭起飞到工作寿命终止, 星上所有分系统的正常工作。
1.4 航天器轨道和姿态控制的概念、内容和相互关系各是什么?概念：轨道控制：对航天器的质心施以外力, 以有目的地改变其运动轨迹的技术; 姿态控制：对航天器绕质心施加力矩, 以保持或按需要改变其在空间的定向的技术。
内容：轨道控制包括轨道确定和轨道控制两方面的内容。
轨道确定的任务是研究如何确定航天器的位置和速度, 有时也称为空间导航, 简称导航; 轨道控制是根据航天器现有位置、速度、飞行的最终目标, 对质心施以控制力, 以改变其运动轨迹的技术, 有时也称为制导。
姿态控制包括姿态确定和姿态控制两方面内容。
姿态确定是研究航天器相对于某个基准的确定姿态方法。
姿态控制是航天器在规定或预先确定的方向( 可称为参考方向)上定向的过程, 它包括姿态稳定和姿态机动。
姿态稳定是指使姿态保持在指定方向, 而姿态机动是指航天器从一个姿态过渡到另一个姿态的再定向过程。
关系：轨道控制与姿态控制密切相关。
为实现轨道控制, 航天器姿态必须符合要求。
也就是说, 当需要对航天器进行轨道控制时, 同时也要求进行姿态控制。
在某些具体情况或某些飞行过程中,可以把姿态控制和轨道控制分开来考虑。
某些应用任务对航天器的轨道没有严格要求, 而对航天器的姿态却有要求。
1.5 阐述姿态稳定的各种方式, 比较其异同。
姿态稳定是保持已有姿态的控制, 航天器姿态稳定方式按航天器姿态运动的形式可大致分为两类。
自旋稳定:卫星等航天器绕其一轴(自旋轴) 旋转, 依靠旋转动量矩保持自旋轴在惯性空间的指向。
自旋稳定常辅以主动姿态控制, 来修正自旋轴指向误差。
三轴稳定: 依靠主动姿态控制或利用环境力矩, 保持航天器本体三条正交轴线在某一参考空间的方向。
磁控微小卫星速率阻尼和姿态捕获研究_刘海颖
变化, 由于 2 X0 n X , 可以近似有
0=
dB dt
=
5B 5t
+
X @ B = BÛ+
X@ B
( 11)
即 BÛ = B @ X , 从而得到控制律
Mb = - KBÛb
( 12)
其中磁场变化率 BÛb 由磁强计的量测值, 进行滤波处
置动量卫星进行大角度姿态控制, 尤其该新方法 操作简捷, 明显减少初态控制时间。
关键词: 微小卫星; B- dot 控制; 滑模控制; 速率阻尼; 姿态捕获
中图分类号: V448. 22
文献标识码: A
文 章编号: 1000- 1328( 2007) 02- 0333- 05
0 引言
随着微小卫星研制的兴起, 直接使用磁力矩器 进行姿态控制成了国际上研究的热点, 许多学者研 究了不同磁 控制方法[ 1, 2,3] , 并应用到实 际工程中。 微小卫星多采用搭载或一箭多星发射, 入轨初始条 件不能得到保障, 应用主动磁控进行姿态捕获进而 建立姿态稳定基准成为关键技术[ 4, 5, 6] 。对于磁力矩 器加偏置动量轮的控制方案, 通常是在速率阻尼后, 进行姿态捕获建立姿态稳定基准, 然后起旋动量轮。 然而, 对于没有重力梯度稳定的卫星, 完全依靠主动 磁控建立姿态基准, 进 行动量轮起旋, 难度可 想而 之, 不仅进入任务阶段的时间长, 并且在大的干扰力 矩下建立稳定基准更加困难。
3000s 就可以将角速率阻尼到 0. 002radPs, 从图 2 的 Y 轴与轨道法向夹角可以看出, 角速率阻尼但最后 姿态不稳定; 对于 B- dot 阻尼同时起旋动量轮, 动 量轮 600s 达到额定转速并保持常速旋转, 结果如图 3、4, 此时最大磁矩为 5. 8Am2, 和动量轮不起旋时基 本相同, 同时从图 4 来看, 姿态能迅速稳定。对比单
卫星磁姿态控制方法与算法综述
第２２卷第１期２０２４年１月动力学与控制学报J O U R N A L O FD Y N AM I C SA N DC O N T R O LV o l ．２２N o ．１J a n ．２０２４文章编号:１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２４Ｇ２２(１)Ｇ００１Ｇ０２１D O I :１０．６０５２/１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２３Ｇ０１１㊀２０２２Ｇ１２Ｇ０２收到第１稿,２０２３Ｇ０１Ｇ１４收到修改稿．∗国家自然科学基金资助项目(U ２１B ２０５０),N a t i o n a lN a t u r a l S c i e n c eF o u n d a t i o no fC h i n a (U ２１B ２０５０)．†通信作者E Ｇm a i l :１１１９７６３４５＠i m u ．e d u ．c n卫星磁姿态控制方法与算法综述∗穆硕１㊀占英２†㊀宝音贺西１(１．清华大学航天航空学院,北京㊀１０００８４)(２．内蒙古大学电子信息工程学院,呼和浩特㊀０１００２１)摘要㊀自太空探索之初,姿态控制磁控系统便因其体积小㊁质量轻㊁成本低㊁可靠性高等优点被广泛应用于各类轨道卫星．近些年,随着微小卫星技术的迅猛发展,姿态控制磁控系统满足了微小卫星对质量㊁空间等资源的限制,成为了学者们研究的热点．本文综述了自２０世纪６０年代以来卫星尤其是微小卫星所采用的主要磁姿态控制方法和算法,包括飞轮起旋与卸载算法㊁被动以及主动磁姿态控制算法等．其中主动磁姿态控制算法包括主动磁阻尼算法㊁磁控与自旋㊁定转速飞轮㊁重力梯度力矩结合的算法以及纯磁控算法．