数值分析典型习题教学内容
特别声明：考试时需带计算器作辅助计算1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差*r e ≤-31104⨯. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则(1)()nn kk k xl x =-=∑(1).n x -3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，13-.4. 利用Simpson 公式求⎰212dx x =7.35. 设求积公式10()d (),(1)nk k k f x x A f x n ≈≥∑⎰=是Gauss 型求积公式，则3nk k k A x ==∑1.46. 数值微分公式(2)(2)()i i i f x h f x h f x h+≈--'的截断误差为2().O h7. 设1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 的谱半径()A ρ=1，A 的条件数1cond ()A =4.8. 用牛顿下山法求解方程303x x -=根的迭代公式是 2133(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是1()().n n f x f x +<9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ<B10. 应用幂法迭代公式(+1)()k k A x =x 当k 充分大时有p q ≈()(1)()，k+2k+k x x x ++0 则A 的按模最大的特征值 1,2λ=11. 设数据12,x x 的绝对误差分别为0.005和0.002，则12x x -的绝对误差约为（ D ）A. 0.005B. 0.002C. 0.003D. 0.00712. 对于多项式2012()n n n P x a a x a x a x =++++L 在某点0x 处函数值的秦九韶算法基于如下公式：0121()(((())))n n n P x a x a x a x x a a x -=+++++L L算法计算的始点为n a ，而这一算法的优点在于（ C ）A. 精度高B. 计算量小C. 精度高，且计算量小D. 既收敛又稳定 13. 给定数据由它们所确定的Lagrange 多项式与Newton 多项式，以下说法正确的是（ C ） A.从数值算法上讲，它们是不同的，不过, 一般而言, 后者计算结果精度会更高B.无论从数值算法还是从数学意义上讲，它们都是相同的, 只是后者计算更灵活 C.从数值算法讲它们不同，但数学意义上讲它们却是相同的 D.无论从数值算法还是从数学意义上讲，它们都是不同的 14. 利用求解方程0)(=x f 根的牛顿迭代法公式为)()(1n n n n x f x f x x '-=+。
利用这一方法进行求解时，迭代所用初始点的选取很关键，以下最好的说法是（ B ） A.对于单重根是局部二阶收敛的，初始点应选取较接近于根的值，但不一定收敛 B.它是局部二阶收敛的，初始点选用较接近于根的值即收敛 C.对于单重根是二阶收敛的，初始值0x 任意选取 D.对于多重根是超线性收敛的，且初始点0x 任意选取15．求解方程0)(=x f 时，可将方程变形而得到迭代格式)(1n n x x ϕ=+，当迭代格式)(1n n x x ϕ=+中函数)(x ϕ满足（ D ）条件时，这一迭代格式必收敛。
A.1)(<x ϕ B.1)(<'x ϕ C. 1)(<x ϕ D.()1x φ'< 16. 求矩阵特征值与特征向量的幂法与反幂法，分别可以用于求矩阵的（ A ） A. 按模最大特征值与最小特征值，及其对应特征向量 B. 所有特征值及其对应特征向量 C. 按模最大特征值及其对应特征向量 D. 按模最小特征值及其对应特征向量17．求解微分方程初值问题数值解的改进的欧拉折线法，其局部截断误差的阶是 （ B ）A. 1B. 2C.3D. 418. 已知n 对观测数据n k y x k k ,...,2,1),,(=, 这n 个点的拟合直线01y a x a =+，10,a a 是使（ D ）最小的解。
A.∑=--nk k kx a a y110 B.()∑=--nk k kx a a y110C.)(2110knk kx a a y--∑= D.2101)(a x a yk nk k--∑=19. 若复化梯形公式计算定积分dx e x ⎰-1,要求截断误差的绝对值不超过4105.0-⨯，则≥n （ A ）A. 41B. 42C. 43D. 40 20. 已知函数)(x f y =的数据表251369xy - ，则)(x f y =的拉格朗日插值基函数=)(2x l （ A ） A.)15)(25(5)1)(2(----x x x B.)10)(50)(20()1)(5)(2(------x x x C. )12)(52(2)1)(5(----x x x D.)51)(21(1)5)(2(--⋅--x x x21. 求解初值问题00')(),,(y x y y x f y ==的近似解的梯形公式是=+1n y （ A ）A. )],(),([211++++n n n n n y x f y x f h yB. )],(),([211++-+n n n n n y x f y x f hyC. )],(),([211+++-n n n n n y x f y x f h yD. )],(),([21n n n n n y x f y x f hy ++-22. 下面（ D ）不是数值计算应注意的问题A. 注意简化计算步骤，减少运算次数B. 要避免相近两数相减C. 要防止大数吃掉小数D. 要尽量消灭误差23. 对矩阵特征值满足12n λλλ>≥⋯⋯≥情况，幂法收敛速度由比值12λλ=r 确定，r 越小收敛速度（ A ）A. 越快B. 越慢C. 不变D. 不确定24. 令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
解：由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---，余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R ， 故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ25. 已知函数()y f x =的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x ，并计算1()2P =的值近似值。
（注：要求给出差商表）解：差商表由牛顿插值公式：323332348()()21,33141181()()2()()12232232p x N x x x x p ==-++≈=-++=26.给出计算x =, 并证明2x =。
