2020版高考数学一轮复习第九章解析几何课时规范练46抛物线(文)北师大版
课时规范练46 抛物线基础巩固组1.(2018山东春季联考)已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.52.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()A.2B.2C.2D.43.(2018云南昆明一中模拟,5)已知点F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,O为坐标原点,若以F为圆心,|FO|为半径的圆与直线x-y+3=0相切,则抛物线C的方程为()A.x2=2yB.x2=4yC.x2=6yD.x2=8y4.(2018广东江门一模,10)F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若=2,则|PQ|=()A. B.4 C. D.35.(2018湖南师范大学附属中学三模,11)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与抛物线C 相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为()A.2B.C.2D.6.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学冲刺,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线y=x与抛物线C交于O,A两点(O为坐标原点),过F作直线OA的平行线交抛物线C于B,D 两点(其中B在第一象限),直线AB与直线OD交于点E,若△OEF的面积等于1,则抛物线C的准线方程为()A.x=-1B.x=-C.y=-1D.y=-7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.9.(2018安徽巢湖一模,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1交抛物线于A,B两点,分别从A,B两点向直线l2:x=-2作垂线,垂足是D,C,则四边形ABCD的周长为.10.(2017广东江门一模,10改编)F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若=4,则= .综合提升组11.(2018山东烟台模拟,6)已知直线l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,点P为抛物线y2=-8x上的任一点,则P 到直线l1,l2的距离之和的最小值为()A.2B.2C.D.12.(2017全国Ⅱ,文12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A. B.2 C.2 D.313.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为.14.(2017安徽马鞍山一模,20)设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.创新应用组15.(2018北京城六区一模,2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上,满足到直线AA1和CD的距离相等的点P()A.不存在B.恰有1个C.恰有2个D.有无数个16.(2018河北衡水模拟,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切.(1)求抛物线C的方程;(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为,且△OCD的面积是△OAB面积的倍,求l1和l2的方程.课时规范练46抛物线1.C因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以=7-5,所以|a|=8,因此焦点F到准线l的距离是=4,故选C.2.C利用|PF|=x P+=4,可得x P=3.∴y P=±2.∴S△POF=|OF|·|y P|=2.故选C.3.B由抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则焦点坐标F0, ,所以焦点F0, 到直线x-y+3=0的距离为d=,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y,故选B.4.A设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK ∽△QMP,得,即,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QP|=,所以|PQ|=|PF|+|QP|=.故选A.5.B由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则y0==2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=,线段AB的垂直平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而|ME|=,故选B.6.A7.C如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|.∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,故抛物线方程为y2=3x.8.2由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.18+4由题知,F(1,0),准线l的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2=-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是,所以|CD|=|AB|sin =8×=4,所以四边形ABCD 的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4=18+4.10. 由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作垂线交垂线于点C,设准线与x轴的交点为D,则由抛物线的定义,|FA|=m+,由△BAC∽△BFD,得,∴m=.∴|FA|=,|FB|=3,∴=|FA||FB|=.11.C∵抛物线y2=-8x的焦点为F(-2,0),准线为l1:x=2,∴P到l1的距离等于|PF|,∴P到直线l1,l2的距离之和的最小值为F(-2,0)到直线l2的距离d=.故选C.12.C由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,2).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).所以M到直线NF的距离为=2.13.2设B(x1,y1),A(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,∴x1+x2=2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.根据抛物线对称性可知点B,A关于x轴对称,由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=x,由解得B(6p,2p),∴|OB|==4p.∵△OAB的面积为48,∴=48,∴p=2.14.(1)解由题意知,动点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,则l2:y=-k(x-1)+2,由得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,∴x1=,同理x2=.∴x1+x2=,x1-x2=-.∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=.∴k MN==-1,即直线MN的斜率为定值-1.15.D由于点P在侧面A1ABB1上,所以点P到直线AA1的距离为PA,所以点P为到定点A与到定直线CD距离相等的点集合,满足抛物线的定义,有无数个.故选D.16.解 (1)设直线AB方程为y=x-b,代入y2=2px,得x2-(2b+2p)x+b2=0,Δ=(2b+2p)2-4b2=8bp+4p2>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2b+2p,x1x2=b2,|AB|=|x1-x2|==2,当b=1时,|AB|=2,AB的中点为(1+p,p),依题意可知2(1+p+1)=2,解得p=2.所以抛物线方程为y2=4x.(2)点O到直线l1的距离为d=,S△OAB=×|AB|×d=×2=2|b|.因为平行线l1,l2之间的距离为,所以直线CD方程为y=x-(b+1),S△OCD=2|b+1|.依题意可知×2|b|=2|b+1|,即3b2(b+1)=(b+1)2(b+2),化简得2b2-3b-2=0,所以b=-或b=2,满足Δ>0,所以l1:y=x+,l2:y=x-或l1:y=x-2,l2:y=x-3.。
2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习课件：第九章+解析几何+9.5
y 轴)的
必备知识·预案自诊 必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破
-5-
知识梳理
考点自诊
(5)弦长公式:直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB|= 1 + ������ 2 |x1-x2|= (1 + ������ 2 )[(������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 ] = 1+ (6)若
9.5
椭圆
必备知识·预案自诊 必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破
-2-
知识梳理
考点自诊
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常 数: (1)若 2a>|F1F2| ,则点P的轨迹为椭圆; (2)若 2a=|F1F2| ,则点P的轨迹为线段; (3)若 2a<|F1F2| ,则点P不存在.
