排列组合综合复习
1.排列与组合的联系与区别:
2．排列问题的基本类型: （1）特殊元素优先法 （2）元素的相邻问题——捆绑法
（3）元素的不相邻问题——插空法
（4）元素的定序问题——留空法 （5） 数字问题 3．组合问题的基本类型 （1）指标的分配问题——隔板法 （2）分组问题（分堆问题） （2）人员的分配问题——先分堆后到位法 （平均分配也可填空法）
的方法有多少？ 144
4． 6个男生安排到大、中、小三个房间，其中大房间可住4人，中房 间可住3人，小房间可住2人，不同的安排方法有多少？ 410
四：小结：
1．排列问题的基本类型: （1）特殊元素优先法 （2）元素的相邻问题——捆绑法 （3）元素的不相邻问题——插空法 （4）元素的定序问题——留空法（用除法） 2．组合问题的基本类型 （1）分组问题——当有n组元素数量相同时，应除以 n! （2）指标的分配问题——档板法
（3）人员的分配问题——先分堆后到位法
3．排列组合综合问题解题方法: (1) 先选后排法: (2) 先分堆后到位法 (3)分类时通常按某一元素(或某些元素)的所有可能 的情况分类，做到不重、不漏．
三．课堂练习：
基础练习： 1．3位同学同上一列有10节车厢的火车，每人上哪一节车厢是随机 的，则恰有2位同学上了同一节车厢的种数有多少？ 270
2．从6个运动员选出4人参加4×100M的接力赛，其中甲乙两人都不 能跑第一棒，则不同的参赛方法有多少？ 240
3．四个不同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒子
二．典型例题:
例1: 7名师生站成一排照相留念,其中教师1人,男生4人, 女生2人,在下列情况中各有多少种不同的排法?
1．老师站中间的排法?
2．老师不站中间，女生不站两端? 3．两名女生必须相邻而站?
4. 2名女生相邻且与老师不相邻?
5．若4名男生身高都不等,按从高到低的顺序站? 学生自编习题： １．７个师生站成两排，…； 2．女生站在教师的两侧…… 3．女生在教师的同一侧…… 4．两个间恰好相间两个人……
例2： 10个相同的球放入4个不同的盒子中，每个 盒子至少放1个球，有多少种不同的放法?
学校现有10个三好生名额分到4个班，每班至少1个名额， 有几种分配方法？
指标的分配问题
学生自编习题： 1．每个盒子至少放2个球? 2．每个盒子可以不放球? 3．指标的分配…
变式训练: 1. 10个相同的球放入4个相同的盒子中, 若每个盒子中至少放 1个球,则不同的放法有______ 种; 若每个盒子至少放2个球, 则不同的放法有____的盒子中,每个盒子至少放2 个球,则不同的放法有_______ 种.
3. 10个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至 少放2个球,则不同的放法有_______ 种.