解：由题意可得出其迭代格式为1k x += 02k x ≤≤且()[0,2],()[0,2]x x x ϕϕ=∈∈当时121()(2)2x x ϕ-'=+=当02x ≤≤时，()1,x ϕ'=< 所以迭代格式是收敛的.由1lim k k x x *+→∞=可得，x *= 22()2,()20.x x x x ****=+--= 解得：121, 2.x x **=-= 其中110x *=-<舍去。
可得 2.x *= 即解得 2.x =27. 应用紧凑格式的Doolitte 分解（即LU 分解）法求解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7173530103421101002014321x x x x 。
解：由紧凑格式的Doolitte 分解（略）得：1011210101L ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及1020101212U ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，于是求解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7173510101211014321y y y y 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====46354321y y y y ，求解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛463521************x x x x 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====22114321x x x x 。
28.设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=++3103220241225321321321x x x x x x x x x ，(1) 考察用雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性； (2) 写出雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法解此方程组的迭代格式。
解： (1) 由系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1032241125为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯-赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。
[精确解为2,3,4321==-=x x x ] (2) 使用雅可比迭代法：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=--+103551201035121041515203201210141510322011201014151)()()(1)(1)1(k k k k x x bD x U L D x ，使用高斯-赛德尔迭代法：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=----+1021522512812010201110105152032012101403401041201005100020012010140340104120100513201210320410050002001201032041005)()()()(1)(11)(1)1(k k k k k x x x bL D Ux L D x29. 写出求解线性代数方程组 123121322531272x x x x x x x -+=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩ 的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。
(整理)数值分析课件典型例题与习题2.ppt
0.4
1
0.8
x2
2
0.4 0.8 1 x3 3
(B) 1.0928203 1
20/51
例6.设A对称正定矩阵, 证明 x xT Ax是向量范数。 A
思路 : 对称正定矩阵的Cholesky分解A LLT。
x 2 xT Ax=xT LLT x= LT x 2
A
2
x+y LT ( x y) LT x LT y x y
➢中止准则
| x(k ) x* | L | x(k) x(k1) | 1 L
|| X (k ) X * || || B || || X (k) X (k1) || 1 || B ||
➢加速(松弛思想)
Aitken加速方法
超松弛加速方法
8/51
现代迭代方法 (Top 10 Algorithms)
Hilbert矩阵条件数: for i=1:10 c(i)=cond(hilb(i),2);%%vander(1:i) end,plot(1:10,c')
13/51
范数的威力和魅力: 范数(全局)
问题的好与坏
算法的快与慢
|| x || (|| A || || A1 ||) || b ||
|| x ||
7/51
➢迭代格式构造
x (x)
➢收敛条件(局部vs全局)
x*为( x)的不动点,( x) 对任意的f 和任意的初始
在x*的某邻域N (x* )连续
且 | ( x* ) | 1, 则迭代法
对任意x(0) N (x* )收敛
向量X(0)迭代法收敛的充
分必要条件是(B) 1和
充分条件是||B|| 1
A
2
数值分析课后习题全解(可编辑优质文档)
数值分析课后习题全解（可编辑优质文档）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第5章 数值分析课后习题全解第5章：解线性方程组的直接方法1． 证明：由消元公式及A 的对称性得(2)211,,2,3,..........,1111111a a j i a a a a a a i j na a ijij j j iji =-=-== 故2A对称2．证明：（1）因A 对称正定，故,)0,1,2,......,e i ni >=aii=(Ae i其中i e =（0,…,0,1,0,...,0）T 为第i 个单位向量.(2)由A 的对称性及消元公式得111211122222n n nn n n u u u d d u u d d u d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)ij a =ija -1111i j a a a =ji a -111j a a 1i a =(2)ji a ，I,j=2,…,n故2A 也对称.又 11120Ta a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1L A 1TAL其中 1L =211111111.....1n a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦显然1L 非其异,从而对任意的x ≠0,有1TL X ≠0,(x,1L A 1TL X)=(1TL x, A 1TL X)>0 (由A 的正定性) 故11T L AL 正定.