2020高考数学适应性训练和答案
北京市2020届高三下学期高考适应性测试数学试题含答案
2020年北京市高考适应性测试数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10题，每题4分,共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)在复平面内，复数i(i+2)对应的点的坐标为(A) (1, 2) (B) (-1, 2) (C) (2, 1) (D) (2, -1)(2)已知集合A={x|x<2}， B={-1,0,1,2,3}, 则A∩B=(){0,1}A (B) {0,1,2} (C) {-1,0,1} (D) {-1,0,1,2}(3)下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是()1A y x =+ 2()1B y x =- 1()()2x C y = 2()log D y x =(4)函数2()56f x x x =-+的定义域为(A) {x|x≤2或x≥3}(B) {x|x≤-3或x≥-2} (C) {x|2≤x≤3}(D) {x|-3≤x≤-2} (5)圆心为(2, 1)且和x 轴相切的圆的方程是22()(2)(1)1A x y -+-=22()(2)(1)1B x y +++= 22()(2)(1)5C x y -+-=22()(2)(1)5D x y +++= (6) 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数y=sin2x 的图象 (A)向左平移3π个单位 (B)向左平移6π个单位 (C)向右平移3π个单位 (D)向右平移6π个单位 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为2()3A 4()3B (C) 2(D) 4(8)已知点A(2,0)，B(0,-2).若点P 在函数y x =的图象上，则使得△PAB 的面积为2的点P 的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4 (9)设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为.n S 则“*1,n n n S S +∀∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(10)学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A,B,C,D,E 五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B.则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人（C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2020最新高考适应性考试数学（理科）含答案
2020最新⾼考适应性考试数学（理科）含答案数学（理科）⼀、选择题1、设集合E={}||x-2|>3x ，F={}|x 1x ≥-，则()x E x F x E F ∈∈∈I 或是的( ) A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件2、f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最⼩正周期是T ，则()2T f 的值是（）A 0B 2T - C2TD ⽆法确定3、设函数212x y x -=-，则下列命题正确的是（）①图象上⼀定存在两点它们的连线平⾏于x 轴。
②图象上任意两点的连线都不平⾏于y 轴。
③图象关于直线y=x 对称。
④图象关于原点对称。
A ①③B ②③C ②④D ③4、曲线23-+=x x y 的⼀条切线平⾏于直线14-=x y ，则切点p 的坐标为（）（A ）（0，－2）或（1，0）（B ）（1，0）或（2，8）（C ）（－1，－4）或（0，－2）（D ）（1，0）或（－1，－4）5、如果消息A 发⽣的概率为P （A ），那么消息A 所含的信息量为21()log ()I A P A =。
若某⼈在⼀个有4排、8列的⼩型报告厅⾥听报告，则发布的以下4条消息中信息量最⼤的是（）A 在某⼈在第4排B 某⼈在第5列C 某⼈在4排5列D 某⼈在任意⼀排6、若函数f 322,1()15,131x x a x x ax x ?-+≤?=?>?+?44-或 7、已知正四棱锥S －ABCD 侧棱长为2,底⾯边长为3,E 是SA 的中点,则异⾯直线BE 与SC 所成⾓的⼤⼩( )A ．ο90B ．ο60C ．ο45D ．ο30 8、若sin tan cot θθθ>>,(22ππθ-<<),则θ的取值范围是（）A (,)24ππ-- B (,0)4π- C (0,)4πD (,)42ππ9、等差数列{a n }中，a 1 > 0,S 3 = S 11,则S n 中的最⼤值为（）A S 7B S 11C S 7和S 8D ⽆最⼤值10、关于函数f(x)=lg 21(0,)||x x x R x +≠∈,有下列命题：①函数y=f(x)的图象关于y 轴对称。
2020高考文科数学适应性测试卷含答案
2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！YCY本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24RS其中R 表示球的半径如果事件A 、B 相互独立，那么球的体积公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）334R V其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合},1|{},,1|{2R x x y y N R x x y y M ，那么N M 等于（）A ．（0，1）B ．（0，1），（1，2）C ．}21|{yy y 或D ．}1|{y y 2．已知2sin ,1cossin54sin则且等于（）A ．2524B ．2512C ．54D ．25243．有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中有2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻的排法总数为（）A．120 B．24 C．48 D．604．在空间中，下列命题中正确的是（）①若两直线a、b分别与直线l平行，则a//b②若直线a与平面β内的一条直线b平行，则a//β③若直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β④若平面β内的一条直线a垂直平面γ，则β⊥γA．①②④B．①④C．①③④D．①②③④5．如图正三棱柱ABC—A1B1C1底面边长与高相等，截面PAC 把棱柱分成两部分的体积之比为5∶1,则二面角P—AC—B 的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆7．}{n a 是各项均为正数的等比数列，}{n b 是等差数列，且a 6=b 7，则有（）A ．10493b b a aB ．10493b b a a C ．10493b b a a D ．10493b b a a 8．若032y x ，则22)2()1(y x 的最小值为（）A ．5B ．225C ．552D ．5229．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当xx f x)31()(,0时，那么)9(1f的值为（）A ．7B ．2或7C ．7或12D ．210．已知)3,2(),1,(AC k AB ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是（）A ．23B ．21C ．－5D ．3111．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x 的不等式062aaxx 有解，且解的区间长度不超过5个单位长，则a 的取值范围是（）A ．]1,0()24,25[B ．),1[]25,(C ．)24,1()0,25[D ．[－25，1]12．已知a 、b 、c 依次是方程x xx xxx212log 2log ,02和的实数根，则a 、b 、c的大小关系是（）A ．a b cB ．ac b C ．c b a D ．ca b 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. 13．62)2(x x的展开式中的常数项是.14．设x 、y 满足约束条件y xz yxy x x23,120则的最大值等于 .15．已知双曲线的离心率为2，则它的两条渐近线所成的锐角等于.16．设地球的半径为R ，已知北纬45°圈上A 、B 两地的球面距离为R 2，则A 、B 两地间的纬线长为.三、解答题：本大题有6个小题；共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题12分）函数3cos sin 2cos 32)(2xx xx f （1）求)(x f 的最小正周期和最大值及相应的x 值；（2）若将)(x f 的图象按向量)0,3(平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的21，得到函数)(x g 的图象，试写出)(x g 的解析式.18．（本题12分）甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，比赛时采用五局三胜制，分别求：（1）在前两局中乙队以2∶0领先的条件下，求最后甲、乙各自获胜的概率；（2）求甲队获胜的概率.19．（本题12分）已知函数d cxbxxx f 23)(在)0,(上是增函数，在[0，2]上是减函数，并且2是方程0)(x f 的一个根.求（1）求c 的值；（2）求证2)1(f20．（本题12分）在四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，M为PC的中点，PD=AB.（1）求证：PA//平面MBD；（2）求二面角M—BD—C的大小.21．（本题12分）如图，已知线段AB在直线2y上移动，|AB|=4，O为坐标原点，（1）求△AOB的外心M的轨迹方程；（2）设直线OA与（1）中轨迹交于C、D两点，且OCOD3，求直线OA的方程.22．（本题14分）已知n nn a a a x a xa xa x f ,,,,)(21221且组成等差数列.（n 为正偶数），又nf n f )1(,)1(2（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）试比较)21(f 与3的大小，并说明理由.数学试题（文）参考答案一、选择题：1—5 D A C B A 6—10 A B C D D 11—12 A B二、填空题：13．60 14．5 15．60°16．R22三、解答题：17．解：（1）)62cos(232sin )12(cos 3)(x x x x f 或)32sin(2x…………3分22T …………4分2)(maxx f (5)分这时12kx…………6分（2）)62cos(2)(xx f 向左平移3)652cos(2x………………8分横坐标缩小到原来的21)654cos(2xy………………10分)654cos(2)(xx g …………12分或)34sin(2)(xx g 18．解：（1）设最后甲胜的事件为A ，乙胜的事件为B …………1分216.06.0)(3A P ………………4分784.0)(1)(A P B P ………………6WV答：甲、乙队各自获胜的概率分别为0.216，0.784.（2）设甲胜乙的事件为C ，其比分可能为3∶03∶13∶2…………7分682.06.04.06.06.04.06.06.0)(22242233C C C P (12)分答：甲队获胜的概率为0.682.19．解：（1）cbxxx f 23)(2由题意可知0x为)(x f 的极值点………………2分00)0(cf (4)分（2）令320023)(212bx x bxx x f 得…………6分]0,()(在x f 上是增函数，在[0，2]上是减函数3232bb 即…………9分又bdd b f 48048)2(2371)1(bdbf ………………12分20．