河南省天一大联考高一下学期段考数学试卷(解析版)
（ II）若tanθ=2，求 的值．
20．已知ω＞0，平面向量 =（2sinωx， ）， =（2cos（ωx+ ），1），函数f（x）= 的最小正周期是π．
（ I）求f（x）的解析式和对称轴方程；
（ II）求f（x）在 上的值域．
21．已知 ．
（ I）求sin2α的值；
（ II）求 的值．
又角A是△ABC的一个内角，
∴90°＜A＜180°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．
3．已知向量 =（k，cos ），向量 =（sin ，tan ），若 ，则实数k的值为（）
A． B．﹣1C． D．1
【考点】96：平行向量与共线向量．
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量 =（k，cos ），向量 =（sin ，tan ）， ，
∴ = ，
解得实数k= ．
故选：C．
4．已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（）
A． B． C． D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，设向量 与 的夹角为θ，则∠ABC=π﹣θ，由向量 、 的坐标计算可得cosθ的值，结合θ的范围可得θ的值，又由∠ABC=π﹣θ，计算可得答案．
∴m+n=﹣1．
故选：B．
2．已知角A是△ABC的一个内角，且 ，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法判断△ABC的形状
【考点】GZ：三角形的形状判断．
【分析】利用倍角公式得到tanA= = =﹣4 ＜0．由此推知三角形ABC的形状．
【解答】解：∵ ，
∴tanA= = =﹣4 ＜0．
14．函数 在（0，π）上的零点是．
15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，|φ|＜ ）的图象如图所示，则tanφ=．
16．如图，在边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设 = ， = ，若 ，则 =．（用向量a和b表示）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
22．设函数 （ϖ＞0）图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为 ．
（1）求ϖ的值及单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b+c=2，A= ，求f（a）的值域．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若向量 =（2，4）， =（﹣2，2n）， =（m，2），m，n∈R，则m+n的值为（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【考点】98：向量的加法及其几何意义；99：向量的减法及其几何意义．
【分析】利用 = 即可得出．
【解答】解：∵ = ，
∴（m，2）=（2，4）+（﹣2，2n），
可得：m=2﹣2=0，2=4+2n，解得n=﹣1．
A．①②③B．②③④C．②③D．①④
6．若 是两个单位向量，且（2 + ）⊥（﹣2 +3 ），则| +2 |=（）
A． B．6C． D．2
7．函数g（x）=sin（2x+ ）在[0， ]上取得最大值时的x的值为（）
A． B． C． D．
8．若 ，则函数f（x）的奇偶性为（）
A．偶函数B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
A．①②③B．②③④C．②③D．①④
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用三角函数的周期性求得每个函数的周期，从而得出结论．
【解答】解：由于：①y=cos|2x|的最小正周期为 =π；②y=|sinx|的最小正周期为 =π；
③ 的最小正周期为 =π；④ 的最小正周期为 ，
故选：A．
6．若 是两个单位向量，且（2 + ）⊥（﹣2 +3 ），则| +2 |=（）
17．已知扇形的中心角为2，扇形所在圆的半径为r，若扇形的面积值与周长值的差为f（r），求f（r）的最小值及对应r的值．
18．已知点A，B，C是单位圆O上圆周的三等分点，设 = ， = ， =
（ I）求证：（ ）⊥
（ II）若|t + + |=1，求实数t的值．
19．已知角α的终边上一点（x，3），且tanα=﹣2．
9．已知 ，则 =（）
A． B． C．1D． 或
10．函数f（x）=sin（2x+φ）|φ|＜ ）的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则φ等于（）
A． B．﹣ C． D．
11．已知△ABC为锐角三角形，则下列判断正确的是（）
A．tan（sinA）＜tan（cosB）B．tan（sinA）＞tan（cosB）
A． B．6C． D．2
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【解答】解：设向量 与 的夹角为θ，则∠ABC=π﹣θ，
向量 =（ ， ），则| |=1， =（ ， ），则| |=1，
且 = × + × = ，
则cosθ= = ，又由0≤θ≤π，
则θ= ，
则∠ABC=π﹣ = ；
故选：D．
5．给出下面四个函数：①y=cos|2x|；②y=|sinx|；③ ；④ ．其中最小正周期为π的有（）
河南省天一大联考高一（下）数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若向量 =（2，4）， =（﹣2，2n）， =（m，2），m，n∈R，则m+n的值为（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．已知角A是△ABC的一个内角，且 ，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判断△ABC的形状
3．已知向量 =（k，cos ），向量 =（sin ，tan ），若 ，则实数k的值为（）
A． B．﹣1C． D．1
4．已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（）
A． B． C． D．
5．给出下面四个函数：①y=cos|2x|；②y=|sinx|；③ ；④ ．其中最小正周期为π的有（）
C．sin（tanA）＜cos（tanB）D．sin（tanA）＞cos（tanB）
12．已知sinθ+cosθ=sinθcosθ，则角θ所在的区间可能是（）
A．（ ， ）B．（ ， ）C．（﹣ ，﹣ ）D．（π， ）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若角α的终边与 的终边关于y轴对称，则角α的取值集合为．
河南省天一大联考2017-2018学年高一下学期阶段性测试(三)数学---精校解析Word版
天一大联考2017-2018学年高一年级阶段性测试（三）数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 转化为十进制数是( )A. 46B. 47C. 66D. 67【答案】B【解析】分析：把二进制数按权展开、相加即得十进制数.详解：，故选B.点睛：：由二进制转化为十进制的方法,我们只要依次累加各位数字上的数乘以该数位的权重,即可得到十进制数；二进制、八进制、十进制与十六进制，它们之间区别在于数运算时是逢几进一位。
比如二进制是逢进一位，十进制也就是我们常用的是逢进一位.2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】分析：由于函数，再根据函数的图象变换规律得出结论. 详解：函数把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选C.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.3. 如图所示，该程序框图输出的结果为( )A. 9B. 8C. 4D. 3【答案】A【解析】分析：读程序框图，按顺序执行得出结果，注意结束的条件，即可得到结果.详解：运行程序框图，输入，因为不成立，所以，输出，故选A.点睛：题考查程序框图的程序运行，本题为基础题，掌握程序的运行方法，框图以赋值框和条件框为主，按照框图箭线方向和每个框的指令要求运行，注意条件框的要求是否满足，运行程序时要准确.4. 已知在长为的线段上任取一点，并以线段为半径作圆，则这个圆的面积介于与之间的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意，这个正方形面积介于与，即边长介于与之间，利用长度之比求概率.详解：圆的面积介于到，即圆的半径介于与之间，所有所求概率为，故选D. 点睛：本题主要考查几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可...................5. 为了解某校学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到的频率分布直方图如下图，但不慎将部分数据丢失，仅知道后5组频数之和为70，则视力在4.6到4.7之间的学生数为( )A. 14B. 16C. 30D. 32【答案】A【解析】分析：根据后五组中的频数，求出前三组频数，由于图中前两组频率可求，从而求出前两组的频数，进而作差即可得结果.详解：后组频数和为，前三组频数和为，第一组为频数，第二组频数为，所以，第三组频数为，即视力在到之间的学生数为，故选A.点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.6. 用系统抽样（等距）的方法从含有120个个体的总体中抽取容量为10的样本，将总体编号为1-120，若编号为114的个体被抽到，则以下编号未被抽到的是( )A. 30B. 40C. 66D. 90【答案】B【解析】分析：由系统抽样方法可得样本中个体编号相差的整数倍，利用其中一个编号为，结合等差数列的性质可得答案.详解：系统抽样的抽样间隔为，故样本中个体编号相差的整数倍，因为其中一个编号为，所以根据等差数列的性质可得，被抽到的编号为，只有选项,不合题意，故选B.点睛：本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.7. 在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则甲组数据的平均数与乙组数据的中位数之和为( )A. 25B. 24C. 21D. 20【答案】A【解析】分析：根据甲组数据众数为，可得，可求甲组数据的平均数，乙组数据从小到大排列，根据中位数定义求出乙组数据的中位数，求和即可.详解：甲组数据众数为，，甲组数据的平均数为，乙组数据从小到大排列：，中位数为，甲组数据的平均数与乙组数据的中位数之和为，故选A.点睛：本题主要考查茎叶图的应用、众数、中位数、平均数的求法，属于中档题.要解答本题首先要弄清众数、中数、平均数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据；（3）平均数既是样本数据的算数平均数.8. 已知，则的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据诱导公式和特殊角的三角函数值化简，再比较大小即可.详解：，，，故选C.点睛：本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.9. 已知,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由,利用同角三角函数关系式求出，，从而可得结果. 详解：，，，，所以，故选B.点睛：本题主要考查，同角三角函数之间的关系（平方关系）的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.10. 点在边长为2的正方形内运动，则动点到定点的距离的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：本题考査的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形的面积及动点动点到定点的距离对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，结合对立事件的概率公式即可求出答案.详解：满足条件的正方形，如图所示，其中满足动点到定点的距离的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积，阴影部分的面积，故动点到定点的距离的概率，的概率为故选D.点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．11. 对于具有线性相关关系的变量，有以下一组数据：1 2 3 4 52 3.4 5.2 6.4 8根据上表，用最小二乘法求得回归直线方程为，则当时，的预测值为( )A. 11B. 10C. 9.5D. 12.5【答案】A【解析】分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于的方程，解方程求出，最后将代入求出相应的即可.详解：，这组数据的样本中心点是，把样本中心点代入回归方程，，回归直线方程为，当时，，故选A.点睛：本题主要考查回归方程的性质以及利用回归方程估计总体，属于中档题.回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.12. 已知函数满足，函数图象上距轴最近的最高点坐标为，则下列说法正确的是( )A. 为函数图象的一条对称轴B. 的最小正周期为C. 为函数图象的一个对称中心D.【答案】D【解析】分析：利用正弦函数的图象的特征求得和的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性、正弦函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.详解：由最高点坐标为可得，由可得,将代入上式，得，时函数不取得最值，所以错；的最小正周期为，所以错；时函数的值不为零，所以错；因为，对，故选D.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数函数的周期性性、对称性、三角函数函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 甲、乙两支足球队进行比赛，根据赛前的数据分析，甲队赢球的概率为0.55，乙队赢球的概率为0.2，则两支球队踢成平局的概率为__________．【答案】0.25【解析】分析：根据甲蠃的概率、甲输球的概率、与甲乙平局的概率之和为，可得结果.详解：甲蠃的概率，甲输球的概率就是乙赢的概率为，因为甲蠃的概率、甲输球的概率、与甲乙平局的概率概率之和为，所以甲蠃与甲乙平局的概率是，故答案为.点睛：本题主要考查互斥事件、对立事件的概率公式，属于简单题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的对立性、互斥性结合起来，要会把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.14. 已知函数的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则__________．【答案】【解析】分析：由最小正周期为，可得的值，函数取得最小值，可得的值，代入可得的值，从而可得函数的解析式.详解：由函数取得最小值，可得由函数的最小正周期为，可得，又因为，所以可得：，故答案为.点睛：本题主要通过已知三角函数的性质求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.15. 已知一组样本数据按从小到大的顺序排列为-1，0，4.，这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为__________．【答案】【解析】分析：根据中位数为，，求出是，代入平均数公式，可求出，从而可得出平均数，代入方差公式，得到方差.详解中位数为，，这组数据的平均数是，可得这组数据的方差是，故答案为.点睛：本题主要考查平均数与方差，属于中档题.样本数据的算术平均数公式为．样本方差，标准差.16. 执行如图所示的程序框图，输出值为__________．【答案】3【解析】分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.详解：当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，；当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，；当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，；当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，；当时，满足退出循环的条件，退出循环，输出，故答案为.