又11T L AL =11200a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而11a >0,故2A 正定. 3.证明 由矩阵乘法简单运算即得证.4.解 设有分解4232125316⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=123431231αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1231111βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由公式11,1111,2,3,,,2,3,.1i i i i ii i b a c b i n c i n αβαβααβ-==⎧⎪=+=⎨⎪==-⎩其中i b ,i a ,i c 分别是系数矩阵的主对角线元素及下边和上边的次对角线元 素.故有112233414,272,27397,7138513αβαβαβα⎧==⎪⎪⎪=-=-⎪⎨⎪==⎪⎪⎪=⎩从而有4232125316⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=4732392785113⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦11221771131⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故 1y =64=32, 2y =12372y --=573y =21022039137y -=, 4y =3518513y +=故4x =1,3x =420711313x -=,2x =352177x +=,1x =231122x -= 5. 解 (1)设U 为上三角阵1112112222n n nn n u u u x u u x u x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因nn n u x =n d ，故n x =nnnd u . 因 10001010302171101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎦⎣ii i u x +1n ij j j i u x =+∑=id ,故i x =1ni ij ij i iid u xu =+-∑,i=n-1,n-2,,1当U 为下三角阵时11212212n n nn u u u u u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得,1x =111d u , 1x =11i i ij jj iid u x u -=-∑,i=2,3,…,n.(2)除法次数为n,乘法次数为1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2 故总的乘法次数为n+n(n-1)/2=n(n+1)/2. (3)设U 为上三角阵,1U-=S,侧S 也是上三角阵.由11121222n n nn u u u u s u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121222n n nn s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 1ii iis u =, i=1,2,…,nij s =-1jik kjk i iiusu =+∑,j=i+1,i+2,…,n; i=n-1,n-2,…,1当U 为下三角阵时,由11212212n n nn d d d d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11212212n n nn s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 1ii iis u =,i=1,2,…,n ij s =11i ik kjk iiusu -=-∑,i=2,3,…,n;j=1,2,…,i-16. 证明 (1)因A 是对称正定阵,故存在唯一的分解A=L TL ,其中L 是具有正对 角元素的下三角阵.从而 1A -=(L TL )1-=(TL )1-L 1-=(L 1-)TL 1-(A 1-)T =11()TT L L --⎡⎤⎣⎦=11()T L L --=1A -故1A -是对称矩阵.又1L -非奇异,故对任意的 x ≠0,有1L -x ≠0,故1Tx A -X=11()T T x L L x --=11()()T L x L x -->0故1A -是对称正定矩阵,即1A -也对称正定.(2)由A 对称正盯,故A 的所有顺序主子式均不为零,从而A 有唯一的 Doolittle 分解A=L U.又U=1122nn u u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1121111222111n n u u uu u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=D 0U 其中D 为对三角阵, 0U 为单位上三角阵,于是 A=U L =D L 0U又 A=TA =TO U D TL由分解的唯一性即得T O U =L从而有 A=D L TL 又由A 的对称正定性知 1d =1D >0, i d =1ii D D ->0 (i=2,3,…,n) 故 D=12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣=12D 12D 故A=L D TL =L12D12D TL =(L 12D )(L 12D )T =LL T其中L=L 12D 为三角元为正的下三角矩阵.7. 