例3：有4个人每人做了一份礼物，4人交换礼物，共有多少种不 同的方法？
交换礼物问题
学生自编题： 1．某人写了4封信…… 2．4个人换坐位… 3．8个人换坐位，其中有4个人座位不变… 4．5个单位交叉检查工作(只要求自己不检查自己即可)，共有多 少种安排方法？…
2024年高考数学专项复习排列组合专题03 排队问题(解析版)
专题3排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A 例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为()A ．2575C A B ．2275C A C ．2273C A D ．2274C A 例4．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A ．6B ．12C ．24D ．18例5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有()A ．4545A A B ．343245A A A C ．145345C A A D ．245245A A A 例6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是()A ．360B ．288C ．216D ．96例7．公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567ααααααα 中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有()种．A ．576B ．720C ．864D ．1152例8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A ．168B ．20160C ．840D ．560例9．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同2024年高考数学专项复习排列组合专题03 排队问题（解析版）的发车顺序共有()A．36种B．108种C．216种D．720种例10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有()A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有个．（用数字作答）例12．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种．（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种．（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种．（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种．（8）甲乙之间有且只有4人的排法有种．例13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．例14．从集合{P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是．（用数字作答）、例15．从集合{O，P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是．（用数字作答）．例16．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）．例17．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？例18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？例19．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？例20．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？例21．已知有7名同学排队照相：（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？（6）若排成一圈，有多少种不同的排法？例22．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照．（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？例23．7位同学站一排．（1）站成两排（前3后4)，共有多少种不同的排法？（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？例24．6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？①甲、乙必须站在排头或排尾②甲、乙．丙三人相邻③甲、乙、丙三人互不相邻④甲不在排头，乙不在排尾⑤若其中甲不站在左端，也不与乙相邻．例25．（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？例26．6个人坐在一排10个座位上，问（1）空位不相邻的坐法有多少种？（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？专题3排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【解析】可分3步．第一步，排两端， 从5名志愿者中选2名有2520A =种排法，第二步，2 位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有4424A =种排法第三步，2名老人之间的排列，有222A =种排法最后，三步方法数相乘，共有20242960⨯⨯=种排法故选：B ．例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A 【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，∴为26A 故选：C ．例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为()A ．2575C A B ．2275C A C ．2273C A D ．2274C A 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有27C 种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有25A ，∴不同的调整方法有2275C A ，故选：B ．例4．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A ．6B ．12C ．24D ．18【解析】在数字1，2，3与符号“+”，“-”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“+”，“-”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，故选：B ．例5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有()A ．4545A AB ．343245A A A C ．145345C A AD ．245245A A A 【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有22A 种放法，再考虑4幅油画本身排放有44A 种方法，5幅国画本身排放有55A 种方法，故不同的陈列法有245245A A A 种，故选：D ．例6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是()A ．360B ．288C ．216D ．96【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有22233243432C A A A =种，在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有222232322144C A A A ⨯=种，∴不同的排列方法共有432144288-=种故选：B ．例7．公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567ααααααα 中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有()种．A ．576B ．720C ．864D ．1152【解析】根据题意，先排1、5、7，有336A =种情况，排好后有4个空位，对于2、4、6和3这四个数，分两种情况讨论：①3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有3424A =种情况，3不能放在6的两边，有5种排法，则此时有245120⨯=种不同的排法，②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有2412A =种情况，则此时有21224⨯=种不同的排法，则2、4、6和3这四个数共有12024144+=种排法；则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6144864⨯=种；故选：C ．例8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A ．168B ．20160C ．840D ．560【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，65∴⨯则不同调整方法的种数是2286840C A =．故选：C ．例9．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有()A ．36种B ．108种C ．216种D ．720种【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有3363C C ，再将两组分别按要求排序，各有33A 种，因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有33336333720C C A A =种．故选：D ．例10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有()A ．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B ．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C ．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D ．