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】（1）；（2）12【解析】分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得的值；（2）把所求的式子利用诱导公式化为，将与代入可求得结果.详解：(1)因为,所以.(2).点睛：本题主要考查，同角三角函数之间的关系（平方关系）的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.18. 某机构为了解某市民用电情况，抽查了该市100户居民月均用电量（单位：，以分组的频率分布直方图如图所示.(1)求样本中月均用电量为的用户数量；(2)估计月均用电量的中位数；(3)在月均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则月均用电量为的用户中应该抽取多少户？【答案】（1）15；（2）224；（3）10【解析】分析：（1）根据各矩形面积之和为求得月均用电量为的用户的频率，从而可得结果；（2）由频率分布直方图面积为的横坐标即为月均用电量的中位数；（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比列为，，由此能求出月平均用电量在的用户中应抽取的户数.详解：(1)由得,所以月均用电量为的频率为，用户应有户.(2)因为，所以月均用电量的中位数在内.设中位数为，则，解得，即中位数为224. (3)月均用电量为的用户有（户），同理可求月均用电量为的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比列为，所以从月均用电量在的用户中应抽取(户).点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.19. 在试制某种洗涤剂新产品时，不同添加剂的种类以及添加的顺序对产品的性质都有影响，需要对各种不同的搭配方式做实验进行比较.现有芳香度分别为1，2，3，4，5，6的六种添加剂可供选用，根据试验设计原理，需要随机选取两种不同的添加剂先后添加进行实验.(1)求两种添加剂芳香度之和等于5的概率；(2)求两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大的概率.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用列举法，所有的选法共有种，而满足“两种添加剂芳香度之和等于5”的选法用列举法求得只有4种，由此求得两种不同的添加剂的芳香度之和等于5的概率；（2）用列举法求得“两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大”，共有共11种，结合（1）利用古典概型概率公式可得结果.详解：设试验中先添加的添加剂芳香度为，后添加的为，试验结果记为，则基本事件包括：,共30种结果.(1)设“两种添加剂芳香度之和等于5”为事件，则事件包含的结果有，共4种，故.(2)设“两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大”为事件，则事件包含的结果有，共11种，故.点睛：本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 某校有教师400人，对他们进行年龄状况和学历的调查，其结果如下：学历35岁以下35-55岁55岁及以上本科60 40硕士80 40(1)若随机抽取一人，年龄是35岁以下的概率为，求；(2)在35-55岁年龄段的教师中，按学历状况用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名教师中任选2人，求两人中至多有1人的学历为本科的概率.【答案】（1）20；（2）【解析】分析：（1）(1)由由古典概型概率公式，解得,故；（2）由分层抽样的规律可知，需学历为研究生的2人，记为，学历为本科的3人，记为的，列举可得总的基本事件，找出符合题意得基本事件，由古典概型公式可得.详解：(1)由已知可知，解得,故.(2)由分层抽样的规则可知，样本中学历为硕士的人数为人，记为,学历为本科的人数为人.记为,从中任选2人所有的基本事件为共10个，设“至多有1人的学历为本科”为事件，则事件包含的基本事件为，共7个.所以.点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 总体中个体差异明显，层次分明适合分层抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.21. 函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间；(3)先将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象，求在区间上的值域.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】分析：(1)由最大值可得，由，可得，令，得，从而可得的解析式；(2)根据正弦函数的单调性，由，解不等式可得结果；(3)当时，，函数在区间上的值域为,进而可得结果.详解：(1)由图可知，正弦曲线的振幅为1，所以.，所以.令，得，所以.所以(2)由，知.所以函数的单调递增区间为.(3)由题意知.当时，，函数在区间上的值域为,所以函数在区间.点睛：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象及最值，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.22. 某商店对新引进的商品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：定价(元) 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10销量（件）100 94 93 90 85 78(1)求回归直线方程；(2)假设今后销售依然服从(Ⅰ)中的关系，且该商品金价为每件5元，为获得最大利润，商店应该如何定价？（利润=销售收入-成本）参考公式：.【答案】（1）；（2）9.5【解析】分析：（1）根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；(2)设商店的获利为元，则,当且仅当时，取得最大值，即商店应定为元.详解：(1),,,.(2)设商店的获利为元，则,当且仅当时，取得最大值405，即商店应定为9.5元.点睛：本题主要考查线性回归方程的应用，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.。
2023-2024学年河南省部分学校高一(下)联考数学试卷(6月份)+答案解析
2023-2024学年河南省部分学校高一（下）联考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是虚数单位，则的值为()A. B. C. D.22.某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量分位数为()A.58B.60C.61D.623.如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形OA与BC间的距离为()A.1B.C.D.44.某机构统计了1000名演员的学历情况，制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为()A.11B.13C.22D.265.三个共面的向量、、两两所成的角相等，且，，，则()A. B.6 C.或6 D.3或66.已知复数满足，，，若是关于x的方程的一个根，则等于()A.5B.6C.7D.87.如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为米．A. B. C. D.8.已知球O与正方体的各个面相切，平面截球O所得的截面的面积为，则正方体棱长为()A. B. C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某学校开展知识竞赛，竞赛成绩全部介于50至100之间，将数据按照的分组作出频率分布直方图如图所示.根据频率分布直方图，则下列结论中正确的是()A. B.众数为80 C.第71百分位数是82 D.平均分是10.下面四个命题中正确的是()A.对应的点在第二象限B.若复数，满足，则C.方程在复数集内有两解和D.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应点的轨迹是圆11.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于点S，得到四面体，顶点S在底面AEF上的射影为O，下列结论正确的是()A. B.点O为的外心C.点O到三个侧面距离的平方和等于D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2022-2023学年河南省天一大联考高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3B ．2√5C ．4D ．52．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5B ．7C ．7.5D ．83．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣24．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．811258．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112] C ．[3−2√3，3+2√3] D ．[3−√3，3+√3]二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知z 1，z 2为复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若z 1=z 2，则z 1=z 2B ．若z 1+z 2∈R ，则z 1与z 2的虚部相等C ．若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0D ．若z 12+z 22=0，则z 1＝z 2＝010．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中x ＝0.1B ．估计样本数据的第60百分位数约为85C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D ．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 ．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是 ．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 ．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ；（2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？22．（12分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A餐厅评分的频率分布直方图，以及B餐厅评分的频数分布表如下：B餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3 B ．2√5C ．4D ．5解：z =4−2ii=−2−4i ，所以|z|=√(−2)2+(−4)2=2√5． 故选：B ．2．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5 B ．7C ．7.5D ．8解：由题意得a+5+6+7+7+8+11+128=8，解得a ＝8，故这组数据的中位数为7+82=7.5．故选：C ．3．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2解：因为a →=(2，4)，b →=(2，λ)，所以a →+2b →=(6，2λ+4)，2a →+b →=(6，λ+8)，又(a →+2b →)∥(2a →+b →)，∴6×（λ+8）﹣（2λ+4）×6＝0，解得λ＝4． 故选：A ．4．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③解：对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确； 对于②，若m ⊥β，α⊥β，则m ⊂α或m ∥α，所以②错误； 对于③，由l ∥β，得β∥α或β与α相交，故③错误；对于④，α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行，故④正确． 故选：C ．5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i解：由题意可知，(√22+√22i)4=(cos π4+isin π4)4=(e π4i )4=e πi =cosπ+isinπ=−1．故选：A ．6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ， 则2πr =12×2π×2，2πR =12×2π×6， 所以r ＝1，R ＝3，且圆台的母线长为6﹣2＝4， 则圆台的高为ℎ=√42−(3−1)2=2√3，所以圆台的体积为V =13(π⋅12+π⋅32+√π⋅12⋅π⋅32)×2√3=26√33π． 故选：B ．7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．81125解：甲班最终获胜有三种情况： ①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输； ③甲班第1场输，第2场和第3场获胜．故甲班最终获胜的概率为(35)2+35×(1−35)×35+(1−35)×(35)2=81125．故选：D ．8．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A ＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[3−2√3，3+2√3]D ．[3−√3，3+√3]解：∵A ，B ，C ∈（0，π），∴A ﹣B ∈（﹣π，π），B ﹣C ∈（﹣π，π），C ﹣A ∈（﹣π，π），可得cos （A ﹣B ）∈（﹣1，1]，cos （B ﹣C ）∈（﹣1，1]，cos （C ﹣A ）∈（﹣1，1]， 若cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，则cos （A ﹣B ）＝1，cos （B ﹣C ）＝1，cos （C ﹣A ）＝1， 可得A ﹣B ＝0，B ﹣C ＝0，C ﹣A ＝0， 所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形． 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB ＝2，∴B （2，0），C(1，√3)．由题意设P （cos θ，sin θ）（0≤θ＜2π），则PB →=(2−cosθ，−sinθ)，PC →=(1−cosθ，√3−sinθ)，∴PB →⋅PC →=(2−cosθ)(1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=3−2√3cos(θ−π6)． 因为cos(π6−θ)∈[−1，1]，所以3−2√3cos(θ−π6)∈[3−2√3，3+2√3]． 故选：C ．二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=z2，则z1=z2B．若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部相等C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0解：对于A，若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2，故A正确；对于B，若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部互为相反数，故B错误；对于C，若z1z2＝0，则|z1z2|＝|z1|•|z2|＝0，所以|z1|＝0或|z2|＝0，可得z1＝0或z2＝0，故C正确；对于D，取z1＝1，z2＝i，可得z12+z22=1−1=0，故D错误．故选：AC．10．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．