最后对该研究进行了总结与展望．关键词㊀卫星磁控,㊀飞轮起旋与卸载,㊀被动磁控,㊀主动磁阻尼,㊀磁控与其他方式结合,㊀纯磁控中图分类号:V ４１２．４＋２文献标志码:AA nO v e r v i e wo fM a g n e t i cA t t i t u d eC o n t r o lA l go r i t h m s f o r S a t e l l i t e s ∗M uS h u o １㊀Z h a nY i n g ２†㊀B a o yi nH e x i １(１．S c h o o l o fA e r o s p a c eE n g i n e e r i n g ,T s i n g h u aU n i v e r s i t y ,B e i j i n g㊀１０００８４,C h i n a )(２．S c h o o l o fE l e c t r o n i c I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,I n n e rM o n g o l i aU n i v e r s i t y,H u h h o t ㊀０１００２１,C h i n a )A b s t r a c t ㊀M a g n e t i c a t t i t u d e c o n t r o l s y s t e m s h a v e b e e nw i d e l y us e d f o r l o we a r t h o r b i t s a t e l l i t e s s i n c e t h e b e g i n n i n g o f s p a c e e r a b e c a u s e o f t h e i r r e l i a b i l i t y ,l i g h t w e i g h t ,l o wc o s t a n d e n e r g y e f f i c i e n c y ．R e c e n t l y,s m a l l s a t e l l i t e sa r e i n c r e a s i n g l y a t t r a c t i v e ．M a gn e t i cc o n t r o l l e r s m e e t t h e l i m i t a t i o n so f s m a l l s a t e l l i t e s a n d a r e c o n s i d e r e da s f a v o r a b l e c a n d i d a t e s f o r s m a l l s a t e l l i t e s ．I n t h i s p a p e r ,t h e s a t e l l i t em a gn e t i c a t t i Ｇt u d e c o n t r o l a l g o r i t h m s ,i n c l u d i n g a l g o r i t h m s f o r r e a c t i o nw h e e l s t a r t Ｇu p a n du n l o a d i n g ,pa s s i v e a n d a c Ｇt i v em a g n e t i c a t t i t u d e c o n t r o l a l g o r i t h m s ,a r e c o v e r e d ．T h e a l g o r i t h m s h e r e i n a r e e s p e c i a l l y f o r s m a l l s a t Ｇe l l i t e s ．A s f o r a c t i v em a g n e t i c a t t i t u d e c o n t r o l a l g o r i t h m s ,m a g n e t i c d a m p i n g a l g o r i t h m s ,t h e a l g o r i t h m s c o mb i n i n g m a g n e t ic c o n t r o lw i t hs p i n ,c o n s t a n t s p e ed f l y w he e l a n d g r a v i t yg r a d i e n t t o r q u e ,a n d p u r e l y m a g n e t i c c o n t r o l a l g o r i t h m s a r e c o v e r e d ．F i n a l l y,t h e r e s e a r c h i s s u mm a r i z e d ．