法一（1）连AC 交BD 于O ，则O 为AC 中点连OM ，因M 是PC 中点，PA OM //…………2分又OM平面MBDPA平面MBD//PA平面MBD …………4分（2）取CD 中点E 连ME ，则ME PD 21PD平面ABCDME平面ABCD …………6分作EF ⊥BD 交BD 于F ，连MF ，则∠MFE 为二面角M —BD —C 的平面角……8分记PD=AB=a则22a DEa MEa ODEDE EF42sin…………10分在2tan ,EFME MFEMEF Rt 中2arctan MFE…………12分法二如图建立空间直角坐标系D —xyz设PD=AB= a 则)0,,()0,0,(a a DB a DA )2,2,0(aa DM),0,0(a DP……2分设),,1(z y n 为平面MBD 的法向量则22000za y a ay a DMn DB n 解得)1,1,1(11nz y …………6分（1）n PAaaPAn a a PA),0,(故PA//平面MBD ……9分// ＝（2）),0,0(a DP 为底面ABCD 的法向量33||||,cosDP n DP n DPn 故得二面角M —BD —C 的大小为33arccos…………12分21．解：（1）设22||||),,(yxOM AM y x M 则作2||21|||,2|||,AB AN yMN N AB MN则于……3分在222||||||,MN AN AM AMN Rt 中222)2(4y yx整理得所求轨迹方程)2(42y x (6)分（II ）因直线OA 与（I ）中轨迹有两个交点故直线OA 斜率存在，设其方程为kxy 并设),(),,(2211y x D y x C 084)2(422kx xyxkx y 由………………8分kx x 421①821x x ②又1233x x OCOD③…………10分由①②③解得36322kk从而直线OA 方程为xy36………………12分22．解：（I ）设}{n a 的公差为dna a a a a f n n1321)1(且n 为正偶数22d n d n………………2分又14)1(121221a a a na a a f n 得……………4分12)1(1n dna a n………………6分（II ）nn f )21)(12()21(321)21(2①132)21)(12()21(3)21()21(21n n f ②………………8分①－②：12)21)(12()21(2)21(221)21(21n n n f n n n f )21)(12()21(2)21(2)21(2)21(21)21(132n n n )21)(12(211])21(1[21211………………12分nn n )21)(12()21(320)21)(12(0)21(2nn n n 为正偶数3)21(f ………………14分。
2020高考数学适应性训练和答案
一. 选择题：1、若奇函数f （x ）的定义域为R ，则有（ ）A ．f （x ）＞f （-x ） C ．f （x ）≤f （-x ） C ．f （x ）·f （-x ）≤０ D ．f （x ）·f （-x ）＞０ 2、若a 、b 是异面直线，且a ∥平面 ，那么b 与平面的位置关系是（ ）A ．b ∥aB ．b 与相交C ．b ⊂D ．以上三种情况都有可能3、若函数f （x ）满足)(21)1(x f x f =+，则f （x ）的解析式在下列四式中只有可能是（ ）A ．2xB ．21+x C ．x -2 D ．x 21log4、函数y ＝sin x |cot x |（0＜x ＜）的图像的大致形状是（B ）5、若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，） 6、若随机变量的分布列如下表，则E 的值为（ ）12345A ．181 2097、我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）B ．))((R n R m ++C ．mnD ．2mn8、将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：①a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二. 填空题：9、已知函数ax x x f +-=3)(在区间（-1，1）上是增函数，则实数a 的取值范围是．10、已知数列{n a }前n 项和nn n b ba S )1(11+-+-=其中b 是与n 无关的常数，且0＜b ＜1，若∞→n n S lim 存在，则∞→=n n S lim ． 三. 解答题：11、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅οe e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ．欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ． ∴ 214-=t ，此时14-=λ．即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为 ．12、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b （+∈N n ） （1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(lim +-∞→n nS b n n ． 解析：（1）1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ，∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数．故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3。
2020届新高考数学适应性训练试题(二)(含解析)
2020届新高考数学适应性训练试题（二）（含解析）（时间：2小时满分：150分)第I卷（选择题，满分45分)一、单选题（每题5分，满分45分，每题有且仅有一个正确答案）1.已知全集U=R，集合A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为集合选B2.设均为单位向量，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.4.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可．【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C．【点睛】本题考查函数性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．5.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴．故选D．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．6.甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】记甲恰好比乙多击中目标2次为事件，分析可得包括两个事件，①甲击中2次而乙击中0次，②甲击中3次而乙击中1次，由独立事件的概率乘法公式计算可得两个事件的概率，进而由互斥事件概率的加法公式，将其相加即可得答案．【详解】记甲恰好比乙多击中目标2次为事件，分析可得包括两个事件:①甲击中2次而乙击中0次，记为事件，②甲击中3次而乙击中1次，记为事件，则.故选：A.【点睛】本题考查互斥事件、相互独立重复事件的概率计算，运用到二项分布求概率，属于基础题.7.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有，，，，，，，A. 0个B. 1个C. 2个D. 3【答案】B【解析】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真假；根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断C的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假．详解：由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若a，b相交，则可得α∥β，若a∥b，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；若m∥n，n⊥α根据线面垂直的第二判定定理可得m⊥α，故（2）正确；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（4）错误；故选B．点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.8.已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇函数在上是增函数可得为偶函数且在上为增函数，从而可判断的大小.【详解】的定义域为.，故为偶函数.因为为上的奇函数，故，当时，因为为上的增函数，故.设任意，则，故，故，故为上的增函数，所以，而，故，所以.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.9.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.第II卷（非选择题，满分105分)二、填空题（每题5分，共计30分）10.已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= ．【答案】1【解析】z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵z在复平面内对应的点在实轴上，∴a－1＝0，从而a＝1.11.的展开式中的系数为________用数字作答【答案】-8【解析】【分析】利用二项式定理展开即可得出．【详解】解：，项的系数为：．故答案为：-8．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力．12.数列满足，，.则数列的通项公式为_____【答案】【解析】【分析】通过对变形可知，进而可知数列是以为首项、为公差的等差数列，可知，利用累加法计算解即得结论.【详解】证明：因，所以，又因为，所以是以为首项、为公差的等差数列，得，因而有：，，，，累加后得：所以，所以数列的通项公式.【点睛】本题考查由递推关系证明等差数列，还考查等差数列的通项公式及利用累加法求数列的通项公式，属于中等题. 13.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．【答案】【解析】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.14.已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由可知，且：，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15.在中，，，. 若，，且，则的值为______________.【答案】【解析】,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计75分）16.设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；单调递减区间是（Ⅱ）面积的最大值为【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是（Ⅱ）由得由题意知为锐角，所以由余弦定理：可得：即：当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得，再根据三角形中位线性质得为的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设，的交点为，连接．因为平面，平面平面，所以．因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点．（2）取的中点，连接，．因为，所以．又平面平面，且平面，所以平面．因为平面，所以．因为是正方形，所以．