高中数学选修4-4-简单曲线的极坐标方程(教学校园)
人教课标版高中数学选修4-4《简单曲线的极坐标方程》教案-新版
1.3 简单曲线的极坐标方程一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解极坐标方程的意义、能在极坐标系中给出简单曲线的方程，体会极坐标下方程与直角坐标系下曲线方程的互化，培养学生归纳类比推理、逻辑推理能力． （二）学习目标1．通过实例，了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法． 2．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程．3．能进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义． （三）学习重点1．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程． 2．进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． （四）学习难点1．求曲线的极坐标方程．2．对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第12页至第15页，填空：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 2．预习自测（1）下列点不在曲线θρcos =上的是( )A.)3,21(πB.)32,21(π-C.)3,21(π-D.)32,21(π-【知识点】极坐标方程【解题过程】将选项中点一一代入验证可得选项D 不满足方程 【思路点拨】由极坐标方程定义可得 【答案】D ．（2）极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为( ) A.2=ρ B .4=ρ C.2cos =θρD.1sin =θρ【知识点】极坐标方程【解题过程】任取圆上一点的极坐标为),(θρ，依题意R ∈=θρ,2,所以选A 【思路点拨】根据题意寻找θρ,的等量关系式 【答案】A ．（3）将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： ①射线)0(3≤=x x y ；②圆0222=++x y x ． 【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化【解题过程】①因为=x θρcos ，=y θρsin 代入可得3tan ,cos 3sin ==θθθ 又因为0≤x ，所以射线在第三象限，故取θ＝4π3(ρ≥0 )②将=x θρcos ，=y θρsin 代入0222=++x y x ，整理得θρcos 2-= 【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化可得 【答案】①θ＝4π3(ρ≥0 ) ②θρcos 2-=．（4）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆ρ＝2的公共点个数是 .【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系【解题过程】直线方程ρcos )4(πθ-＝2，即)sin 22cos 22(θθρ+＝2，所以直角坐标方程为x ＋y －2＝0.圆的方程ρ＝2，即ρ2＝2，所以直角坐标方程为x 2＋y 2＝2. 因为圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－2|2＝2＝r ，所以直线与圆相切，即公共点个数是1.【思路点拨】将问题转化为平面直角坐标系中的问题处理 【答案】 1 (二)课堂设计 1．知识回顾（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．问题探究探究一 结合实例，类比认识极坐标方程★ ●活动① 类比推理概念在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程0),(=y x f 表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x f 的解； (2)以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程0),(=θρf 表示呢？我们先看一个例子 半径为a 的圆的圆心坐标为)0,(a C ，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件吗？类比直角坐标方程的求解过程，我们先建立极坐标系，如右图所示，设圆经过极点O ,圆与极轴的另一个交点为A ，则a OA 2=，设),(θρM 为圆上除A O ,以外的任意一点，则AM OM ⊥,所以在AMO Rt ∆中，MOA OA OM ∠=cos ,即θρcos 2a =.经验证，点)0,2(),2,0(a A O π的坐标满足上式.于是上述等式为圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件，反之，坐标适合上述等式的点都在这个圆上.所以我们类比直角坐标方程可以得到极坐标方程的定义，即：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，所以我们这里要求至少有一组能满足极坐标方程．则这个点在曲线上.【设计意图】利用类比的思想，从熟悉的概念得到新的数学概念，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 归纳梳理、理解提升分析上述实例，你能得出求解极坐标方程的一般步骤吗？求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标θρ,的关系式0),(=θρf 表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．(2)连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．(4)检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．【设计意图】通过实例类比总结方法，培养学生数学抽象、归类整理意识． 探究二 探究直线的极坐标方程 ●活动 互动交流、初步实践组织课堂讨论：结合极坐标方程的定义及求解极坐标方程的步骤，我们动手求解：直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为3π的直线的极坐标方程.M如右图，以极点O 为分界点,直线l 上的点的极坐标分成射线,OM 射线M O '两个部分，射线OM 上任意一点的极角都为3π，所以射线OM 的极坐标方程为：)0(3≥=ρπθ；而射线M O '上任意一点的极角都是34π，所以射线M O '的极坐标方程为：)0(34≥=ρπθ 综上：直线l 的极坐标方程可以用)0(3≥=ρπθ和)0(34≥=ρπθ表示现在产生一个问题：能否用一个方程来表示呢？