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法【解析】A 中4444576A A =，B 中3535720A A =，C 中43222234333223(3)1440A A C C A A A ++=，D 中43451440A A =．综上可得：CD 正确．故选：CD ．例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有576个．（用数字作答）【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有33A 种结果，这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列有24A 种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列22A ，根据分步计数原理得到这种数字的总数有3222234222576A A A A A =，故答案为：576．例12．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有8！种，甲不站在正中间的排法有种．（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种．（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种．（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种．（8）甲乙之间有且只有4人的排法有种．【解析】（1）甲站正中间的排法有8！，甲不站在正中间的排法有88⨯！；（2）甲、乙相邻的排法有28⨯！，甲乙丙三人在一起的排法有67⨯！；（3）甲站在乙前的排法有192！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有196！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有193！；（4）甲乙不站两头的排法有2777A A ；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9！28-⨯！7+！；（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有25⨯！4⨯！；（6）女生互不相邻的排法有5！46A ⨯；男女相间的排法有5！4⨯！；（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法．4724A ⨯⨯！．故答案为：（1）8！，88⨯！（2）28⨯！，67⨯！（3）192！，196！，193！；（4）2777A A ；9！28-⨯！7+！；（5）25⨯！4⨯！；（6）5！46A ⨯，5！4⨯！2⨯（7）9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）4724A ⨯⨯！．例13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有10种（结果用数值表示）．【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5211110⨯⨯⨯⨯=故答案为10例14．从集合{P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是5832．（用数字作答）、【解析】各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有2244104C C A；每排中字母Q和数字0都出现有114394C C A符合题意不同排法种数是224114 41043945832C C A C C A-=．故答案为：5832例15．从集合{O，P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是8424．（用数字作答）．【解析】由题意知每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解（1）这三个元素只选O，有1239433624C C A=⨯⨯（2）这三个元素只选Q同理有33624⨯⨯（3）这三个元素只选0有2143943924C C A=⨯⨯（4）这三个元素O Q0都不选有22439433624C C A=⨯⨯根据分类计数原理将（1）（2）（3）（4）加起来33624336243924336248424⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=故答案为：8424例16．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是135（结果用分数表示）．【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有88A种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：首先两套中任取一套，作全排列，有1424C A 种方法；剩下的一套全排列，有44A 种方法；∴概率为：14424488135C A A A =，故答案为：135．例17．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634A A =320种不同的排法．（2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有535614A A =400种不同的排法．（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有25A 种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A 6614A =400种不同的排法．（4）三个女生和五个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法2636A A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636A A A -=000种不同的排法．（5）甲必须在乙的右边即为所有排列的221A ，因此共有8822120A A = 160种不同的排法．例18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有36364320A A=种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有535614400A A=种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有265614400A A=种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有38336A=种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，3535720A A=种例19．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有33A种情况，再将其与4名男生进行全排列，有55A种情况，则共有5353720A A⨯=种排法；（2）用插空法，先将4名男生全排列，有44A种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有35A种情况，则共有43451440A A=种排法；（3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有242C 种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有55A 种情况，则共有254521440C A ⨯=种排法；（4）用排除法，7人进行全排列，有77A 种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有2535A A 种站法，则共有7257354320A A A -= 种排法；（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有3620C =种排法；（6）先在7个位置中安排3名女生，有37A 种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有372420A =种排法．例20．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，将这个整体与5名男生全排列，有66A 种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A 种；（2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有77A 种情况，则甲必须站在排头有772A 种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有26A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A 种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有66A 种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有27A 种情况，则甲、乙两人不相邻有2676A A 种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有8812A 种不同的排法；（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有55A 种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有36A 种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有5356A A 种不同排法；（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有55A 种情况，将男生、女生整体全排列，有22A 种情况，则男生在一起，女生也在一起，有235235A A A 种不同排法；（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有222525C A A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A种情况，则第3和第6个排男生，有2656A A种不同排法；（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有25A种情况，将剩下的6人全排列，有66A种情况，甲乙不能排在前3位，有2656A A种不同排法？(10)根据题意，将5名男生全排列，有55A种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A种不同排法．例21．已知有7名同学排队照相：（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？（6）若排成一圈，有多少种不同的排法？【解析】有7名同学排队照相：（1）若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有43735040A A=种方法．（2）若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排，方法有143443576A A A=种，若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排，方法有134434576A A A=种，故共有5765761152+=种方法．（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有251254960A A A=种．。