K e y wo r d s ㊀s a t e l l i t em a g n e t i c c o n t r o l ,㊀r e a c t i o nw h e e l s t a r t Ｇu p a n du n l o a d i n g ,㊀p a s s i v em a g n e t i c c o n Ｇt r o l ,㊀a c t i v em a g n e t i c a n g u l a r v e l o c i t y d a m p i n g ,㊀m a gn e t i c c o n t r o l w i t h o t h e r a c t u a t o r s ,㊀p u r e l y m a gn e t i c c o n t r o l动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２４年第２２卷引言自探索太空之初,磁姿态控制系统便因其轻便,可靠等诸多优点受到卫星设计者的青睐．第一颗成功使用磁姿态控制系统的卫星是T r a n s i t１B,由美国约翰霍普金斯大学应用物理实验室(A P L)设计．该卫星于１９６０年４月发射,采用被动磁控,进行了８９天在轨操作[１]．１９６０年１１月,第一颗采用主动磁姿态控制的卫星T i r o s I I成功发射[２]．相比于其他控制方式,磁姿态控制系统具有质量轻㊁体积小㊁成本低㊁可靠性高,使用寿命长等诸多优点,是低轨近地卫星尤其是微小卫星实现稳定控制的首选．磁姿态控制系统依靠卫星自身磁矩m与地磁场强度矢量B相互作用,产生控制力矩T．被动磁控卫星主要通过永磁体与磁滞棒产生磁矩;主动磁控卫星则需要通过电流驱动磁力矩器产生所需磁矩．磁控力矩计算公式为:T＝mˑB(１)从公式(１)中可看出,磁姿态控制系统的主要缺点是无法施加独立的三轴控制力矩,在每一瞬时只能产生垂直于卫星所处地磁场的控制力矩,这会大幅降低姿态控制效果,甚至出现瞬时不可控．磁姿态控制卫星的可控性一直困扰着学者们．直到２００３年,B h a t与D h a m[３]基于周期性地磁场假设,证明了磁控卫星的可控性:当卫星沿非赤道轨道运行时,地磁场方向会随卫星位置改变而不断发生变化．这种变化使得磁控系统不可控方向也在不断变化,确保了磁控卫星的可控性．随后, S m i r n o v等[４]证明了在偏离平衡点较小时,可利用两轴磁控实现卫星稳定姿态控制．Y a n g[５]基于线性时变系统理论,证明了在卫星惯量满足一定条件时,可实现磁控卫星稳定姿态控制．地磁场模型精度是决定所设计磁姿态控制系统能否成功实施的另一个关键因素．目前,最精确的地磁场模型为国际地磁参考场(I G R F模型),由国际地磁与气象学协会(I A G A)于１９６８年提出,此后每五年更新一次,目前为第１３代[６]．I G R FＧ１３采用１３阶球谐函数模型,结构复杂,通常适用于数值仿真过程．而对磁控算法的理论分析,学界通常采用偶极子假设．常用的偶极子模型有倾斜偶极子模型㊁直接偶极子模型以及简化偶极子模型[７]．基于偶极子假设并忽略地球自转的影响,卫星所处地磁场会随卫星轨道运动而周期性变化．同时,也可采用更高阶球谐函数进行更精确的理论分析[８,９]．本文参考了前人的综述文章[１０Ｇ１３],沿用了文献[１１]的分类结构,整理综述了自２０世纪６０年代以来卫星尤其是微小卫星所采用的主要磁姿态控制方法和算法,包括飞轮起旋㊁卸载,被动以及主动磁姿态控制算法,重点关注主动磁姿态控制算法的发展．其中主动磁姿态控制算法包括BＧd o t等主动磁阻尼算法,磁控与自旋㊁定转速飞轮㊁重力梯度力矩结合的算法以及纯磁控算法．最后,本文对各类磁控算法进行了总结与展望．１㊀飞轮起旋与卸载１．１㊀飞轮起旋根据动量矩守恒原理,当飞轮的动量矩变化时会改变卫星的动量矩．目前主要有两类磁控算法用于飞轮起旋问题[１４]．第一种方法首先利用磁力矩器与飞轮实现卫星稳定控制．此阶段磁控制律可采用P D控制律．卫星稳定后加速飞轮至目标转速,利用磁力矩器维持卫星姿态稳定[１４,１５]．另一种方法是在卫星实现稳定控制前起旋飞轮,再利用磁力矩器与定转速飞轮稳定卫星．C h a n g等人在姿态获取阶段起旋俯仰轴飞轮,并使用BＧd o t控制律阻尼卫星角速度[１４]．该方案可更快实现稳定控制．研究表明,在BＧd o t控制律下,卫星姿态误差会以指数形式进行收敛[１６]．M e n g 等人设计了两种用于飞轮起旋的磁控律[１７]: m＝Bˑ(－k１h )B ２(２)m＝Bˑ(－k１h －k２θ )B ２(３)其中m为卫星本体系下磁力矩器产生的磁矩,B为本体系下的地磁场强度矢量,h 为飞轮起旋产生的干扰力矩,θ 为三轴姿态误差的时间导数,k１,k２为控制增益．上述控制律均可在姿态稳定前使用．当角速度信息可知时,卫星采用控制律(３)进行控制．１．２㊀飞轮卸载工程中磁控制系统常用于飞轮角动量卸载．飞轮可抵抗环境干扰力矩的影响,实现卫星高精度姿２第１期穆硕等:卫星磁姿态控制方法与算法综述态控制．但同时,由于一些常值干扰力矩的影响,如气动力矩,飞轮的转速可能会持续增加．当上升至最高转速时,飞轮将不能提供有效的控制力矩．需在飞轮转速达到其上限值前进行角动量卸载．常用的卸载方法有喷气卸载,磁卸载等．但喷气卸载需消耗卫星燃料．而磁卸载可利用电能进行卸载,且使用寿命长．１９６１年,W h i t e等人[１８]提出了叉乘磁卸载控制律,在磁控卫星中应用广泛[１９Ｇ２１],具体形式为:m＝kΔh wˑB(４)其中k为控制增益,Δh w为飞轮角动量与目标角动量差值.通过该控制律,磁控力矩可卸载垂直于地磁场强度矢量B的角动量分量．通常,当Δh w与地磁场矢量的夹角足够大时(如夹角处于４５~１３５度之间),才启动磁力矩器卸载,以防止垂直于Δh w的磁力矩分量过大对卫星产生不利影响．