如图，建立空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面的法向量为，则，即．令，则，，于是．平面的法向量为，所以．由题知二面角为锐角，所以它的大小为．（3）由题意知，，．设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．18.已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.（3）设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n，都有成立.【答案】（1）；（2）；（3）看解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知，求出，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，，利用错位相减法即可得出，代入不等式对一切恒成立，对分类讨论即可得出的取值范围；（3）当时，结论显然成立；当时，，化简证明即可.【详解】（1）已知等差数列中，，设公差为，由已知，则，所以，得的通项公式为：即：.（2）由（1）可得，，则两式相减得：解得：.所以不等式化为对一切恒成立，若为偶数，则，即；若为奇数，则，即；综上可得：.（3）证明：当时，结论显然成立；当时，由（2）知，.所以，对任意正整数n，都有成立.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和利用错位相减法求数列的前项和，同时考查数列和不等式的恒成立问题求参数的范围，还考查学生的转化思想和运算能力.19.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆的两交点间距离为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值.（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）为定值；（3）为定值，定值为25．【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得，由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）利用点到直线距离公式，同理求得：，则，是方程的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得为定值；（3）将直线和的方程，代入椭圆方程，即可求得和点坐标，根据两点之间的距离公式，由，即可求得为定值．【详解】解：（1）由椭圆的离心率，则，由直线过点，代入，解得：，则，椭圆的标准方程：；（2）证明：由直线，直线，由直线为圆的切线，，，同理可得：，，是方程的两个不相等的实根，由，△，则，由，在椭圆上，即，，为定值；（3）经判断为定值，设，，，，联立，解得，，同理，得，由，得，，，，为定值，定值为25．【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20.设函数.（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）.【解析】试题分析：（1）当m=e时，＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）-零点的个数；（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围试题解析：（1）由题设，当时，易得函数的定义域为当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增；当时，取得极小值的极小值为2（2）函数令，得设当时，，此时在上单调递增；当时，，此时在上单调递减；所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，的最大值为又，结合y=的图像（如图），可知①当时，函数无零点；②当时，函数有且仅有一个零点；③当时，函数有两个零点；④时，函数有且只有一个零点；综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.（3）对任意恒成立，等价于恒成立设，在上单调递减在恒成立恒成立（对，仅在时成立），的取值范围是考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值2020届新高考数学适应性训练试题（二）（含解析）（时间：2小时满分：150分)第I卷（选择题，满分45分)一、单选题（每题5分，满分45分，每题有且仅有一个正确答案）1.已知全集U=R，集合A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为集合选B2.设均为单位向量，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要3.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.4.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可．【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C．【点睛】本题考查函数性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．5.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴．故选D．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．6.甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】记甲恰好比乙多击中目标2次为事件，分析可得包括两个事件，①甲击中2次而乙击中0次，②甲击中3次而乙击中1次，由独立事件的概率乘法公式计算可得两个事件的概率，进而由互斥事件概率的加法公式，将其相加即可得答案．【详解】记甲恰好比乙多击中目标2次为事件，分析可得包括两个事件:①甲击中2次而乙击中0次，记为事件，②甲击中3次而乙击中1次，记为事件，则.故选：A.【点睛】本题考查互斥事件、相互独立重复事件的概率计算，运用到二项分布求概率，属于基础题.7.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有，，，，，，，A. 0个B. 1个C. 2个D. 3【答案】B【解析】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真假；根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断C的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假．详解：由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若a，b相交，则可得α∥β，若a∥b，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；若m∥n，n⊥α根据线面垂直的第二判定定理可得m⊥α，故（2）正确；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（4）错误；故选B．点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.8.已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇函数在上是增函数可得为偶函数且在上为增函数，从而可判断的大小.【详解】的定义域为.，故为偶函数.因为为上的奇函数，故，当时，因为为上的增函数，故.设任意，则，故，故，故为上的增函数，所以，而，故，所以.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.9.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.第II卷（非选择题，满分105分)二、填空题（每题5分，共计30分）10.已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= ．【答案】1【解析】z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵z在复平面内对应的点在实轴上，∴a－1＝0，从而a＝1.11.的展开式中的系数为________用数字作答【答案】-8【解析】【分析】利用二项式定理展开即可得出．【详解】解：，项的系数为：．故答案为：-8．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力．12.数列满足，，.则数列的通项公式为_____【答案】【解析】【分析】通过对变形可知，进而可知数列是以为首项、为公差的等差数列，可知，利用累加法计算解即得结论.【详解】证明：因，所以，又因为，所以是以为首项、为公差的等差数列，得，因而有：，，，，累加后得：所以，所以数列的通项公式.【点睛】本题考查由递推关系证明等差数列，还考查等差数列的通项公式及利用累加法求数列的通项公式，属于中等题.13.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．【答案】【解析】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.14.已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由可知，且：，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15.在中，，，. 若，，且，则的值为______________.【答案】【解析】,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计75分）16.设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；单调递减区间是（Ⅱ）面积的最大值为【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是（Ⅱ）由得由题意知为锐角，所以由余弦定理：可得：即：当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得，再根据三角形中位线性质得为的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设，的交点为，连接．因为平面，平面平面，所以．因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点．（2）取的中点，连接，．因为，所以．又平面平面，且平面，所以平面．因为平面，所以．因为是正方形，所以．如图，建立空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面的法向量为，则，即．令，则，，于是．平面的法向量为，所以．由题知二面角为锐角，所以它的大小为．（3）由题意知，，．设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．18.已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.（3）设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n，都有成立.【答案】（1）；（2）；（3）看解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知，求出，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，，利用错位相减法即可得出，代入不等式对一切恒成立，对分类讨论即可得出的取值范围；（3）当时，结论显然成立；当时，，化简证明即可.【详解】（1）已知等差数列中，，设公差为，由已知，则，所以，得的通项公式为：即：.。
2020届普通高考(天津卷)适应性测试数学试题及答案
【答案】
【解析】写出 的展开式的通项公式，让 的指数为零，求出常数项.
