湘教版数学九年级上册 2.1一元二次方程 课件
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湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程PPT教学课件1
2
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意
观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数
式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
练一练
1.已知方程5x² +mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值 为_______． 2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
(8 -2x)(5-2x)
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方 程 x2 +12 x - 15 = 0. (1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的
1m 10m
8m xm
说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？
∴x≈2.4.
2.根据题意,列出方程,并估算方程的解：
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长 比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
(x+2)m 120m2 xm
解：设苗圃的宽为x m,则长为(x+2) m ,根据题意
得：
x (x + 2) = 120.
即
x2 + 2x - 120 = 0.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11.
例2：一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情 况下,运动员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作, 并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起 跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系:
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意
观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数
式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
练一练
1.已知方程5x² +mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值 为_______． 2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
(8 -2x)(5-2x)
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方 程 x2 +12 x - 15 = 0. (1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的
1m 10m
8m xm
说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？
∴x≈2.4.
2.根据题意,列出方程,并估算方程的解：
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长 比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
(x+2)m 120m2 xm
解：设苗圃的宽为x m,则长为(x+2) m ,根据题意
得：
x (x + 2) = 120.
即
x2 + 2x - 120 = 0.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11.
例2：一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情 况下,运动员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作, 并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起 跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系:
湘教版九上数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
式都不成立．∴ 原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为 1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
九年级数学上（XJ） 教学课件
第2章 一元二次方程
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程； （重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程. （难点）
导入新课
复习引入 1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2 = 1 ； (2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 + 6x + 9 = 5； (2) x2 + 6x + 4 = 0.
把两题转化成 (x + m)2 = n (n≥0) 的 形式，再利用开平方
讲授新课
一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
1 4
0，
因此
x
3 2
2
10 4
.
由此，得 x 3 10 或 x 3 10 .
22
22
所以
x1
3 10 2
，x2
3 10 2
.
归纳总结
配方法的应用
类别
解题策略
1.求最值或证 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的 代数式的值 形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其 恒正（或负） 最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程课件 (新版)湘教版.pptx
x
35cm
x
x
x
35cm
4
解：设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m.
根据题意，列出方程 (35-2x)2= 900 把方程通过移项，写成 (35-2x)2-900 =0 即4x2-140x+325=0
5
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽
8
例：下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次
项系数、一次项系数和常数项。
3x(1-x)+10=2(x+2)
解：去括号，得： 3x-3x2+10=2x+4
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
9
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
7
4x2-140x+325=0 25x2 50x 11 0.
上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只
含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一 元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0），
其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 。
6
分析： 问题涉及的等量关系是：
两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 × （1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
湘教版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
b2－4ac.
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
湘教版九年级数学上册课件：2.1 一元二次方程 (共15张PPT)
解答 由于圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2.
根据等量关系，可以列出方程
200150 3x2 200150 3 . 4
化简，整理得
x2 2500 0.
①
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽 车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该 市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的 方程 .
2.1 一元二次方程
动脑筋
问题一 如图所示，已知一矩形的长为200 cm，宽 为150 cm. 现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积
为原矩形面积的 3 . 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的 4
方程（其中 取3）.
分析 问题涉及的等量关系是：
矩形的面积 - 圆的面积 = 矩形的面积 3 . 4
这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系 数是1，常数项是6.
（2）去括号，得
5x2+5x+7=5x2-4.
移项，合并同类项，得
5x+11=0，
这是一元一次方程，不是一元二次方程.
练习
1.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的 二次项系数、一次项系数和常数项．
0.01t 2-2t = 0．
分析 问题涉及的等量关系是： 两年后的汽车拥有量 =
前年的汽车拥有量 ×（1+年平均增长率）2 .
解答 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x . 根据等量关系，可以列出方程
7（5 1 x）2 108.
化简，整理得
25x2 50x 11 0. ②
说一说
观察方程①和②，它们有什么共同点？
（1）它们分别含有几个未知数？
解：是一元二次方程. 二次项系数为 0.01， 一次项系数为 -2， 常数项为 0.