图中x＝0.1B．估计样本数据的第60百分位数约为85C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人解：对于A，由图知10×（x+0.015+0.02+0.03+0.025）＝1，解得x＝0.01，A错误；对于B，成绩在[50，80）内对应的频率为0.1+0.15+0.2＝0.45＜0.6，成绩在[50，90）内对应的频率为0.1+0.15+0.2+0.3＝0.75＞0.6，因此第60百分位数m位于区间[80，90）内，m=80+0.6−0.450.3×(90−80)=85，所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确；对于C，平均数约为x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5，C正确；对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为0.1：0.15：0.2＝2：3：4，则应选取成绩在[60，70）内的学生人数为30×32+3+4=10，D 正确． 故选：BCD ．11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →解：对于A ，由已知可得b →=2a →+BC →=AB →+BC →=AC →， 在正方形ABCD 中可得|AC →|=2√2，故A 错误；对于B ，a →⋅b →=12AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|cos45°=12×2×2√2×√22=2，故B 正确；对于C ，a →在b →上的投影向量的模为|a →⋅b →||b →|=2√2=√22，故C 错误；对于D ，(b →−4a →)⋅b →=b →2−4a →⋅b →=0， 又b →−4a →与b →均不是零向量， 所以(b →−4a →)⊥b →，故D 正确． 故选：BD ．12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32解：对于A ，由已知得AA 1⊥平面ABP ，PB ⊂平面APB ，所以AA 1⊥PB ， 又因为AB 是底面圆的直径，P 在圆周上且异于A 、B 两点，所以BP ⊥AP ， 又A 1A ∩AP ＝A ，AA 1、AP ⊂平面A 1AP ，所以PB ⊥平面A 1AP ，故A 正确； 对于B ，因为AA 1⊥平面ABP ，所以直线A 1P 与平面ABP 所成的角为∠A 1P A ， 因为∠BOP ＝60°，则∠PAO =12∠BOP =12×60°=30°， 所以PB =12AB =12×2=1，PA =√AB 2−PB 2=√22−12=√3，AA 1＝3，故tan ∠APA 1=AA 1AP =33=√3，故直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√3，故B 错误； 对于C ，连接B 1P ，因为AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1，故四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以AB ∥A 1B 1，所以直线A 1P 与直线AB 所成的角为∠B 1A 1P 或其补角， 在△A 1B 1P 中，A 1P =√AP 2+A 1A 2=√(√3)2+32=2√3， B 1P =√BP 2+B 1B 2=√12+32=√10，所以cos ∠B 1A 1P =A 1B 12+A 1P 2−B 1P 22A 1B 1⋅A 1P =22+(2√3)2−(√10)22×2×2√3=√34，故C 正确； 对于D ，设点A 到平面A 1PB 的距离为h ， 则V A−A 1PB =V A 1−APB ，即13⋅S △A 1PB ⋅ℎ=13⋅S △APB ⋅AA 1，又S △APB =12AP ⋅BP =12×√3×1=√32，S △A 1PB =12A 1P ⋅PB =12×2√3×1=√3， 所以13×√3×ℎ=13×√32×3，解得ℎ=32，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 √2 ．解：根据题意可得O ′A ′=√2， 在△ABO 中，OB ＝O ′B ′＝1， OA =2O ′A ′=2√2， 所以△ABO 的面积为S =12×1×2√2=√2 故答案为：√2．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是310．解：总的样本点的个数为A 52=20，事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有A 32=6个，故所求概率为620=310．故答案为：310．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 (−1，13) ．解：∵DC →=2AD →，∴AC →=3AD →，∴AP →=xAB →+3yAD →． ∵B ，P ，D 三点共线，∴x +3y ＝1，∵x ＞0，∴y =13(1−x)＜13，∴0＜y ＜13， ∴y −x =y −(1−3y)=4y −1∈(−1，13)．故答案为：(−1，13)．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为π3a 2 ．解：如图所示，设O 为大球的球心，大球的半径为R ，大正四面体的底面中心为E ，棱长为a ，高为h ，CD 的中点为F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，BF ， 则BE =23BF =√33a ，正四面体的高ℎ=AE =√AB 2−BE 2=√63a ， 因为V 正四面体＝4V O ﹣ABC ，所以13×S △ABC ℎ=4×13×S △ABC ×R ，所以R =14ℎ=√612a ，设小球的半径为r ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高ℎ小=ℎ−2R =√66a ，所以r =14ℎ小=√624a =R2，故该模型中5个球的表面积之和为4πR 2+4×4πr 2=8πR 2=8π×6144a 2=π3a 2． 故答案为：π3a 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围． 解：（1）由z +5i ＝m +（9﹣m 2）i 为实数，可得9﹣m 2＝0， 解得m ＝±3，因为m ＞0，所以m ＝3， 所以z ＝3﹣5i ；（2）由（1）可知z =3+5i ，所以z 1=z(a +i)=(3+5i)(a +i)=(3a −5)+(5a +3)i ， 因为z 1在复平面内对应的点在第二象限， 所以{3a −5＜05a +3＞0，解得−35＜a ＜53，故实数a 的取值范围为(−35，53)．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．解：（1）证明：因为EF ∥AD ，EF =12AD =2，M 是AD 的中点， 所以EF ∥DM ，且EF ＝DM ， 所以四边形DEFM 是平行四边形， 从而MF ∥DE ．因为MF ⊄平面ECD ，DE ⊂平面ECD ， 所以MF ∥平面ECD ． 同理NF ∥平面ECD ， 又MF ∩NF ＝F ，所以平面NMF ∥平面ECD ．（2）设AB 的中点为H ，连接FH ，则FH ⊥AB ．因为平面ABF ⊥平面ABCD ， 平面ABF ∩平面ABCD ＝AB ， FH ⊂平面ABF ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ，所以E 到平面ABCD 的距离为FH =2√3， 所以V E−ABCD =13×(4×4)×2√3=32√33． 19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 解：（1）由题意知15(90+110+x +y +150)=110，则x +y ＝200．因为x ＜y ，所以x ＜100＜y ．从这5天中任选2天，所有的结果为：（90，110），（90，x ），（90，y ），（90，150），（110，x ），（110，y ），（110，150），（x ，y ），（x ，150），（y ，150），共10种， 这2天的空气质量均为优良的结果为（90，x ），只有1种， 故所求的概率为P =110． （2）方差s 2=15×[(90−110)2+(110−110)2+(x −110)2+(y −110)2+(150−110)2] =15[2000+(x −110)2+(90−x)2]=25(x −100)2+440，因为90＜x ＜150，所以当x ＝100时，s 2的值最小，最小值为440． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ； （2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：（1）∵a−b+c c=b a+b−c，∴bc ＝b 2+c 2﹣a 2，由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12， 又0＜A ＜π，∴A =π3； （2）证明：∵b −c =√33a ， 由正弦定理得sinB −sinC =√33sinA =12，∴sinB −sin(2π3−B)=sinB −√32cosB −12sinB =12sinB −√32cosB =sin(B −π3)=12， ∵B ∈(0，2π3)， ∴B −π3∈(−π3，π3)， ∴B −π3=π6，即B =π2， 故△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？解：（1）（1）∵OO 1＝5dm ，∴PO 1＝2dm ．∴玻璃罩的容积V =13×62×2+62×5=24+180=204(dm 3)=204(L)． （2）连接A 1O 1，设PO 1＝xdm （0＜x ＜4），则O 1O =52xdm ，A 1O 1=√16−x 2dm ，A 1B 1=√2√16−x 2dm ， ∴正四棱柱的侧面积S =4⋅52x ⋅√2√16−x 2=10√2√(16−x 2)x 2．∵S ≤10√2×x 2+16−x 22=80√2，当且仅当x =√16−x 2，即x =2√2时，取等号．∴当PO 1=2√2dm 时，正四棱柱侧面积最大，最大为80√2dm 2．22．（12分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A 餐厅评分的频率分布直方图，以及B 餐厅评分的频数分布表如下： B 餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A 餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．解：（1）学生对A餐厅的评分在[30，50）的频率为（0.02+0.02）×10＝0.4，即学生对A餐厅的满意度指数为2的频率为0.4，所以对A餐厅的满意度指数为2的人数为200×0.4＝80；（2）设“对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低”为事件M，记“对A餐厅的满意度指数为1”为事件A1，“对A餐厅的满意度指数为2”为事件A2，“对B餐厅的满意度指数为2”为事件B2，“对B餐厅的满意度指数为3”为事件B3，则P（A1）＝（0.003+0.005+0.012）×10＝0.2，P（A2）＝0.4，P(B2)=30+80200=0.55，P(B3)=70200=0.35，所以P（M）＝P（A1B2+A1B3+A2B3）＝P（A1）P（B2）+P（A1）P（B3）+P（A2）P（B3）＝0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35＝0.32．。
河南省天一大联考2023—2024学年高中毕业班阶段性测试(五)数学(含答案)
焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数 学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x x =∈≤N ，{}30B x x x =-=，则（ ） A ．A B ÜB ．B A ÜC ．A B =D ．AB =∅2．已知复数z 满足i 56i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．5B ．5-C ．5iD ．5i -3．若圆22:(2)2a C x y a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭与x 轴相切，则a =（ ）A ．1BC ．2D ．44．“5c o s 25s i n 210αα++=”是“1tan 2α=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知ABC △所在平面内一点D 满足12DA DB DC ++=0，则ABC △的面积是ABD △的面积的（ ） A ．5倍B ．4倍C ．3倍D ．2倍6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ） A ．48B ．32C ．24D ．167．已知函数()2()e 1xf x x λ=-+有两个极值点p ，q ，若2q p =，则(0)f =（ ） A ．ln 212-B ．21ln 2-C ．1ln 2-D ．11ln 2-8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且与一条渐近线平行的直线与C 的右支及另一条渐近线分别交于B ，D 两点，若FB BD =，则C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y x =±D ．y =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()2sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ） A ．12π-为()f x 的一个周期 B ．()f x 的图象关于直线2x π=对称 C ．()f x π+为偶函数D ．()f x 在[2,3]ππ上单调递增10．已知正三棱台111ABC A B C -中，111A B C △的面积为ABC △的面积为12AA =，棱11B C 的中点为M ，则（ ）A ．该三棱台的侧面积为30BC ．AM ⊥平面11BCC BD ．二面角1A AB C --的余弦值为1311．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A ，B ，C 三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A ，B ，C 的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A ，B ，C 时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是（ ） A ．该项目达标的概率为0.68B ．若甲不负责工序C ，则该项目达标的概率为0.54C ．若该项目达标，则甲负责工序A 的概率为1534D ．若该项目未达标，则甲负责工序A 的概率为5812．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线1:2l x =-，直线:(0)l y kx m k '=+≠与抛物线C 交于M ，N 两点，P 为线段MN 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．若2km =-，则以MN 为直径的圆与l 相交 B ．若2m k =-，则(OM ON O ⊥为坐标原点）C ．过点M ，N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，若1l ，2l 交于点A ，则AP l ⊥D ．若||1MN =，则点P 到直线l 的距离大于等于58三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的底面半径为1_________． 14．已知数列{}n a 中，11a =，且()1110n n a a +++=，则{}n a 的前12项和为_________． 15．已知正实数m ，n 满足(1)()(1)(1)m m n n n -+=+-，则m n +的最大值为_________．16．若函数1e()(2)e x f x x x xλ-=+-在(0,)+∞上没有零点，则实数λ的取值范围为_________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=． （I ）证明：2222a b c +=；（II ）若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．