高二排列组合二项式概率综合复习
作业：（考查内容：排列组合二项式概率综合问题）1、在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.152、由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是 (A)36 (B)32 (C)28 (D)243、将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有_________种(用数字作答).4、(x-2x)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答) 5、261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________.6、8(2展开式中不含．．4x 项的系数的和为（ ）A.1- B.0 C.1 D.2 7、某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625,则该队员每次罚球的命中率为____________.8、有n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是(01)p p ＜＜,假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少每一位同学能通过测试的概率为A.(1)n p -B.1n p -C.n pD.1(1)n p --9、某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续．．正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________.10、某同学参加3门课程的考试｡假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ,q (p >q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立｡记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求p ,q 的值; (Ⅲ)求数学期望E ξ.补充练习：某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种.（用数字作答） 16．（本小题满分13分）某市举行的一次数学新课程骨干培训，共邀请15名使用不同版本教材的教师，数据如下表所示：(Ⅰ)从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？(Ⅱ)培训活动随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B 版的女教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．6．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 （ ） A ．15种 B ．12种 C ．9种 D ．6种 11.若,6*),(1)1(2=+∈++++=+q p N n qx px x x n n 且 那么n =17.某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是4354和. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.（I ）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；（II ）求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；（III ）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.6．某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．45种 B ．56种 C ．90种 D ．120种 18．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为53，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.（I ）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II ）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III ）求甲取得比赛胜利的概率.6. 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ,若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 （A ）-150 （B ）150 （C ）-500 （D ）50014.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3,0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有___________种（用数字作答）；若经过m 次跳动质点落在点（n ,0）处（允许重复过此点），其中m n ≥，且m n -为偶数，则质点不同的运动方法共有_______种. （6）2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 （ ）（A ）36种 （B ）108种 （C ）216种 （D ）432种（10）若()()23*12311,n nx a x a x a x x n +=+++++∈N ，且12:1:3a a=，则=n .（16）（本小题共13分）袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． （Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差. 4．已知随机变量ξ的分布列为且设12+=ξη，则η的期望值是 A ．1 B ．3629 C ．32 D ．61- 5．从湖中打一网鱼，共m 条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有n 条，其中有k 条有记号，则能估计湖中有鱼A ．k mn 条 B ．n km 条 C ．kn m 条 D ．mnk条11.92)21(xx -展开式中9x 的系数是___________，所有项的系数和是___________． 16．（本题满分12分）某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制， 即有一队胜四场，则此队获胜，且比赛结束．在每场比赛中，甲队获胜的概率是32，乙队获胜的概率是31，根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问： （Ⅰ）组织者在总决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？（Ⅱ）设ξ为组织者在总决赛中获得的门票收入数，求ξ的分布列．10. 在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________ .11. 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有 种. (用数字作答) 16. （本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分 . 现从盒内任取3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； （Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望.5. 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 （ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种11. 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1的展开式中的第4项含有3x ，则n 的值为16. （本题满分13分）某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示版本 人教A 版 人教B 版 苏教版 北师大版人数20 15 5 10 （1） 从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少？（2） 若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A 版教材的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。
完整)高中数学排列组合专题复习
完整)高中数学排列组合专题复习本文介绍了解决排列组合问题的方法和策略。
首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
文章提供了分类计数原理和分步计数原理两种常用的解题方法，并指出了它们的区别。
在解决排列组合综合性问题时，需要确定分多少步及多少类，以及每一步或每一类是排列问题还是组合问题，元素总数是多少及取出多少个元素。
文章还介绍了一些常用的解题策略，如特殊元素和特殊位置优先策略。
最后，文章以一个例子展示了如何使用分步计数原理解决一个排列组合问题。
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。
如果以元素分析为主，需要先安排特殊元素，再处理其他元素；如果以位置分析为主，需要先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。