【详解】
因为 的展开式的通项公式为： ，
所以令 ，常数项为 .
【点睛】
本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力.
13．已知某同学投篮投中的概率为 ，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为：_____________；记X为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X的数学期望为____________.
15．如图，在 中， ，D,E分别边AB,AC上的点, 且 ，则 ______________，若P是线段DE上的一个动点，则 的最小值为_________________.
【答案】1
【解析】由 利用数量积公式可求 的值为1，设 的长为 ，则 ， ，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得 ，再利用配方法可得结果
所以 ，
又因为组距等于0.5，
所以t的值为 ，
故选：C.
【点睛】
直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为 ；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
6．已知 是定义在R上的偶函数且在区间 单调递减，则（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出 ，再利用函数 的单调性与奇偶性可得结果.
【详解】
因为 是定义在R上的偶函数，所以 ，
根据对数函数的单调性可得 ，
根据指数函数的单调性可得 ，
2020高考数学适应性训练含答案
一. 选择题：1、与曲线y=1关于y 轴对称的曲线为（ ） B. y x =-+12 C. y x =-12 D.y x =+2 2、x x n+⎛⎝ ⎫⎭⎪132展开式的第6项系数最大，则其常数项为（ ） A. 120 B. 252 C. 210 D. 453、 过原点的直线与圆x y y 22430+-+=相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是（ ）A. y x =3B. y x =33 C. y x =-33 4、长方体一个顶点上三条棱的长分别是6、8、10，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ）A. 250πB. 500πC. 100πD. 200π5、设项数为8的等比数列的中间两项与27402x x ++=的两根相等，则数列的各项相乘的积为（ ）A. 64B. 8C. 16D. 326、设函数f x x x ()()()=-><⎧⎨⎩1010，则()()()()a b a b f a b a b ++-⋅-≠2的值为（ ） A. aB. bC. a 、b 中较小的数D. a 、b 中较大的数 7、 已知f x ()是R 上的偶函数，g x ()是R 上的奇函数，且g x f x ()()=-1，若f x ()=2，则f ()2004的值为（ ）A. 2B. 0C. -2D. ±28、双曲线x y 229161-=的两个焦点为F F 12、，点P 在双曲线上，若PF PF 120→⋅→=，则点P 到y 。
9、 把正n 棱柱的顶点相连接的直线（不包括棱柱的边）共有条。
10、设数列{}a n 的通项公式为a n n n N n =+∈2λ()*且{}a n 满足a a a a a n n 1231<<<<<<+……，则实数λ的取值范围是。
11、已知函数f(x)=3x +k(k 为常数)，A （－2k, 2）是函数y=f －1（x ）图象上的点。
2020年高考适应性测试有答案数学理
D，过 D 作 DE BC ，垂足 为 E，连结 OE 。若 CD 3, ACB 30 ， 分别 求 AB ，OE 的 长 。
23 ．（本小 题满 分 10 分） 选 修 4— 4：坐 标 系 与参数 方程 已知曲 线 C 1 的 极 坐标 方程 为 4sin ，曲 线 C 2 的 极 坐 标方程 为 ( R) ，曲 线 C 1， C2 相交于点 M ，N。
（）
A ． 30
B． 60
C ．120
D． 150
10 ．函 数 f ( x) M sin( x )( 0) ，在 区间 [a ， b] 上是增函 数 ，且
f (a) M , f (b) M , 则 函 数 g( x) M cos( x ) 在 [a ， b] 上
（）
A ．是增函 数
B ．是 减 函 数
（）
A． x y 0
B ． ex y 1 e 0
C ． ex y 1 e 0
D． x y 0
9 ． ABC 中 ， a ， b ， c 分 别 是 角 A ， B ， C 的 对 边 ， 向 量
p (1, 3), q (cos B,sin B), p / /q 且 b cosC c cos B 2a sin A,则 C =
的通项公 式为 ……………………①
2Sn 2 2 5 23 9 24
(4 n 3) 2n 1.
……………………②
②
①
并
化
简
得
Sn (4n 7) 2n 1 14 ．……………………………………………
10 分
易 见 Sn 为 n 的增函 数 ， Sn 2012 ，即 (4 n 7) 2n 1 1998 ．
18 ．（本小 题满 分 12 分） 甲、乙 两同 学进 行下棋比 赛， 约 定每局 胜 者得 1 分， 负 者得 0 分（无平局），比 赛进 行到有一 个 人比 对 方多 2 分或比 满 8 局时 停止， 设甲在每局中 获胜 的 概率 为 p( p 1) ，且各局 胜负
2020年北京高考适应性测试数学(PDF版)
数学参考答案 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数学参考答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）（ 1 ）B（ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）（11）1 （12）2-（13）1 （14）34（15）①③ 注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题（共6题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为,M N 分别为,AD PD 的中点， 所以//PA MN ．又因为PA ⊄平面MNC ， 所以//PA 平面MNC ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -．设2AD =， 则(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,0,0)M (0,0,2)N ，(2,2,4)PB =-， (0,2,2)NC =-，(1,0,2)MN =-． 设平面M NC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0,MN NC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即20,220.x z y z -+=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则2x =，1y =．所以(2,1,1)=n ．数学参考答案 第 2 页（共 6 页）设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 所以||1sin |cos ,|6||||PB PB PB α−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． （17）（共14分）解1：选择①因为312a =，所以13a =． 所以3(12)3(21)12n n n S -==--． 令2020k S >， 即202323k >． 所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10． 解2：选择② 因为312a =，所以148a =，148(1)1296(1)1212n n n S ⨯-==--． 因为962020n S <<，所以不存在满足条件的正整数k .解3：选择③因为312a =，所以13a =， 所以3(1(2))1(2)1(2)n n n S ⨯--==----． 令2020k S >, 即1(2)2020k -->，整理得(2)2019k -<-．当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于22019k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为11．数学参考答案 第 3 页（共 6 页）（18）（共14分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1,2,,7i =． 由题意可知1()()()7i i i P A P B P C ===，1,2,,7i =．（Ⅰ）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，12D C C =，又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率12122()()()()7P D P C C P C P C ==+=． （Ⅱ）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =． 