我们定义：若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称.这样就可以将ρ的取值范围推广到全体实数.于是在允许R ∈ρ，那么上述直线l 的极坐标方程就可以写为： )(3R ∈=ρπθ或)(34R ∈=ρπθ 【设计意图】得到特殊直线的极坐标方程，加深对极坐标方程内涵与外延的理解，突破重点． 探究三 探究极坐标方程与直角坐标方程的联系★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识在学习了极坐标方程及求解步骤后，动手做一做：在极坐标系中，圆心为)4,1(πA ,半径为1的圆的极坐标方程是多少呢？如右图所示，设),(θρP 为圆上任一点，当P A O ,,三点不共线是，在OPA ∆中利用余弦定理可得222)4cos(2AP OAOP OP OA =--+πθ1)4cos(212=--+∴πθρρ即 )4cos(2πθρ-=当P A O ,,三点共线时，点P 的坐标为)43,0(π或)4,2(π，这两点的坐标满足上式，所以上式为所求的圆的极坐标方程.在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.【设计意图】巩固极坐标方程的求解，同时为极坐标方程与直角坐标方程的转化作准备． ●活动② 强化提升、灵活应用),(θρPO根据上节的直角坐标与极坐标的互化，先把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.，然后先求直角坐标系下的圆的方程；即由于圆心在极坐标系下为)4,1(πA ，则在直角坐标系下圆心)22,22(A ，半径1=r ，所以圆的直角坐标方程为：1)22()22(22=-+-y x ，整理得：y x y x 2222+=+，因为=x θρcos ， =y θρsin ，代入直角坐标方程得)4cos(2sin 2cos 22πθρθρθρρ-=+=化简得： )4cos(2πθρ-= 【设计意图】掌握极坐标方程与直角坐标方程的转化，进一步认识极坐标系． 活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 极坐标方程2πρ=表示( )A ．直线B ．射线C ．圆D ．椭圆 【知识点】曲线与极坐标方程．【解题过程】44,222222ππρπρ=+∴=∴=y x ，所以曲线表示的是圆． 【思路点拨】通过转化为直角坐标方程来判断． 【答案】C同类训练 极坐标方程)(21sin R ∈=ρθ表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．一条射线 【知识点】曲线与极坐标方程． 【解题过程】∵sin θ＝21，∴)(26Z k k ∈+=ππθ或)(265Z k k ∈+=ππθ,又∵R ∈ρ，∴)(21sin R ∈=ρθ表示两条相交直线． 【思路点拨】通过极坐标方程来判断． 【答案】A例2 把下列直角坐标方程化成极坐标方程．（1）0132=--y x （2）0222=++y y x （3）1022=-y x【知识点】直角坐标方程化成极坐标方程．【解题过程】（1）由=x θρcos ，=y θρsin ，代入直角坐标方程0132=--y x 得，01sin 3cos 2=--θρθρ，即01)sin 3cos 2(=--θθρ（2）由上同理可得：θρsin 2-= （3）102cos 2=θρ 【思路点拨】利用直角坐标与极坐标互化公式求解．【答案】（1）01)sin 3cos 2(=--θθρ；（2）θρsin 2-=；（3）102cos 2=θρ同类训练 把下列极坐标方程化为直角坐标方程． （1） 2sin =θρ （2） θθρsin 4cos 2-= 【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化．【解题过程】（1）由=x θρcos ， =y θρsin ，代入极坐标方程2sin =θρ得，2=y ，即02=-y （2）由θθρsin 4cos 2-=，等式两边同乘以ρ得θρθρρsin 4cos 22-=，所以y x y x 4222-=+，即：5)2()1(22=++-y x【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如θρsin ，θρcos ，2ρ的形式，进行整体代换．【答案】（1）02=-y ； （2）5)2()1(22=++-y x .【设计意图】巩固极坐标方程的求解、判断以及直角坐标方程与极坐标方程的互化． ●活动4 强化提升、灵活应用例3 已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离．【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ化为直角坐标方程，得：1=+y x .把点A 的极坐标)47,2(π化为直角坐标，得：)2,2(-在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离222122=--=d ，所以点)47,2(πA 到直线22)4sin(=+πθρ的距离为22． 【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题． 【答案】22． 同类训练 求极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离． 【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程2)cos (sin =-θθρ化为直角坐标方程，得：2=-x y . 把极点的极坐标)0,0(化为直角坐标，得：)0,0(在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离22200=--=d ，所以极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离为2． 【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题． 【答案】2． 3.课堂总结 知识梳理（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．（2）求曲线的极坐标方程的一般步骤：①建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．②连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．④检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．（3）若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称． 