解[A|I]=21311000310701001242001010150001⎡--⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎢⎦⎣-> 101500010138010302330011011111002⎡-⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎦⎣-> 1015010138010300319021700431101⎡-⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥---⎢⎦⎣->421410003333010110114192170010333385542500013333⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦-> 410231685178517100033641130100851785170010191538851785170001314585178517⎤--⎥⎥⎡⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎥⎥--⎦->1A -=4102316851785173364113851785171953885178517314585178517⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0.04705890.58823530.27058820.94117650.38823530.35294120.48235290.76470590.22352940.29411760.03529410.47058820.03529410.05882350.04705890.2941176--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦8． 解 设有分解2112112112112-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦= 123451111ααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123451111βββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由公式11,1111,(2,3,4,5),(2,3,4)i i i i i i i b c b i c i ααβαβααβ-==⎧⎪=+=⎨⎪==⎩其中i b ，i a ，i c 分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元 素，则有12α=， 232α=， 343α=， 454α=， 565α= 112β=-， 223β=-， 334β=-， 445β=-由12345231120410305140615y y y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得1y =12，213y =，314y =，415y =，516y = 由112213314415⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦123451213141516x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得5x =16，4x =13，3x =12，2x =23，1x =569．解 设211123131-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=121312123231323111111d l l l d l l l d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由矩阵乘法得1d =2， 2112l =-， 3112l = 252d =-，3275l =-3275d =由123141152617125y y y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦得 14y =，27y =，3695y = 由12311122245717256927155x x x ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 得 123111222247514175256927123559x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故3x =239=2.555 555 6，279x ==0.777 777 8，1x =109=1.111 111 1 10． 解 A 中2∆=0，故不能分解。
数值分析--典型例题与习题1ppt课件
x ***L *** .**L ***
从左向右看第 一个非零数 11:36
误差限不超过该 位的半个3/3单6 位
如果一个规格化浮点数
x 0.a1a2 an 10m
其绝对误差满足: | e( x) | x x 1 10mn 2
则称近似数x具有n位有效数字。
103
6/36
例2.已知近似数x有两位有效数字,试求其相对 误差限。 解：| er(x)|<5*10-2
7/36
例3.如下近似值的绝对误差限均为0.005,问各 近似值有几位有效数值 x1=1.38, x2=-0.0312, x3=0.00086。
8/36
例4.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取 63 7.937
的三位有效数字近似值应取多少项求和。
解: 由部分和 Sn
|
Sn
4
|
1 2n 1
n
(1)k1
1
k 1
2k 1
只需
1 1 103 2n 1 2
n > 1000时, Sn有三位有效数。
13/36
d[arctan( x)] 1
dx
1 x2
x1
0 1 x2 dx arctan( x) arctan(0) arctan( x)
lim
n
(
xn
)
x*
Iterate: To say or do again or again and again5/36
11:36
例1.经过四舍五入得出x1=6.1025和x2=80.100, 试问它们分别具有几位有效数字?
数值分析_期末总复习-习题课.
2 0 2
矩阵A的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
所以谱半径 A max0,1,3 3
简述题
1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则 是什么？
解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概 率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远 远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数 相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化 计算步骤，减少运算次数。
,
(
x( A) 2
0).
1. 下列各数
都是经过四舍
五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，
并给出其误差限与相对误差限。
解： 有 5 位有效数字，其误差限
，相对
误差限
有 2 位有效数字，
有 5 位有效数字，
例2 设有三个近似数 a 2.31，b 1.93，c 2.24，
它们都有三位有效数字。试计算 p=a+bc 的误差界， 并问 p 的计算结果能有几位有效数字？
n
Ln( x） f (xk) l k( x) k0
Rn(x)
f (x) Ln(x)
f (n1) ( ) (n 1)!