所以事件E 的概率4151617152()()()()()()P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272637374()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B =4110()()P A P B = 1049=． （Ⅲ）0μ<1μ．（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()e (1)e 2x a f x x x =--，所以()e e x a f x x x '=-． 所以(0)1f =-，(0)0f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为1y =-．（Ⅱ）因为()e e (e e )x a x a f x x x x '=-=-，令()0f x '=，得0x =或a (0)a <．数学参考答案 第 4 页（共 6 页） ()f x 与()f x '在R 上的变化情况如下：由上表可知，当0x =时，()f x 有极小值(0)1f =-．（Ⅲ）当1x ≤时，()0f x <，且22(2)e 2e >e 20a f =-->．由（Ⅱ）可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的零点个数为1．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）设1(,)M x m ，则1(,)N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-． 因为直线BD ，BM 的斜率的积为14-， 所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+． 直线AN 的方程为111m y x x -=+． 直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+． 联立1111,1,4(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩数学参考答案 第 5 页（共 6 页）解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=， 则0D y =． 所以点D 在x 轴上．（21）（共14分）解：（Ⅰ）11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经S ϕ变换后得1336⎛⎫⎪--⎝⎭， 故0()13365S T A =+--=-．（Ⅲ）若1112a a ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为1112,a a ；不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为444411121112111211122()2()2()(21)()a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+1112a a =--．若1112a a =，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．数学参考答案 第 6 页（共 6 页）所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为55111211122()(21)()a a a a ⨯--+-⨯+1112a a =--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --． 所以0()S T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----， 又因为11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈，所以0()S T A 的所有可能取值的和不超过4-．。
2020年普通高考数学适应性测试试卷(天津卷)
2020年普通高考数学适应性测试试卷（天津卷)一、单选题 (共9题；共18分)1．（2分）已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={−2,0,1,2}，B={−1,0,1}，则A∩C U B=（）A．{0,1}B．{−2,2}C．{−2,−1}D．{−2,0,2}2．（2分）设a∈R，则“ a≥2”是“ a2−3a+2≥0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．（2分）函数y=x 2e x的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是36，点E在棱CC1上，且CE=2EC1，则三棱锥E-BCD的体积是（）A．3B．4C．6D．125．（2分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中t的值为（）A．0.15B．0.075C．0.3D．15 6．（2分）已知f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0,+∞)单调递减，则（）A．f(log2π)>f(log213)>f(2−π)B．f(log213)>f(2−π)>f(log2π)C．f(2−π)>f(log213)>f(log2π)D．f(2−π)>f(log2π)>f(log213)7．（2分）抛物线x2=2py(p>0)的焦点与双曲线x216−y29=1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）A．152B．403C．203D．8√738．（2分）已知函数f(x)=sinx+cosx，则下列结论错误的是（）A．f(x)的最小正周期为2πB．y=f(x)的图象关于直线x=5π4对称C．7π4是f(x)的一个零点D．f(x)在区间(π,3π2)单调递减9．（2分）已知函数f(x)={x2+2x,x⩽02x−4x,x>0，若函数F(x)=f(x)−|kx−1|有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．(0,916)B．(916,+∞)C．(0,12)D．(−116,0)∪(0,916)二、填空题 (共6题；共8分)10．（1分）i 是虚数单位，复数 3+2i 1−i =. 11．（1分）已知直线 x +2y −5=0 与圆 x 2+y 2=9 交于点A,B 两点，则线段AB 的长为 .12．（1分）在 (√x 3−2x )4的展开式中，常数项是 ．13．（2分）已知某同学投篮投中的概率为 23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为： ；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X 的数学期望为 .14．（1分）已知 a >0, b >0 ，则 a 2+4b 2+a 3b 3a 2b2 的最小值为 . 15．（2分）如图，在 △ABC 中， AB =3，AC =2， ∠BAC =60° ，D ，E 分别边AB ，AC 上的点， AE =1 且 AD⇀⋅AE ⇀=12，则 |AD ⇀|= ，若P 是线段DE 上的一个动点，则 BP ⇀⋅CP ⇀ 的最小值为 .三、解答题 (共5题；共60分)16．（10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知 3(a −c)2=3b 2−2ac（1）（5分）求 cos B 的值 （2）（5分）若 5a =3b （i ）求 sinA 的值（ii ）求 sin(2A +π6) 的值.17．（15分）如图，在四棱锥P 一ABCD 中，已知 AB =BC =√5, AC =4, AD =DC =2√2 ，点Q 为AC 中点， PO ⊥ 底面ABCD, PO =2 ，点M 为PC 的中点.（1）（5分）求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值； （2）（5分）求二面角D-AM-C 的正弦值；（3）（5分）记棱PD 的中点为N ，若点Q 在线段OP 上，且 NQ// 平面ADM ，求线段OQ 的长.18．（10分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0) 的离心率为 √63 ，点 T(2√2,√33) 在椭圆上（1）（5分）求椭圆的方程；（2）（5分）已短直线 y =√2x +m 与椭交于A 、B 两点，点P 的坐标为 (2√2,0) ，且 PA ⇀⋅PB⇀=−1 ,求实数m 的值. 19．（10分）已知数列 {a n } 是公差为1的等差数列，数列 {b n } 是等比数，且 a 3+a 4=a 7 , b 2⋅b 4=b 5 , a 4=4b 2−b 3 数列 {c n } 满足 c n ={b 2m−1,n =3m −2b 2m ,n =3m −1a m ,n =3m 其中 m ∈N ∗ .（1）（5分）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式（2）（5分）记 t n =c 3n−2c 3n−1+c 3n−1c 3n +c 3n c 3n+1(n ∈N ∗) ，求数列 {t n } 的前n 项和.20．（15分）已知函数 f(x)=x 2−2xlnx ，函数 g(x)=x +a x−(lnx)2，其中 a ∈R ， x 0 是 g(x) 的一个极值点，且 g(x 0)=2 . （1）（5分）讨论 f(x) 的单调性 （2）（5分）求实数 x 0 和a 的值（3）（5分）证明 ∑1√4k −1nk=1>12ln(2n +1) (n∈N ∗)答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为全集 U ={−2,−1,0,1,2} ， B ={−1,0,1} ，所以 C U B ={−2,2} ， 又因为集合 A ={−2,0,1,2} ， 所以 A ∩C U B = {−2,2} . 