如果有多个约束条件，往往需要同时考虑这些条件。
练题：有7种不同的花种要排成一列的花盆里，要求两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里。
问有多少种不同的排法？相邻元素捆绑策略是解决要求某几个元素必须排在一起的问题的方法。
可以将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起进行排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。
练题：某人射击8枪，命中4枪，其中有恰好3枪连在一起的情况有20种不同的排列方式。
不相邻问题插空策略是先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两侧的方法。
练题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，后来又增加了两个新节目。
如果将这两个新节目插入原节目单中，且这两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30.定序问题倍缩空位插入策略是对于某几个元素顺序一定的排列问题，先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。
另一种方法是设想有空位，让其他元素先坐下，再让这几个元素坐下。
练题：7个人排队，其中甲乙丙三人的顺序一定，共有多少不同的排法？可以使用倍缩法、空位法或插入法来解决。
排列组合专题复习
《排列组合专题复习》【 复 习 巩 固】 【1】分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m 1 m 2 m n 种不同的方法．【2】分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m 1m 2 m n 种不同的方法．【3】分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．【 0 1 特 殊 元 素 和 特 殊 位 置 优 先 策略 】 【例1】由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.【答案】288【解析】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C 31，然后排首位共有3 C 41. CCA 41 31 43 288 C 14 A 34 C 13 最后排其它位置共有A 4 ，由分步计数原理得【练习】7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？【答案】【 0 2 ★ 相 邻 元 素 ★捆 绑 策 略 】 【例2】7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.【答案】480【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有AAA 55 2222 480种不同的排法.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.【练习】某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 【答案】20【 ★ 0 3 ★ 不 相 邻 问 题 ★插 空 策 略 ★ 】【例3】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？【答案】A 55A 64【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A 64 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A 55A 64种. 乙 甲 丁 丙【练习】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30【答案】30【★04★定序问题★倍缩空位插入策略★】【例4】7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？【答案】A77/ A33或A74【解析】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：.(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A74 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A74 种方法.【思考】可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有____________________.方法.【答案】排法？【答案】C105【★05★重排问题求幂策略★】【例5】把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法.【答案】76【解析】完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有76 种不同的排法.【练习1】某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为____________________.【答案】42【练习2】某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法.【答案】78【★06★环排问题★线排策略★】【例6】8人围桌而坐,共有多少种坐法?【答案】7！【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44 并从此位置把圆形展成【答案】120【★07★多排问题★直排策略★】【例7】8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法.【答案】A24A14A55【解析】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A14 种,其余的5人在5个位置上任意排列有A55种,则共有A24A14A55种.前排后排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.【练习】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是____________________.【答案】346【★08★排列组合混合问题★先选后排策略★】【例8】有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.【答案】C52A44【解析】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C52种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A44 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C52A44解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?【练习】一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有____________________种.【答案】192【★09★小集团问题★先整体后局部策略★】【例9】用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？【答案】A22A22A22【解析】把1,5,2,4当作一个小集团与３排队共有A22 种排法，再排小集团内部共有A22A22种排法，由分步计数原理共有A22A22A22 种排法.【练习1】计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为____________________.直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！HFDCAA B C D E ABEGHGF【练习】6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？一般地,n个不同元素作圆形排列,共有n(-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn15243【答案】A22A55A44【练习2】5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种.【答案】A22A55A55【★10★元素相同问题★隔板策略★】【例10】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？【答案】C96【解析】因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
高二数学《排列组合》复习课件
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
A A A 2 A A4
3 4 3 5 1 2
2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
排列组合复习课
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一、复习回顾： (一)、知识结构 排列 基 本 原 理 排列数公式 应 用 问 题
组合数公式
组合
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类 办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法.
C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
(三)、常用解题方法及适用题目类型
排列组合复习资料
八.正难则反间接法 例8. 四面体的顶点和各棱中点共10个点， 从中取4个不共面的点，不同的取法有 多少种？
取出的4点不共面情形复杂，故采用间接 法。取出的4点共面有三类：
（1）过四面体的一个面有4C64 种；
（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱
的中点的平面有6种；
（3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平
2
解：分两类完成
3 1 5 1）用3种颜色涂色有：C43 A33 2）用4种颜色涂色有：C21 A44
4
共有C43 A33 C21 A44 72(种）
5.综合问题
练习8：6本不同的书分给甲、乙、丙三人， 每人至少一本，有多少种不同的分法？
解： (C63C32C11 ).A33
(C64
.