18．（12分）如图所示，在三棱锥S ABC -中，22ABSA SC ===，AC BC ==SB =（I ）求证：平面SAC ⊥平面ABC ； （II ）若15DS BS =，求直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值． 19．（12分）已知数列{}n a 中，12a =，1232n n n a a +=+⋅． （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）若()22(1)(31)n n a n b n n n-=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（12分）为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了(2)n n ≥次试验，假设小王每次试验成功的概率为(01)p p <<，且每次试验相互独立． （I ）若小王某天进行了4次试验，且13p =，求小王这一天试验成功次数X 的分布列以及期望；（II ）若恰好成功2次后停止试验，12p =，以Y 表示停止试验时试验的总次数，求2()ni P Y i ==∑．（结果用含有n 的式子表示） 21．（12分） （I ）求函数1()ex f x x -=-的极值；（II ）若(0,1]a ∈，证明：当0x >时，(1)e 1ln x ax x a --+≥+．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过C 的上顶点与右顶点且与圆2240:5x y +=相切．（I ）求C 的方程．（II ）过C 上一点()00,A x y 作圆O 的两条切线1l ，2l （均不与坐标轴垂直），1l ，2l 与C 的另一个交点分别为()11,M x y ，()22,N x y ．证明：（i ）直线AM ，AN 的斜率之积为定值； （ii ）120x x +=．焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案A命题意图本题考查集合的表示、集合的运算．解析依题意，{}01{0,1}A x x =∈≤≤=N ，{}30{1,0,1}B x x x =-==-，所以A B Þ． 2．答案B命题意图本题考查复数的基本运算． 解析56i65i iz +==-，虚部为5-． 3．答案D命题意图本题考查圆的方程与性质．解析因为圆C 与x 轴相切，所以24a a =且0a >，解得4a =． 4．答案B命题意图本题考查三角恒等变换、充要条件的判定．解析225cos25sin 2103cos2sin 5sin cos 0αααααα++=⇔-+=，显然cos 0α≠，则22tan 5tan 30αα--=，解得1tan 2α=-或tan 3α=．5．答案A命题意图本题考查平面向量的线性运算．解析设AB 的中点为M ，因为2()CD DA DB =+，所以4CD DM =，所以点D 是线段CM 的五等分点，所以ABC △的面积是ABD △的面积的5倍． 6．答案C命题意图本题考查排列组合．解析1与4相邻，共有22A 2=种排法，两个2之间插入1个数，共有12A 2=种排法，再把组合好的数全排列，共有33A 6=种排法，则总共有22624⨯⨯=种密码． 7．答案D命题意图本题考查导数的运算、指数的运算．解析依题意，()e 2xf x x λ'=-，则e 20,e 20,p q p q λλ⎧-=⎨-=⎩即2e 2,e 4,p p p p λλ⎧=⎨=⎩显然λ，0p ≠，故e 2p =，则l n2p =，代入e 2pp λ=中，解得1ln 2λ=，则1(0)1ln 2f =-． 8．答案C命题意图本题考查双曲线的方程与性质．解析易知C 的渐近线方程为b y x a =±，不妨设直线:()b BD y x c a =-，联立方程得(),,b y xc ab y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2c x =，2bc y a =-，则,22c bc D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．而FB BD =，故3,44c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22221x y a b -=中，得2222911616c c a a -=，则222221c b a a==+，故所求C 的渐近线方程为y x =±． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案AB命题意图本题考查三角函数的图象与性质． 解析依题意，()f x 的最小正周期2613T ππ==，则12π-为()f x 的一个周期，故A 正确；(2)2f π=，故B正确；()2sin 36x f x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，不是偶函数，故C 错误；()f x 在[2,3]ππ上单调递减，故D 错误． 10．答案BCD命题意图本题考查三棱台的结构特征．解析对于A ，根据条件可得114A B =，6AB =，所以等腰梯形11ABB A==3=A 错误；对于B ，设ABC △的中心为O ，111A B C △的中心为1O ，可知11OAAO是直角梯形，OA =11O A =1OO ==B 正确； 对于C ，分别延长棱1AA ，1BB ，1CC 交于点P ，易知PBC △为等边三角形，四面体PABC 为正四面体，M 恰好为PBC △的中心，所以AM ⊥平面11BCC B ，故C 正确；对于D ，二面角1A AB C --即正四面体相邻侧面的夹角，由正四面体的性质可知其余弦值为13，故D 正确． 11．答案ACD命题意图本题考查条件概率、全概率公式．解析记甲负责工序A 为事件1M ，B 为事件2M ，甲负责工序C 为事件3M ，该项目达标为事件N ．对于A ，该项目达标的概率为()()()()()()112233()P N P M P N M P M P N M P M P N M =++0.50.60.30.80.20.70.68=⨯+⨯+⨯=，故A 正确；对于B ，()()()()()()()()112212120.50.60.30.8270.50.340P M P N M P M P N M P N M M P M P M +⨯+⨯+===++，故B 错误；对于C ，()()()1110.50.615()0.6834P M P N M P M N P N ⨯===，故C 正确； 对于D ，()()()1110.5(10.6)5()10.688P M P N M P M N P N ⨯-===-，故D 正确．12．答案BCD命题意图本题考查抛物线的方程、抛物线的性质、直线与抛物线的综合性问题． 解析由题可得抛物线2:2C y x =，设()11,M x y ，()22,N x y ．对于A ，直线1:2l y k x ⎛⎫'=-⎪⎝⎭过C 的焦点，则以MN 为直径的圆与l 相切，故A 错误； 对于B ，直线:2l y kx k '=-，将22y x =代入，得2240ky y k --=，则124y y =-，故221212124y y OM ON x x y y ⋅=+=+120y y =，故B 正确；对于C ，抛物线C 在点M 处的切线方程为11y y x x =+，抛物线C 在点N 处的切线方程为22y y x x =+，联立两式，解得122A P y y y y +==，故AP l ⊥，故C 正确； 对于D ，由抛物线的对称性进行临界分析，可知当MN x ⊥轴时，点P 到直线l 的距离最小，此时18M N x x ==，点P 到直线l 的距离为58，故D 正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案23π命题意图本题考查空间几何体的结构特征．解析设圆锥（如图所示）的高为h ．因为2113h π⋅⋅⋅=，所以h =母线3SA ==．将圆锥沿SA 展开所得扇形的弧长为2π，则扇形的圆心角为23π．14．答案6-命题意图本题考查数列的周期性、分组求和． 解析依题意1n a ≠-，故111n n a a +=-+，所以212a =-，32a =-，41a =，…，故{}n a 的前12项和为112462⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭． 15．答案2命题意图本题考查基本不等式及其应用．解析依题意得22()1m n m n mn +-++=，则22211()()()()()4m nm n m n m n m n m n =+-+-≥+-+-+=23()()4m n m n +-+，当且仅当m n =时等号成立，则23()4()40m n m n +-+-≤，解得02m n <+≤，则m n +的最大值为2． 16．答案4e e,32⎛⎫- ⎪⎝⎭命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析令()0f x =，显然2x ≠，则2e (2)x x x λ=-，令2e ()(2)xg x x x =-，(0,2)(2,)x ∈+∞，则32(1)(4)e ()(2)xx x g x x x --'=-，令()0g x '=，得14x =，21x =，易知函数()g x 在(0,1)和(4,)+∞上单调递增，在(1,2)和(2,4)上单调递减，且极大值为(1)e g =-，极小值为4e (4)32g =．由图象可知，当4e e 32λ-<<时，直线y λ=与曲线()y g x =没有交点，即()f x 在(0,)+∞上没有零点．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查正余弦定理及其应用、三角恒等变换． 解析（I ）由正弦定理及条件可得4cos 0b aC a b+-=， 由余弦定理可得22222402b a a b c ab ab ++--⋅=，化简得2222a b c +=． （II ）由2sin cos sin sin B B A C =得22222a c b b ac ac+-=，化简得2223a c b +=，又2222a b c +=，故b =，所以a =，故222cos 2b c a A bc +-== 18．命题意图本题考查空间面面的位置关系，向量法求空间角． 解析（I ）因为22216AC BC AB +==，所以BC AC ⊥， 同理可得222BC SC SB +=，故BC SC ⊥，因为SC AC C =，所以BC ⊥平面SAC ，因为BC ⊂平面ABC ，故平面SAC ⊥平面ABC ．（II ）以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，A，B，S，555D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(2,0,SA =，(2,BS =-，45CD ⎛= ⎝⎭． 设(,,)n x y z =为平面SAB 的法向量，则0,0,SA n BS n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，得(1,1,1)n =．设直线CD 与平面SAB 所成的角为θ，则||22sin |cos ,|||||62CD n CD n CD n θ⋅=〈〉===⋅⨯所以直线CD 与平面SAB ． 19．命题意图本题考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法求和． 解析（I ）由1232n n n a a +=+⋅，可得113222n n n n a a ++-=， 故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，32为公差的等差数列， 故3311(1)222n n a n n -=+-⋅=，则1(31)2n n a n -=-⋅． （II ）由（I ）可知()12(31)2(1)(1)222(1)1(31)n n n n n n n n b n n n n n n n+-⋅⋅--⋅===-++-+， 故12231122222222122311n n n n T n n n ++=-+-++-=-++． 20．命题意图本题考查二项分布、相互独立事件的概率、互斥事件的概率．解析（I ）依题意，1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4216(0)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3142132(1)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2224218(2)C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，334218(3)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 411(4)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为：故()433E X =⨯=． （II ）方法一：设A =“停止试验时试验总次数不大于n ”，则2()(2)(3)(4)()()ni P Y i P Y P Y P Y P Y n P A ====+=+=++==∑，A =“n 次试验中，成功了0次或1次”，“n 次试验中，成功了0次”的概率111122nnP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； “n 次试验中，成功了1次”的概率11211C 1222n n nn P -⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭． 所以12221()12n nni n P Y i P P =--==--=∑． 方法二：事件“Y n =”表示前1n -次试验只成功了1次，且第n 次试验成功， 故1111()C 22n n n n P Y n --==⨯=， 所以23421231()2222nni n P Y i =-==++++∑， 利用错位相减法可得该式的结果为212n nn --．21．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质． 解析（I ）依题意，1()e1x f x -'=-，令()0f x '=，解得1x =，所以当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 即()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 而(1)0f =，故()f x 的极小值为0，无极大值． （II ）由（I ）可知，当0x >时，1e x x -≥，则1ln x x -≥．令()(1)e ln 1(0)x ah x x x a x -=--+->，则1()ex ah x x x-'=-，易知()h x '在(0,)+∞上单调递增． 因为(0,1]a ∈，所以1211e 2022a h -⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1(1)e 10ah -'=-≥，故01,12x ⎛⎤∃∈ ⎥⎝⎦，使得()00h x '=，即0001ex ax x -=①． 当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 故[]()()0000min ()1e ln 1x ah x h x x x a -==--+-②．由①可得000201e,x ax a x x -=-=-， 代入②，得()()()()()000000000022200012121113ln 1311x x x x x h x x x x x x x x --+--=--+≥---+=， 而01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故()00h x ≥，故()0h x ≥，即原命题得证． 22．命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．解析（I ）设椭圆的半焦距为(0)c c >．依题意，离心率c e a ===2a b =，c =①．直线:1x y l a b +=，即0bx ay ab +-==联立①②，解得2a =，1b =，故C 的方程为2214x y +=．（II ）（i ）设过点A 且与圆O 相切的直线的方程为()00(0)y y k x x k -=-≠，=()22200005410540x k x y k y --+-=， 记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，则2020122200514454154544x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，为定值． （ii ）由（i ）的过程可知直线()010:AM y y k x x -=-，联立方程得()01022,440,y y k x x x y ⎧-=-⎨+-=⎩则有()()()22211010010148440k x k y k x x y k x ++-+--=，故()11001021814k k x y x x k -+=+． 直线()020:AN y y k x x -=-，同理可得()22002022814k k x y x x k -+=+． 故()()1100220010202212881414k k x y k k x y x x x x k k --+++=+++ ()001100112211118844141144x y k k x y k k k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 21010010221188281414k x k y x k y k k -+=+++201002128214x k x x k +==+，则120x x +=．。