������2 ������2 A. + =1 4 3 2 ������ ������2 C. + =1 5 4 ������2 2 B. +y =1 2 ������2 2 D. +y =1 3
(2)(2018
F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为 ( D ) A.3 2 B.4 2 C.6 2 D.7 2
(2)用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判 断椭圆的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能;②
北师版高考数学一轮总复习课后习题 第九章 平面解析几何 课时规范练45
课时规范练45《素养分级练》P323基础巩固组1.(辽宁大连模拟)抛物线y=14x2的焦点到准线的距离为( )A.18B.14C.1D.2答案:D解析:y=14x2⇒x2=4y⇒p=2,焦点到准线的距离是p=2.2.(全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )A.2B.2√2C.3D.3√2答案:B解析:设点A(x A,y A),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=x A+1,又|AF|=|BF|,所以x A+1=2,即x A=1,所以y A2=4.所以|AB|=√(x A-3)2+y A2=2√2.3.(山东烟台一模)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2√2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=-12B.x=-1C.x=-2D.x=-4答案:B解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F p2,0. 由y2=16p,可得y=±4√p.不妨令P(8,4√p),则S△OFP=12×p2×4√p=p√p=2√2,解得p=2.则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为(2,2√2),焦点为F,则( )A.点M到焦点的距离为3B.直线MF与F与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0答案:AC解析:由题意知(2√2)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线到焦点的距离等于到准线的距离为2-(-1)=3,故A正确;由焦点F(1,0)知直线MF不与N中点为P,过M,N,P作准线的垂线,垂足为M',N',P',易知PP'=MM'+NN'2=MF+NF2=MN2,故以弦MN为直径的圆与C的准线相切,故C正确;由2-2×2√2+1≠0知点M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.故选AC.5.已知动点C到点F(0,-2)比到直线y=1的距离大1,动点C的轨迹为曲线W,点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线W上两点,若y1+y2=-8,则|AB|的最大值为( )A.10B.14C.12D.16答案:C解析:由题意可知,动点C到点F(0,-2)与到直线y=2的距离相等,曲线W 是以点F为焦点的双曲线,方程为x2=-8y.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=p-(y1+y2),又y1+y2=-8,所以|AF|+|BF|=12.因为|AF|+|BF|≥|AB|,当且仅当A,F,B三点共线时,等号成立,即|AB|≤12,所以|AB|的最大值为12.6.若三个点M(3,2√6),N(2,2√3),Q(3,-2√6)中恰有两个点在抛物线y2=2px上,则该抛物线的方程为.答案:y2=8(3,2√6)在抛物线上,则Q(3,-2√6)一定也在y2=2px上,∴点M,点Q在抛物线上,点N(2,2√3)不在抛物线上,∴6p=24,4p≠12,解得p=4,∴抛物线的方程为y2=8x.7.(河北沧州二模)已知抛物线C:y 2=4F,NF.若|MF|=√3|NF|,则直线AB 的斜率为 . 答案:√3解析:如图,由题意得|AF|=|AM|,|BF|=|BN|,所以∠AMF=∠AFM=∠MFO,∠BNF=∠BFN=∠NFO.因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π,所以∠MFO+∠NFO=π2,所以MF ⊥NF.又|MF|=√3|NF|,所以∠NMF=π6,所以∠MFO=∠AFM=π3,故∠AFx=π3,所以直线AB 的斜率为tan π3=√3.8.(新高考Ⅰ,14)已知O 为坐标原点,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 答案:x=-32解析:∵PF ⊥x 轴,∴x P =x F =p2,将x P =p2代入y 2=2px,得y=±p.不妨设点P 在x 轴的上方,则P (p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO ∽△QFP, ∴|OF ||PF |=|PF ||QF |,即p 2p=p6,解得p=3.故C 的准线方程为x=-32.综合提升组9.(新高考Ⅱ,10)已知O 为坐标原点,过抛物线C:y 2=2p(p,0),若|AF|=|AM|,则( ) A.直线AB 的斜率为2√6 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180° 答案:ACD解析:选项A,由题意知,点A 为FM 的中点,则x A =p2+p 2=34p,所以y A 2=2px A =2p·34p=32p 2(y A >0).所以y A =√62p,故k AB =√62p 34p -p2=2√6,故选项A 正确;选项B,由斜率为2√6可得直线AB 的方程为x=2√6y+p2,联立抛物线方程得y 2-√6py-p 2=0,设B(x B ,y B ),则√62p+y B =√66p,则y B =-√6p3,代入抛物线方程得(-√6p3)2=2p·x B ,解得x B =p3.所以|OB|=x B2+y B 2=p 29+2p 23=7p 29≠p 24,故选项B 错误;选项C,|AB|=34p+p 3+p=2512p>2p=4|OF|,故选项C 正确; 选项D,由选项A,B 知,A34p,√62p ,Bp 3,-√63p ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34p,√62p ·p 3,-√63p =p 24-p 2=-34p 2<0,所以∠AOB 为钝角.又MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-p 4,√62p ·-2p3,-√63p =p 26-p 2=-56p 2<0,所以∠AMB 为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°. 故选项D 正确.故选ACD.10.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点为F,O 为坐标原点,A(t,1)是抛物线第一象限上的点,|AF|=5,直线AF 与抛物线的另一个交点为B,则S △AOB= .答案:40解析:∵|AF|=1+p2=5,则p=8,∴抛物线方程为x 2=16y.把A(t,1)代入抛物线方程得t 2=16且t>0,则t=4. ∵A(4,1),F(0,4),则直线AF 的斜率k=1-44-0=-34,∴直线AF 的方程为y=-34x+4,即3x+4y-16=0.联立{3x +4y -16=0,x 2=16y ,解得{x =4,y =1或{x =-16,y =16,即B(-16,16).则|AB|=√(-16-4)2+(16-1)2=25,点O 到直线AF:3x+4y-16=0的距离d=|-16|√32+42=165,∴S △AOB =12|AB|×d=40.11.已知抛物线y=14x 2的焦点为F,P 为抛物线上一动点,点Q(1,1),当△PQF的周长最小时,点P 的坐标为 . 答案:1,14解析:如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过点P 作PH ⊥l 于点H,过点Q 作QN ⊥l 于点N,则|PF|=|PH|,F(0,1),|FQ|=1,|PF|+|PQ|=|PQ|+|PH|,易知当Q,P,H 三点共线时,|PQ|+|PH|最小,且最小值为1+1=2,所以△PQF 周长的最小值为3,此时P 1,14.创新应用组12.用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥,则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分,如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB,CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,过CD 作平行于PA 的平面α,交母线PB 于点E,则平面α与圆锥侧面的交线为抛物线,其焦点到准线的距离为( )A.12B.√2C.√22D.1答案:B解析:由题意OB=OP=OC=2,E 是母线PB 的中点,所以OE=√2.在平面CDE 内建立平面直角坐标系,如图所示,可得C(-√2,2).设抛物线的方程为y 2=mx,将C 点坐标代入可得4=-√2m,所以m=-2√2,所以抛物线的方程为y 2=-2√2x.所以焦点坐标为-√22,0,准线方程为x=√22, 所以焦点到其准线的距离为√2.。
2020届高三数学文科一轮复习_第九章 解析几何课时作业9-8-1
题组一 常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段 长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程， 得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以 （4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴 上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的 圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋ ＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12， 故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2， 所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4， 所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.
高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线课件文北师大版3
(5)∠CFD=90°.
2.设 P(x0,y0)为圆锥曲线 C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 上的任意一
x 0 y+y 0 x
x 0 +x
y 0 +y
点,则过点 P 的切线方程为 Ax0x+B 2 +Cy0y+D 2 +E 2 +F=0.
3.抛物线 y2=2px(p>0)的通径长为 2p.
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析:由题意,得点 M 的坐标为
,
2
.
