大学数学无穷小与无穷大资料
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高数上1.5无穷小与无穷大
证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
f
(
1 x)g(
x)
f
1 (x)
.
1 g( x)
是无穷小量 . 从而 f ( x)g( x)当 x x0 是
为无穷大量 .
例9
求
lim n
1 n2
2 n2
n n2
.
解 本题考虑无穷多个无穷小之和.
先变形再求极限
lim n
1 n2
2 n2
n n2
lim 1
n
2 n2
证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
(1) 设 x x0 时，g( x)是有界量，f ( x)是无穷 大量，证明：f ( x) g( x)是无穷大量 .
(2) 设 x x0 时，| g( x) | M (M 是一个正的常数)，
f ( x) 是无穷大量 . 证明：f ( x)g( x) 是无穷大量 .
值函数 f ( x)都满足不等式 | f ( x) | M , 则称函数
f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大, 记作
lim f ( x) (或lim f (x) ).
x x0
x
特殊情形: 正无穷大, 负无穷大:
lim f ( x) ( lim f ( x) ).
x x0
x x0
例如, 构造如下数列变量：
x1
(n
)：
1,
1 2
，1 3
,
1 4
，，1 n
，
x1(n)是无穷小;
x2 (n)：
1,
2，1 3
,
1 ，，1 4n
，
x2(n)是无穷小;
大学一年级 1(4)无穷小与无穷大
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x) 0. x x
1 M 0, 此时对 , 0, 使得当 M 1 0 x x0 时, 有 f ( x ) , 由于 f ( x ) 0, M 1 从而 M. f ( x) 1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
类似可证明 x 的情形.
0
11
无穷小与无穷大
例 x 2时,函数3 x 1可表为
3x 1 5 ( 3 x 6)
(其中 x 6是x 2时的无穷小 3 ,即
lim( 3 x 6) 0)
x2
故得 lim( 3 x 1) 5.
x2
12
无穷小与无穷大
x
注 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表 达它的变化状态的. “无限制变小的量”
2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
4
无穷小与无穷大
二、无穷小的性质
性质1 x 是无穷小 x 是无穷小。 性质2 （比较性质） 若 x 是无穷小，且
四、无穷大的概念
绝对值无限增大的变量称为 无穷大.
1 如, 当x 0时, 函 数 , cot x 是无穷大; x
当x 时,函数x 2 , x 3 是无穷大.
13
无穷小与无穷大
定义3 M 0(不论它多么大 0 (或X 0), ),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ),恒 有
证 设 lim f ( x )
x x0
1 此时对 M , 0, 使得当 0,
0 x x0 时,有 f ( x ) M ,即 1 . f ( x)
无穷小与无穷大
3．函数极限与无穷小的关系
在自变量的某一变化过程中，函数 f (x)以 A为极限的充要 条件是 f (x) 可以表示为极限A与一个无穷小 的和，即
lim f (x) A f (x) A α
二 无穷大 1．无穷大的概念
定义2 在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷 大量，简称无穷大，记作 lim X 。
lim arcsin 4x lim 4x 2 x0 ln(1 2x) x0 2x
（3）因为当 x 0 时，1 cos x ～ 1 x2，ex2 1～ x2 ，所以 2
1 cos x
lim
x0
ex2 1
lim x0
1 x2 2 x2
1 2
高等数学
x 1
1 时， x 1 为无穷小。
（2）因为 lim( 2x 1) ，所以当 x 时，2x 1 为无穷小。
x
（3）因为 lim 2x ，所以当 x 时，2x 为无穷小。 x
（4）因为lim x
1 4
x
，所以当
x
时，
1 4
x
为无穷小。
例5 【银行存款】假设某人在银行存入10 000元，银行的年利率 为 ，试分析存款时间越长，本利和如何变化？ 解
如果变量 X 取正值无限增大，则称变量 X为正无穷大，记作 lim X ；如果变量 X 取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负 无穷大，记作 lim X 。
例4 讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：
（1）
y
1 x 1
（2）y 2x 1（3）y 2x
（4）y
1 4
x
解
（1）因为 lim 1 ，所以当 x1 x 1
四节无穷大与无穷小
例３ 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
若未定式旳分子或分母为若干个因子旳乘积，则 可对其中旳任意一种或几种无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会变化原式旳极限．
二、根据定义证明 : 当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件 ,能使 y 104 .
三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 xx
x 0 时 ,这个函数不是无穷大 .