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届河南省名校联考数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析
2024届河南省名校联考数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x yb b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．512- D ．322．直线10ax by ++=（a ，0b >）过点(-1,-1),则14a b+的最小值为 ( ) A ．9B ．1C ．4D ．103．已知向量()1,2a =-， ()1,b λ=，若a b ⊥，则+2a b 与a 的夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 4．设集合{}(4)3A x x x =->，{}B x x a =≥，若AB A =，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．3a ≤D ．3a <5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间上单调递增 B ．在区间上单调递增 C ．在区间上单调递增 D ．在区间上单调递增6．在ABC ∆中，已知30,8,3A a b ===ABC S ∆等于( ) A ．323B ．16C．323或163D ．323或167．若角α的终边过点P(-3，-4)，则cos(π-2α)的值为()A．2425-B．725-C．725D．24258．已知,a b是非零向量，若32a b=，且()a b b+⊥，则a与b的夹角为（）A．30B．60C．120D．1509．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是A．B．C．D．10．不等式2230x x-->的解集为A．(3,1)-B．-∞-+∞(,3)(1,)C．(1,3)-D．(,1)(3,)-∞-+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河南省天一大联考2020学年高一数学下学期段考试题(三)(含解析)
2020学年河南省天一大联考高一（下）段考数学试卷（三）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量=（2，4），=（﹣2，2n），=（m，2），m，n∈R，则m+n的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判断△ABC的形状3．已知向量=（k，cos），向量=（sin，tan），若，则实数k的值为（）A．B．﹣1 C．D．14．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．B．C． D．5．给出下面四个函数：①y=cos|2x|；②y=|sinx|；③；④．其中最小正周期为π的有（）A．①②③B．②③④C．②③ D．①④6．若是两个单位向量，且（2+）⊥（﹣2+3），则|+2|=（）A．B．6 C．D．27．函数g（x）=sin（2x+）在[0，]上取得最大值时的x的值为（）A．B．C．D．8．若，则函数f（x）的奇偶性为（）A．偶函数B．奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数9．已知，则=（）A．B．C．1 D．或10．函数f（x）=sin（2x+φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．﹣C．D．11．已知△ABC为锐角三角形，则下列判断正确的是（）A．tan（sinA）＜tan（cosB） B．tan（sinA）＞tan（cosB）C．sin（tanA）＜cos（tanB） D．sin（tanA）＞cos（tanB）12．已知sinθ+cosθ=sinθcosθ，则角θ所在的区间可能是（）A．（，）B．（，） C．（﹣，﹣）D．（π，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若角α的终边与的终边关于y轴对称，则角α的取值集合为．14．函数在（0，π）上的零点是．15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则tanφ=．16．如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设=， =，若，则= ．（用向量a和b表示）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知扇形的中心角为2，扇形所在圆的半径为r，若扇形的面积值与周长值的差为f（r），求f（r）的最小值及对应r的值．18．已知点A，B，C是单位圆O上圆周的三等分点，设=， =， =（ I）求证：（）⊥（ II）若|t++|=1，求实数t的值．19．已知角α的终边上一点（x，3），且tanα=﹣2．（ I）求x的值；（ II）若tanθ=2，求的值．20．已知ω＞0，平面向量=（2sinωx，），=（2cos（ωx+），1），函数f（x）=的最小正周期是π．（ I）求f（x）的解析式和对称轴方程；（ II）求f（x）在上的值域．21．已知．（ I）求sin2α的值；（ II）求的值．22．设函数（ϖ＞0）图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为．（1）求ϖ的值及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b+c=2，A=，求f（a）的值域．2020学年河南省天一大联考高一（下）段考数学试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量=（2，4），=（﹣2，2n），=（m，2），m，n∈R，则m+n的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】98：向量的加法及其几何意义；99：向量的减法及其几何意义．【分析】利用=即可得出．【解答】解：∵ =，∴（m，2）=（2，4）+（﹣2，2n），可得：m=2﹣2=0，2=4+2n，解得n=﹣1．∴m+n=﹣1．故选：B．2．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判断△ABC的形状【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】利用倍角公式得到tanA===﹣4＜0．由此推知三角形ABC 的形状．【解答】解：∵，∴tanA===﹣4＜0．又角A是△ABC的一个内角，∴90°＜A＜180°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．3．已知向量=（k，cos），向量=（sin，tan），若，则实数k的值为（）A．B．﹣1 C．D．1【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（k，cos），向量=（sin，tan），，∴=，解得实数k=．故选：C．4．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．B．C． D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，则∠ABC=π﹣θ，由向量、的坐标计算可得cosθ的值，结合θ的范围可得θ的值，又由∠ABC=π﹣θ，计算可得答案．【解答】解：设向量与的夹角为θ，则∠ABC=π﹣θ，向量=（，），则||=1， =（，），则||=1，且=×+×=，则cosθ==，又由0≤θ≤π，则θ=，则∠ABC=π﹣=；故选：D．5．给出下面四个函数：①y=cos|2x|；②y=|sinx|；③；④．其中最小正周期为π的有（）A．①②③B．②③④C．②③ D．①④【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的周期性求得每个函数的周期，从而得出结论．【解答】解：由于：①y=cos|2x|的最小正周期为=π；②y=|sinx|的最小正周期为=π；③的最小正周期为=π；④的最小正周期为，故选：A．6．若是两个单位向量，且（2+）⊥（﹣2+3），则|+2|=（）A．B．6 C．D．2【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】与（2+）⊥（﹣2+3），可得（2+）•（﹣2+3）=0．可得： =．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵（2+）⊥（﹣2+3），∴（2+）•（﹣2+3）=﹣4+3+4=﹣1+4=0．可得： =．则|+2|===．故选：A．7．函数g（x）=sin（2x+）在[0，]上取得最大值时的x的值为（）A．B．C．D．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用正弦函数的定义域和值域，求得数g（x）在[0，]上取得最大值时的x的值．【解答】解：在[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，故当2x+=，即x=时，函数g（x）=sin（2x+）在[0，]上取得最大值为1，故选：B．8．若，则函数f（x）的奇偶性为（）A．偶函数B．奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；3K：函数奇偶性的判断．【分析】利用诱导公式化简后，根据奇偶性的定义判断即可．【解答】解： ==cosx．∵f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=f（x）．∴函数f（x）是偶函数．故选：A．9．已知，则=（）A．B．C．1 D．或【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣，cosα=﹣，则=﹣sinα+2•=1﹣sinα﹣cosα=1++=，故选：B．10．函数f（x）=sin（2x+φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．﹣C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，故选：D．11．已知△ABC为锐角三角形，则下列判断正确的是（）A．tan（sinA）＜tan（cosB） B．tan（sinA）＞tan（cosB）C．sin（tanA）＜cos（tanB） D．sin（tanA）＞cos（tanB）【考点】GA：三角函数线．【分析】根据锐角△ABC中A+B＞，得出＞A＞﹣B＞0，利用正弦函数和正切函数的单调性，即可得出正确的结论．【解答】解：锐角△ABC中，A+B＞，∴＞A＞﹣B＞0，又正弦函数在（0，）上单调递增，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，又正切函数在（0，1）上单调递增，∴tan（sinA）＞tan（cosB）．故选：B．12．已知sinθ+cosθ=sinθcosθ，则角θ所在的区间可能是（）A．（，）B．（，） C．（﹣，﹣）D．（π，）【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】设sinθ+cosθ=t，由题意可得t=1﹣，故有sinθ和cosθ异号，排除A、D，再逐一检验B、C选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵sinθ+cosθ=sinθcosθ，设sinθ+cosθ=t，则1+2sinθcosθ=t2，∴t=，求得t=1+（不合题意，舍去），或 t=1﹣，即sinθ+cosθ=1﹣=sinθcosθ，故sinθ和cosθ异号，故排除A、D．在（，）上，sinθ∈（，1），cosθ∈（﹣，0），sinθ+cosθ＞0，不满足条件，故排除B．（﹣，﹣）上，sinθ∈（﹣1，﹣），cosθ∈（ 0，），sinθ+cosθ＜0，满足条件，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若角α的终边与的终边关于y轴对称，则角α的取值集合为．【考点】G3：象限角、轴线角．【分析】由角α的终边与的终边关于y轴对称，可知α=，k∈Z，从而可得答案．【解答】解：∵角α的终边与的终边关于y轴对称，∴，∴角α的取值集合为：．故答案为：．14．函数在（0，π）上的零点是或．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=0得tan（2x+）=1，根据正弦函数的性质可得2x+=+kπ，从而可解得f（x）的零点．【解答】解：令f（x）=0得tan（2x+）=1，∴2x+=+kπ，解得x=+，k∈Z．当k=0时，x=，当k=1时，x=．故答案为：或．15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则tanφ=．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，计算tanφ的值．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知，A=1， =﹣=，∴T=π，∴ω==2；根据五点法画图知，ω•+φ=2×+φ=π，解得φ=，∴tanφ=tan=．故答案为：．16．如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设=， =，若，则= ．（用向量a和b表示）【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由题意可得四边形ABCD是梯形，且AB=2CD，由△AOB∽△COD 求得 AO=AC，可得=，再利用两个向量的加减法的几何意义，用和表示．【解答】解：由题意可得四边形ABCD是梯形，且AB=2CD．由△AOB∽△COD 可得==，∴AO=AC，即=．∴==（+）=（+）=，故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知扇形的中心角为2，扇形所在圆的半径为r，若扇形的面积值与周长值的差为f（r），求f（r）的最小值及对应r的值．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】由题意写出扇形的周长与面积，得出函数f（r），由二次函数的图象求得f（r）的最小值．【解答】解：由题意可得扇形的周长为C=2r+2r=4r，扇形的面积为，则f（r）=S﹣C=r2﹣4r，r＞0，由二次函数的图象知：当r=2时，f（r）取得最小值为22﹣4×2=﹣4．18．已知点A，B，C是单位圆O上圆周的三等分点，设=， =， =（ I）求证：（）⊥（ II）若|t++|=1，求实数t的值．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（ I）由题意可得===1，且，，两两夹角均为120°，计算（）•=0，即可证明（）⊥．（ II）由|t++|=1，可得=+++2t+2=1，又===﹣，代入即可得出．【解答】解：（ I）由题意可得===1，且，，两两夹角均为120°，所以：（）•=1×1×cos120°﹣1×1×cos120°=0，所以（）⊥．（ II）因为|t++|=1，所以=+++2t+2=1，因为===﹣，则t2+1+1﹣t﹣t﹣1=1，则t2﹣2t=0，解得t=0或2．19．已知角α的终边上一点（x，3），且tanα=﹣2．（ I）求x的值；（ II）若tanθ=2，求的值．【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GI：三角函数的化简求值．【分析】（ I）利用任意角的三角函数的定义，求得x的值．（ II）利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（ I）由三角函数的定义，得，解得．（ II）=+=+=0．20．