C21C11 A22
解： ( CA52C22 32 ).A33 90
分配问题
练习2：
隔板法
（1）7个相同的小球，任意放入4个不
同的盒子中，共有多少种不同的方法？
解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份
解：小球数 隔板数 7 3 10 共有不同方法数C130
分配问题
隔板法
练习（2：2）7个相同的小球，任意放入4个 不同的盒子中，每个盒子至少有1个 小球的不同放法有多少种？
板中， ，插所班共入有级有分n，_个_法_每元_数_一C素_为_种96排__插_成_板种C一方nm分排法11法的对。n应-一1个种空分隙法
一 二三四五 六 七 班 班班班班 班 班
练习题7
有编号为1、2、3的3个盒子和10个相 同的小球，现把这10个小球全部装入3 个盒子中，使得每个盒子所装球数不 小于盒子的编号数，这种装法共有多 少种?
排列组合
16. 某班选出的7名班委进行分工， 每人只担任一个职务，且每个职务 都不相同，其中 A 不当班长， B 不当文娱委员，这样的分配方案有 多少种？
17. 7名学生中每次选出5人排成一列， 其中A不能排在第一位，B不能排在 末位，共有多少种不同的排列方法？
18. f是集合 A＝｛a,b,c,d},B={0,1,2} 的映射，如果B中的元素在A中都有 原象，求这样的映射的个数。若不 要求都有原象呢？
19. 6本不同的书分给甲、乙、丙三 人。 （1）甲得2本，乙得2本，丙得2 本有几种不同的分配方法； （2）甲得3本，乙得2本，丙得1 本有几种不同的分配方法； （3）一人得3本，一人得2本，一 人得1本有几种不同的分配方法。
20. 在连结凸五边形的三个顶点构成 的三角形中，求与原凸五边形没有 公共边的三边形的个数。凸六边形 呢？凸n边形呢？
• 13.把四本不同的书分给九个人中的四 人，每人一本，不同的分法有 种。
4 4 C9 P4
• 练习： 1.把三本不同的书分给十人中的三人， 3 3 种。 每人一本，不同的分法有 C10 P 3 2.把五本不同的书分给五名同学，每人 5 P 一本，共有 5 种分法。
• 15.投掷三枚相同的硬币，可能出现 4 种 结果； • 投掷三枚不同的硬币，可能出现 8 种结 果。
6. 有8本互不相同的书,其中数 学书3本,外文书2本,其他书3本.若将 这些书排成一列放在书架上,则数学 书恰好排在一起,外文书也恰好排在 一起的排法共有_____ 种 (结果用数 值表示).
7. 由数字 0 , 1 , 2 , 3 ,4 , 5 组成 没有重复数字的六位数,其中个位数 字小于十位数字的共有多少个?