∵K - 2 ,0 ,∴kKM=1.∴∠MKO=45°,故选 C.
-8知识梳理
考点自诊
4.(202X江西南昌测试三,13)若抛物线x2=8y上的点P到焦点的距
离为12,则点P到x轴的距离是
.
10
解析:因为抛物线方程为x2=8y,
x2=-2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
标准方程
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图
形
顶 点
对称轴
O (0,0)
y=0
焦
F
点
离心率
准线方程
p
,0
2
e= 1
p
x=2
x=0
p
F -2 ,0
p
x=
2
p
F 0,2
p
y=-
2
p
F 0,-2
p
y=
2
-4知识梳理
北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何抛物线教学案理
一、知识梳理１．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（１）在平面内．（２）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．（３）定点不在定直线上．２．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y２＝２px（p＞0）y２＝—２px（p＞0）x２＝２py（p＞0）x２＝—２py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0，0）对称轴y＝0x＝0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝１准线方程x＝—错误!x＝错误!y＝—错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P （x0，y0））|PF|＝x0＋错误!|PF|＝—x0＋错误!|PF|＝y0＋错误!|PF|＝—y0＋错误!１．抛物线y２＝２px（p＞0）上一点P（x0，y0）到焦点F错误!的距离|PF|＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．２．y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!.３．如图，设A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!.（２）|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!（θ为AB的倾斜角）．（３）错误!＋错误!为定值错误!.（４）以AB为直径的圆与准线相切．（５）以AF或BF为直径的圆与y轴相切．二、教材衍化１．过点P（—２，３）的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝—错误!x或x２＝错误!yＢ．y２＝错误!x或x２＝错误!yＣ．y２＝错误!x或x２＝—错误!yＤ．y２＝—错误!x或x２＝—错误!y解析：选Ａ．设抛物线的标准方程为y２＝kx或x２＝my，代入点P（—２，３），解得k＝—错误!，m＝错误!，所以y２＝—错误!x或x２＝错误!y.故选Ａ．２．抛物线y２＝8x上到其焦点F距离为５的点P有（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．４个解析：选Ｃ．设P（x１，y１），则|PF|＝x１＋２＝５，y错误!＝8x１，所以x１＝３，y１＝±２错误!.故满足条件的点P有两个．故选Ｃ．３．过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线于P（x１，y１），Q（x２，y２）两点，如果x１＋x２＝6，则|PQ|＝________．解析：抛物线y２＝４x的焦点为F（１，0），准线方程为x＝—１．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x１＋１＋x２＋１＝x１＋x２＋２＝8．答案：8一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（）（２）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（）（３）若一抛物线过点P（—２，３），则其标准方程可写为y２＝２px（p>0）．（）（４）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视抛物线的标准形式；（２）忽视p的几何意义；（３）忽视k＝0的讨论；（４）易忽视焦点的位置出现错误．１．抛物线8x２＋y＝0的焦点坐标为（）Ａ．（0，—２）Ｂ．（0，２）Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由8x２＋y＝0，得x２＝—错误!y.２p＝错误!，p＝错误!，所以焦点为错误!，故选Ｃ．２．已知抛物线C与双曲线x２—y２＝１有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（）Ａ．y２＝±２错误!xＢ．y２＝±２xＣ．y２＝±４xＤ．y２＝±４错误!x解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为（—错误!，0），（错误!，0）．设抛物线方程为y２＝±２px （p＞0），则错误!＝错误!，所以p＝２错误!，所以抛物线方程为y２＝±４错误!x.故选Ｄ．３．设抛物线y２＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析：由已知可得Q（—２，0），当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k （x＋２），代入抛物线方程，消去y整理得k２x２＋（４k２—8）x＋４k２＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝6４（１—k２）≥0得—１≤k＜0或0＜k≤１．综上，—１≤k≤１．答案：[—１，１]４．若抛物线的焦点在直线x—２y—４＝0上，则此抛物线的标准方程为________．解析：令x＝0，得y＝—２；令y＝0，得x＝４．所以抛物线的焦点是（４，0）或（0，—２），故所求抛物线的标准方程为y２＝１6x或x２＝—8y.答案：y２＝１6x或x２＝—8y抛物线的定义（典例迁移）设P是抛物线y２＝４x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B（３，２），则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P１，则|P１Q|＝|P１F|.则有|PB|＋|PF|≥|P１B|＋|P１Q|＝|BQ|＝４．即|PB|＋|PF|的最小值为４．【答案】４【迁移探究１】（变条件）若将本例中“B（３，２）”改为“B（３，４）”，如何求解？解：由题意可知点B（３，４）在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，由例题知，F（１，0），所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝错误!＝２错误!，即|PB|＋|PF|的最小值为２错误!.【迁移探究２】（变问法）在本例条件下，求点P到点A（—１，１）的距离与点P到直线x＝—１的距离之和的最小值．解：如图，易知抛物线的焦点为F（１，0），准线是x＝—１，由抛物线的定义知点P到直线x＝—１的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A（—１，１）的距离与点P到F（１，0）的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点P，此时最小值为错误!＝错误!.【迁移探究３】（变问法）在本例条件下，求点P到直线l１：４x—３y＋6＝0和l２：x＝—１的距离之和的最小值．解：由题可知l２：x＝—１是抛物线y２＝４x的准线，设抛物线的焦点为F（１，0），则动点P到l的距离等于|PF|，故动点P到直线l１和直线l２的距离之和的最小值，即焦点F到直线l１：４x—３y＋6２＝0的距离，所以最小值是错误!＝２．错误!（１）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．（２）注意灵活运用抛物线上一点P（x，y）到焦点F的距离|PF|＝|x|＋错误!或|PF|＝|y|＋错误!.１．（２0２0·江西萍乡一模）已知动圆C经过点A（２，0），且截y轴所得的弦长为４，则圆心C的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线解析：选Ｄ．设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝２，则有|CA|２＝|BC|２＝|BE|２＋|CE|２，所以（x—２）２＋y２＝２２＋x２，化为y２＝４x，则圆心C的轨迹为抛物线．故选Ｄ．２．（２0２0·成都模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝—１，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝—１上的射影为A，且直线AF的斜率为—错误!，则△MAF的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４错误!Ｄ．8错误!解析：选Ｃ．如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝２．因为直线AF的斜率为—错误!，所以∠AFN＝60°.所以∠MAF＝60°，|AF|＝４．由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，所以△AMF是边长为４的等边三角形．所以S△AMF＝错误!×４２＝４错误!.故选Ｃ．