重难点归纳（1）求解平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．（2）极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验． （三）课后作业 基础型 自主突破1．经过极点，从极轴到直线l 的夹角是4π的直线l 的极坐标方程是（ ）A ．)0(4≥=ρπθ B ．4πρ=C ．)0(4>=ρπθ D ．)(4R ∈=ρπθ【知识点】极坐标方程．【解题过程】将直线l 画在极坐标系中，易得选项D 正确. 【思路点拨】根据根据图像进行判断． 【答案】D ．2．直线33x －y ＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是( ) A ．θ＝π6 B ．θ＝76π C ．θ＝π6和θ＝76πD ．θ＝56π【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化． 【解题过程】由33x －y ＝0，得33ρcos θ－ρsin θ＝0，即tan θ＝33，∴θ＝π6和θ＝76π．又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝π6和θ＝76π表示 【思路点拨】极坐标方程与直角坐标方程互化． 【答案】C3．极坐标方程cos θ(ρ≥0)表示的曲线是( )．A ．余弦曲线B ．两条相交直线C ．两条射线D ．一条射线 【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】∵cos θ，∴θ＝4π±＋2k π(k ∈Z )．又∵ρ≥0，∴cos θ表示两条射线． 【思路点拨】利用三角函数图像可得． 【答案】C ．4．圆的极坐标方程ρ＝cos θ－2sin θ对应的直角坐标方程为( )A.45)1()21(22=+++y xB.45)1()21(22=++-y xC.45)1()21(22=-+-y xD.45)1()21(22=-++y x【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．【解题过程】θρθρρθθρsin 2cos ,sin 2cos 2-=∴-= ，所以y x y x 222-=+即45)1()21(22=++-y x ，所以选B.【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】B ．5．极坐标系内，点)2,1(π到直线ρcos θ＝2的距离是________．【知识点】极坐标与直角坐标的转化．【解题过程】点)2,1(π的直角坐标为(0，1)，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，故点(0，1)到直线x ＝2的距离是d ＝2.【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】2．6．在极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcos θ－4ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2cos θ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________．【知识点】直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x －4y ＋5＝0，圆的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d ＝|3×1－4×0＋5|32＋42＝85，所以A ，B 两点之间距离的最小值为d －r ＝85－1＝35．【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】 35． 能力型 师生共研7．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.)2,1(πB.)23,1(π C ．)0,1(D ．),1(π【知识点】极坐标与直角坐标互化、圆的标准方程．【解题过程】由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为)23,1(π. 【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】B ．8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1)3cos(=-πθρ，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【知识点】极坐标与直角坐标互化、极坐标方程．【解题过程】 (1)由1)3cos(=-πθρ，得1)sin 23cos 21(=+θθρ又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1， 即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N )2,332(π.(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标)332,0(. 又P 为MN 的中点， ∴点P )33,1(，则点P 的极坐标为)6,332(π. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 【思路点拨】把极坐标化为直角坐标求解． 【答案】(1)M (2,0)，N )2,332(π；(2) θ＝π6(ρ∈R ) 探究型 多维突破9．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ，曲线C 的极坐标方程为),2(sin 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππθθρ，求直线l 与曲线C 的交点的极坐标．【知识点】极坐标方程的应用． 【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】由⎪⎩⎪⎨⎧=-=22)4cos(sin 4πθρθρ 得：1sin cos sin 2=+θθθ，即：θθθ2cos cos sin = （1）当0cos =θ时，即2πθ=时，4=ρ（2）当0cos ≠θ时，即2πθ≠时，此时θθcos sin =，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππθθ,21tan ，所以不成立. 交点极坐标为)2,4(π【思路点拨】类比直角坐标系，联立方程组求解．【答案】)2,4(π．10．已知椭圆的中心在坐标原点O ，椭圆的方程为：12222=+b y a x ，B A ,分别为椭圆上的两点，且OB OA ⊥. （1）求证：2211OB OA +为定值；（2）求AOB ∆面积的最大值和最小值．【知识点】极坐标方程的应用．