该控制律也可采用b a n gＧb a n g控制形式计算所需磁矩[２２]．针对叉乘控制律,后续文献进行了大量研究．C a m i l l o与M a r k l e y[２２]推导了叉乘控制律解析分析公式．该公式可用于增益系数k的初步选取．N iＧn o m i y a等人[２３]对叉乘控制律进行了改进,使得控制律可同时实现飞轮角动量卸载与卫星章动阻尼．H a b l a n i[２４]使用线性极点配置方法,对叉乘控制律增益系数进行设计．针对冗余配置的飞轮系统,L e b e d e v[２５],H o g a n与S c h a u b[２６]设计的叉乘控制律可确保每个飞轮的转速都卸载到零值附近．T rég o uët等人[２７]与A v a n z i n i等人[２８]改进的叉乘控制律可在磁卸载的同时保证姿态控制律的渐进稳定．一些优化方法也被用于飞轮磁卸载控制律设计．G l a e s e等人[２９]设计了能量最优磁卸载控制律．F l a s h n e r与B u r n s[３０]提出了一种基于单元映射方法的离散磁卸载控制律．该控制律基于周期性磁场假设,可离线设计优化方案．S t e y n[３１]基于L Q R方法,通过最小化目标函数J＝ʏt f t０(h T w Q h w＋m T R m)d t(５)实现了磁卸载控制律的优化．其中h w为飞轮角动量,Q,R为权重矩阵．G i u l i e t t i等人[３２]构建了结合时间最优与能量最优的目标函数,即:J＝－aΔt－(１－a)２ʏt f t０(m２x＋m２y)d t(６)其中a为调节机动时间与能量消耗比例的权重系数．通过最大化目标函数,文献[３２]给出了包含参数a的磁卸载控制律．此外,Hɕ方法也被用于磁卸载控制律优化[３３]．磁卸载也可结合其他卸载方法提高效果．C h e n等人[３４]将磁卸载与喷气卸载组合,节省了喷气卸载的燃料消耗,同时提高了卸载速度．B u r n s与F l a s h n e r[３５]利用重力梯度力矩㊁磁力矩㊁气动力矩三种环境力矩,设计了具有自适应特性的磁卸载控制律．其他方案如模型预测方法[３６],被动阻尼方法[３７],点映射技术[３８,３９]等均可应用于磁卸载控制律设计．２㊀被动磁姿态控制被动磁姿态控制系统结构简单,性能可靠,不消耗卫星能源,常应用于设备有限且控制精度要求较低的卫星．其通常包括永磁体与磁滞棒两个组件．其中永磁体用于控制卫星指向,使其大致沿所处地磁场方向．磁滞棒通过磁化作用,可起到角速度阻尼作用．二者结合可实现低精度稳定姿态控制．被动磁姿态控制系统最早于１９６０年应用于美国海军通讯试验星[４０]．通过被动磁控与机械消旋设备,该卫星成功实现了角速度阻尼与稳定指向．１９６０年６月,该项目另一颗试验星T r a n s i t２A成功发射．该卫星仅凭借被动磁姿态控制系统实现了稳定控制[４０]．第一颗由大学自主研发的被动磁控卫星I n j u n３于１９６２年成功发射入轨[４１]．此后,更多被动磁控卫星任务成功实施,如E S R OＧ１A(１９６８),E S R OＧ１B(１９６９),A z u r(１９６９),E x o s(１９７８),M a g i o n(１９７８)[４２]．随着星载计算机与控制设备的发展,被动磁姿态控制系统已不能满足卫星任务高精度与多样化需求．至２０世纪７０年代中期,被动磁姿态控制系统逐渐被主动控制方法替代．直到微小卫星技术的兴起,被动磁姿态控制系统再次受到学者关注．其满足了微小卫星质量㊁空间以及设备成本的限制,在一些大学自主研发的试验星或演示卫星中应用广泛．１９９０年,四颗采用被动磁控的微小卫星被送入太空[４３]．此后,更多应用被动磁控的微小卫星相继发射[４２,４４Ｇ５０]．被动磁姿态控制原理简单,无需设计复杂的控３动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２４年第２２卷制算法．目前学者更多关注主动磁姿态控制算法设计．３㊀主动磁姿态控制３．１㊀主动磁阻尼控制当卫星角速度过大时,部分星载仪器如星敏感器无法正常使用,需使用星载设备降低卫星角速度至一定阈值．与运载器分离㊁执行变轨等机动操作或是设备故障均可能使角速度过大,因此,角速度阻尼是卫星姿态控制的必需过程．虽然喷气控制,飞轮控制等方法均可阻尼角速度,但喷气控制会消耗卫星燃料,飞轮控制易饱和．相比之下,磁阻尼控制不仅节省能源,还具备性能可靠,成本低廉等优势,在各类卫星中应用广泛．S t i c k l e r与A l f r i e n d[１９]提出了著名的主动磁阻尼算法 BＧd o t 控制律．该控制律最早出现在１９７２年[５１],利用地磁场导数信息进行角速度阻尼,具体表达式为:m＝－k B (７)其中k为正增益系数,B 为地磁场强度矢量相对于卫星本体系的导数．利用绝对导数与相对导数的关系,即:d Bd t＝B ＋ωˑB(８)其中d B/d t为地磁场强度矢量相对于惯性系的导数,式(７)可表示为:m＝－k d B d t＋k ωˑB(９)由于地磁场强度矢量在惯性系中变化的角频率仅为轨道角速度两倍,而通常在阻尼过程中卫星角速度较大,因此式(９)右侧第一项可近似为零．故式(９)可进一步简化为:m＝k ωˑB(１０)卫星转动动能E的时间导数可表达为:d Ed t＝T ω＝(mˑB) ω＝－k(ωˑB)２ɤ０(１１)从上式可看出,采用BＧd o t控制律可有效减小卫星转动动能,实现角速度阻尼．