抛物线的标准方程（师生共研）如图，过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝３，则此抛物线的方程为（）Ａ．y２＝9xＢ．y２＝6xＣ．y２＝３xＤ．y２＝错误!x【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝２a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝３0°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝３，|AC|＝３＋３a，２|AE|＝|AC|，所以３＋３a＝6，从而得a＝１，|FC|＝３a＝３，所以p＝|FG|＝错误!|FC|＝错误!，因此抛物线的方程为y２＝３x，故选Ｃ．【答案】C错误!求抛物线的标准方程应注意以下几点（１）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．（２）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．（３）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．１．（２0２0·重庆调研）已知抛物线y２＝２px（p＞0），点C（—４，0），过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为２４，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝４xＢ．y２＝—４xＣ．y２＝8xＤ．y２＝—8x解析：选Ｄ．因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝２p，所以S△CAB＝错误!×２p×错误!＝２４，解得p＝４或—１２（舍），所以抛物线方程为y２＝8x，所以直线AB的方程为x＝２，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y２＝—8x.故选Ｄ．２．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，若抛物线C２：x２＝２py（p ＞0）的焦点到双曲线C１的渐近线的距离为２，则抛物线C２的方程是（）Ａ．x２＝１6yＢ．x２＝8yＣ．x２＝错误!yＤ．x２＝错误!y解析：选Ａ．因为双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，所以错误!＝２．因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C２：x２＝２py（p＞0）的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为２，所以错误!＝错误!·错误!＝错误!＝２，解得p＝8，所以抛物线C２的方程是x２＝１6y.抛物线的性质（师生共研）已知抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!；（２）错误!＋错误!为定值；（３）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．【证明】（１）由已知得抛物线焦点坐标为F（错误!，0）．由题意可设直线方程为x＝my＋错误!，代入y２＝２px，得y２＝２p错误!，即y２—２pmy—p２＝0．（*）则y１，y２是方程（*）的两个实数根，所以y１y２＝—p２.因为y错误!＝２px１，y错误!＝２px２，所以y错误!y错误!＝４p２x１x２，所以x１x２＝错误!＝错误!＝错误!.（２）错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.因为x１x２＝错误!，x１＋x２＝|AB|—p，|AB|＝x１＋x２＋p，代入上式，得错误!＋错误!＝错误!＝错误!（定值）．（３）设AB的中点为M（x0，y0），如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝错误!（|AC|＋|BD|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．错误!抛物线几何性质的应用技巧（１）涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．（２）与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝２x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．４解析：选Ｃ．设直线AB的方程为x＝my＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!⇒y２—２my—２t＝0⇒y１y２＝—２t，由OA⊥OB⇒x１x２＋y１y２＝错误!＋y１y２＝0⇒y１y２＝—４，所以t＝２，即直线AB过定点（２，0）．所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为２—错误!＝错误!.故选Ｃ．２．（２0２0·洛阳模拟）已知F是抛物线C１：y２＝２px（p＞0）的焦点，曲线C２是以F为圆心，错误!为半径的圆，直线４x—３y—２p＝0与曲线C１，C２从上到下依次相交于点A，B，C，D，则错误!＝（）Ａ．１6 Ｂ．４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为直线４x—３y—２p＝0过C１的焦点F（C２的圆心），故|BF|＝|CF|＝错误!，所以错误!＝错误!.由抛物线的定义得|AF|—错误!＝x A，|DF|—错误!＝x D.由错误!整理得8x２—１7px＋２p２＝0，即（8x—p）（x—２p）＝0，可得x A＝２p，x D＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝１6．故选Ａ．直线与抛物线的位置关系（师生共研）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y２＝３x的焦点为F，斜率为错误!的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.（１）若|AF|＋|BF|＝４，求l的方程；（２）若错误!＝３错误!，求|AB|.【解】设直线l：y＝错误!x＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）由题设得F错误!，故|AF|＋|BF|＝x１＋x２＋错误!，由题设可得x１＋x２＝错误!.由错误!可得9x２＋１２（t—１）x＋４t２＝0，则x１＋x２＝—错误!.从而—错误!＝错误!，得t＝—错误!.所以l的方程为y＝错误!x—错误!.（２）由错误!＝３错误!可得y１＝—３y２.由错误!可得y２—２y＋２t＝0．所以y１＋y２＝２．从而—３y２＋y２＝２，故y２＝—１，y１＝３．代入C的方程得x１＝３，x２＝错误!.故|AB|＝错误!.错误!解决直线与抛物线位置关系问题的方法（１）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．（２）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x１|＋|x２|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（３）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝４x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T（５，0），则S△AOB＝（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３错误!解析：选Ａ．如图所示，F（１，0）．设直线l的方程为y＝k（x—１）（k≠0），A（x１，y１），B（x，y２），线段AB的中点E（x0，y0）．２则线段AB的垂直平分线的方程为y＝—错误!（x—５）．联立错误!化为ky２—４y—４k＝0，所以y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以y0＝错误!（y１＋y２）＝错误!，x0＝错误!＋１＝错误!＋１，把E错误!代入线段AB的垂直平分线的方程y＝—错误!（x—５），可得错误!＝—错误!·错误!，解得k２＝１．S△OAB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!错误!＝错误!错误!＝２错误!.故选Ａ．２．设A，B为曲线C：y＝错误!上两点，A与B的横坐标之和为２．（１）求直线AB的斜率；（２）设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB 的方程．解：（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１≠x２，y１＝错误!，y２＝错误!，x１＋x２＝２，故直线AB的斜率k＝错误!＝错误!＝１．（２）由y＝错误!，得y′＝x.设M（x３，y３），由题设知x３＝１，于是M错误!.设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N（１，１＋m），|MN|＝错误!.将y＝x＋m代入y＝错误!，得x２—２x—２m＝0．由Δ＝４＋8m＞0，得m＞—错误!，x１，２＝１±错误!.从而|AB|＝错误!|x１—x２|＝２错误!.由题设知|AB|＝２|MN|，即错误!＝错误!，解得m＝错误!或m＝—２（舍）．所以直线AB的方程为y＝x＋错误!.解析几何中的“设而不求”“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：（１）灵活应用“点、线的几何性质”解题；（２）根据题意，整体消参或整体代入等．