故答案为：B.【分析】先利用补集的定义求出 C U B ，再利用交集的定义可得结果.2．【答案】A【解析】【解答】“ a 2−3a +2≥0 ”等价于 “ a ≤1 或 a ≥2 ”，“ a ≥2 ”能推出“ a ≤1 或 a ≥2 ”，而“ a ≤1 或 a ≥2 ”不能推出“ a ≥2 ”， 所以“ a ≥2 ”是“ a 2−3a +2≥0 ”的充分非必要条件， 故答案为：A.【分析】利用一元二次不等式的解法化简 a 2−3a +2≥0 ，再由充分条件与必要条件的定义可得结果.3．【答案】A【解析】【解答】因为 y =x 2e x ，所以 y′=2x−x2e x， 令 y′=0 可得， x =0,x =2 ，即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C 、D ；又因为函数 y =x 2e x 即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B ，故答案为：A.【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C 、D ；利用奇偶性可排除选项B ，进而可得结果.4．【答案】B【解析】【解答】因为长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的体积是36，点E 在棱 CC 1 上，且 CE =2EC 1 ，所以 BC ⋅CD ⋅CC 1=36 ，三棱锥E-BCD 的体积是 13×(12×BC ⋅CD)⋅EC=13×(12×BC ⋅CD)⋅23CC 1=19BC ⋅CD ⋅CC 1=19×36=4 故答案为：B.【分析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为19BC⋅CD⋅CC1，结合长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是36可得结果.5．【答案】C【解析】【解答】因为0.04+0.08+ a+0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1，所以a=0.15，又因为组距等于0.5，所以t的值为0.150.5=0.3，故答案为：C.【分析】由频率和为1可求得a=0.15，再除以组距即可得结果.6．【答案】C【解析】【解答】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(log213)=f(−log23)=f(log23)，根据对数函数的单调性可得log2π>log23>log22=1，根据指数函数的单调性可得0<2−π<20=1，所以log2π>log23>2−π，因为f(x)在区间[0,+∞)单调递减，所以f(2−π)>f(log23)>f(log2π)，即f(2−π)>f(log213)>f(log2π)故答案为：C.【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出log2π>log23>2−π，再利用函数f(x)的单调性与奇偶性可得结果. 7．【答案】B【解析】【解答】抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F(0,p2)，双曲线x216−y29=1的右焦点为F1(5,0)，所以k FF1=−p10，又因为双曲线的渐近线为y=±34x，所以k FF1=−p10×34=−1⇒p=403，故答案为：B.【分析】先求出抛物线x2=2py(p>0)的焦点与双曲线x216−y29=1的右焦点，再利用直线垂直斜率相乘等于-1可得结果.8．【答案】D【解析】【解答】f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4 )，对于A，f(x)的最小正周期为2π1=2π，正确；对于B，x=5π4时，y=−1为最小值，y=f(x)的图象关于直线x=5π4对称，正确；对于C，x=7π4时，y=0，7π4是f(x)的一个零点，正确；对于D，f(x)在区间(π,3π2)上不是单调函数，错误，故答案为：D.【分析】利用辅助角公式化简f(x)=√2sin(x+π4)，再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可. 9．【答案】D【解析】【解答】k>0时，y=kx−1过(0,−1)，设y=kx−1与y=2x−4x (x>0)切于(x1,2x1−4x1)，因为y′=4x2，∴k=4x12，则2x1−4x1+1x1−0=4x12⇒x1=83,k=916,画出 f(x) 的图象，由图可知，当 k ∈(0,916) 时， y =f(x) 与 y =|kx −1| 有三个交点k <0 时， y =|kx −1|=y =|−kx +1| ， y =−kx +1 过 (0,1) ， 设 y =−kx +1 与 y =2x−4x (x >0) 切于 (x 2,2x 2−4x 2) ，因为 y′=4x 2 ，所以 −k =4x 22 ， 可得 2x 2−4x 2−1x 2−0=4x 22⇒x 2=8⇒−k =116⇒k =−116 ，画出 f(x) 的图象，由图可知，当 −k ∈(0,116) ，即 k ∈(−116,0) 时， y =f(x) 与 y =|kx −1| 有三个交点，综上可得， k ∈(−116,0)∪(0,916) 时， y =f(x) 与 y =|kx −1| 有三个交点，即 F(x)=f(x)−|kx −1| 有三个零点. 故答案为：D.【分析】画出函数图象，分两种情况讨论，分别求出直线与曲线 y =2x−4x(x >0) 相切时的斜率，结合函数图象的交点个数，即可判断函数 F(x)=f(x)−|kx −1| 有且只有3个零点时实数k 的取值范围.10．【答案】12+52i【解析】【解答】 3+2i 1−i =(3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+5i2= 12+52i ，故答案为： 12+52i .【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.11．【答案】4【解析】【解答】因为 x 2+y 2=9 的圆心为 (0,0) ，半径 r =3 ，(0,0) 到直线 x +2y −5=0 的距离 d =|−5|√1+4=√5 ， 所以线段AB 的长为 2√9−5=4 ， 故答案为：4.【分析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得结果.12．【答案】−8【解析】【解答】因为 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式为： T r+1=C 4r (√x 3)4−r⋅(−2x )r =C 4r ⋅(−2)r ⋅x 4−4r 3，所以令 4−4r 3=0⇒r =1 ，常数项为 C 41⋅(−2)1=−8 . 【分析】写出 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式，让 x 的指数为零，求出常数项. 13．【答案】49；2【解析】【解答】由独立重复试验的概率公式可得，恰投中两次的概率为 C 32(23)2(13)=49； X 可取0，1，2，3，P(X =0)=C 30(23)°(13)3=127 ；P(X =1)=C 31(23)(13)2=29P(X =2)=C 32(23)2(13)=49P(X =3)=C 33(23)3(13)0=827则随机变量 X~B(3,23) ，所以 EX =np =3×23=2 ，故答案为： 49,2 .【分析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率；分析题意可得随机变量 X~B(3,23) ，利用二项分布的期望公式可得结果.14．【答案】4【解析】【解答】 a 2+4b 2+a 3b 3a 2b 2=1b2+4a 2+ab ≥2√1b2×4a 2+ab =4ab +ab ≥2√4ab ×ab =4 ，当且仅当 {1b2=4a 24ab =ab ，即 {a =2b =1 等号成立， 所以， a 2+4b 2+a 3b 3a 2b2 的最小值为4， 故答案为：4.【分析】化简原式为 1b 2+4a 2+ab ，两次运用基本不等式可得结果.15．【答案】1；−116【解析】【解答】 ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60∘=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |×1×12=12 ， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ； 又因为 AE =1 且 ∠BAC =60° ， ∴ ΔADE 为正三角形，∴DE =1=AD =AE ， ∠BDP =∠CEP =120∘ ， BD =2，EC =1 ， 设 DP 的长为 x （ 0≤x ≤1 ），则 PE =1−x ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×12+2(1−x)(−12)+x ⋅1⋅(−12)+x(1−x)(−1) =x 2−x 2=(x −14)2−116≥−116， x =14 时取等号，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 −116 . 故答案为：1， −116. 