BＧd o t控制律具有很强的鲁棒性,通常利用当前时刻与前一时刻磁强计测量数据进行差分便可有效阻尼角速度．同时,BＧd o t控制律可转化为b a n gＧb a n g控制形式,适用于实际工程问题[５２]．基于等式(９)的假设,BＧd o t控制律可以指数形式进行收敛[５３,５４],具体收敛速度受轨道倾角等因素影响[５４]．BＧd o t也存在缺点．首先在阻尼精度方面,由于在上述分析中忽略了地磁场矢量相对于惯性系的时间变化率,即地磁场变化项,该项会对最终阻尼精度产生较大影响．研究发现,BＧd o t控制律最终会有约二倍轨道角速度的误差[５５]．同时,剩磁等干扰力矩会进一步降低阻尼精度．为克服地磁场变化项等带来的不利影响,学者们对BＧd o t控制律进行了改进[５６Ｇ６１],其中大部分变形基于等式(９)．该变形可阻尼卫星角速度至零,但同时需要角速度测量数据,提高了测量设备需求．为减少测量设备,D e s o u k y与A b d e l k h a l i k[６２]基于地磁场数据对角速度进行等效计算,给出了改进的BＧd o t控制律．该控制律可保证磁力矩器需产生的磁矩m时刻垂直于卫星所处地磁场,提高了磁利用效率．蒙特卡罗仿真实验验证了该控制律的有效性．同时,该控制律可在一定程度上减少收敛时间,降低能源消耗．J i n等人为惯量缺陷卫星(z轴惯量大于其他两轴)提出了垂直消旋控制律[６３]:m＝k BˑBB ３(１２)该控制律可避免z轴长时间指向太阳而造成仪器损坏．一些学者研究了增益系数k的选取方法．A v a n z i n i与G i u l i e t t i[５７]基于卫星轨道与形状特征,提出了一种增益系数调整方法,具体表达式为: k＝２ω０(１＋s i nζm)J m i n/ B ２(１３)其中ζm为卫星轨道倾角,ω０为轨道角速度,J m i n 为卫星最小惯量矩．W i sᶄn i e w s k i与B l a n k e[５６]利用正定矩阵替换标量增益系数k,增强了阻尼效果,同时为后续优化提供了更多空间．需要注意的是,文献[５６]中关于被动重力梯度稳定性的证明在文献[６４]中进行了更正．随着仪器设备与微小卫星技术的发展,BＧd o t 控制律也发展出了适用于纳卫星㊁立方星的方案[６５Ｇ７０],如嵌入式磁线圈控制等．同时,新型磁阻尼方案如反馈阻尼控制律[７１]也相继提出．但由于BＧ４第１期穆硕等:卫星磁姿态控制方法与算法综述d o t 的简便性与鲁棒性,其仍是目前乃至未来很长一段时间磁阻尼算法的首选．目前磁阻尼算法体系已较为完备,要取得较大研究进展十分困难．３．２㊀组合磁姿态控制系统由于磁姿态控制系统无法施加独立的三轴控制力矩,其通常结合其他设备与方法实现高精度稳定控制,如自旋㊁飞轮㊁重力梯度力矩等．３．２．１㊀磁控与自旋结合磁控与自旋结合克服了磁控的固有缺陷,同时具有低功耗㊁低成本㊁高控制精度等优点,因此应用广泛,也是目前磁控卫星的主要控制方案之一．通过围绕最大惯量主轴旋转,自旋卫星可获得自旋稳定性．若无外界干扰,自旋卫星可在惯性空间中维持稳定．但由于太阳光压力矩等的影响,自旋卫星会发生章动,需采用其他控制方法对自旋卫星的旋转轴指向与转速进行控制,而磁控则是首选．第一颗磁控与自旋相结合的卫星发射于１９６０年[２]．此后,该方案被广泛应用于各类卫星任务．其中由S h i g e h a r a [７２]提出的b a n g Ｇb a n g 控制律应用广泛．该控制律采用特定开关函数实现磁力矩器磁矩的正负控制,具体公式如下:m j ＝m ０,Δh (e j ˑB )＞０－m ０,Δh (e j ˑB )＜０{(１４)其中m j 为沿卫星本体系坐标轴e j 的磁矩大小;j ＝１,２,３;m j 的幅值为m ０;Δh 为当前卫星角动量与目标角动量差值．该控制律可使卫星沿特定轴自旋,并调整自旋轴的惯性空间指向．该方案也广泛应用于立方星等微小卫星[７３]．C r o c k e r 与V r a b l i k[７４]提出了可使卫星自旋轴z 轴垂直于太阳矢量的b a n g Ｇb a n g 控制,即:m z ＝m ０,㊀㊀e s ＞０－m ０,㊀e s ＜０{(１５)其中e 为卫星自旋轴,s 为本体系下太阳方向矢量．b a n g Ｇb a n g 控制还可与BＧd o t 控制律结合解决自旋卫星章动问题．H o l d e n 与L a w r e n c e [７５]基于李雅普诺夫方法设计了章动控制律,该控制律仅使用自转轴方向磁力矩器进行控制:m z ＝m ０s i g n [(C －A )B y ωx －(C －B )B x ωy ](１６)其中A ,B ,C 为卫星三轴转动惯量;ωx ,ωy 及B x ,B y 分别为卫星角速度与地磁场强度矢量沿卫星本体系x ,y 轴的分量．该控制律不仅适用于轴对称卫星,对非轴对称卫星也有较好控制表现．O v c h i n n i Ｇk o v 等人[７６,７７],R o l d u gi n 与T e s t a n i [７８]基于B Ｇd o t 提出了简化控制律,利用磁场导数信息即可完成章动阻尼:m z ＝－k (Be )e(１７)该控制律可使用一轴磁力矩器完成控制．Z a v o l i 等人[７９]分析了控制律(１７)的具体性质,包括全局渐近收敛性质与自旋轴指向等．需要注意的是,由于该控制律所施加的控制力矩垂直于自旋轴,因此不能使卫星起旋．