类型一巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右支与焦点为F的抛物线x２＝２py（p>0）交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝４|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．【解析】设A（x１，y１），B（x２，y２），由抛物线的定义可知|AF|＝y１＋错误!，|BF|＝y２＋错误!，|OF|＝错误!，由|AF|＋|BF|＝y１＋错误!＋y２＋错误!＝y１＋y２＋p＝４|OF|＝２p，得y１＋y２＝p.k AB＝错误!＝错误!＝错误!.由错误!得k AB＝错误!＝错误!＝错误!·错误!，则错误!·错误!＝错误!，所以错误!＝错误!⇒错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.【答案】y＝±错误!x类型二中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法△ABC的三个顶点都在抛物线E：y２＝２x上，其中A（２，２），△ABC的重心G是抛物线E 的焦点，则BC边所在直线的方程为________．【解析】设B（x１，y１），C（x２，y２），边BC的中点为M（x0，y0），易知G错误!，则错误!从而错误!即M错误!，又y错误!＝２x１，y错误!＝２x２，两式相减得（y１＋y２）（y１—y２）＝２（x１—x２），则直线BC 的斜率k BC＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—１，故直线BC的方程为y—（—１）＝—错误!，即４x ＋４y＋５＝0．【答案】４x＋４y＋５＝0类型三中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0已知双曲线x２—错误!＝１，过点P（１，１）能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？【解】假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．设A（x１，y１），B（x２，y２），易知x１≠x２，由错误!两式相减得（x１＋x２）（x１—x２）—错误!＝0，又错误!＝１，错误!＝１，所以２（x１—x２）—（y１—y２）＝0，所以k AB＝错误!＝２，故直线l的方程为y—１＝２（x—１），即y＝２x—１．由错误!消去y得２x２—４x＋３＝0，因为Δ＝１6—２４＝—8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．类型四求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求已知F为抛物线C：y２＝２x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l１，l２，直线l１与C交于A，B两点，直线l２与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．【解析】法一：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，设l１：x＝ty＋错误!，则直线l１的斜率为错误!，联立方程得错误!消去x得y２—２ty—１＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝２t，y１y２＝—１．所以|AB|＝错误!|y１—y２|＝错误!·错误!＝错误!错误!＝２t２＋２，同理得，用—错误!替换t可得|DE|＝错误!＋２，所以|AB|＋|DE|＝２错误!＋４≥４＋４＝8，当且仅当t２＝错误!，即t＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．法二：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，不妨设l１的斜率为k，则l１：y＝k错误!，l２：y＝—错误!错误!.由错误!消去y得k２x２—（k２＋２）x＋错误!＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝１＋错误!.由抛物线的定义知，|AB|＝x１＋x２＋１＝１＋错误!＋１＝２＋错误!.同理可得，用—错误!替换|AB|中k，可得|DE|＝２＋２k２，所以|AB|＋|DE|＝２＋错误!＋２＋２k２＝４＋错误!＋２k２≥４＋４＝8，当且仅当错误!＝２k２，即k＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．【答案】8[基础题组练]１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）若抛物线y２＝２px（p>0）的焦点是椭圆错误!＋错误!＝１的一个焦点，则p＝（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．8解析：选Ｄ．由题意，知抛物线的焦点坐标为错误!，椭圆的焦点坐标为（±错误!，0），所以错误!＝错误!，解得p＝8，故选Ｄ．２．（２0２0·河北衡水三模）设F为抛物线y２＝４x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为（１，２），（x１，y１），（x２，y２），且|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，则x１＋x２＝（）Ａ．6 Ｂ．５Ｃ．４Ｄ．３解析：选Ａ．根据抛物线的定义，知|错误!|，|错误!|，|错误!|分别等于点A，B，C到准线x＝—１的距离，所以由|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，可得２＋x１＋１＋x２＋１＝１0，即x１＋x２＝6．故选Ａ．３．（２0２0·河北邯郸一模）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为５m，跨径为１２m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）Ａ．错误!m Ｂ．错误!mＣ．错误!m Ｄ．错误!m解析：选Ｄ．建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的解析式为x２＝—２py，p＞0，因为抛物线过点（6，—５），所以３6＝１0p，可得p＝错误!，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为错误!m．故选Ｄ．４．（２0２0·河南安阳三模）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为１４，且cos∠FAA′＝错误!，则抛物线C的方程为（）Ａ．y２＝xＢ．y２＝２xＣ．y２＝４xＤ．y２＝8x解析：选Ｃ．过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|＝３x，因为cos∠FAA′＝错误!，故|AF|＝５x，则|FF′|＝４x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝５x，则|A′F′|＝２x＝p，故x＝错误!.四边形AA′PF的面积S＝错误!＝错误!＝１４，解得p＝２，故抛物线C的方程为y２＝４x.５．已知直线y＝k（x＋２）（k＞0）与抛物线C：y２＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝２|FB|，则k＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．设抛物线C：y２＝8x的准线为l，易知l：x＝—２，直线y＝k（x＋２）恒过定点P（—２，0），如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝２|FB|，知|AM|＝２|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝错误!|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为１，因为k＞0，所以点B的坐标为（１，２错误!），所以k＝错误!＝错误!.故选Ｄ．6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，则C的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y２＝２px（p＞0），由|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，可取A错误!，D错误!，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得错误!＋8＝错误!＋５，得p＝４．答案：４7．过抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝错误!（|BB′|＋|AA′|）＝错误!（|BF|＋|AF|）＝错误! |AB|＝错误!|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为１２0°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为３0°，斜率是错误!.答案：错误!8．（一题多解）已知点M（—１，１）和抛物线C：y２＝４x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为（１，0），则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k（x—１）（k≠0），由错误!消去y得k２（x—１）２＝４x，即k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，设A（x１，y），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝１．