练习题答案
一、1、0；
3、 ；
二、0
x
1. 104 2
例1 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
1 sin x 1 cos x
lim( x0 cos x x
x2
)
1 lim x0 cos x
sin x lim
x0 x
1 cos x
lim x0
x2
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
k
C
0, k
0,就说 是
的k
阶的
无穷小.
例如，
x2 lim
0，
x0 3x
即 x 2 o(3x) ( x 0).
当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小;
lim sin x 1， x0 x
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小．
同济大学《高等数学》(第四版)1-5节 无穷小与无穷大
0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都 足 等 f (x) > M, 满 不 式
x 称 数 则 函 f (x)当x →x0(或 →∞)时 无 小 为 穷 ,
作 记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都 足 等 f (x) > M, 满 不 式
x 称 数 则 函 f (x)当x →x0(或 →∞)时 无 小 为 穷 ,
作 记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
高等数学1.4无穷大与无穷小的关系
f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x
大学数学_1_5 无穷小与无穷大无穷小的比较
在，则lim
' lim '
.
证
' '
lim lim( )
' '
lim
'
lim
' '
lim '
' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解 当 x 0时，sin 5x : 5x, tan 6x : 6x,所以
事 实 上 ， Q lim f (x) A lim( f (x) A) 0 ， 记
f (x) A则有 f (x) A （其中lim 0 ）
反之，f (x) A ，lim 0 ，则 lim( f (x) A) 0，
故有lim f (x) A.
n
变量，由有界变量与无穷小之积仍为无穷小知
lim n sin n! lim n .sin n! 0. n n 1 x n 1
二、无穷大
定义 2 在自变量某一变化过程中，变量 X 的绝 对值 X 无限增大，则称 X 为自变量在此变化过程中的 无穷大量（简称无穷大）记作lim X ，其中“lim ” 是简记符号，类似于此前含义.
况加以解决.
两个无穷小的商也会出现各种不同结果，例如，当 x 0
时 ， x2 ,sin x,arctan x, 2x 等 都 是 无 穷 小 ， 但
lim
x0
x2 sin x
0,
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
, lim x0
大学数学-1-5-无穷小与无穷大无穷小的比较精选全文完整版
lim
'
lim
' '
lim '
' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解 当 x 0时，sin 5x 5x, tan 6x 6x,所以
lim sin 5x lim 5x 5 . x0 tan 6x x0 6x 6
例 5 求lim (x 3) tan x . x0 arcsin 4x
第五节 无穷小与无穷大 无穷小的比较
一、无穷小
在讨论变量的极限时，经常遇到以变量零为极限的变量.
例如，数列(
1 2
)n
，当n
时，极限为
0；
函数 1 x2
，当n
时，极限也为
0；
函数（ x 2），当x 2时，极限为 0，等等.
这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统称
为无穷小量（简称为无穷小）.
注意 这里lim X 只是沿用了极限符号，并不意 味着变量 x 的存在极限；无穷大()不是数，不可与绝 对值很大的常数(如107 108等)混为一谈；无穷大是指绝 对值可以任意变大的一个变量.
例 3 下列变量中，哪个是无穷大，哪个是无穷小，
为什么？
（1）1 (x 0) ；（2） tan x (x 0) ；（3） 1 (x 2) ；
比较两个无穷小在自变量同一变化过程中趋于零的“速
度”是很有意义的，并能为处理未定式极限问题带来一些具
体方法.
三、无穷小的比较
设 lim 0,lim 0, 且lim 也是在该变化过程中的
极限问题.
1. 如果lim 0, 就说 是比 高阶无穷小，记作
( );当 0时，也说 是比 低阶的无穷小.