8. 用0、1、2、3、4、5、6这七个 数字，可以组成多少个没有重复 数字的六位奇数？
排列组合专题复习及经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解研究目标：掌握排列、组合问题的解题策略。
重点：1.特殊元素优先安排的策略；2.合理分类与准确分步的策略；3.排列、组合混合问题先选后排的策略；4.正难则反、等价转化的策略；5.相邻问题捆绑处理的策略；6.不相邻问题插空处理的策略。
难点：综合运用解题策略解决问题。
研究过程：1.知识梳理1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类型办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3.排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列。
4.排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示。
5.排列数公式：Pn=n(n-1)(n-2)。
(n-m+1)=m!/(n-m)。
其中m≤n，n、m∈N+。
特别提醒：规定0!=1.6.组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合。
7.组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cn表示。
排列组合复习题
排列组合练习题一、排列与组合一、排列与组合1.1.从从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？人参加某一活动，有多少种不同选法？2.2.从从9人中选派2人参加文艺活动，人参加文艺活动，11人下乡演出，人下乡演出，11人在本地演出，有多少种不同选派方法？人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是种不同的方案，那么男、女同学的人数是A.A.男同学男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4．用0，1，2，3，4，5这六个数字，这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？的自然数？（5）可以组成多少个大于30003000，小于，小于5421的数字不重复的四位数？的数字不重复的四位数？二、注意附加条件二、注意附加条件1.6人排成一列人排成一列 （1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？2.2.由由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？的倍数的五位数？3.3.由数字由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是个数是 A.3761 B.4175 C.5 A.3761 B.4175 C.54. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有多少种五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有多少种5.5.从从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有多少种双同色的取法有多少种三、间接与直接三、间接与直接1.1.有有4名女同学，名女同学，66名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法？选法？2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？3. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数 有多少种有多少种4. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个？个顶点为顶点的四棱锥有多少个？四、分类与分步四、分类与分步1.1.一个文艺团队有一个文艺团队有9名成员，有7人会唱歌，5人会跳舞，现派2人参加演出，其中1名会唱歌，1名会跳舞，有多少种不同选派方法？名会跳舞，有多少种不同选派方法？2. 9名翻译人员中，名翻译人员中，66人懂英语，人懂英语，44人懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，英语翻译，22人担任日语翻译，选拔的方法有人担任日语翻译，选拔的方法有 种（用数字作答）。
2023年高考数学考点复习——排列组合(原卷版)
2023年高考数学考点复习——排列组合考点一、排列例1、A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A．24种B．36种C．48种D．60种例2、七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（）A．48种B．96种C．240种D．480种例3、某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（）A．216种B．240种C．288种D．384种跟踪练习1、A，B，C，D，E，F六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A，B，C 去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B说：“你的名次在C之前．”对C说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（）A．108B．120C．144D．1562、十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（）A．14B．16C．512D．7243、为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）A．112B．16C．15D．134、甲､乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲､乙两人分配到延安､西安､汉中这3个赛区，则甲､乙都被分到汉中赛区的概率为（）A．19B．16C．13D．125、将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)6、某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有___________种.7、杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）8、6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（）A．288种B．144种C．96种D．48种9、由1，2，3，4，5，6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数，1必须排在前两位，且2，3，4必须排在一起，则这样的六位数共有（）A．48个B．60个C．72个D．84个10、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）A．42种B．96种C．120种D．144种11、一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________．12、某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）考点二组合例1、从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）A．10 B．20 C．540 D．1080例2、试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有___________种．例3、某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A．10 B．20 C．60 D．100跟踪练习1、某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲､乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到A和B两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲､乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（）A．4 B．8 C．10 D．122、某城市新修建的一条道路上有10盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有___________种（请用数字作答）3、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变Eξ=______．量ξ的数学期望()4、从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）A．20 B．55 C．30 D．255、国外新冠肺炎不断扩散蔓延，某地8名防疫工作人员到A、B、C、D四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1个社区、A社区安排1名、B社区安排2名、C社区安排3名，剩下的人员到D社区，则不同的安排方法共有（）A．39种B．168种C．1268种D．1680种6、从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A．84 B．168 C．240 D．2527、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变Eξ=______．量ξ的数学期望()考点三排列组合综合运用例1、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．345例2、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种例3、将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（）A．24种B．36种C．60种D．72种跟踪练习1、现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．420种B．780种C．540种D．480种2、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．3453、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种4、现有甲、乙、丙、丁四名义工到A，B，C三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到A社区的概率为（）A．16B．12C．13D．345、5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（）A．60 B．80 C．100 D．1206、某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，丙､丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（）A．36 B．30 C．24 D．187、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（）A．54431384322C C C AAB．54421384233C C C AAC．544138422C C CAD．5441384C C C8、一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36 B．48 C．72 D．1209、2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（）A．4704种B．2800种C．2688种D．3868种10、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204 B．260 C．384 D．48011、从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个12、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204 B．260 C．384 D．48013、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．60种B．78种C．84种D．144种14、2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.15、南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．。