由错误!消去x得y２＝４错误!，即y２—错误!y—４１＝0，则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，由∠AMB＝90°，得错误!·错误!＝（x１＋１，y１—１）·（x２＋１，y２—１）＝x１x２＋x１＋x２＋１＋y１y２—（y１＋y２）＋１＝0，将x１＋x２＝错误!，x１x２＝１与y＋y２＝错误!，y１y２＝—４代入，得k＝２．１法二：设抛物线的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!所以y错误!—y错误!＝４（x１—x），则k＝错误!＝错误!，取AB的中点M′（x0，y0），分别过点A，B作准线x＝—１的垂线，垂足分别２为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝—１上，所以|MM′|＝错误!|AB|＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!（|AA′|＋|BB′|）．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝１，所以y１＋y２＝２，所以k＝２．答案：２9．已知过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点，斜率为２错误!的直线交抛物线于A（x１，y１），B（x，y２）（x１<x２）两点，且|AB|＝9．２（１）求该抛物线的方程；（２）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若错误!＝错误!＋λ错误!，求λ的值．解：（１）由题意得直线AB的方程为y＝２错误!·错误!，与y２＝２px联立，消去y有４x２—５px＋p２＝0，所以x１＋x２＝错误!.由抛物线定义得|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!＋p＝9，所以p＝４，从而该抛物线的方程为y２＝8x.（２）由（１）得４x２—５px＋p２＝0，即x２—５x＋４＝0，则x１＝１，x２＝４，于是y１＝—２错误!，y２＝４错误!，从而A（１，—２错误!），B（４，４错误!），设C（x３，y３），则错误!＝（x３，y３）＝（１，—２错误!）＋λ（４，４错误!）＝（４λ＋１，４错误!λ—２错误!）．又y错误!＝8x３，所以[２错误!（２λ—１）]２＝8（４λ＋１），整理得（２λ—１）２＝４λ＋１，解得λ＝0或λ＝２．１0．（２0２0·河北衡水二模）已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）的焦点为F，点M（２，m）（m ＞0）在抛物线上，且|MF|＝２．（１）求抛物线C的方程；（２）若点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．解：（１）由抛物线的定义可知，|MF|＝m＋错误!＝２，１又M（２，m）在抛物线上，所以２pm＝４，２由１２解得p＝２，m＝１，所以抛物线C的方程为x２＝４y.（２）证明：１当x0＝0，即点P为原点时，显然符合；２x0≠0，即点P不在原点时，由（１）得，x２＝４y，则y′＝错误!x，所以抛物线在点P处的切线的斜率为错误!x0，所以抛物线在点P处的切线l0的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），又x错误!＝４y0，所以y—y0＝错误!x0（x—x0）可化为y＝错误!x0x—y0.又过点F且与切线l0垂直的方程为y—１＝—错误!x.联立方程得错误!消去x，得y＝—错误!（y—１）x错误!—y0.（*）因为x错误!＝４y0，所以（*）可化为y＝—yy0，即（y0＋１）y＝0，由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x轴上．综上，过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．[综合题组练]１．（２0２0·陕西西安一模）已知F为抛物线C：y２＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B 两点，且|AF|＝３|BF|，则|AB|＝（）Ａ．6 Ｂ．8Ｃ．１0 Ｄ．１２解析：选Ｂ．抛物线y２＝6x的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!，设A（x１，y１），B（x２，y２），因为|AF|＝３|BF|，所以x１＋错误!＝３错误!，所以x１＝３x２＋３，因为|y１|＝３|y２|，所以x１＝9x２，所以x１＝错误!，x２＝错误!，所以|AB|＝错误!＋错误!＝8．故选Ｂ．２．过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝３，则△AOB的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!解析：选Ｃ．由题意设A（x１，y１），B（x２，y２）（y１>0，y２<0），如图所示，|AF|＝x１＋１＝３，所以x１＝２，y１＝２错误!.设AB的方程为x—１＝ty，由错误!消去x得y２—４ty—４＝0．所以y１y２＝—４，所以y２＝—错误!，x２＝错误!，所以S△AOB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!，故选Ｃ．３．（２0２0·江西九江二模）已知抛物线C：x２＝４y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|—１，则当∠AFB最大时，|AD|＝（）Ａ．４Ｂ．8Ｃ．１6 Ｄ．错误!解析：选Ｃ．设A（x１，y１），B（x２，y２），D（x３，y３），由抛物线定义得y１＋y２＋２＝|AF|＋|BF|，因为错误!＝|AB|—１，所以|AF|＋|BF|＝２|AB|，所以cos∠AFB＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当|AF|＝|BF|时取等号．所以当∠AFB最大时，△AFB为等边三角形，联立错误!消去y得，x２—４错误!x—４＝0，所以x１＋x３＝４错误!，所以y１＋y３＝错误!（x１＋x３）＋２＝１４．所以|AD|＝１6．故选Ｃ．４．已知直线y＝a交抛物线y＝x２于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．解析：如图，设C（x0，x错误!）（x错误!≠a），A（—错误!，a），B（错误!，a），则错误!＝（—错误!—x0，a—x错误!），错误!＝（错误!—x0，a—x错误!）．因为CA⊥CB，所以错误!·错误!＝0，即—（a—x错误!）＋（a—x错误!）２＝0，（a—x错误!）（—１＋a—x错误!）＝0，所以x错误!＝a—１≥0，所以a≥１．答案：[１，＋∞）５．已知抛物线的方程为x２＝２py（p>0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.（１）求错误!·错误!；（２）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为错误!p２，求直线AB的斜率k.解：（１）设直线AB的方程为y＝kx＋错误!，A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得x２—２pkx—p２＝0，则错误!所以y１·y２＝错误!，所以错误!·错误!＝x１·x２＋y１·y２＝—错误!p２.（２）由x２＝２py，知y′＝错误!，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为错误!，错误!，所以直线AM的方程为y—y１＝错误!（x—x１），直线BM的方程为y—y２＝错误!（x—x２），则可得M错误!.所以k MF＝—错误!，所以直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝２p（k２＋１），用—错误!代替k得，|CD|＝２p错误!，四边形ACBD的面积S＝错误!·|AB|·|CD|＝２p２错误!＝错误!p２，解得k２＝３或k２＝错误!，即k＝±错误!或k＝±错误!.6．已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）和定点M（0，１），设过点M的动直线交抛物线C于A，B 两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.（１）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；（２）若△ABN的面积的最小值为４，求抛物线C的方程．解：设直线AB：y＝kx＋１，A（x１，y１），B（x２，y２），将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x２—２pkx—２p＝0，则x１＋x２＝２pk，x１x２＝—２p.１（１）由x２＝２py得y′＝错误!，则A，B处的切线斜率的乘积为错误!＝—错误!，因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，所以—错误!＝—１，所以p＝２．（２）易得直线AN：y—y１＝错误!（x—x１），直线BN：y—y２＝错误!（x—x２），联立，得错误!结合１式，解得错误!即N（pk，—１）．|AB|＝错误!|x２—x１|＝错误!错误!＝错误!错误!，点N到直线AB的距离d＝错误!＝错误!，则△ABN的面积S△ABN＝错误!·|AB|·d＝错误!≥２错误!，当k＝0时，取等号，因为△ABN的面积的最小值为４，所以２错误!＝４，所以p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y.。
高考数学一轮总复习课时规范练44抛物线北师大版