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f (x)
(2) lim
k 0
xx0 g ( x)
称x→x0 时， f (x) 与g (x) 是同阶的无穷小。
特别地，
当k=1 时,称 f (x) 与g (x)是等价无穷小。
记为: f (x) ~ g(x)
(x x0 )
x3
lim
x0
6x2
0
x0 时
x3 o( 6x2 )
lim sin x 1 x0 x
5x
lim
3x
3
x0 5x 5
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan
x(1 cos x) x3
lim
x0
x 1 x2 2 x3
1 2
tan x sin x
lim
x0
x3 lim ( tan x sin x )
x0 x3
x3
lim
x0
tan x x3
lim
x0
sin x x3
lim x0
无穷小量相乘除的情况,对
于两个无穷小量相加减的情
况不能用替换定理。
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
xx x3
例如：1 cos x
lim
x0
sin x 1 cos x ~ 1 x2
1 x2
2
lim 2 0
x0 x
常用等价无穷小 :
ln(1 x) ~ x ex 1 ~ x
上述式子中的 x 位置上可以是 x 本身, 也可以是x 的某个函数。
例如 :
函数 当
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
定理1.5 ( 无穷小与函数极限的关系 )
函数 f (x)在 x x0时以常数A为极
限的充分必要条件是在 x 时x0
f (x) A 为无穷小量。
1.5.2 无穷小量阶的比较 对无穷小量进行阶的比较是：
为了考察两个无穷小量趋于0的速度。
设 f (x) 、g (x) 为x→x0 时的无穷小,如
果(1) lim f (x) 0 xx0 g ( x)
记为: f (x) o(g(x))
(x x0 )
称x→x0 时， f (x) 是比g (x) 高阶的无穷小；
所以 , 当 x 0 时
sin x ~ x
lim tan x 1 x0 x
所以 , 当 x 0 时
tan x ~ x
lim arcsin x 1
x0
x
所以 , 当 x 0 时
arcsin x ~ x
又如 1 cos
lim
x0
x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
sin x 2
1 lim (3sin x x cos 1)
2 x0 x
x
1 (lim 3sin x lim x cos 1)
2 x0 x
x0
x
1 (3 0) 3
2
2
y1 x
x
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
,
0
y 2, 3, 4, 5,
替换定理:
设
且
存在 ,
则 lim f1(x) g1 ( x)
例如, x 0
tan x ~ x sin x ~ x
lim
x0
tan sin
x x
lim
x0
x x
1
此定理表明,求两个无 穷小之比的极限时,分子 分母都可用等价无穷小 来代替相应的部分,以简 化极限计算过程。
注意：
替换定理只能用在两个
例如, lim tan 2x tan 2x ~ 2x
x0 sin 5x
lim 2x 2 sin 5x ~ 5x x0 5x 5
lim
x0
ln( 1
x) sin x2
3x
lim
x0
x 3x x2
3
1
例2.
求
lim
(1
x2)3
1.
解: x0 cos x 1
练习：lim arcsin 3x
x0
即
lim f (x) A
x x0
lim [ f (x) A] 0
xx0
即
lim f (x) A
x x0
f (x) A
lim 0
xx0
定理对自变量的其它变化过程也成立.
无穷小的性质：
当x→x0时,如果f(x)、g(x)均为 无穷小,则当x→x0时: (1)f(x)±g(x)为无穷小；
由此可知有限个无穷小量的和
仍是无穷小量。
(2)无穷小与无穷小的乘积是仍 是无穷小。
由此可知有限个无穷小量的乘积
仍是无穷小量。
(3)有界变量与无穷小的积是仍是 无穷小.
常数与无穷小的乘积仍是无穷小。
例如. 求 lim x2 sin 1
x0
x
sin 1 1 lim x2 0
x
x0
lim x2 sin 1 0
lim
3sin
xx2cos Nhomakorabea1 x
x0 (1 cos x)x
lim (
1
3sin
x
x2
cos
1 x
)
x0 1 cos x
x
lim
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
x0 1 cos x x0
x
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
2 x0
x
1 3sin x
1
lim (
x cos )
2 x0 x
x
x x3
lim x0
x x3
lim x0
1 x2
lim x0
1 x2
0
sin 3x x
lim
x0
x2
lim
x0
3x x2
x
lim
x0
(
sin x
3x
2
x x2
)
lim
x0
sin 3x x2
lim
x0
1 x
罗必达法则
思考与练习
ln(1 x)～ x
3 2
ln(1 x)～ x
x0
x
lim
arctan
x
?
x x
引例 . x 0 时,
3 x , x2 , sin x 都是无穷小,但
lim
x0
x2 3x
0
,
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
lim
x0
3x x2
x 0.5 0.1 0.01 0.001 0 3x 1.5 0.3 0.03 0.003 0 x2 0.25 0.01 0.0001 0.000001 0
sin
x 2
2 lim 2 2 lim 2
x 0
x
1
lim
x0
sin
x
2
2
x 2
0
x 2
x
2
1 2
lim1
x0
cos x2
x
1 2
故
时
与 x 2 是同阶无穷小,
且有 lim 1 cos x x0 1 x2 2
2 lim 1 cos x 1 x0 x2
所以 1 cos x ~ 1 x2 2
1.5 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三,无穷小与无穷大的关系
y x2
x 1 , 1 , 1 , 1 , 0 2345
1111 y 22 , 32 , 42 , 52 ,
0
1.5.1 无穷小 (infinitesimal)
定义1 . 如果 lim f (x) 0
则称
xx0
函数f(x)是x→x0时的无穷小量。