已知ω＞0，平面向量=（2sinωx，），=（2cos（ωx+），1），函数f（x）=的最小正周期是π．（ I）求f（x）的解析式和对称轴方程；（ II）求f（x）在上的值域．【考点】9R：平面向量数量积的运算；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（ I）根据平面向量数量积的运算和三角恒等变换，化简函数f（x）为正弦型函数，利用f（x）的最小正周期求出ω的值，写出函数f（x）的解析式，求出f（x）的对称轴方程；（ II）根据x的范围求出sin（2x+）的取值范围，即可得出f（x）的值域．【解答】解：（ I）向量=（2sinωx，），=（2cos（ωx+），1），则函数f（x）==4sinωxcos（ωx+）+=4sinωx（cosωx﹣sinωx）+=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+），由ω＞0得f（x）的最小正周期是T==π，解得ω=1，所以函数f（x）=2sin（2x+）；由2x+=+kπ，k∈Z，解得f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z；（ II）∵，∴2x∈[﹣，]，∴，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴f（x）在上的值域是[﹣1，2]．21．已知．（ I）求sin2α的值；（ II）求的值．【考点】GS：二倍角的正弦；GI：三角函数的化简求值．【分析】（ I）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求sin2α的值．（ II）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求求得的值．【解答】解：（I），则，又∵，∴，∴．所以．（ II）由（ I）知，又，所以，所以．22．设函数（ϖ＞0）图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为．（1）求ϖ的值及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b+c=2，A=，求f（a）的值域．【考点】HS：余弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）先化简求得解析式f（x）=sin（2），由周期公式可求得ω的值，由正弦函数的图象和性质可求得单调递增区间；（2）由余弦定理可求得a2=4﹣3bc，由2=b+c≥2可求得1≤a≤2，由f（a）=sin （πa+），从而求得f（a）的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（2），…由条件，T=2=⇒ω=．∴…令…解得单调递增区间： k∈Z…（2）由余弦定理：∵∴a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc…又2=b+c≥2⇒0＜bc≤1，故1≤a2＜4，又2=b+c＞a，故1≤a≤2 …由f（a）=sin（πa+），，所以f（a）的值域为[﹣，]．…。
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末检测模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β C ．若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥nD ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β2．过点(3,2)且与直线450x y --=垂直的直线方程是（ ） A ．450x y +-= B ．450x y -+= C ．4100x y --=D ．4140x y +-=3．下列结论： ①22a b a b >⇒>； ②11a b a b>⇒<； ③a b >，c d a d b c >⇒->-； ④a b >，c d ac bd >⇒>， 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．44．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．35．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于 （ ）A B C ．5-D ． 6．在集合{6x x ≤且}x N ∈中任取一个元素，所取元素x 恰好满足方程()11x-=的概率是（ ）A ．37B ．47C ．12D ．257．设向量(1,1),(2,)a b m ==,若()//2a a b +,则实数m 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ）A ．3B ．72C ．154D ．不确定9．己知x 与y 之间的几组数据如下表： x 0 1 3 4 y1469则y 与x 的线性回归直线必过点（ ） A ．B ．C ．D ．10．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||3MN ≥则k 的取值范围是（ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河南省大联考2021-2022学年高一下学期阶段性测试(三)数学试题(含答案解析)
河南省大联考2021-2022学年高一下学期阶段性测试（三）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}1,3,A m =，{B =，B A ⊆，则m =（ ） A ．9B ．0或1C ．0或9D ．0或1或92．函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（ ）A ．π3x =- B ．π12x = C ．π4x =D ．π3x =3．已知向量()2,3a =，()1,4b =，(),4c k =，若()2a b c -∥，则实数k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．64．ABC 的三边长之比为4:5:6，则最小角和最大角之和的余弦值为（ ）A ．18-B ．18C ．916-D ．9165．对于平面向量a ，b ，c ，下列叙述正确的是（ ） A ．若a b =，则a b =± B ．若a 与b 是单位向量，则1a b ⋅≤ C ．若a b ∥，则a b a b ⋅=D ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥6．如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB CD =，BC AB AD λμ=+，则λμ-=（ ）A ．32-B ．32C ．54-D ．547．在ABC 中，若25a =，30b =，42A =︒，则此三角形解的情况为（ ） A ．无解B ．有两解C ．有一解D ．有无数解8．已知角θ以坐标原点为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，终边经过点()21,2a a -+，且3cos 5θ=，则实数a 的值是（ ） A ．2B ．112C ．211-D ．12-9．已知2log 3a =，1lg 3b =，0.42c =，则下列结论正确的是（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>10．已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()1g x f x =-，则关于x 的不等式()()3270g x g x -+->的解集为（ ）A ．()4,+∞B ．(),4-∞C ．()4,5D ．(11．若函数()()sin f x x ϕ=+π02ϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有3个零点，则ϕ的取值范围是（ ） A ．π5π0,312⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭B ．π5π0,312⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭C ．πππ0,,632⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．πππ0,,632⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12．在ABC 中，30B ∠=︒，45C ∠≤︒，点D 在边BC 上，满足2ADC C ∠=∠且BD AC =，则C ∠=（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°二、填空题13．已知函数()lg 1f x ，则()2f =______.14．已知tan 2α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.15．如图所示，OA 是一座垂直与地面的信号塔，O 点在地面上，某人（身高不计）在地面的C 处测得信号塔顶A 在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进20m 到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高OA 为______m .16．在Rt ABC 中，CA CB ⊥，1AB =，点D 为边AB 的中点，则()()BA BC CA CD ⋅⋅的最大值是______. 三、解答题17．已知向量a ，b 满足1b =，1a b ⋅=-，()52a b a b ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭.(1)求a ；(2)求a 与2a b -的夹角.18．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.19．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos cos c B a C b C =-. (1)求C ；(2)若2sin B C =，求sin A .20．已知函数()24x m xf x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22xf x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin 0a B b A -=. (1)求B ；(2)若角B 的平分线交AC 于点D ，2BD =，且2AD CD =，求b .22．如图所示，在ABC 中，D 是边BC 的中点，E 是线段AD 的中点.过点E 的直线与边AB ，AC 分别交于点P ，Q .设PB AP λ=，QC AQ μ=，λ，0μ≥.(1)化简：2EA EB EC ++； (2)求证：λμ+为定值；(3)设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，求12S S 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据B A ⊆3=m =，根据集合元素的互异性求得答案. 【详解】由B A ⊆3=m =，3=时，9m = ，符合题意；m =时，0m =或1m =，但1m = 时，{}1,1B =不合题意， 故m 的值为0或9, 故选：C 2．D 【解析】 【分析】由余弦函数的对称轴为,2x k ππ=+k ∈Z ，应用整体代入法求得对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z ，即可判断各项的对称轴方程是否正确.【详解】由于正弦函数的性质，有2,62x k πππ-=+k ∈Z ，即,23k x k ππ=+∈Z ， 当0k =时，3x π=，故选：D 3．D 【解析】 【分析】先求出2a b -的坐标，然后由()2a b c -∥，列方程求解即可 【详解】因为()2,3a =，()1,4b =， 所以22(2,3)(1,4)(3,2)a b -=-=，因为(),4c k =， ()2a b c -∥， 所以432k =，解得6k =， 故选：D 4．C 【解析】 【分析】利用余弦定理求出中间角的余弦值，再利用诱导公式可求得结果 【详解】由题意不妨设4,5,6a m b m c m ===，则22222222163625279cos 22464816a cb m m m m B ac m m m +-+-====⋅⋅， 所以9cos()cos()cos 16A CB B π+=-=-=-，所以最小角和最大角之和的余弦值为916-， 故选：C 5．B 【解析】 【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，利用数量积公式计算判断， 【详解】对于A ，若(1,0),(0,1)a b ==，此1a b ==，而a b ⊥，所以A 错误，对于B ，因为a 与b 是单位向量，,[0,]a b π∈，所以cos ,cos ,1a b a b a b a b ⋅==≤，所以B 正确，对于C ，当a b ∥，若,a b π=，则a b a b ⋅=-，所以C 错误，对于D ，当0b =时，满足a b ∥，b c ∥，而不一定有a c ∥，所以D 错误， 故选：B 6．A 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则可求解. 【详解】BC BD DC BA AD DC =+=++又2AB CD =，12DC AB ∴=1122BC AB AD AB AB AD ∴=-++=-+ 1,12λμ∴=-=，32λμ∴-=-故选：A 7．B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得6sin sin 5B A =，从而判断sin B 的范围，再根据边角关系，可得答案.【详解】 由正弦定理可得，,sin sin a b AB=sin 6sin sin sin 5b A B B A a ∴=⇒=， sin 30sin sin 45A <<，1sin 2A <<36sin 55A <<3sin 15B ∴<<<， ,b a >得B A >，B 可能为锐角，也可能为钝角，∴B 有两个值，故选:B. 8．A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由题意有23cos 1120405a a θ==⇒--=，解得2a =或211a =-， 由于3cos 05θ=>，则210a ->，所以2a =满足题意. 故选：A 9．C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可 【详解】因为2log y x =在(0,)+∞4<<，所以22log log log 4，所以322222log 2log 3log 2<<， 所以23log 322<<，即322a <<， 31log 10lg 3b ==，因为3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且109>， 所以33log 10log 92>=，即2b >， 因为2x y =在R 上为增函数，且100.42<<， 所以100.42222 1.5<<，即1 1.5c <<， 所以b a c >>， 故选：C 10．A 【解析】 【分析】由已知得出()()34g x f x -=-，()()2728g x f x -=-，将所求不等式变形为()()284f x f x ->-，结合函数()f x 的单调性可得出关于x 的不等式，即可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得()()34g x f x -=-，()()2728g x f x -=-， 由()()3270g x g x -+->可得()()4280f x f x -+->，因为奇函数()f x 在R 上单调递增，则()()()2844f x f x f x ->--=-， 所以，284x x ->-，解得4x >. 故选：A. 11．C 【解析】 【分析】令()0f x =，得到sin()x ϕ+=sin y x =5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点及()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有3个零点，列不等式组，求出ϕ的取值范围. 【详解】令()()sin f x x ϕ=+，得()sin x ϕ+=. 当5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π,2x ϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦.又02πϕ≤≤，所以55322ππϕπ≤+≤.