课时规范练44抛物线基础巩固组1.抛物线y=8mx2(m<0)的焦点坐标是()A.(18m ,0) B.(0,132m)C.(0,−132m ) D.(132m,0)2.(2021新高考Ⅱ，3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为√2，则p=()A.1B.2C.2√2D.43.(2021北京海淀二模)已知F为抛物线y2=4x的焦点，点P(x0，y0)是该抛物线上的一点.若|PF|>2，则()A.x0∈(0，1)B.x0∈(1，+∞)C.y0∈(2，+∞)D.y0∈(-∞，2)4.(2021河南郑州月考)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(3，y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则y0等于()A.±6√2B.±6C.±12√2D.±125.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x 25−y23=1的右焦点重合，则p的值为()A.4√2B.2C.√2D.2√26.(2021湖南常德一中月考)在平面直角坐标系中，已知M(2，0)，点B为直线l:x=-2上的动点，点A在线段MB的垂直平分线上，且AB⊥l，则动点A的轨迹方程是() A.y2=8x B.y2=4xC.x2=8yD.x2=4y7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A.若直线AF的斜率k=-√3，则下列结论正确的是()A.准线方程为x=-3)B.焦点坐标F(0,32,3√3)C.点P的坐标为(92D.PF的长为38.(2021河北张家口一模)若点P(4，1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|= .9.(2021北京怀柔一模)若抛物线C焦点在y轴上，且过点(2，1)，则抛物线C的标准方程是.综合提升组10.(2021福建龙岩三模)已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|=4，则∠FQP=()A.30°B.45°C.60°D.75°11.(2021重庆一中月考)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4，点F为抛物线的焦点，点P为抛物线上一个动点，点Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点，则|PF|+|PQ|的最小值为() A.7 B.7√2 C.8 D.8√2y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论错误的是12.已知抛物线x2=12(),0)A.点F的坐标为(18B.若直线MN 过点F ，则x 1x 2=-116C.若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|MN|的最小值为12D.若|MF|+|NF|=32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为5813.(2021湖北襄阳四中模拟)已知点A 是抛物线y 2=2px (p>0)上一点，F 为其焦点，以点F 为圆心，|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B ，C 两点.若△FBC 为等腰直角三角形，且△ABC 的面积是4√2，则抛物线的方程是 .创新应用组14.已知抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ，点M (2，m )(m>0)在抛物线C 上，且|MF|=2. (1)求抛物线C 的方程;(2)若点P (x 0，y 0)为抛物线C 上任意一点，过该点的切线为l 0，证明:过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上.课时规范练44 抛物线1.B 解析:由y=8mx 2(m<0)，得x 2=18m y ， 所以抛物线y=8mx 2(m<0)的焦点坐标是(0,132m ).故选B .2.B 解析:由题可知抛物线的焦点坐标为(p2,0)， 所以焦点到直线x-y+1=0的距离d=|p2-0+1|√1+1=√2，解得p=2或p=-6(舍去).故选B .3.B 解析:由题可知p2=1，所以|PF|=x 0+1>2，解得x 0>1. 故选B .4.A 解析:由题可得3+p2=9，解得p=12，所以y 2=24x.又点A (3，y 0)在抛物线y 2=24x 上，所以y 02=72，解得y 0=±6√2.故选A .5.A 解析:由题可知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为(p2,0)，双曲线x 25−y 23=1的右焦点为(2√2，0).因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合， 所以p2=2√2，解得p=4√2. 故选A .6.A 解析:由题可知|AB|=|AM|，AB ⊥l ，所以点A 的轨迹是以点M 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以p2=2，解得p=4，所以点A 的轨迹方程为y 2=8x. 故选A .7.C 解析:∵抛物线方程为y 2=6x ，∴焦点坐标F (32,0)，准线方程为x=-32，故A ，B 错误;∵直线AF 的斜率为-√3， ∴直线AF 的方程为y=-√3(x -32)，∴A (-32,3√3). ∵PA ⊥l ，垂足为A ，∴点P 的纵坐标为3√3，∴点P 的坐标为(92,3√3)，故C 正确;|PF|=|PA|=92+32=6，故D 错误.故选C .8.5 解析:因为点P (4，1)为抛物线C :x 2=2py (p>0)上一点， 所以42=2p ×1，解得p=8， 所以|PF|=1+82=5.9.x 2=4y 解析:因为抛物线C 焦点在y 轴上，所以设抛物线方程为x 2=my.又抛物线过点(2，1)，所以22=m ，即m=4，所以抛物线方程为x 2=4y. 10.C 解析:设P (x 0，y 0)，则|PQ|=y 0+1.由抛物线的定义可得|PQ|=|PF|，所以y 0+1=4，即y 0=3.又x 02=4y 0，所以x 02=12，不妨设点P 位于第一象限，则x 0=2√3，即P (2√3，3)，所以Q (2√3，-1)，所以|QF|=√12+4=4，所以|PQ|=|PF|=|QF|，所以△FQP 为等边三角形，所以∠FQP=60°. 故选C .11.A 解析:由题可知抛物线方程为y 2=16x ，曲线C :(x-5)2+(y-1)2=4. 过点P 作PA 垂直于准线x=-4，垂足为A (图略)， 则|PA|=|PF|，所以|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|.要使|PA|+|PQ|最小，则需A ，P ，Q 三点共线且QA 最小， 所以最小值为9-2=7. 故选A .12.A 解析:抛物线x 2=12y 的焦点为F (0,18)，故A 错误; 根据抛物线的性质可得，MN 过点F 时，x 1x 2=-116，故B 正确;若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为2p=12，故C 正确;由题可知，抛物线x 2=12y 的焦点为F (0,18)，准线方程为y=-18，过点M ，N ，P 作准线的垂线MM'，NN'，PP'(图略)， 则|MM'|=|MF|，|NN'|=|NF|，|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=32，所以|PP'|=|MM'|+|NN'|2=34，所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP'|-18=34−18=58，故D 正确. 故选A .13.y 2=4x 解析:由题可知p |BF|=cos45°=√22，所以|BF|=√2p ， 所以|AF|=√2p ，所以点A 到准线的距离d=√2p ， 所以S △ABC =12|BC|×d=12×2p ×√2p=4√2(p>0)，解得p=2， 所以抛物线方程为y 2=4x.14.(1)解由抛物线的定义，可知|MF|=m+p2=2.① 因为点M (2，m )在抛物线C 上，所以2pm=4. ②由①②解得p=2，m=1， 所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)证明①当x 0=0，即点P 为原点时，显然符合; ②当x 0≠0，即点P 不在原点时，由(1)得x 2=4y ，即y=x 24，则y'=12x ，所以抛物线C 在点P 处的切线l 0的斜率为12x 0，所以抛物线C在点P 处的切线l 0的方程为y-y 0=12x 0(x-x 0).又x 02=4y 0，所以y-y 0=12x 0(x-x 0)可化为y=12x 0x-y 0.过点F (0，1)且与切线l 0垂直的直线方程为y-1=-2x 0x.由{y =12x 0x -y 0,y -1=-2x 0x,消去x ，得y=-14(y-1)x 02-y 0. 因为x 02=4y 0，所以y=-yy0，即(y0+1)y=0.由y0>0，可知y=0，即垂足必在x轴上.综上所述，过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上.。
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第7节 抛物线
1
A.x= 2
)
B.x=-1
C.x=-2
D.x=-4
(2)(2020全国Ⅲ,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于
D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(
1
A.( ,0)
4
1
B.( ,0)
2
C.(1,0)
)
D.(2,0)
答案:(1)B (2)B
解析:(1)将 x=8 代入 y2=2px,得 y=±4 .