【分析】由 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 利用数量积公式可求 |AD ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值为1，设 DP 的长为 x ，则 PE =1−x ， BD =2，EC =1 ，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x2 ，再利用配方法可得结果16．【答案】（1）解：在 ΔABC 中，由 3(a −c)2=3b 2−2ac ，整理得 a 2+c 2−b 22ac =23，又由余弦定理，可得 cosB =23；（2）解：（i ）由（1）可得 sinB =√53 ，又由正弦定理 a sinA =b sinB ，及已知 5a =3b ，可得 sinA =asinB b =35×√53=√55；（ii ）由（i ）可得 cos2A =1−2sin 2A =35 ，由已知 5a =3b ，可得 a <b ，故有 A <B ，∴A 为锐角，故由 sinA =√55 ，可得 cosA =2√55 ，从而有 sin2A =2sinAcosA =45 ,∴sin(2A +π6)=sin2Acos π6+cos2Asin π6=45×√32+35×12=4√3+310 .【解析】【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求 cos B 的值即可；（2）（i ）由（1）可得sinB =√53 ，再利用正弦定理求 sinA 的值；（ii ）利用二倍角的余弦公式求得 sinA =√55，可得 cosA =2√55 ，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果.17．【答案】（1）解：依题意，以O 为原点，分别以向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系（如图），可得 O(0,0,0),A(0,−2,0),B(1,0,0),C(0,2,0) ， D(−2,0,0), P(0,0,2), M(0,1,1) .依题意，可得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0), AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,1) ， 设 n ⃗ =(x,y,z) 为平面ADM 的法向量，则 {n ⇀⋅AD ⇀=0n ⇀⋅AM⇀=0 ， 即 {−2x +2y =03y +z =0 ，不妨设 y =1 ，可得 n ⃗ =(1,1,−3) ， 又 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2) ， 故 cos〈PB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=7√5555 ， ∴ 直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值为 7√5555（2）解：由已知可得 OB ⊥AC,OB ⊥PO ， 所以 OB ⊥ 平面 AMC ，故 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面 AMC 的一个法向量， 依题意可得 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0) ， 因此有 cos〈OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1111 ，于是有 sin〈OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=√11011， ∴ 二面角D-AM-C 的正弦值 √11011（3）解：设线段OQ 的长为 ℎ(0≤ℎ≤2) ，则点Q 的坐标为 (0,0,ℎ) ， 由已知可得点N 的坐标为 (−1,0,1) ，进而可得 NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,ℎ−1) ， 由 NQ// 平面ADM ，故 NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ,∴NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0 ， 即 1−3(ℎ−1)=0 ，解得 ℎ=43∈[0,2] ， ∴ 线段OQ 的长为 43.【解析】【分析】以O 为原点，分别以向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系，（1）求出直线PB 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM 的法向量，可求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值；（2）由已知可得 OB ⊥ 平面 AMC ，故 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面 AMC 的一个法向量，结合（1）中平面ADM 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D-AM-C 的余弦值，从而可得正弦值；（3）设线段OQ 的长为 ℎ(0≤ℎ≤2) ，则点Q 的坐标为 (0,0,ℎ) ，由已知可得点N 的坐标为 (−1,0,1) ，利用直线 NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.18．【答案】（1）解：设椭圆的焦距为 2c ，由已知有 c 2a2=23 ，又由 a 2=b 2+c 2 ，可得 a 2=3b 2 ，由点 T(2√2,√33) 在椭圆上，有 8a 2+13b 2=1 ，由此可得 a 2=9,b 2=3 ， ∴ 椭圆的方程为 x 29+y 23=1（2）解：设点A 的坐标 (x 1,y 1) ，点B 的坐标 (x 2,y 2) ,由方程组 {y =√2x +mx 29+y 23=1，消去y ，整理可得 7x 2+6√2mx +3m 2−9=0 ，① 由求根公式可得 x 1+x 2=−6√2m 7,x 1x 2=3m 2−97，②由点P 的坐标为 (2√2,0) ，可得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2√2,y 1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2√2,y 2) ， 故 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2√2)(x 2−2√2)+y 1y 2=x 1x 2−2√2(x 1+x 2)+8+y 1y 2 ，③ 又 ∵y 1=√2x 1+m,y 2=√2x 2+m ， ∴y 1y 2=2x 1x 2+√2m(x 1+x 2)+m 2 ， 代入上式可得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x 1x 2+(√2m −2√2)(x 1+x 2)+m 2+8 ，由已知 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 ，以及②，可得 3(3m 2−9)7+(√2m−2√2)(−6√2m)7+m 2+8=−1 ，整理得 m 2+6m +9=0 ，解得 m =−3 ，这时，①的判别式 Δ=−12m 2+252=144>0 ，故 m =−3 满足题目条件， ∴m =−3 .【解析】【分析】（1）根据题意，结合性质 a 2=b 2+c 2 ，列出关于 a 、 b 、 c 的方程组，求出 a 、 b ，即可得椭圆的方程；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，利用平面向量数量积公式，结合条件 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 列方程求解即可.19．【答案】（1）解：设数列 {a n } 的公差为d ，数列 {b n } 的公比为q ，则 d =1 ，由 a 3+a 4=a 7 ，可得 a 1=d =1 ，由 b 2⋅b 4=b 5 ，可得 b 12⋅q 4=b 1⋅q 4 ，又 ∵b 1≠0,q ≠0 ，故可得 b 1=1 ，再由 a 4=4b 2−b 3 ，可得 q 2−4q +4=0 ，解得 q =2 ， ∴a n =n,b n =2n−1(n ∈N ∗) ；（2）解： c n ={22m−2,n =3m −222m−1,n =3m −1m,n =3m ，其中 n ∈N ∗ ，∴t n =22n−2⋅22n−1+22n−1⋅n +n ⋅22n =24n−3+3n ⋅22n−1 ， 记 T n =∑t k n k=1,A n =∑24k−3n k=1, B n =∑n k=1k ⋅22k−1 ，则 A n =2×(1−24n )1−24=2(16n−1)15=215×16n −215， B n =1×2+2×8+3×32+⋯+n ×22n−1 ，①故有 4B n =1×8+2×32+⋯+(n −1)×22n−1+n ×22n+1 ，② ①-②可得 −3B n =2+8+32+⋯+22n−1−n ×22n+1=2(1−4n )1−4−n ×22n+1 =2−6n 3×4n −23 ，由此可得 3B n =6n−23×4n +23， 由 T n =A n +3B n ，故可得 T n =215×16n +6n−23×4n+815. 