根据等量关系，可以列出方程
200150 3x2 200150 3 . 4
化简，整理得
x2 2500 0.
①
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽 车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该 市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的 方程 .
2.1 一元二次方程
动脑筋
问题一 如图所示，已知一矩形的长为200 cm，宽 为150 cm. 现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积
为原矩形面积的 3 . 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的 4
方程（其中 取3）.
分析 问题涉及的等量关系是：
矩形的面积 - 圆的面积 = 矩形的面积 3 . 4
这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系 数是1，常数项是6.
（2）去括号，得
5x2+5x+7=5x2-4.
移项，合并同类项，得
5x+11=0，
这是一元一次方程，不是一元二次方程.
练习
1.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的 二次项系数、一次项系数和常数项．
0.01t 2-2t = 0．
分析 问题涉及的等量关系是： 两年后的汽车拥有量 =
前年的汽车拥有量 ×（1+年平均增长率）2 .
解答 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x . 根据等量关系，可以列出方程
7（5 1 x）2 108.
化简，整理得
25x2 50x 11 0. ②
说一说
观察方程①和②，它们有什么共同点？
（1）它们分别含有几个未知数？
解：是一元二次方程. 二次项系数为 0.01， 一次项系数为 -2， 常数项为 0.
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件2.1一元二次方程
比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
湘教版九年级数学上册《一元二次方程》课件
A、5x2-4x-4=0 B、x2-5=0 C、5x2-2x+1=0
D、5x2-4x+6=0
已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
例一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积 为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元二 次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一 般形式.
30
x
x
单位：cm
15
方程X2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未 知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样 的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程
①方程两边都是整式
开启智慧
你能找到使
X2+3x=4两
②只含有一个未知数 边相等的x
的值吗？
③未知数的最高次数是2次
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解（或根）.
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化
为 ax2 bx c 0 ，的形式，我们把
ax2+bx+c=0
(a，b，c为常数，想a一≠0想）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b，c可以为零吗 ？
其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项，常数 项，a，b分别称为二次项系数，一次项系数.
我们已经学过哪些方程？ 你能各举一个例子吗？ 其中 “元 ” “次” 指的是什么意思？
交流合作
列出下列问题中关于未知数x的方程：
把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正 方形和长方形两部分，求正方形的边长.
设正方形的边长为x，可列出方程 X2+3x=4
D、5x2-4x+6=0
已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
例一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积 为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元二 次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一 般形式.
30
x
x
单位：cm
15
方程X2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未 知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样 的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程
①方程两边都是整式
开启智慧
你能找到使
X2+3x=4两
②只含有一个未知数 边相等的x
的值吗？
③未知数的最高次数是2次
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解（或根）.
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化
为 ax2 bx c 0 ，的形式，我们把
ax2+bx+c=0
(a，b，c为常数，想a一≠0想）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b，c可以为零吗 ？
其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项，常数 项，a，b分别称为二次项系数，一次项系数.
我们已经学过哪些方程？ 你能各举一个例子吗？ 其中 “元 ” “次” 指的是什么意思？
交流合作
列出下列问题中关于未知数x的方程：
把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正 方形和长方形两部分，求正方形的边长.
设正方形的边长为x，可列出方程 X2+3x=4
湘教版九上数学 第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
复习引入 1. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x 叫做 a 的平方根 . 2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = a . 3. 如果 x2 = 64，那么 x = ±8 .
4. 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数.
导入新课
填一填 你能填上适当的数使等式成立吗？你律能吗发？现什么规 (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2 ； (2)x2－6x＋__9__＝(x－__3__)2 ； (3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋__9__－__9_＋5
解： 配方，得 x2－12x + 62－62－13 = 0， 因此 (x－6)2 = 49， 由此得 x－6 = 7 或 x－6 = －7， 解得 x1 = 13，x2 = －1.
方法归纳
用配方法解一元二次方程的步骤：
ห้องสมุดไป่ตู้
移项
把常数项移到方程的右边
配方
方程两边都加上一次项系数一半的平方
开方
方程两边开平方
即
x + 6 = 51 或 x + 6 = 51.