2
2
因为 sin
1
1
∠MFG=3,所以|DM|=3|MF|,即 x0-2
=
1
3
0 + 2
,
解得x0=p.②
由①②,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.故选C.
(2)连接 FA,因为 F 就是圆 −
2
2
2
+y
=
的圆心,所以
2
4
又|KF|=p,所以∠AKF=30°,那么∠AKB=60°,
−
A.1
2
2
2
+y
=
的切线,切点分别为
2
4
B. 3
C.2
A,B.若|AB|= 3,则 p 的值为(
D.3
)
答案:(1)C (2)C
解析:(1)如图所示,作MD⊥EG,垂足为D.
因为点 M(x0,2 2) 0 >
2
在抛物线上,
所以 8=2px0,即 px0=4.①
由题意,可知|DM|=x0- ,|MF|=x0+ ,
2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第九章+解析几何+课时规范练41+Word版含答案
2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题课时规范练41点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2018湖北稳派教育二联,3)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为()A. B.4C. D.22.直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为()A.y=-x+B.y=-x+1C.y=3x-3D.y=x+13.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c=()A.-2B.-4C.-6D.-84.三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是()A.-2B.-1C.0D.15.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.(2018山东栖霞期末,5)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A.x+2y-5=0B.2x-y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=08.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2B.6C.3D.29.(2018河北廊坊期末,13)若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为.10.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=.11.点A(3,-4)与点B(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为.12.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.综合提升组13.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[,2]B.[,2]C.[,4]D.[2,4]14.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-16.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为.创新应用组17.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为.18.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.。
高考数学一轮复习第九章解析几何课时规范练46抛物线文北师大02112303
课时规范练46 抛物线基础巩固组1.(2018山东春季联考)已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.52.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()A.2B.2C.2D.43.(2018云南昆明一中模拟,5)已知点F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,O为坐标原点,若以F为圆心,|FO|为半径的圆与直线x-y+3=0相切,则抛物线C的方程为()A.x2=2yB.x2=4yC.x2=6yD.x2=8y4.(2018广东江门一模,10)F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若=2,则|PQ|=()A. B.4 C. D.35.(2018湖南师范大学附属中学三模,11)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与抛物线C 相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为()A.2B.C.2D.6.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学冲刺,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线y=x与抛物线C交于O,A两点(O为坐标原点),过F作直线OA的平行线交抛物线C于B,D 两点(其中B在第一象限),直线AB与直线OD交于点E,若△OEF的面积等于1,则抛物线C的准线方程为()A.x=-1B.x=-C.y=-1D.y=-7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.9.(2018安徽巢湖一模,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1交抛物线于A,B两点,分别从A,B两点向直线l2:x=-2作垂线,垂足是D,C,则四边形ABCD的周长为.10.(2017广东江门一模,10改编)F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若=4,则= .综合提升组11.(2018山东烟台模拟,6)已知直线l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,点P为抛物线y2=-8x上的任一点,则P 到直线l1,l2的距离之和的最小值为()A.2B.2C.D.12.(2017全国Ⅱ,文12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A. B.2 C.2 D.313.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为.14.(2017安徽马鞍山一模,20)设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.创新应用组15.(2018北京城六区一模,2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上,满足到直线AA1和CD的距离相等的点P()A.不存在B.恰有1个C.恰有2个D.有无数个16.(2018河北衡水模拟,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切.(1)求抛物线C的方程;(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为,且△OCD的面积是△OAB面积的倍,求l1和l2的方程.课时规范练46抛物线1.C因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以=7-5,所以|a|=8,因此焦点F到准线l的距离是=4,故选C.2.C利用|PF|=x P+=4,可得x P=3.∴y P=±2.∴S△POF=|OF|·|y P|=2.故选C.3.B由抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则焦点坐标F0, ,所以焦点F0, 到直线x-y+3=0的距离为d=,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y,故选B.4.A设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK ∽△QMP,得,即,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QP|=,所以|PQ|=|PF|+|QP|=.故选A.5.B由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则y0==2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=,线段AB的垂直平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而|ME|=,故选B.6.A7.C如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|.∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,故抛物线方程为y2=3x.8.2由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.18+4由题知,F(1,0),准线l的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2=-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是,所以|CD|=|AB|sin =8×=4,所以四边形ABCD 的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4=18+4.10. 由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作垂线交垂线于点C,设准线与x轴的交点为D,则由抛物线的定义,|FA|=m+,由△BAC∽△BFD,得,∴m=.∴|FA|=,|FB|=3,∴=|FA||FB|=.11.C∵抛物线y2=-8x的焦点为F(-2,0),准线为l1:x=2,∴P到l1的距离等于|PF|,∴P到直线l1,l2的距离之和的最小值为F(-2,0)到直线l2的距离d=.故选C.12.C由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,2).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).所以M到直线NF的距离为=2.13.2设B(x1,y1),A(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,∴x1+x2=2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.根据抛物线对称性可知点B,A关于x轴对称,由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=x,由解得B(6p,2p),∴|OB|==4p.∵△OAB的面积为48,∴=48,∴p=2.14.(1)解由题意知,动点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,则l2:y=-k(x-1)+2,由得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,∴x1=,同理x2=.∴x1+x2=,x1-x2=-.∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=.∴k MN==-1,即直线MN的斜率为定值-1.15.D由于点P在侧面A1ABB1上,所以点P到直线AA1的距离为PA,所以点P为到定点A与到定直线CD距离相等的点集合,满足抛物线的定义,有无数个.故选D.16.解 (1)设直线AB方程为y=x-b,代入y2=2px,得x2-(2b+2p)x+b2=0,Δ=(2b+2p)2-4b2=8bp+4p2>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2b+2p,x1x2=b2,|AB|=|x1-x2|==2,当b=1时,|AB|=2,AB的中点为(1+p,p),依题意可知2(1+p+1)=2,解得p=2.所以抛物线方程为y2=4x.(2)点O到直线l1的距离为d=,S△OAB=×|AB|×d=×2=2|b|.因为平行线l1,l2之间的距离为,所以直线CD方程为y=x-(b+1),S△OCD=2|b+1|.依题意可知×2|b|=2|b+1|,即3b2(b+1)=(b+1)2(b+2),化简得2b2-3b-2=0,所以b=-或b=2,满足Δ>0,所以l1:y=x+,l2:y=x-或l1:y=x-2,l2:y=x-3.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。