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9.1平面的基本性质

㈠点、直线、平面之间平面的位置关系

1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化

A∈a

B a

A∈α

Bα

aα

bα

★2 平面的基本性质

公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理二：不共线的三点确定一个平面。

推论一：直线与直线外一点确定一个平面。

推论二：两条相交直线确定一个平面。

推论三：两条平行直线确定一个平面。

公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。

9.2空间图形的位置关系

1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)

1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。

即：a∥b，b∥c a∥c

1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3 异面直线

⑴定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。

⑵判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直

线。

1.4 异面直线所成的角

⑴异面直线成角的范围：(0°，90°].

⑵作异面直线成角的方法：平移法。

注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。

2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)

图2-2 直线与平面的位置关系

9.3直线与平面的位置关系

1 线面平行

1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。

1.2 判定定理：

1.3 性质定理：

1 线面垂直

1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

1.2 线面垂直的判定定理：

1.3 线面垂直的性质定理：

⑴若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

即：

⑵垂直于同一平面的两直线平行。

即：

3 面面平行

3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。

3.2 面面平行的判定定理：

⑴判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。即：

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：

⑵判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：

3.3 面面平行的性质定理

⑴(面面平行线

面平行)

⑵

⑶夹在两个平行平面间的平行线段相等。

3.1 面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。

3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。即：

3.3 面面垂直的性质定理

⑴若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；

图2-4 面面平行

图2-5 判定1推论

图2-6 判定2

⑵

⑶

⑷

图2-10

面面垂直性质2

图2-11 面面垂直性质3