因为sin y x =[]0,3π上的零点为3π，23π，73π，83π，且()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有3个零点，所以03758323πϕπππϕ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩或328532ππϕππϕ⎧<≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得06πϕ≤<或32ππϕ<≤解得：πππ0,,632⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故选：C 12．B 【解析】 【分析】由题中角的关系及正弦定理可求解. 【详解】在ABC 中，如图所示：其中30B ∠=︒，2ADC C ∠=∠，45C ∠≤︒，且BD AC =. 记BD AC b ==， 在ABC 中，由正弦定理得2sin sin sin 30AB bAB b C C ︒=⇒=， 又BD AC b ==，在ABD △中，30230BAD ADC C ︒︒∠=∠-=∠-， 由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即2sin sin(2)sin(230)b C b C C π︒=--，化简得cos sin(230)C C ︒=-，因为45C ∠≤︒且sin()cos 2πθθ-=或sin()cos 2πθθ+=，因此+2302C C π︒-=或2302C C π︒--=，解得40C ︒=或120C ︒=（舍）.故选：B 13．11 【解析】 【分析】根据函数的解析式，可令100x = ，即求得答案. 【详解】令100x =，则()lg100111f =， 即()211f =， 故答案为：11 14．35【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式，利用同角三角函数的基本关系转化为正切求解.【详解】tan 2α=22222222cos sin 1tan 143sin 2cos 2cos sin =2cos sin 1tan 1+45παααααααααα---⎛⎫∴+==-===- ⎪++⎝⎭， 故答案为：3515．20 【解析】 【分析】若设塔高m OA x =，则可得m,m OC x OD =，而OCD 中，120,20m OCD CD ∠=︒=，所以利用余弦定理可求得结果【详解】 设塔高m OA x =，由题意得在直角AOC △中，45ACO ∠=︒，所以m OA OC x ==,由题意得在直角AOD △中，30ADO ∠=︒，所以m OD =， 由题意得在OCD 中，120,20m OCD CD ∠=︒=， 所以由余弦定理得2222cos OD OC CD OC CD OCD =+-⋅∠，所以22134002202x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得2102000--=x x ，解得20x 或10x =-（舍去），所以塔高OA 为20m ， 故答案为：2016．18【解析】 【分析】由条件可得0CA CB ⋅=,()12CD CA CB =+，结合向量的加法将()()BA BC CA CD ⋅⋅化为2212CA BC ⨯=，结合均值不等式可得答案. 【详解】在Rt ABC 中，CA CB ⊥，1AB =,设,CA b CB a ==则221a b +=，0CA CB ⋅=,()12CD CA CB =+ ()()()()12BA BC CA CD BC CA CA CB BC CA ⎡⎤⎡+⎤⋅⋅=+⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()2212C BC CA A C CB B CA ⎛⎫=+⋅⋅ ⎪⎝+⎭ 222221112228a b a b ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭=，当且仅当a b ==. 故答案为：1817．(1)2； (2)6π.【解析】【分析】（1）由向量垂直的条件，以及向量数量积运算可求得答案；（2）由向量的数量积运算求得223a b -=，再由向量的夹角公式可求得答案.(1)解：因为()52a b a b ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭，所以()502a b a b ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，即2235022a a b b +⋅-=， 又1b =，1a b ⋅=-，所以()2351022a +⨯--=，即24a =，解得2a =； (2)解：由（1）得2a =，所以()()2222224+4241+4112a ba ab b =-⨯-⨯-==-⋅，所以223a b -=，又()()22222126a a b a a b ⋅-⋅=-=-⨯-=，设a 与2a b -的夹角为θ，0θπ≤≤，则()26cos 2223a ab a a b θ===⨯⋅⋅--， 所以a 与2a b -的夹角为6π. 18．(1)()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (2)[1,2]-【解析】【分析】（1）根据图象先确定2A =，再由周期确定ω，最后根据点的坐标确定π6ϕ=-，即可求得函数解析式；（2）根据ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定2ππ2,632x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合余弦函数的性质，求得答案. (1)由图象可知2A = ,(),41264T T ππππ=--== ， 故22πωπ== ， 将12x π= 代入解析式中得：2cos()26πϕ+= ， 故2,6k k Z πϕπ+=∈ ,而π2ϕ<，所以π6ϕ=-， 故()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； (2)当ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2ππ2,632x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则1cos 2[,1]62x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 故()2cos 2[1,2]6f x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的值域为[1,2]- .19．(1)3π【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化为角，结合两角和正弦公式，求得答案;（2）由2sin B C =求出sin B ，判断B 的范围，确定其余弦值，再利用两角和的正弦公式求得答案.(1)由cos 2cos cos c B a C b C =-可得:sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-,sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=,故sin()sin 2sin cos C B A A C +==,而(0,),sin 0A A π∈≠ ,所以1cos 2C =， 由(0,)C π∈,故3C π=; (2)2sin B C =,即3sin 4B C ==，又sin sin B C <，故C 为锐角，则cos C =，故sin sin()sin()3A B C B π=+=+3142=⨯=. 20．(1)(,1)-∞(2)(1,)+∞【解析】【分析】（1）利用换元法，解一元二次不等式，可得答案;（2）换元，将不等式()22x f x m >-⋅变为一元二次不等式在给定区间上恒成立的问题，列出相应的不等式组，求得答案.(1)当0m =时，()2f x >-即242x m x +->-，即22(2)20x x -<-，令2,0x t t => ，则220t t --<，解得02t << ，故022,1x x <<< ，所以关于x 的不等式()2f x >-的解集为(,1)-∞ ；(2)对[]0,1x ∀∈，不等式()22x f x m >-⋅恒成立，即2422m x x x m +>-⋅-恒成立，令2,[1,2]x t t =∈ ，则2(2)20m t m t -++<恒成立，需满足1(2)1204(2)220m m m m ⎧-+⨯+<⎨-+⨯+<⎩ ，即23m m +> ， 而函数3x y x =+ 是单调递增函数，且1x = 时，3y = ，故由23m m +>可知：1m ，即求实数m 的取值范围为(1,)+∞ .21．(1)3π (2)3【解析】【分析】(1)利用正弦定理,边化角,结合二倍角公式,求得答案;(2)利用角平分线性质定理求得2c a =,再根据ABC ABD BCD S S S =+△△△a c =+, 即可求出,a c ,利用余弦定理求得b .(1)由sin 2sin 0a B b A -=可得: sin sin 2sin sin 0A B B A -=,因为(0,),sin 0A A π∈≠ ,故sin 2sin 0,2sin cos sin 0B B B B B -=-=, 又(0,),sin 0B B π∈≠,故12cos 10,cos 2B B -==, 所以3B π=;(2) 由角平分线性质定理可得2AB AD BC CD == ,即2c a = , 又ABC ABD BCD S S S =+△△△ ,即111sin 2sin 2sin 22222B B ac B c a =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ,a c =+,联立2c a =,解得a c ==,故22212cos 312292b ac ac B =+-=+-= , 故3b = .22．(1)(2)证明见解析； (3)11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用向量的运算法则求解；（2）设,AB a AC b ==，利用向量的运算法则可知111()414PE PA AE a b λ=+=-++， 111()414EQ EA AQ a b μ=+=-+-+，然后利用P E Q 、、三点共线可知2λμ+=. （3）利用三角形的面积公式可计算求得12214(1)S S λ=-+，然后根据0,2λμλμ≥=、+，可求出12S S 的取值范围. (1)解：由题意得： D 是边BC 的中点，E 是线段AD 的中点2220EA EB EC EA ED ++=+=(2)证明：设,AB a AC b == 于是11()24AE AD a b ==+ 又P PB A λ=，QC AQ μ=，λ，0μ≥(1)AC AQ QC AQ μ=+=+ ，()1AB AP PB AP λ=+=+11,11AP a AQ b λμ∴==++ 根据向量的运算法则可知11111()()14414PE PA AE a a b a b λλ=+=-++=-+++ 11111()()41414EQ EA AQ a b b a b μμ=+=-++=-+-++ P E Q 、、三点共线11111111414=111411416414PE EQ λωλμμ-⎛⎫⎛⎫+∴⇒=⇒-⋅-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭--+ 整理可得：111111()(2)1411114λμλμλμ+=⋅⇒++=++++，即2λμ+= 故λμ+为定值，定值为2.(3)设BAC θ∠=11,,211AP a AQ b λμλμ==+=++ 11111sin sin 2211APQ S SAP AQ a b θθλμ∴==⋅=⋅⋅⋅++ 211sin sin 22ABC S S AB AC a b θθ==⋅=⋅⋅ 1222111sin 11111211111(1)(3)234(1)sin 2a b S S a b θλμλμλλλλλθ⋅⋅⋅⋅++∴==⋅===+++--++--⋅⋅⋅ 0,+2λμλμ≥=、02λ∴≤≤()122111,4341S S λ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦--。
2023-2024学年河南省联考高一下册阶段性测试(三)数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省联考高一下册阶段性测试（三）数学试题一、单选题1．PA BC BA +-=（）A ．PBB ．CPC ．ACD ．PC【正确答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得PA BC BA PA AC PC +-=+=.故选：D.2．已知向量a ，b 的夹角为π3，3a b ⋅=，2b = ，则a = （）A ．2B ．3C ．6D ．12【正确答案】B【分析】直接利用向量的数量积运算即可求解．【详解】依题意，π1cos 2332a b a b a a ⋅=⋅⋅=⋅⋅==.故选：B.3．已知向量a 与b 的方向相反，()2,3b =-r ，a =，则a = （）A ．()6,4-B ．()4,6-C ．()4,6-D ．()6,4-【正确答案】C【分析】根据共线定理，可得两向量的数乘关系，设出向量坐标，建立方程，可得答案.【详解】∵a 与b的方向相反，∴a b λ= （0λ<）．设(),a x y = ，则()(),2,3x y λ=-，于是2,3.x y λλ=-⎧⎨=⎩由a = ，得2252x y +=，即222491352λλλ+==，∴24λ=，∴2λ=-，∴()4,6a =-．故选：C.4．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，12b =，60B =︒，则A =（）A ．30°B ．45°C ．150°D ．30°或150°【正确答案】A【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可.【详解】因为a =12b =，60B =︒，所以由正弦定理可得sin 12sin 122a B A b===，所以30A =︒或150°．因为b a >，所以B A >，所以30A =︒．故选：A5．已知在ABC 中，5AB =，4BC =，4cos 5B =，则cos A =（）A ．35B ．34C ．2D ．25【正确答案】A【分析】直接利用余弦定理可解得3AC =，由此可知ABC 为直角三角形，所以3cos 5AC A AB ==.【详解】由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，解得3AC =，所以222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，则在Rt ABC △中，3cos 5AC A AB ==．故选：A.6．如图，在ABC 中，π3ABC ∠=，E 为AB 边的中点，F 为BC 边上的点，且34BF BC = ，2AB =，4BC =，则AC EF ⋅=（）A ．6B ．9C ．10D ．19【正确答案】B【分析】运用向量运算法则将AC EF ⋅ 转化为51224AC EF BA BC ⋅-⋅+=，再代入向量数量积公式πcos 3BA BC BA BC ⋅⋅⋅= 即可求解.【详解】依题意，()()()3142AC EF BC BA BF BE BC BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭223131512242424BC BA BC BA BC BA BA BC =-⋅-⋅+=-⋅+5π5114cos 142494342BA BC =-⋅⋅=-⨯⨯⨯= ．故选：B.7．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，且线段EF 交AC 于点P ．若AB a=，AD b = ，则AP = （）A ．3344a b+ B ．331313a b+C ．51142a b+ D ．19416a b+ 【正确答案】B【分析】AP AC λ= ，将AP 用,AE AF表示，再根据E ，F ，P 三点共线，求得λ，从而可的答案.【详解】∵E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，∴13AE AD = ，34AF AB = ，设()433AP AC AB AD AF AE λλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，∵E ，F ，P 三点共线，∴4313λλ+=，解得313λ=，于是()()333131313AP AB AD AB AD a b λ=+=+=+ ．故选：B.8．已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()2cos cos cos A B C B +=，a =6bc =，则bc +=（）A ．9B ．8C ．5D ．