【解题过程】将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得（ρcos θ）2a 2＋（ρsin θ）2b 2＝1，即ρ2＝a 2b 2b 2cos 2θ＋a 2cos 2 θ，由于OA ⊥OB ，可设A (ρ1，θ1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ1＋π2，则ρ21＝a 2b 2b 2cos 2 θ1＋a 2sin 2 θ1，ρ22＝a 2b 2b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1.于是1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝b 2cos 2θ1＋a 2sin 2 θ1＋b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2θ1a 2b 2＝a 2＋b 2a 2b 2.所以1|OA |2＋1|OB |2为定值．(2)解析：依题意得到S △AOB ＝12|OA ||OB |＝12ρ1ρ2＝ 12·a 2b 2（b 2cos 2θ1＋a 2sin 2θ1）（b 2sin 2θ1＋a 2cos 2θ1）＝12·a 2b 2（a 2－b 2）2sin 22θ14＋a 2b 2，当且仅当sin 22θ1＝1，S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2；当sin 22θ1＝0，S △AOB 有最大值为ab 2. 【思路点拨】由于涉及到长度，所以将椭圆直角坐标方程转化为极坐标方程求解．【答案】（1）1|OA |2＋1|OB |2=a 2＋b 2a 2b 2；（2）S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2，S △AOB有最大值为ab2. 自助餐1．过点)4,2(πA 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A ．2sin =θρB ．2sin =θρC ．2cos =θρD ．2cos =θρ【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】如图所示，如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)(ρ≥0)，过Mx 轴于H .⎭⎪⎫2，π4，在直线l 上任意取点),(θρM ，过M 作x MH ⊥轴于H ，)4,2(πA 24sin 2==∴πMH ，,sin sin Rt OMH MH OM θρθ∴∆=∴=，所以，选B【思路点拨】利用根据所给的几何条件，寻找θρ,的关系式． 【答案】B ．2．极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.22B.2C.1D.2 【知识点】极坐标与直角坐标互化、两圆的关系．【解题过程】:将方程化为直角坐标方程.因为ρ不恒为零,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcos θ和ρ2=ρsin θ.∴x 2+y 2=x 和x 2+y 2=y .它们的圆心分别是(21,0)、(0,21),圆心距是22.【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解． 【答案】A ．3．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ上的两点A ，B 对应的极角分别为2π3，π3，则弦长|AB |＝________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、两点间的距离． 【解题过程】A ，B 两点的极坐标分别为)3,3(),32,3(ππ，化为直角坐标为)23,23(),23,23(-.故3)2323()2323(22=-+--=AB 【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解． 【答案】3．4．曲线θ＝0，θ＝π3(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积是__________． 【知识点】极坐标与直角坐标的互化、扇形的面积． 【数学思想】数形结合的思想【解题过程】将极坐标方程化为直角坐标系下的方程，分别为射线)0(3,0≥==x x y y ，圆1622=+y x ，他们围成的是一个圆心角为3πθ=，半径为4=r 的扇形，所以38212πθ==r S ． 【思路点拨】先化为直角坐标方程，再在直角坐标系中画出相应的图形可得．【答案】38π． 5．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：(1)x 2＋(y －2)2＝4； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】(1)∵x 2＋(y －2)2＝4，∴x 2＋y 2＝4y ，代入x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρ2－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)∵ρ＝9(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， ∴x 2＋y 2＝9x ＋9y ，即281)29()29(22=-+-y x(3)∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴x 2＋y 2＝16.【思路点拨】用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可．【答案】（1）ρ＝4sin θ；（2）281)29()29(22=-+-y x ；（3）x 2＋y 2＝16．6．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 【知识点】极坐标与直角坐标互化、三角形的面积．【解题过程】：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解，且把两圆画在极坐标系中，利用ρ的几何意义求三角形的面积．【答案】（1）C 1 ρcos θ＝－2，C 2 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0；（2）12.。
人教版数学选修4-4课件1.3 简单曲线的极坐标方程
理得 sin
O∠MO AM＝sin
∠1 OMA，
即 sin
ρ
34π＝sin
1π4－θ，化简得 ρ(cos θ－sin
θ)＝1，
经检验，点 A(1,0)也适合上述方程．则直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1.
