对数的概念与运算性质

《对数与对数运算》（第一课时）

（人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1 第二章第二节）

一、教学内容解析

《对数与对数运算》选自人教A 版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容．16、17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急. 苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.

与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.

基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化.

二、教学目标设置

1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念；

2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值；

3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念.

通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用. 对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值.

恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性

三、学生学情分析

1. 认知基础从运算的角度来讲，加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习. 从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质，

对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经

历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，之后将在学习对数的基础上继续学习对数函数.

2. 问题诊断

对数的概念对于学生来说，是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的，在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面：

（1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转换；

（2）不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中. 基于以上分析，本节的教学难点是：（1）对数概念的理解；（2）对数的常用性质的概括. 为了突破第一个难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从对数概念外延的角度进行理解.

本节的第二个难点是：“0 和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证是涉及到求定义域时，看到对数符号，不能如同看到分母一样，瞬间闪现出真数要大于0 的限制，因此应该在学习对数伊始，就打好“ 0 和负数没有对数”的认识基础.

为了突破第二个难点，不要急于将现成的结论抛出，可以让学生在自主举例（感受个例）的基础上，尝试思考（分析通例）对数中的底数和真数可以取什么样的数，引导学生思考是不是所有的实数都有对数，哪些数有对数？为什么？

通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.

四、教学策略分析

本节教学中，学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程：从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习；

再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加深概念理解；

再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识；循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值（1的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，从而丰富学生对于对数概念的认知.

突破难点的策略为：旧知新悟，适度模仿，归纳概括，自主举例?

五、教学过程设计

1.对数概念的形成

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】网上的一则消息：有驴友挖到几枚恐龙蛋，送到权威机构做了碳14同位素鉴定，结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现坐等博物馆上门收购.

生物死亡后，它机体内原有的碳14含量，每经过大约6000年，会衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代，其中半衰次数与碳14的含量P间的关系为：P = （-）x.

但是，当生物组织内的碳14含量低于千分之一时（这里我们按来计算），一般的放

1024

射性探测器就测不到碳14 了.

众所周知，恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上，那么用碳14同位素法能推断出恐龙

蛋化石的年代吗？

问题1: （1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为原来的多少？3次呢？（2）经过几次半衰期，一般的放射性探测器就测不到碳14 了呢？（3）用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？

【预设的答案】-，-；；不能

【设计意图】对数概念不是凭空产生的，用考古鉴定这一实例，让学生感受“求指数”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的

【数学情境】解方程：（1）；（2）；（3）.

【设计意图】创设数学情境，通过指数方程的实例，让学生感受在数学学习中，“求指数”

这样的问题也是存在的，有必要研究这一类问题?

问题2:以上几个问题的共同特征是什么？

【活动预设】弓I导学生归纳概括出问题的共同特征：已知底数和幕，求指数

1.2探究典例,形成概念

活动：解方程：(1) ; (2) ; (3) .

【活动预设】感受在求指数的过程中，有的指数可以直接写出结果，有的指数却不好表示.

【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫?

问题3:以引例中的为例，分析的值存在吗？如果存在，符合条件的的值有几个？

能估计出的大致范围吗？

【活动预设】

(1)根据函数图象，思考等式中指数的存在性，唯一性和大致范围；

(2)类比：在学习求方程的根时，为了表示底数，引入了数学符号：，表示

3次方为2的数；这里，我们引入对数符号来表示指数，将记作

【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程?问题4 :结合方程来思考，中表示什么？

【活动预设】

(1)分析表示的含义；

(2)感受：以为例，分析指数可以怎样用对数符号表示，以及该符号表示什么?

教师讲授：若( ，)，那么数叫做以为底N的对数，记作：x = log a N，

其中叫做对数的底数，N叫做真数.

【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对数概念.

问题5:指数式与对数式是等价的，但，，在两个式子中的名称一样吗？

【预设的答案】此处画上连线图，呈现指数式与对数式之间的关系。

【设计意图】

(1)体验对数式与指数式的互相转化；

(2)理解两个式子从不同角度表示，，之间的关系；通过图示连线，认识，，在

指数式与对数式中的名称

1.3具体感知，理性分析

活动：自主举例的接龙活动.

【活动要求】

第一组每一排学生在四线三格中写出一个对数，其中底数与真数都是集合A的元素；

（集合A={-1，0，1, 2, 3, 4, 5}）

第二组相应排学生说出这个对数的值或所表示的含义；

第三组相应排学生说出对数式相应的指数式.

【活动预设】如果出现真数为负数或0的情形，引导学生思考其合理性.

【设计意图】

在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延的角度加深概念的理解，为下一个环节作铺垫；同时也规范对数符号的书写

问题6:对数中底数和真数的范围分别是什么？

【活动预设】

引导学生回归指数，根据图象来判断底数、真数的范围.

【设计意图】

从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识底数与真数的取值范围，渗透“对数的本质是指数”这一思想，加深对数概念外延的理解为后续对数函数的学习作铺垫.

2.初步应用，理解概念

例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式

（1）log5125=3；

（2log2 4 ；

216

（3）102 =0.01；（4）（其中

e=2.71828

【预设的答案】（1）；（2）一

（3）；（4）【设计意图】

（1）进行指数式与对数式的简单互化，熟悉指数式与对数式之间的转化（2）认识两种特殊对数：常用对数和自然对数.

例2求值其中

(1) ; (2) 一；(3) ；

(4) log a1；(5) ln e; (6) iog a a .

【预设的答案】(1) 2; (2) -4; (3) 0; (4) 0; ( 5) 1; (6) 1.

【设计意图】

(1)利用对数概念以及对指互化求值，加深对数概念的理解；

(2)从这个例题中归纳概括出性质：log a1 log a a .

例3求值：

(1)若3x3=5 其中，，求的值；(2) log s4;

(3)4log23.

【预设的答案】(1) ■; ( 2) -; ( 3) 9.

【设计意图】

在解题中加深对概念的理解，形成解题的基本思路：对数问题指数化; 能：恰

形成解题的基本技当设数，变对数式为指数式，然后利用指数的相关知识解题.

3.归纳小结，文化渗透

思考：对于log a N，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？

【活动预设】

(1)归纳小结；

(2)欣赏诗歌：

我为自己代言(对数版)

你只看到我源于指数，

却没看到我比指数早一步来到这世上。

你有你的迷茫，我有我的规则。

你否定我的可爱，

伽利略说，“给我时间、空间以及对数，我就可以创造一个宇宙

你嘲笑我面目可憎晦涩难懂，

我恳请你靠近一点再多读我一遍。

懂我，是场注定孤独的旅行，

路上少不了探索与思考。

但那又怎样，哪怕再艰难，

也有执着睿智的勇士理解我的价值与内涵。

我是对数，我为自己代言！

【设计意图】

（1）梳理本节课对于对数的认知；

（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性

六、课堂教学目标检测

1.对数式与指数式的互化：

(1) -;（2）.

2.求值：

(1) log39;(2)log 9 3.

；（2）

【预设的答案】2.（1）2

0.5

【设计意图】检测是否达成本节的教学目标，是否理解对数的概念以及对数符号的含义, 否能够较为熟练地进行对指互化和求值?

《对数与对数运算》课例点评

《对数与对数运算》是人教A版必修一第二章第二节《对数函数》的起始课，段艳芳老师的这节课在理解

教材、理解学生和理解教学的基础上，有如下特色：

1. 引入新颖，双管齐下

一方面设置“恐龙蛋化石”的实际情境和“解指数方程”的数学情境引入学习内容，从应用价值的角度突显研究

对数的必要性；另一方面进行逆运算的分析，从数学自身发展完善的角度体现研究对数的必要性.从课堂实际效果来

看，学生在进行真假判断时，已经进入良好的学习状态

2. 紧扣概念，辨证认知

对数概念的理解是教学难点，这节课中对数概念的学习过程贴合了认识的辨证发展过程：

从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立对数概念，

从概念内涵的角度学习；

再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加深概念理解；

再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识；循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值

（1 的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，同时丰富对于概念的认知.

3. 类比学习，理解符号恰当的数学符号，对数学的发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，这节课通过类比熟悉的分数线，根号，引导学生理解：我们将方程中的指数记作对数符号，该符号是指数的一种记法.从实际的课

堂效果来看，在认识对数符号含义的基础上，学生能够水到渠成地得出对数恒等式的特例.

4. 学生发展，贯穿始终重视发挥学生的主体作用，在学生的最近发展区提问、追问，学生动手动脑动口，引导学生建立原有知识与新知之间联系，引起学生的认知冲突，揭示学生的思维过程；采用类比策略，降低理解新知的难度，构建新的知识结构过程入情入理；始终围绕教学重点展开，突破难点抽丝剥茧、水到渠成；多媒体运用恰当，多

知识讲解对数函数及其性质提高

对数函数及其性质【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠．【要点梳理】要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x ．要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．要点二、对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象

性质定义域：（0，+∞）值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数当0＜x＜1时，y＜0，当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0，当x≥1时，y≤0 要点诠释：关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律

高中数学《对数的概念与运算性质》精品公开课教案设计

《对数与对数运算》（第一课时）一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性. 三、学生学情分析

对数的运算性质

§2.7.2 对数的运算性质教学目标（一）教学知识点 1. 对数的基本性质. 2. 对数的运算性质. (二) 能力训练要求 1. 进一步熟悉对数的基本性质. 2. 熟练运用对数的运算性质. 3. 掌握化简,求值的技巧. 教学重点对数运算性质的应用. 教学难点化简,求值技巧. 教学方法启发引导法教学过程. 一、复习回顾上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得： log b a a N b N =?= （0a >且1a ≠，0N >）本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质. 二、讲授新课 1 . 对数的基本性质由对数的定义可得：log 10a = log 1a a = （0a >且1a ≠）把log a b N = 代入 b a N = 可得 log a N a N =（0a >且1a ≠，0N >）上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N 转化为以a 为底的指数形式。把b a N = 代入 log a b N = 可得 log b a b a = （0a >且1a ≠）通过上式可将任意实数b 转化为以a 为底的对数形式。例如： log 222log a a a a == （0a >且1a ≠）

2 . 对数的运算性质接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。指数的运算性质 p q p q a a a +?= 在上式中设 p a M =， q a N = 则有 p q MN a += 将指数式转化为对数式可得： log a p M = log a q N = log a p q MN += ∴ log log log a a a M N MN += （0M > 0N > 0a >且1a ≠）这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何 log log log a a a M M N N -= 证明如下：∵ log log log log a a a a M M N N N N =+- log ()log a a M N N N =?- log log a a M N =- 对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘，即 1212log log log log a a a N a n N N N N N N +++=L L 若 12N N N N M ====L 则上式可化为 log log n a a n M M = n N +∈ 若将n 的取值范围扩展为实数集R ，上式是否还会成立下证 log log n a a n M M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈）证明：设 log a M p = 则有 p M a = ∴ n np M a = ∴ log n a M np = 即 log log n a a M n M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈）对数的乘法法则：M 的n 次方的对数会等于M 的对数的n 倍。例如：3222log 8log 23log 23===

A1-1-10对数的概念与性质

2. 2.1第一课时对数的概念教案【教学目标】 1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化 2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力【教学重难点】重点：对数的概念难点：对数概念的理解. 【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。二、情景导入、展示目标。（一）复习引入： 1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ 2假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1. ＝？，＝0.125x=? 2. =2x=? 也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？（二）新授内容：定义：一般地，如果的b 次幂等于N, 就是，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作，a 叫做对数的底数，N 叫做真数例如： ; ; 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ⑵， ∵对任意且 , 都有 ∴ 同样易知： ⑶对数恒等式如果把中的 b 写成 , 则有 421??? ??x ?? ? ??21?()x %81+?()1,0≠>a a a N a b =b N a =log 1642=?216log 4=100102 =?2100log 10=242 1=?2 12log 4= 01.0102 =-?201.0log 10-=01log =a 1log =a a 0>a 1≠a 10 =a 01log =a 1log =a a N a b =N a log N a N a =log

第4讲对数概念及其运算 [讲义]

432211log (4443)x x x x x =++++例．当时，求的值． 912162()q p q R log p log q log p q p +∈==+=例．设，且有，则． 23()(2)(1)2()2f x x lga x lgb f f x x x R a b =+++-=-≥∈+=例．已知，且，又对一切都成立，则． 124()(2)()(01)()2(18)x f x f x f x x f x f log +=-∈=例．已知奇函数满足，且当，时，，则的值为． 21234541515()lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx x

111211(2)[()(]4 lg log --+．化简：． 7．已知函数()( )1(4)21(4)x x f x f x x ???≥? ?=????+，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。

《对数与对数运算》教学设计

2.2.1 对数与对数运算（一）教学目标（一）教学知识点 1．对数的概念； 2．对数式与指数式的互化．（二）能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识．（三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题；３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ．定义：一般地，如果数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ；探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ；是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2．根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？