4【正确答案】C【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得A ，利用余弦定理求得b c +.【详解】∵()2cos cos cos A B C B +=，πA B C ++=，∴()2cos cos 2cos πA B A B B +--，()2cos cos 2cos A B A B B -+=，∴2sin sin A B B =．∵ABC 为锐角三角形，∴sin 0B ≠，∴sin A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3A =．由余弦定理可得222π2cos 3a b c bc =+-，∴2276b c =+-，∴2213b c +=，则5b c +===．故选：C二、多选题9．已知向量()()2,1,2,4a b ==-，则（）A ．aB ．1//()4a ab + C ．a b⊥ D ．a b a b+=+ 【正确答案】AC【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，结合向量的平行坐标表示和数量积的坐标运算公式，逐项判定，即可求解.【详解】由()2,1a =r，可得a = A 正确；由()()2,1,2,4a b ==- ，可得13(,2)42a b += ，因为322102⨯-⨯≠，所以a 与14a b + 不共线，所以B 错误；由2(2)140a b ⋅=⨯-+⨯=r r ，所以a b ⊥，故C 正确；由()()2,1,2,4a b ==- ，可得241(2)0⨯-⨯-≠，可得a 与b的方向不相同，所以a b a b +≠+ ，故D 错误．故选：AC.10．下列说法中正确的有（）A ．若AB与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上B ．若向量()1,3a = ，()1,3a b -=--，则a b ∥C ．若平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 满足320OA OB OC -+=，则2AB BC=D ．若非零向量a ，b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角是π3【正确答案】BC【分析】对于A ，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B ，利用向量共线定理，可得其正误；对于C ，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D ，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.【详解】AB与CD 是共线向量，也可能是AB CD ，故A 错误；设(),b x y = ，∵()1,3a = ，()1,3a b -=--，∴11,33,x y -=-⎧⎨-=-⎩解得2,6,x y =⎧⎨=⎩∴()2,6b = ，又∵16320⨯-⨯=，∴a b∥，故B 正确；由已知得()()220OA OB OC OB BA BC -+-=+= ，∴2AB BC =，∴2AB BC= ，故C 正确；由()22a a b =- 整理可得22b a b =⋅，设a 与a b + 的夹角是θ，则()2221322cos 2a b a a a b a a b θ+⋅+====⋅+ ，∴a 与a b + 的夹角是π6，故D 错误．故选：BC.11．已知向量a ，b 的夹角为π6，3a = ，1b = ，t R ∈，则（）A ．b 在a 方向上的投影向量的模为2B ．a在a方向上的投影向量的模为2C ．ta b + 的最小值为14D ．ta b + 取得最小值时，()a ta b⊥+【正确答案】AD【分析】AB 选项，利用投影的定义求解判断；CD 选项，利用数量积的运算律求解判断.【详解】因为b 在a方向上的投影向量的模为πcos 62b = ，故A 正确；因为a在a 方向上的投影向量的模为()22π331cos 9632a a a a a a +⨯⨯⋅⋅===，故B错误；2222222129219319264ta b t a ta b b t t t t ⎛+=+⋅+=+⨯+=+=++ ⎝⎭，当t =ta b + 取得最小值12，此时()2990262a ta b ta a b t ⎛⋅+=+⋅=+=⨯-+= ⎝⎭，所以()a tab ⊥+，故C 错误，D 正确．故选：AD12．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，则下列说法正确的是（）A ．π6C =B ．若ABCc 的最小值为2C ．若1a =，5π12B =，则ABC的面积为38D ．若3b =，c =ABC 有且仅有一个【正确答案】BC【分析】由正、余弦定理及已知得π3C =，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解．【详解】∵()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，∴由正弦定理可得22()a a b c b -=-，即222a b c ab +-=，对于A 选项，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，∵0πC <<，∴π3C =，故A 错误；对于B选项，由题可知1sin 24ab C ab =4ab =，由余弦定理可得222222cos 24c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-==，∴2c ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故c 的最小值为2，故B 正确；对于C 选项，由题可知π4A =，由正弦定理得sin sin a c A C =，∴sin sin 2a C c A ==∴ABC的面积为115πππsin 1221246ac B =⨯=+=故C 正确；对于D 选项，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即2793a a =+-，2320a a -+=，解得1a =或2a =，故D 错误．故选：BC ．三、填空题13．已知向量()1,3a =- ，(),0b x =，()2,1c = ，若()c a b ⊥+ ，则实数x 的值为______．【正确答案】12-##0.5-【分析】利用平面向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】因为向量()1,3a =- ，(),0b x = ，则()1,3a b x +=-，又()2,1c = ，且()c a b ⊥+ ，因此2(1)30x -+=，解得12x =-，所以实数x 的值为12-.故12-14．已知14AB BC = ，且BA mAC = ，则实数m =______．【正确答案】15-##-0.2【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：∵()1144BA AB BC BA AC =-=-=-+，∴15BA AC m AC =-= ，∴15m =-．故15-15．如图所示，向量OA 与OB 的夹角为5π6，向量OP 与OB 的夹角为π6，2OA OP == ，4OB = ，若OP mOA nOB =+ ，（m ，n R ∈），则m n +=______．【正确答案】312+【分析】建立直角坐标系，利用共线向量坐标表达公式进行求解即可.【详解】以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 且向上的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0B ．设()11,P x y ，()22,A x y ，于是1π2cos 36x ==，1π2sin 16y ==，且25π2cos36x ==-，25π2sin 16y ==．由OP mOA nOB =+得()()()3,13,14,0m n =-+，∴334,1,m n m ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩解得1,3,2m n =⎧⎪⎨=⎪⎩∴312m n +=+．故312+16．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4A =，22222b a c =+，则sin C =______．25【分析】综合运用正、余弦定理求解即可．【详解】由22222b a c =+得2222c a b =-，而π4A =，由余弦定理可得222222cos 2a b c bc A b c bc =+-=+，即22222c b b c -=+-，整理可得b =，所以222222952828c c a b c c =-=-=，于是a c =由正弦定理可得sinsin a A c C ==πsin sin 45C =，．四、解答题17．已知向量()1,2a =r，()1,b t = （R t ∈）．(1)若()()a b a b +-，求t 的值；(2)若1t =，a与a mb + 的夹角为锐角，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2t =(2)()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示即可求t 值；（2）根据平面向量夹角的定义及其坐标表示即可求m 的取值范围．【详解】（1）由题可知(1,2)(1,)(2,2)a b t t +=+=+ ，(1,2)(1,)(0,2)a b t t -=-=-∵()()a b a b +- ，∴2(2)0t -=，∴2t =．（2）若1t =，则()1,1b = ，(1,2)a mb m m +=++ ，∵a与a mb + 的夹角为锐角，∴()0a a mb ⋅+> ，且a与a mb + 不共线，∴12(2)02(1)2m m m m+++>⎧⎨+≠+⎩，解得53m >-且0m ≠，∴m 的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭．18．已知1e ，2e 为单位向量，且1e ，2e 的夹角为120°，向量122a e e =+ ，21b e e =-．(1)求a b ⋅ ；(2)求a 与b的夹角．【正确答案】(1)32-(2)23π【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算律求解；（2）先求得a b ，，再利用夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅求解.【详解】（1）解：∵1e ，2e 为单位向量，且1e ，2e的夹角为120°，∴12111cos1202e e ⋅=⨯⨯︒=- ．∴()()1221122113222112122a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=--++=-．（2）设a 与b的夹角为θ．∵a===b ==== ∴31cos 22a b a bθ⋅==-=-⋅ ．又∵[]0,θπ∈，∴23πθ=，∴a 与b 的夹角为23π．19．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin B B =．(1)求B ；(2)若a c >，且a c +=，证明：2a c =．【正确答案】(1)π3B =(2)证明见解析【分析】（1）由正弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合已知进行运算证明即可.【详解】（1）因为sin 2sin B B =，即2sin cos sin B B B =，所以1cos 2B =．因为()0,πB ∈，所以π3B =；（2）由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，所以222122a c b ac +-=，即222ac a c b =+-．①因为a c +=，所以b =将②代入①，得()2222123ac a c a ac c =+-++，整理得()()220a c a c --=．因为a c >，所以2a c =．20．已知ABC 的外心为点O ，且()CO CA CB λ=+ （R λ∈），P 为边AB 的中点．(1)求证：CP AB ⊥；(2)若514λ=，求ACB ∠的余弦值．【正确答案】(1)证明见及解析(2)25【分析】（1）连接OB ，OC ，OP ，CP ，由ABC 的外心为点O ，P 为边AB 的中点，得到OP AB ⊥，再由()CO CA CB λ=+ ，得到C ，O ，P 三点共线即可；（2）由（1）知CP AB ⊥，P 为边AB 的中点，得到CA CB =，结合OB OC =，得到2POB PCB ACB ∠=∠=∠．再由cos OP OP POB OB OC∠==，514λ=求解.【详解】（1）如图，连接OB ，OC ，OP ，CP ．∵ABC 的外心为点O ，P 为边AB 的中点，∴OP AB ⊥．∵2CA CB CP += ，∴()2CO CA CB CP λλ=+= ，∴C ，O ，P 三点共线，∴CP AB ⊥．（2）由（1）知CP AB ⊥．又P 为边AB 的中点，∴CA CB =，∴PCA PCB ∠=∠．∵OB OC =，∴PCB OBC ∠=∠，∴2POB PCB ACB ∠=∠=∠．∵cos OP OP POB OB OC∠==，514λ=，∴()5577CO CP CO OP ==+ ，∴2577CO OP = ，即25CO OP = ，∴25OP OC =，即2cos 5ACB ∠=．21．已知E 为ABC 内一点，F 为AC 边的中点．(1)若30EA EB EC ++= ，求证：52BE BF = ；(2)若230EA EB EC ++= ，EBC ，ABC 的面积分别为S '，S ，求证：6S S ='．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用平面向量的加减数乘运算的几何意义，结合三角形中几何性质，可得答案；（2）利用三角形线段的比例关系，结合三角形面积的等积变换，可得答案.【详解】（1）∵30EA EB EC ++= ，∴3EA EC EB +=- ．又F 为AC 边的中点，∴233EF EB BE =-= ．∵BE EF BF += ，∴32BE BE BF += ，∴52BE BF = ．（2）如图，设BC 边的中点为P ，连接EF ，EP ．∵230EA EB EC ++= ，∴()2EA EC EB EC +=-+ ，∴24EF EP =- ，即2EF EP =- ，∴F ，E ，P 三点共线．设点E ，F 到BC 的距离分别为1d ，2d ，则12:1:3d d =．设点A 到BC 的距离为3d ．∵F 是AC 的中点，∴23:1:2d d =，∴13:1:6d d =，∴13::1:6S S d d =='，即6S S ='．22．如图，已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin sin 3A CB A BC +-=-⋅．(1)求B ；(2)若2223a c c b ++=，152BA BC ⋅=- ，点D 在边AC 上，且BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，求线段BD 的长．【正确答案】(1)2π3B =(2)158【分析】（1）综合运用正、余弦定理即可求解；（2）由（1）及已知可求得5c =，7b =，又由BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，知BD 为ABC ∠的平分线，由角平分线定理得358AD =，再在ABC 和ABD △中应用正弦定理求解即可．【详解】（1）∵222sin sin sin sin sin sin 3A B C A C B -+-=，∴由正弦定理可222sin a c b B =+-，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac+-=，∴2cos s 3ac B ac inB =-即tan B =，∵()0,πB ∈，∴2π3B =．（2）由（1）知2π3ABC ∠=，∴2222cos ac ABC ac a c b ∠=-=+-又2223a c c b ++=，∴2222(3)ac a c a c c -=+-++，解得3a =．∵152BA BC ⋅=- ，∴15cos 22ac ac ABC ∠=-=-，可得5c =，由2223a c c b ++=可得292515b ++=212559b ++=，解得7b =．∵BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，∴BD 为ABC ∠的平分线，由角平分线的性质知AD c b AD a =-，即573AD AD =-，解得358AD =，在ABC中，由正弦定理可得sin sin a b A ABC ==∠，∴sin A =在ABD △中，π3ABD ∠=，由正弦定理可得sin sin BD AD A ABD =∠358142=158BD =．。