方法二 先求过点 A 且倾斜角为π4的直线的直角坐标方程为 y－0＝tan π4(x－1)，
【例题 2】 求过点 A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程． 思维导引：作出图形，找出动点性质，运用正弦定理解三角形建立动点 M 的关系 式，从而建立动点(ρ，θ)的方程．也可先求出直角坐标方程，再转换成极坐标方程．
解析：方法一 由题意，设 M(ρ，θ)为直线上任意一点，则△OAM 中，由正弦定
的任意一点． • (2)由曲线上的点所合适的条件，列出曲线上
任意一点的极径ρ与极角θ之间的关系式． • (3)将(2)所得方程进行整理与化简，得出曲线
• 【例题4】 (202X·河南郑州高二检测)从极点 O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M， 在OM上任取一点P，使OM·OP＝12.
• (1)求点P的轨迹方程；
• (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； • (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线
C上． • 满足以上两点则说曲线与方程建立了一一对
应的关系，方程是曲线的方程，曲线是方程 的曲线．
•要点二 曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上 的任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标满足方程f(ρ，θ)＝0的 点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲 线C的____极__坐_标__方_程______．
高中数学选修4-4 1.3简单曲线的极坐标方程 人教版(2)精选教学PPT课件
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
练习：设点A的极坐标为 ( a , 0) ，直线l过 点A且与极轴所成的角为 ,求直线 l 的 极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， 在MOA 中有
a sin( ) sin( ) 即
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
例题3设点P的极坐标为( 1 ,1 ) ，直线l过 点P且与极轴所成的角为 ,求直线 l 的 极坐标方程。
1 P
M
o
﹚ ﹚
1
x
解：如图，设点 M ( , ) 为直线上除 点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3 O P = /4 X
M
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲三简单曲线的极坐标方程
当点 P 在极轴的反向延长线上时，P 点的极坐标为(1， π)或(3，π)，经验证，也适合这个方程，故 ρ2＋4ρcos θ＋ 3＝0 为所求圆的极坐标方程．
(3)设点 P(ρ，θ)为所求圆上任意一点，当点 P 不在直 线 θ＝π4上时，根据余弦定理，得 12＝ρ2＋(2 2)2－4 2 ρcosπ4－θ，即 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.
2．圆的极坐标方程(半径为 r)
圆心位置
极坐标方程
图形
圆心在极点(0，0)
ρ＝r (0≤θ<2π)
圆心在点(r，0)
ρ＝2rcos θ －π2≤θ<π2
圆心在点r，π2 圆心在点(r，π)
圆心在点r，32
π
ρ＝2rsin_θ (0≤θ<π) ρ＝－2rcos θ π2≤θ<32π ρ＝－2rsin θ (－π<θ≤0)
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程．( ) (2)tan θ＝1 与 θ＝π4表示同一条曲线．( ) (3)ρ＝3 与 ρ＝－3 表示同一条曲线．( ) (4)极坐标方程 θ＝34π表示的图形是一条射线．( )
ρ2cos2θ ρ2sin2θ 得 4 ＋ 3 ＝1，即
ρ2(3cos2θ＋4sin2θ)＝12.