O v c h i n n i k o v 等人[７６]提供了一种卫星起旋控制律:m ＝k (B y ,－B x ,０)(１８)该控制律可产生沿自转轴方向的控制力矩,但同时会引入沿其他两轴的干扰力矩,需通过控制律(１７)消除．针对自旋卫星起旋问题,T h o m s o n [８０]提出了 Y ＧT h o m s o n 控制律,利用当前转速与目标转速差值对卫星转速进行控制．C r e a m e r [８１]基于B Ｇd o t控制律提出了另一种自旋卫星控制方法,具体形式为:m ＝－k (B＋ωd ˑB )(１９)其中ωd 为卫星期望转速．该控制律可有效阻尼卫星初始角速度,使得卫星按照所设定角速度旋转．C u b a s 等人[８２]对该控制律的稳定性,收敛时间,自转轴指向以及控制精度进行了详细分析,并在考虑实际工程限制条件下进行了仿真,验证了控制律的可靠性．可利用卫星当前角动量与目标角动量差值进行控制律设计．A v a n z i n i 等人[８３]利用本体系与惯性系下的角动量差值,分别控制卫星角速度与自旋轴指向．此外,A v a n z i n i 等人[８４]利用投影方法,即将角动量差值投影至与地磁场矢量垂直的平面,设计了另一种控制律:T ＝k (I －B B T )Δh (２０)基于文献[５７]的分析方法,文中提供了增益系数k 的选取方法．D eR u i t e r [８５]同样利用投影方法,融合了章动阻尼㊁起旋以及自转轴指向等多个控制律,设计了应用于纳卫星的磁控方案．文中利用李雅普诺夫方法,证明了即使在两轴磁力矩器失效以及磁力矩器饱和等限制下,控制律也可保证渐进稳定．在考虑各种扰动以及设备故障等情况下,控制系统５动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２４年第２２卷表现均能满足任务需求[８６]．该控制律已被成功应用于纳卫星E S T C u b eＧ１[８７]．卫星可携带的能源有限,对于装备太阳能帆板的卫星,需尽快将电池板对准太阳．Y o u等人[８８]基于投影方法提出了一种太阳获取控制律,具体形式如下:T＝－k(ω－ωd),|l z|ɤ０．８－k(ω－ωd)－k１|L z|θ[lˑ(s ˑl)]－㊀k２s ˑe３,|l z|＞０．８ìîíïïïï(２１)其中L为卫星角动量,l为其单位矢量,k１,k２为相关增益系数,θ＝a r c c o s(－s z),下标z表示该矢量沿本体系z轴的分量(z轴为其自旋轴)．卫星首先进行角速度阻尼,然后切换至指向控制律,利用太阳敏感器读数实现太阳指向．C h a s s e t等人[８９]介绍了太阳获取控制律在具体卫星任务中的应用．利用太阳矢量与卫星本体系z轴夹角以及目标转速,文中构建了包含指向信息与转速信息的目标转速,通过投影方法实现了太阳获取．A l f r i e n d[９０]利用地磁场信息以及卫星滚转角构建闭环控制律:m２＝k１B xφ－k２B y(２２)其中φ为１Ｇ２Ｇ３转序下相对于轨道坐标系的卫星滚转角．使用多时间尺度方法,文中对控制律的渐进稳定性进行了分析,通过与数值仿真以及F l oＧq u e t理论对比,对控制律进行了验证．同时,文中分析了控制律对干扰力矩的鲁棒性．W h e e l e r[９１]使用沿自旋轴方向的单轴磁线圈,利用卫星姿态㊁角速度与磁场信息构建反馈函数,实现了卫星稳定控制．O v c h i n n i k o v与R o l d u g i n[９２]使用单轴磁力矩器,设计了可使小卫星在轨道平面内任意方向旋转的控制律．E r g i n与W h e e l e r[９３]利用卫星姿态误差与地磁场信息,使用固定时间间隔内的恒定控制力矩设计了磁控制律．R e n a r d[９４]比较了在轨道偏心率,地球自转等影响下,仅使用沿自旋轴方向单轴磁线圈,不同控制律的表现．结果表明,基于轨道周期进行磁矩极性转换可实现较好鲁棒性．C h e o n等人[９５]利用星载地磁场模型,设计了仅使用磁强计与G P S信息的磁控制律,其具体形式为:m＝１|b m|[－１２Kb^p－D(b^ p－b^ m)－㊀Λd(ω~z－Ψz)(b^mˑe)](２３)其中b m为磁强计测量的磁场矢量;K,D为正定增益矩阵;Λd为矩阵D对角元素;ω~z为通过磁强计测量值估计得到的当前卫星沿自转轴方向角速度,Ψz为目标角速度;上标 ^ 表示该矢量的单位矢量;b p为通过特殊优化方法得到的期望磁场矢量,其具体计算方式如下．通过星载磁场模型,计算出当卫星达到目标姿态时地磁场矢量在本体系下所有可能的表示,这些矢量在空间中构成一个圆锥,而b p则是圆锥与b m㊁e所确定平面的交线．控制律通过减小b p与b m之间夹角,使得卫星自旋轴指向目标方向．文中使用线性估计模型与李雅普诺夫方法对控制律稳定性进行了分析,通过仿真验证了控制律的可行性．需要注意的是,只有当卫星自旋速度足够大时,该控制律才可保证卫星稳定控制．J u n k i n s等人[９６]基于庞特里亚金最值原理,给出了控制自旋轴指向的时间最优机动设计方法．S o r e n s e n[９７]使用L Q R方法对所需磁矩进行设计．自旋卫星磁控制律时至今日仍在推陈出新[９８,９９]．但自旋卫星的高速旋转特性不利于实施优化方法,同时相关研究也较为成熟,难以实现大突破．３．２．