所以
x1 = 51 6 ， x2 = 51 6 .
当堂练习
1.将一元二次方程 x2 - 8x - 5 = 0化成 (x + a)2 = b 的形式，
则 b 等于( D )
A. -13 B. 13 C. -21 D. 21
2.解下列方程：1 x2 4x 4 5
求解
解一元一次方程
定解
写出原方程的解
试一试：解方程 x2 + 12x -15 = 0 .
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 12x = 15，
两边都加 62 (一次项系数 6 的一半的平方)，得
4. 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数.
导入新课
填一填 你能填上适当的数使等式成立吗？你律能吗发？现什么规 (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2 ； (2)x2－6x＋__9__＝(x－__3__)2 ； (3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋__9__－__9_＋5
解： 配方，得 x2－12x + 62－62－13 = 0， 因此 (x－6)2 = 49， 由此得 x－6 = 7 或 x－6 = －7， 解得 x1 = 13，x2 = －1.
方法归纳
用配方法解一元二次方程的步骤：
ห้องสมุดไป่ตู้
移项
把常数项移到方程的右边
配方
方程两边都加上一次项系数一半的平方
开方
方程两边开平方
即
x + 6 = 51 或 x + 6 = 51.
所以
x1 = 51 6 ， x2 = 51 6 .
当堂练习
1.将一元二次方程 x2 - 8x - 5 = 0化成 (x + a)2 = b 的形式，
则 b 等于( D )
A. -13 B. 13 C. -21 D. 21
2.解下列方程：1 x2 4x 4 5
求解
解一元一次方程
定解
写出原方程的解
试一试：解方程 x2 + 12x -15 = 0 .
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 12x = 15，
两边都加 62 (一次项系数 6 的一半的平方)，得
一元二次方程课件2021-2022学年湘教版数学九年级上册
这个问题需要建立一元二次方程模型来解决.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
湘教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共14张PPT)
解：设路宽为x m，则耕地的长应该为(30－x)m，宽应该为(20－ x)m，根据面积公式，得(30－x)(20－x)＝500.整理，得x2－50x＋ 100＝0
12．下列方程为一元二次方程的是( A )
A．x2－5x＝2
B．y2－2x＋1＝0
C．x2＋3x＝0
D．x2－2＝(x＋1)2
13．(2014·昆明)某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
9．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪
念，全班学生共写了 1560 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，
列出方程为( C ) A.x（x－2 1）＝1560 C．x(x－1)＝1560
B.x（x＋2 1）＝1560 D．x(x＋1)＝1560
10．现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪
18．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m_≠_±__2___时， 它是一元二次方程；当 m__＝__－__2___时，它是一元一次方程. 19．把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次系数、一次项 系数和常数项： (1)－x2＋3x＝5； (2)( 3－2x)( 3＋2x)＝(x＋2)2. 解：(1)化为一般形式为x2－3x＋5＝0，二次项系数为1，一次项 系数为－3，常数项为5 (2)化为一般形式为5x2＋4x＋1＝0，二次项系数为5，一次项系 数为4，常数项为1
12．下列方程为一元二次方程的是( A )
A．x2－5x＝2
B．y2－2x＋1＝0
C．x2＋3x＝0
D．x2－2＝(x＋1)2
13．(2014·昆明)某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
9．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪
念，全班学生共写了 1560 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，
列出方程为( C ) A.x（x－2 1）＝1560 C．x(x－1)＝1560
B.x（x＋2 1）＝1560 D．x(x＋1)＝1560
10．现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪
18．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m_≠_±__2___时， 它是一元二次方程；当 m__＝__－__2___时，它是一元一次方程. 19．把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次系数、一次项 系数和常数项： (1)－x2＋3x＝5； (2)( 3－2x)( 3＋2x)＝(x＋2)2. 解：(1)化为一般形式为x2－3x＋5＝0，二次项系数为1，一次项 系数为－3，常数项为5 (2)化为一般形式为5x2＋4x＋1＝0，二次项系数为5，一次项系 数为4，常数项为1