④把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2－y2＝2 中， 得 ρ2cos 2θ＝2. (2)①把 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入方程 ρcos θ－ρsin θ －1＝0 中，得 x－y－1＝0. ②把 ρ＝ x2＋y2代入方程 ρ＝3 中，得 x2＋y2＝9.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
人教版A版高中数学选修4-4：简单曲线的极坐标方程
归纳:求曲线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；
2、设点M(, )是曲线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求(可 以省略)。
例1.已知圆O的半径为a，建立怎样的极坐标 系，可以使圆的极坐标方程更简单？
1、求以下常见圆的极坐标方程，并作图：
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有 如下关系：
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一 个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ 上。
则方程f(,)=0叫做曲线Ｃ的极坐标方程．
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
4
； ； ；
பைடு நூலகம்； 。
例 2．方程互化
（1）化直角坐标方程 x 2 y 2 8 y 0 为 极坐标方程
6 cos( ) （ 2）化极坐标方程
为直角坐标方程 [来源:]
3
练习：
1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并作图：（1） 2 ；（2） 4sin .
2、求下列圆的圆心的极坐标：
（1） 5cos ； （2） 2 sin( ) .
4
小结：知识、思想方法、数学核心素养
1.3 简单曲线的极坐标方程 课件(34张PPT)高中数学选修4-4(人教版A版)
3．圆的极坐标方程
圆心为M(ρ0，θ0)、半径为r的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos (θ－θ0)＋ －r2＝0.
2 0 特别当圆心与极点重合时，圆的方程为ρ=r.
练习 几个特殊位置的直线的极坐标方程． ①直线过极点且过点M(ρ0，θ0)的极坐标方程为____________． ②直线过点M(a,0)且垂直于极轴的极坐标方程为____________． ③直线过点M 且平行于极轴的极坐标方程为____________．
3.利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题， 尤其是涉及线段间数量关系的问题.求极坐标系下的轨迹 方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致.如定义 法、直接法、参数法等. 4.不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极 坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单 的极坐标方程.反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐 标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标 系内的方程.这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过 程大为简化. 5.处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路： （1）化极坐标方程为直角坐标方程再处理； （2）根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换.
3π π 5π 5π 7π － ＝ ，∴∠OAM＝π－ ＝ . 4 3 12 12 12 3π 又∵∠OMA＝∠MBx－θ＝ －θ，在△MOA 中，根据正 4 3 ρ 弦定理，得 ＝ . 7 π 3 π sin 4 －θ sin 12 π π 2＋ 6 7π ∵sin ＝sin 4＋3＝ ， 12 4 3π 将 sin 4 －θ 展开，化简上面的方程，可得 3 3 3 ρ(sin θ＋cos θ)＝ ＋ . 2 2 π 3π 即过点 A3，3 且和极轴成 的直线方程为 4 3 3 3 ρ(sin θ＋cos θ)＝ ＋ . 2 2 ∴∠OAB＝
人教版A版高中数学选修4-4简单曲线的极坐标方程
(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)．
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ.
将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在
点
21，
0
，半径为
1 2
的圆．
13．在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P 2，π4，圆心为 直线 ρsinθ－3π=－ 23与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程．
简单曲线的极坐标方程
1．理解极坐标方程的意义．
2．能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程．
3．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系 中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系 的意义．
1．定义
如果曲线C上的点与方程f(ρ，θ)＝0有如下关系：
(1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方 程f(ρ，θ)＝0.
解析：(1)∵ρ2cos 2θ＝1，
∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.
∴化为直角坐标方程为 x2－y2＝1.
(2)因为
ρ＝csoins
θ1 θ·cos
θ，
∴ρcos2θ＝sin θ，ρ2cos2θ＝ρsin θ.
∴化为直角坐标方程为 x2＝y.
(3)∵ρ＝2cos θcos 4π＋2sin θsin 4π＝ 2cos θ＋ 2sin θ，
(2)方程f(ρ，θ)＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上，则 曲线C的方程是f(ρ，θ)＝0.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它 的方程为ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α).
