初中数学 解析二元一次方程组中的创新题 专题辅导

初中数学 解析二元一次方程组中的创新题

随着课改的进一步推进，近年来中考试题中出现了许多新型的考题．这类题贴近生活，设计新颖．解答时要求同学们具有较强的阅读理解能力，应变能力以及创新能力，能更好地考查同学们的综合素质．这类题已成为中考的一大亮点．现就与二元一次方程组有关的新型题解析如下，供同学们学习参考．

一、表格信息型

例1 下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价（收盘价：股票每天交易结束时的

某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费，税费等），该人账户上星期二比星期一获利200元，星期三比星期二获利1300元．请问该人星期五比星期四从账户上看，是赚了还是赔了，赚或赔多少？

分析：由表格信息可知，星期五比星期四，甲股票每股涨12.75－12.45=0.30元，乙股票每股涨13.15－13.4=－0.25元（即跌0.25元）．显然，若想知道星期五比星期四从账户上看是赚了还是赔了，就应知道：由题设（星期二比星期一获利200元，星期三比星期二获利1300元）及表格：星期二比星期一甲股票每股涨（12.5－12）元，乙股票每股涨（13.3－13.5）元；星期三比星期二甲、乙两种股票都呈涨势．由此可知应间接设元，通过方程组先求出该人持有甲、乙股票各多少股．

解：设该人持有甲股票x 股，乙股票y 股．由表格及题设，得方程组 ?

?

?=-+-=-+-.1300y )3.139.13(x )5.129.12(,

200y )5.133.13(x )125.12( 解这个方程组，得 ?

??==.1500y ,

1000x

即该人持有甲股票1000股，乙股票1500股．

而（12.75－12.45）×1000+（13.15－13.4）×1500=300－375=－75（元）． 故可知该人星期五比星期四从账户上看是赔了，赔了75元．

评注：本题取材于股票交易市场，具有极强的时代信息，解本题的关键之一是明确应先求该人持有甲、乙股票数；二是读懂表格信息，弄懂每天的收盘价，了解涨跌情况，再结合题意间接设元从而使问题顺利获解．

例2 （江苏省泰州市）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙

现租用运输公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付30元运费计算，问：货主应付运费多少元？

分析：本题要求所付运费数、需求出货物吨数，而由题意就应求出每辆甲种货车和乙种货车每次运的吨数，故不能直接设未知数，应间接设未知数．这就要读懂图表，正确由题中图表获取数字信息是解答本题的关键．由图表可知①：2×甲货车每辆每次运货量+3×乙货车每辆每次运货量=15.5；②：5×甲货车每辆每次运货量+6×乙货车每辆每次运货量=35．故可列方程组求解．

解：设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x 吨、y 吨．根据题意列方程组，得 ?

?

?=+=+.35y 6x 5,

5.15y 3x 2 解这个方程组，得 ?

??==.5.2y ,

4x

则货主所运货物有

3×4+5×2.5=24.5（吨）．

故应付运费24.5×30=735（元）． 答：货主应付运费735元．

评注：在列方程（组）解决实际问题时，我们是把问题中的待求量设出未知数，有的可直接设（问什么设什么），可有时直接设未知数使得问题中的相等关系很难找到或使问题变得复杂而无从入手，这就需要在理解好题意的基础上灵活设元，如本例就是很好的证明．

二、信息残缺型

例3 （南通市）某校九年（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐

表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．

若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组

（A ）?

??=+=+66y 3x 227y x

（B ）?

??=+=+100y 3x 227y x

（C ）?

??=+=+66y 2x 327

y x

（D ）?

??=+=+100y 2x 327y x

解析：由已知可得 .

667461100y 3x 2,

277640y x =?-?-=+=--=+

故选（A ）．

三、密码型

例4 （泰安市）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文x ，y ，z 对应密文2x+3y ，

3x+4y ，3z ．例如：明文1，2，3对应密文8，11，9．当接收方收到密文12，17，27时，则解密得到的明文为 ．

解析：加密与解密是一个互逆的过程，正确求解此题（解密）的关键应准确理解加密规则中的对应关系．本题要求的“解密得到的明文”的过程考查了解一次方程组的知识．

由明文和密文的对应关系（即加密规则），我们可以得到下面的方程组：

??

?

??==+=+.27z 3,17y 4x 3,12y 3x 2 解得??

?

??===.9z ,2y ,3x

所以解密得到的明文为3，2，9．

四、学科内整合型

例5 如图1，点O 在直线AB 上，OC 为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠l 、∠2的度数分别为x 、y ，那么下列可以求出两角度数的方程组是（ ）

（A ）???-==+10y x 180y x （B ）?

??-==+10y 3x 180y x

（C ）???+==+10

y 3x 180

y x （D ）???-==10y 3x 180y 3

析解：本题是代数与几何的一个小综合题，此题中隐含着互为邻补角的两角之和等于180°这一重要条件，据此及题设可知应选（B ）．

评注：用方程（组）思想解几何问题是常用的手段之一，用此法可使问题的解决显得简捷、明快、容易求解．

五、看错题型

例6 七年级某班小马虎同学做有理数加法运算时，第一次把其中一个加数的小数点看错了一位，算得结果为841.9；他再算了一次，这次却把另一个加数的小数点看错了一位，结果算得－372.2．如果他不看错，正确的答案可能是多少呢？

分析：解决此题应抓住“小数点被看错了一位”这一关键信息，其实际含义就是某个

数被扩大了10倍或缩小到原来的

10

1

（即某个数的小数点向右或向左移动了一位）．而此题中有两个加数，故应分情况进行讨论．

解：设两个有理数分别为x 和y ，根据题意应有下列四种情况： ①?

??-=+=+;2.372y x 10,9.841y 10x

②???????-=+=+;2.372y x 10

1,9.841y 101x

③?????

-=+=+;

2.372y x 10,9.841y 101x ④?????-=+=+.2.372y x 10

1,9.841y 10x

由①（两个方程相加）得

11（x+y ）=841.9－372.2=469.7， 所以x+y=42.7．

由②（两个方程相加）得 7.4692.3729.841)y x (10

11

=-=+， 所以x+y=427．

方程组③、④无解．

因此，正确的答案可能是42.7或427．

评注：解此类问题，首先要把实际问题转化为数学问题，再根据题意进行分类讨论．同时应根据问题特点采用灵活的解法，如本题就不必解出x 、y 的具体值，只需根据问题用整体思想直接求出x 与y 的和即可．