【解析】【分析】（1）利用 a 3+a 4=a 1 , b 2⋅b 4=b 5 , a 4=4b 2−b 3 列方程求出，等差数列的首项、等比数列的首项与公比，从而可得结果；（2）先根据 c n ={b 2m−1,n =3m −2b 2m ,n =3m −1a m ,n =3m 得 t n =22n−2⋅22n−1+22n−1⋅n +n ⋅22n =24n−3+3n ⋅22n−1 ，再根据分组求和与错位相减求和法，结合等比数列的求和公式可得结果.20．【答案】（1）解：由已知可得函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 f ′(x)=2x −2lnx −2 ，令 ℎ(x)=f′(x) ，则有 ℎ′(x)=2(x−1)x，由 ℎ′(x)=0 ，可得 x =1 ， 可知当x 变化时， ℎ′(x),ℎ(x) 的变化情况如下表：∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0 ，即 f′(x)≥0 ，可得 f(x) 在区间 (0,+∞) 单调递增（2）解：由已知可得函数 g(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 g ′(x)=1−a x2−2lnxx ，由已知得 g′(x)=0 ，即 x 02−2x 0lnx 0−a =0 ，①由 g(x 0)=2 可得， x 02−x 0(lnx 0)2−2x 0+a =0 ，②联立①②，消去a ，可得 2x 0−(lnx 0)2−2lnx 0−2=0 ，③令 t(x)=2x −(lnx)2−2lnx −2 ，则 t′(x)=2−2lnx x −2x =2(x−lnx−1)x ，由（1）知， x −lnx −1≥0 ，故 t′(x)≥0 ， ∴t(x) 在区间 (0,+∞) 单调递增， 注意到 t(1)=0 ，所以方程③有唯一解 x 0=1 ，代入①，可得 a =1 ， ∴x 0=1,a =1 ；（3）证明：由（1）知 f(x)=x 2−2xlnx 在区间 (0,+∞) 单调递增，故当 x ∈(1,+∞) 时， f(x)>f(1)=1 ， g ′(x)=x 2−2xlnx−1x 2=f(x)−1x 2>0 ，可得 g(x) 在区间 (1,+∞) 单调递增，因此，当 x >1 时， g(x)>g(1)=2 ，即 x +1x −(lnx)2>2 ，亦即 (√x 1√x)2>(lnx)2 ，这时 √x 1√x >0,lnx >0，故可得 √x 1√x >lnx ，取 x =2k+12k−1,k ∈N ∗ ， 可得 √2k+12k−1−√2k−12k+1>ln(2k +1)−ln(2k −1) ，而 √2k+12k−1−√2k−12k+1=2√4k −1， 故 ∑2√4k −1nk=1>∑(ln(nk=12k +1)−ln(2k −1))=ln(2π+1)∴∑1√4k −1ni=1>12ln(2x +1)( n ∈N ∗) .【解析】【分析】（1）求出 f′(x) ，在定义域内，再次求导，可得在区间 (0,+∞) 上 f′(x)≥0 恒成立，从而可得结论；（2）由 g′(x)=0 ，可得 x 02−2x 0lnx 0−a =0 ，由 g(x 0)=2 可得 x 02−x 0(lnx 0)2−2x 0+a =0 ，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知 f(x)=x 2−2xlnx 在区间 (0,+∞) 单调递增，可证明 √x −1√x >lnx，取 x =2k+12k−1,k ∈N ∗ ，可得 √2k+12k−1−√2k−1√2k+1>ln(2k +1)−ln(2k −1) ，而 √2k+12k−1−√2k−12k+1=2√4k −1，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.。
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一. 选择题：
1、 函数f x x px q ()=++2满足f f ()()320==，则f(0)的值为（ ） A. 5
B. 6
C. -5
D. -6
2、 若a 、b 为实数，则使()ab a b -<0成立的一个充要条件为（ ）
A. 011<<a
b
B. a
b 1
10<<
C. 11a b <
3、设a ，b ，c 分别是∆ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线
sinA x a y c ··++=0与bx B y C -+=sin sin ·0的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 重合
C. 垂直
D. 相交但不垂直
4、ϖϖ
e e 12
，为不共线的向量，且ϖϖe e 12=，以下四个向量中模最小者为（ ）
B. 13
23
12
ϖϖe e + C. 25
35
12ϖϖ
e e + D.
1434
12ϖϖ
e e + 5、 已知⊙A ：()()x y -++=413622及直线l ：3470x y ++=，⊙A 上到l 的距离为3的点共有（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6、设a ，b 是两条异面直线，给出下列四个命题：（1）存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面；（2）存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；（3）存在经过直线a 与b 垂直的平面；（4）存在与a ，b 都平行且距离相等的平面。
其中正确命题的个数是（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7、已知F F 12，是双曲线x y 2
22
1-=的左右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直
线PQ 过F 2且倾斜角为α，则PF QF PQ 11+-的值为（ ）
B. 8
C. 22
D. 随α大小变化
8、正三棱锥S ABC -中，E 为SA 的中点，F 为∆ABC 的中心，SA ＝BC ，
则异面直线EF 与AB 所成的角是（ ） A. 60o
B. 90o
C. 30o
D. 45o
9、方程x mx x nx 221631630++
⎛⎝
⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=·的四个实数根组成一个首项为3
2
的等比数列，则m n -=（ ） A. 1
3
C.
49
D.
12
二. 填空题：
10、过直线x =2上一点M 向圆()()x y ++-=51122作切线，则M 到切点的
11、 定点M 3103，
⎛⎝
⎫
⎭
⎪与抛物线y x 22=上一点P 之间的距离为x P 1，到准线的距离为x 2，当x x 12+取得最小值时，点P 的坐标为__（2，2）__。
12、设向量()()ϖϖm
a b n c d ==，，，，规定两向量ϖϖ
m n ，之间的一个运算为()ϖϖm n ac bd ad bc ⊗=-+，，若已知()()ϖϖϖp p q =⊗=--1243，，，，则ϖ
q =_（-2，1）_。
三. 解答题：
13、如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，且∠ADC =arcsin
5
5
，又PA ⊥平面ABCD ，AD ＝3AB ＝3PA ＝3a 。
（I ）求二面角P —CD —A 的正切值；
（II ）求点A 到平面
解：（1）在底面
∵PA ⊥平面 ∵∠PEA 在Rt AED ∆中，AD a ADE =∠=35
5
，arcsin ∴=⋅∠=
AE AD ADE a sin 35
5
………………4分 在Rt PAE ∆中，tan ∠=
=PEA PA AE 5
3
∴二面角P —CD —A 的正切值为
5
3
………………6分 （II ）在平面APB 中，过A 作AH ⊥PB ，垂足为H ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC 又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB ∴平面PBC ⊥平面PAB ∴AH ⊥平面PBC
故AH 的长即为点A 到平面PBC 的距离………………10分 在等腰直角三角形PAB 中，AH a =2
2
，所以点A 到平面PBC 的距离为
22
a
14、 已知函数()
f x x a ()log
=+2
的图象经过原点。
（1）若()()()f m f f m ---3214，，成等差数列，求m 的值；
（2）若1)()(+=x f x g ，正数a 、b 、c 成等比数列，求证：g a g c g b ()()()+≥2 解：（1）将（0，0）代入()
f x x a ()log
=+2
，得：a =1 ()
∴=+f x x ()log
2
1
由已知可得：()()1224)3(-=-+-f m f m f 即：()
()
log
log
2
22
32m m --+= ⇒=m 4（m =1舍）
（2）由已知可得： ()b ac g x f x x 22
211==+=+，()()log
()()g a g c a c ()()log
+=++2
211 ()22122g b b ()log =+
而()()()()211212212a c ac a c b ac ++=+++≥++· ()()=++=+2212122b b b )(2)()(b g c g a g ≥+∴ 另解：g a g c g b f a f c f b ()()()()()()+≥⇔+≥22
()()
⇔≥⇔++≥++++log
log
()()()
()2
11212
2111a c b a c b
⇔+++≥++ac a c b b 1212* ∵a ，b ，c 成等比数列
∴==b ac b ac 2， ∴⇔+≥*式a c ac 2得证。