n1(
x),
其中lk(x)
n
j0
x xj xk xj
(k 0,1,...n)
jk
显然，如此构造的L(x) 是不超过n次多项式。当n=1时，称为线性插值。当n=2时，
称为抛物线插值。
解 pA 2.311.93 2.24 6.6332, 于是有误差界
（pA）
（a
A）
（bAc
）
A
（aA） bA （cA） cA （bA）
0.005 0.00（ 5 1.93 2.24） 0.02585
数值分析习题课
例1-3 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、 (5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)， 并计算 N4(1.5)、N5(1.5). 解：先由前五组数据列差商表 1 0 2 2 2 如果，再增加一点(6, 282), 3 12 10 4 就在上表中增加一行计算差商 4 42 30 10 2 5 116 74 22 4 0.5 0.1 6 282 166 46 8 1
结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数 字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。
1 mn x x 10 2
*
例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试 判定它们各有几位有效数字： x1* =87540，x2*=8754×10, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 ×10-2 解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数， 1 也可以通过绝对误差限来判断。 x x 10
解: 记f(x)以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为 L3(x)．由插值余项定理有
所以
例4．证明由下列插值条件 所确定的拉格朗日插值多项式 是一个二次多项式． x0 x2 x4
该例说明了什么问题?( t8) 解: 以x0，x2，x4为插值节点作f(x)的2次插值多项式p(x)，则
容易验证 因而6个点(xi, yi)，i＝0 1,…,5均在二次曲线p(x)＝x2-1 上． 换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式 为 p(x)＝x2-1.
f ( ) 1 R( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) f ( ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3! 6 1 max f ( ) max ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) x0 x x 2 6 x0 x x 2
数值分析第五版课后习题答案
数值分析第五版课后习题答案数值分析是一门应用数学的分支学科，主要研究如何利用数值方法解决实际问题。
在学习这门课程的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。
本文将对《数值分析第五版》的课后习题进行一些探讨和解答。
第一章是数值分析的导论，主要介绍了误差分析和计算方法的基本概念。
在课后习题中，有一道题目是关于误差传播的。
假设有一个函数f(x, y) = x^2 + y^2，其中x和y的测量误差分别为Δx和Δy，要求计算f(x, y)的误差。
解答：根据误差传播公式，可以得到f(x, y)的误差为Δf = √[(∂f/∂x)^2 *(Δx)^2 + (∂f/∂y)^2 * (Δy)^2]。
对于本题而言，∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y。
代入公式，得到Δf = √[(2x)^2 * (Δx)^2 + (2y)^2 * (Δy)^2] = 2√(x^2 * (Δx)^2+ y^2 * (Δy)^2)。
第二章是插值与多项式逼近的内容。
其中一道习题涉及到拉格朗日插值多项式。
给定n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，要求构造一个n次多项式p(x)，使得p(xi) = yi (i = 0, 1, ..., n)。
解答：拉格朗日插值多项式的表达式为p(x) = Σ(yi * Li(x))，其中Li(x) = Π[(x - xj) / (xi - xj)]，j ≠ i。
将数据点代入表达式中，即可得到所求的多项式。
第三章是数值微积分的内容，其中一道习题是关于数值积分的。
给定一个函数f(x)，要求使用复化梯形公式计算定积分∫[a, b]f(x)dx。
解答：复化梯形公式的表达式为∫[a, b]f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2Σf(xi) + f(b)]，其中h = (b - a)/n，xi = a + i * h (i = 1, 2, ..., n-1)。
根据给定的函数f(x)，代入公式中的各个值，即可得到近似的定积分值。
数值分析(课后习题答案详解).ppt
x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
数值分析第三版课本习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式11783100n n Y Y -=-( n=1,2,…)计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算6(21)f =-,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?36311,(322),,9970 2.(21)(322)--++13. 2()ln(1)f x x x =--,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式22ln(1)ln(1)x x x x --=-++计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令200011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- .2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln x -0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n nn n f x a a x a x a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x = ;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+ .16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ 及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:j x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 j y0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值()S x 并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n == ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<= ,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权21x x ρ=-的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()x f x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.[]2sin (1)arccos ()1n n x u x x +=-是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x =在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.i x 19 25 31 38 44 i y19.032.349.073.397.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据:时间t (秒) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s (米) 010305080110求运动方程.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 浓度0 1.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘拟合求()y f t =.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)91,4xdx n =⎰; (4)260sin ,6dx n π-ϕ=⎰.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1x e dx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8. 用龙贝格方法计算积分12x e dxπ-⎰,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是22201()sin cS a d a π=-θθ⎰,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:x1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 ()f x0.25000.22680.20660.18900.1736第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
(完整版)数值分析第四版习题和答案解析
第四版数值分析习题第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()nx ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii) (0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取r,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005. 16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数. 17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x=在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()nn x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.2y a bx =+.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。