平面向量基本定理

一：学习目标：1：理解掌握平面向量基本定理；2：能用平面向量基本定理进行向量的合成与分解。

二：重点难点：平面向量基本定理

三：知识链接：1：向量的加法和减法运算： （1） 平行四边形法则的实施步骤： 先把两个向量的起点 ，然后 作平行四边形， 即为两个向量的和向量。 （2） 三角形法则的实施步骤：

先把两个向量首尾 ，由第一个向量的 指向第二个向量的 的向量即为两个向量的和向量。

减法可转化为加法运算。

2：向量的数乘运算：设λ为实数，则

λa 表示与a 的向量。

（1）当λ＞0时，λa 与a 方向 ，

= （2）当λ＜0时，λa 与a 方向 ，

= （3）当λ=0时，λa =

3：向量共线定理：非零向量a 与向量b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ使 四：学习过程 ：

1：如图，在平面内任取一点O ，作OA =1e ,OB =2e ，OC =a , 如何将

a 用1e 和2e 表示出来？（提示：用平行四边形法则将a 在1e 和2e 的方向上分解）

A 2：讨论探究：是否平面内任一向量都能用 1e 和 2e 表示？

3：平面向量基本定理的内容：

； 不共线的向量1e 和2e 称为 。讨论：同一平面的基底是否唯一？

4：设OA =a ，OB =b ，则 为a 和b 的夹角，记为θ，范围是 ；当θ=00

时，

；当θ=1800时， ；当0，记作 。

讨论探究： 作出下列向量的夹角 （1） （2） 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量

2.对于平面上的一个向量a ,有且只有一对实数x,y,使得a xi y j =+,我们把有序实数对),(y x 叫做 向量a 的坐标,记作 . 比如力的分解，

6题例分析：(1):已知向量1e 和2e ，求作向量-2.51e +32e （提示：利用平行四边形法则合成）

变式练习：在平面直角坐标系中，1e 和2e 分别是x 轴和y =6, ∠AOX=600

,试用1e 和2e 表示OA

提示：将OA 向1e ，2e 的方向上分解，把两个分向量用1λ1e 和

2λ2e 表示出来，关键是求1λ和2λ

(2):已知ABCDEF 是正六边形，且AB =a ，AE =b ,试用a ，b 表示BC

(提示:画出图形，用平行四边形法则或三角形法则进行转化) x

A

y

O

1

e 2

e

变式练习：已知AM 是△ABC 的边BC 边上的中线，若AB =a ,AC =b ,则AM =( )

A:21( a -b ) B: 21(b -a ) C: 21(a +b ) D:- 2

1

(a +b )

五：基础达标：

A1:向量1e ，2e 不共线，则a =21e -2e 与b =1e +λ2e 共线的条件是（ ）

A: λ=0 B:λ=-1 C: λ=-2 D: λ=-2

1

A2:B 是线段AC 的中点，则下列各式中正确的是（ ）

A: AB =-BC B:AC = 21BC C:BA = BC D: BC =2

1

AC A3:若3x +4y =a ，2x -3y =b ，其中a ，b 为已知向量，则x = ，y = A4：已知△ABC 的BC =a ,CA =b ,AB =C ,三边BC,CA,AB 的中点依次为D,E,F,则AD +BE +CF = .

B5:O 是平行四边形ABCD 的中心，AB =41e ，BC =62e ，则32e -21e =（ ） A:AO B:BO C:CO D:DO

B6:设1e ，2e 不共线，a =1λ1e +2e ，b =2λ1e +32e ，且a ，b 共线，则下列各式正确的是（ ） A:2λ=31λ B: 2λ=1λ C: 2λ=21λ D: 2λ=-41λ

六：作业布置：

A1：设1e ，2e 是平面内一组基底，求证：当1λ1e +2λ2e =0时，恒有1λ=2λ=0

A2: 在平面直角坐标系中，1e 和2e 分别是x 轴和y 轴正方向上的两个单位向量,若OA =3 1e +2 2e ，

B3:已知梯形ABCD 中，AB//CD 且AB=2CD,E,F 分别是CD,AB 的中点，设AD = a , AB = b ,试用a ，

b 为基底表示DC ,EF , BC

本节小结：

C

D

E

A

B

F