２㊀磁控与定转速飞轮结合当一轴飞轮以一定转速旋转时,会为卫星提供陀螺稳定性,使飞轮轴向保持在轨道法向方向,该类卫星称为偏置动量卫星．此类卫星无需高速旋转,降低了设备及卫星惯量要求．加入磁控可进一步提高偏置动量卫星控制精度,使卫星姿态误差渐近收敛．由于飞轮在轨道法向提供了足够的稳定性,磁控偏置动量卫星甚至可在赤道轨道实现稳定控制．偏置动量卫星也需进行章动阻尼．S t i c k l e r与A l f r i e n d[１９]使用控制律(２２)进行章动与进动控制．G o e l与R a j a r a m[１００]对该控制律进行改进,应用于近赤道轨道卫星,并给出了时间响应表达式．H aＧb l a n i[１０１]改进了控制律(２２),提供了增益系数选取方法．同时,H a b l a n i[１０２]还考虑了非圆轨道下章动与进动控制,给出了控制律进一步改进形式．P u l e cＧc h i等人[１０３]对H a b l a n i改进的控制律进行了详细的性能分析．T s u c h i y a与I n o u e[１０４]在控制律中添加积分项,提高了控制力对干扰力矩的鲁棒性．６第１期穆硕等:卫星磁姿态控制方法与算法综述P D 控制是偏置动量卫星常用的磁姿态控制方案之一．其基本形式为[１０５]:m ＝B ˑ(－k ωωe －k q q ңe ) B ２(２４)其中k ω与k q 为增益矩阵,ωe 为误差角速度,q ңe 为误差四元数矢量部分．Z h a n g 等人[１０６]利用滚转与偏航两轴P D 控制及俯仰轴飞轮实现了小卫星稳定控制．同时,通过调节增益系数,文中对收敛时间及控制误差进行了优化．D o r o s h i n [１０７,１０８]研究了偏置动量卫星在控制律m ＝k ω(２５)下的运动问题．O v c h i n n i k o v 等人[１６]提出了可使卫星在轨道平面内实现任意指向的磁控制律,具体形式为:T ＝０k s i n (α０－α)－k s i n (α０－α)B y B z éëêêùûúú(２６)其中α为３Ｇ１Ｇ２转序下第一个姿态角,α０为其目标值．文中分析了重力梯度力矩干扰下卫星的运动,并给了运动形式．W a n g 与Sh t e s s e l [１０９]基于滑模控制提出了偏置动量卫星磁控制律．通过解耦俯仰轴运动方程,设计了针对滚转偏航轴及俯仰轴两种滑模控制律,通过开关转换函数,实现了b a n g Ｇb a n g 控制．基于L Q R 方法的优化方案也可用于偏置动量卫星控制律设计．早在１９９３年,P i t t e l k a u[１１０]就基于L Q R 方法,提出了针对极轨道卫星的最优控制律．文中建立了干扰力矩周期模型,通过求解R i c Ｇc a t i 方程得到了最优控制增益．此后,L a gr a s t a 与B o r d i n [１１１]同样使用L Q R 方法设计了磁控制律,该控制律可抵抗恒定干扰力矩．G u e l m a n 等人[１１２]介绍了应用于小卫星G u r w i n ＧT e c h S A T 的优化控制律．同时,文中提到了一种类似于控制律(２２)的b a n g Ｇb a n g 控制,具体形式为m ＝－k １(Bm e a s －Be x p )－k ２(B m e a s －B e x p )(２７)其中B m e a s 与B e x p 分别为磁强计测量与星载磁场模型计算得到的地磁场强度矢量．P u l e c c h i 等人[１１３]提出了适用于星载计算机的离散L Q R 方法．偏置动量卫星磁控制律的另一种优化方法为H ２与H ɕ方法．W i s ᶄn i e w s k i [１１４]等人使用H ２方法设计了小卫星磁控制律,T r égo u ët [１１５]等人将H ２方法应用于偏置动量卫星．H ɕ方法则可提高控制律对干扰力矩及参数不确定性等因素[１１６Ｇ１１８]的鲁棒性．偏置动量卫星的陀螺稳定性质克服了磁控固有缺陷,同时其设备简单,控制精度高,自上个世纪以来应用广泛,并不断与新技术融合[１１９Ｇ１２２]．后续关于磁控偏置动量卫星的研究会多集中于优化方法应用,如时间最优机动方案设计等．但偏置动量轮体积较大,应用于纳卫星,皮卫星等存在一定局限性,需做进一步研究．３．２．３㊀磁控与重力梯度力矩结合重力梯度力矩也可为卫星提供被动稳定．通过重力梯度杆等装置,地球重力可为卫星提供一轴稳定力矩．该方式在上个世纪卫星任务中应用广泛．同时,为防止卫星绕重力梯度杆旋转等,需利用磁力矩对卫星进行姿态控制．M a r t e l 等人[１２３]将主动磁姿态控制应用于重力梯度卫星,解决了卫星重力梯度杆稳定指向及热量处理问题．文中提出了两种主动磁控制律．控制律(２７)在姿态获取阶段进行角速度阻尼控制．三轴稳定控制阶段则采用P D 控制,通过投影方法,实现高精度稳定．G r a s s i [１２４]同样利用控制律(２７)及基于误差矢量e ң的P D 控制实现了重力梯度小卫星稳定控制,其P D 误差控制律为:m ＝k １e ң＋k ２eң(２８)同时,文中还设计了控制律(２７)的实施阈值,即当误差大于一定阈值时该控制律才会施加于卫星,以防止卫星因仪器测量与执行误差在平衡点附近发生摆动．L o v e r a 与A s t o l f i [１２５]证明了P D 控制律的稳定性．同时,基于磁场平均化理论以及小角速度假设,L o v e r a 与A s t o l f i [１２５]证明了P D 控制可指数收敛．通常控制律得到的理想控制力矩T d 会使用投影方法计算所需磁矩m ．此时施加于卫星的实际力矩T 根据式(１)进行计算．由于T 须垂直于地磁场矢量,因此与理想控制力矩T d 存在一定误差．A r Ｇd u i n i 与B a i o c c o [１２６]针对重力梯度卫星,提出了两种可使T d 与T 误差最小化的方法．其中一种是最小化二者欧拉二范数,另一种则是使T 两轴分量与T d 一致,在满足T 垂直于地磁场矢量的限制下,设计其第三轴力矩分量．B a k 等人[１２７]基于滑模控制提出了姿态阻尼控７。