3．圆的极坐标方程 圆心为M(ρ0，θ0)、半径为r的圆方程为
高中数学选修4-4(人教A版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习及答案
第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程
一、知识清单
极坐标与极坐标方程
二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程 描述： 极坐标系 在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取 逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox称为极轴．平面任一点M 的位置可以由 线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画．这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐 标．ρ 称为极径，θ 称为极角． 在极坐标系(ρ, θ)中，一般限定ρ ≥ 0．当ρ = 0时，就与极点重合，此时θ 不确定．给定点的极坐 标(ρ, θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有 无穷多种表示形式．事实上，(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点，其中k 为整数．可见，平面上的 点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定ρ ≥ 0， 0 ≤ θ ≤ 2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系． ρ < 0，此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ 角的射线的反向 延长线上，它到极点O 的距离为|ρ|，即规定当ρ < 0时，点M (ρ, θ)就是点M (−ρ, θ + π)． 极坐标与直角坐标系的关系 设M 为平面上的一点，它的直角坐标系为(x, y)，极坐标为(ρ, θ)．则有{ x = ρ cos θ 或
⎧ ρ2 = x 2 + y 2 ⎨ ⎩ tan θ = y (x ≠ 0) ，ρ < 0也成立． x
y = ρ sin θ
曲线的极坐标方程 在给定的平面上极坐标系下，有一个二元方程F (ρ, θ) = 0．如果曲线C 是由极坐标(ρ, θ)满足方程 的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ, θ) = 0为曲线C 的极坐标方程． 圆心(a, 0)在极轴上且过极点的圆，其极坐标方程是ρ = 2a cos θ ；圆心在点(a, 圆，其极坐标方程是ρ = 2a sin θ，0 ≤ θ ≤ π．
选修4-4第一章《简单曲线的极坐标方程》
讲义编号_
学员编号： 学员姓名： 课 题 年 级： 辅导科目：数学 简单曲线的极坐标方程 1、进一步理解极坐标系和极坐标方程。 教学目的 2、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的 极坐标方程。 教学内容 课 时 数： 3 学科教师：
授课日期及时段
, ) 的极坐标满足方程 . 4 4
5 , ) 可以表示为 ( , 2 )或( , 2 )或(- , ) 等多种形式 , 其 4 4 4 4 4 4 4 4
三、重难点突破
例 1 、 在 极 坐 标 系 中 ， 如 果 A(2,
4
), B (2,
cos 4, 设A(0 ,0 ),P( , ),∵点 A 在直线 cos 4 上，
∴ 0 cos 0 4 ∵⊿OPA 为等腰直角三角形，且∠OPA= ∴ 0 = 2 ，且 0 ①
4
，而|OP|= ，|OA|= 0 ，以及 POA ， 4 2
二、知识梳理
1、极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示
,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一
个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标
sin sin( ) 3
(0
3
), 即为所求极坐标方程.
例 3、如图，点 A 在直线 x=4 上移动，⊿OPA 为等腰直角三角形，⊿OPA 的顶角为∠OPA（O，P，A 依次按顺时针 方向排列） ，求点 P 的轨迹方程，并判断轨迹形状。
高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4-4
= cos,
(1)将互化公式
代入直角坐标方程后化简整理即可得
= sin
到相应的极坐标方程;
2 = 2 + 2 ,
tan = ( ≠ 0),
(2)利用公式
将极坐标方程中涉及 ρ,θ 的式子
cos = ,
sin =
全部换成关于 x,y 的式子,化简整理后即可得到相应的直角坐标方
果不加特殊说明,就认为ρ≥0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 (1)极坐标方程ρ=4asin θ化为直角坐标方程
为
;
(2)极坐标方程ρ=9(cos θ+sin θ)化为直角坐标方程
为
.
(3)直角坐标方程x+y-2=0化为极坐标方程
是
;
(4)直角坐标方程2x2+2y2-3x+7=0化为极坐标方程
变式训练1
r=1的圆M的极坐标方程是
.
解析：设 P(ρ,θ)是圆上任意一点,连接 OP,PM.在△OMP 中,由余
弦定理可得 16+ρ2-2×4×ρcos -
π
6
=1,整理得 ρ2-8ρcos -
故圆 M 的极坐标方程是 ρ2-8ρcos -
答案：ρ2-8ρcos -
π
6
+15=0
π
6
+15=0.
π
6
+15=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二求直线的极坐标方程
π
【例2】 求过点A(1,0)且与极轴所成的角为 4的直线的极坐标方
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1
复习
1、极坐标系的四要素
极点；极轴；长度单位；角度单位
及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
教资优选
2
曲线的极坐标方程
一 定义：如果曲线Ｃ上的点与方程
M
＝a
Or
x
教资优选
7
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r.