重力梯度稳定小卫星的最优主动磁控和动量轮控制
航 天 控 制 Aerospace Control
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重力梯度稳定小卫星的最优主动磁控和动量轮控制
黄卫东 张育林
国防科学技术大学 ,长沙 410073 摘 要 为了提高小卫星定点精度 , 姿态控制系统采用俯仰轴动量轮控制和三 轴磁力矩控制 。用四元数方法建立起卫星动力学方程和运动学方程 。以响应时 间和响应时间内欧拉角误差和角速率误差的平方和这两个单目标作为目标函 数 ,以三轴的位置增益 、 速率增益和卸载增益为设计变量 , 以三轴欧极子矩不超 过要求值 ,俯仰轴的轮动量矩不超过要求值 ,以及末尾响应时间内应保证欧拉角 和角速率逼近控制值为约束条件 ,建立起卫星最优控制模型 。最后 ,作为例子应 用到小卫星姿态控制中 ,结果证实最优控制算法是可行有效的 。与传统 PD 控制 相比 ,优化后的姿态控制性能也大大提高 。 主题词 姿态控制 优化控制 P I D 控制 多目标优化 中图分类号 : V448 文献标识码 : A 文章编号 : 1006 2 3242 ( 2005 ) 04 2 0027 2 05
用四元数法 ,卫星运动学方程建立如下 :
dq 1 = Ω (ωsc ) ・q, dt 2
2 多目标优化方法
其中 , 设 fi 第 i个学科目标函数值 , ∨fi 为第 i个学科 目标函数最大值 , fi 为第 i个学科目标函数最优值 (通常为最小值 ) ,则定义各目标函数优属度
ri =
3
0
ωzsc
trolled w ith pitch 2ax is m om en tum and th ree2ax is m agnetic torque . The sa tellite dynam ics equa tion and k ine2 m a tic equa tions a re bu ilt w ith the m ethod of qua tern ion. M agnetic torque genera tes m agnetic d ipole m o2 m en ts w hose in teractions w ith the ea rth ’ s m agnetic field produce the torque necessa ry to rem ove the excess m om en tum. Th ree position, th ree ra te, and a dum ping con trol ga ins a re opti m a lly found by bu ild ing up the optim a l a ttitude con trol m odel . In the m odel, tw o sing le objectives: the m in im um of the transien t tim e and the m in im um of the sum of both the squa re sum of the a ttitude ang le error and the squa re sum of the ang le ra te error a re in teg ra ted in to the m u lti objectives w ith m u ltiobjective optim iza tion approach. The constra in ts requ ire tha t the a ttitude ang le, the ang le ra te, the th ree2ax is d ipole m om en t and the pitch w heel m om en tum shou ld not exceed the requ ired va lue . F ina lly, an applica tion to the a ttitude con trol of sm a ll sa tellite is pres2 en ted as an exam ple . R esu lts show tha t the optim a l con trol a lgorithm is feasible, effective and reliable, and a ttitude con trol perfor m ance is a lso sign ifican tly im proved after optim iza tion, com pa red w ith the trad itiona l