设M (, )为圆上任意一点，则OM r,即 ＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
教资优选
8
例3.半径为a的圆的圆心坐标为(a,/2)(a>0)
＝5 3 cos 5sin，
求在直角坐标系下圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin两边同乘以得
2＝5 3 cos－5 sin即化为直角坐标为
x2 y2 5 3x 5y 即(x 5 3 )2 ( y 5)2 25
2
2
所以圆心为(5 3 , 5),半径是5 22
你可以用极坐标方程直接来求吗？
教资优选
19
6、已知圆C1 : 2cos,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0,
试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角坐标方程为 C1 : (x 1)2 y2 1,圆心O1(1,0)半径为1 C2 : x2 ( y 3)2 1，圆心O2 (0, 3)半径为1 O1O2 2所以两圆相外切。
求圆的极坐标方程。
＝2asin
AM
O
x
教资优选
9
例4.如图，半径为a的圆的圆心坐标为
Ca,1 a>0)，圆的极坐标方程？
M (,) A
C a,1
O
x
2a cos( 1)
教资优选
10
例5.如图，Ｃ(1,1)，半径为r圆的极坐标方
程？
教资优选
11
解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在 △OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ.
(1)中心在＝极a点，半径为a；
(2)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
(3)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin
(4)中心在(a,1)，半径为a；
2a cos( 1)
(5)中心在Ｃ(1,1)，半径为r教资优选
13
思考：已知一个圆的极坐标方程是
f(,)=0有如下关系
（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标 中至少有一个）符合方程f(,)=0 ；
（２）以方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
教资优选
3
二 求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设M（ ，)为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程f(,)=0即为曲线的方程）
教资优选
20
四 直线的极坐标方程：
思考：在平面直角坐标系中 过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 ; 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3
教资优选
21
例1：
⑴求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
M
﹚4
o
x
( 0)
4 教资优选
22
5
（2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
5 ( 0)
4
（3）求过极点，倾斜角为 4 的直线的极坐标方程。
4
44
教资优选
18
4、圆＝10cos( )的圆心坐标是（ C ）
A、(5,0)
3
B、(5,
)
3
C、(5, )
3
D、(5, 2 )
3
5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的
2
极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。
解：＝4 cos( ) 4sin
2
化为直角坐标系为 2＝4 sin
即x2 y2 4 y x2 ( y 2)2 4
根据余弦定理,得
CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1), 即r2=ρ12+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1). 也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ12-r2)=0.
即：2+ 1 2 -2 1 cos( - 1)= r2
这就是圆在极坐标系中的一般方程.
教资优选
12
圆的几种极坐标方程
练习2
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是( )
A. 2 cos B. 2 sin
4
4
C . 2cos 1 D. 2 sin 1
2、曲线的极坐标方程＝4sin 化为直角坐标
方程是什么？ x2 ( y 2)2 4
教资优选
16
3、极坐标方程 cos( )所表示的
中 OM OA cos MOA即＝2a cos...........(1)
可以验证，点O(0, ), A(2a, 0)的坐标满足等式(1)
2 所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合
等式(1)的点都在这个圆教上资优。选
6
例2.已知圆O的半径为r，极坐标方程？
4
曲线是 （ D ）
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
解：该方程可以化为＝cos( )
4
以(1 , )为圆心，1 为半径的圆。
24
2
教资优选
17
解：＝cos cos sin sin
4
4
2 2 cos 2 sin即
2
2
x2 y2 2 x 2 y 0 22
(x 2 )2 (y 2 )2 1
教资优选
14
已知一个圆的极坐标方程是＝5 3 cos 5sin，
求圆心坐标和半径。
解：原式可化为
＝10(cos 3 sin 1) 10 cos( )
2
2
6
所以圆心为(5, ),半径为5
6
结论：
圆心为(a,1)(a 0)半径为a，圆的极坐 标方程为＝2a cos(教资优选1)，此圆过极点O。15
教资优选
4
例1.半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)， 极坐标方程：
＝2acos
M (,)
O
A
C(a,0)
教资优选
x
5
解：圆经过极点O。设圆与
M (,)
极轴的另一个交点
是A，那么 OA ＝2a,
O
A
C(a,0)
x
设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO