数学中的类比思想

小议数学中的类比思想

王安平

关键字：类比的思想数形之间、数数之间的类比

所谓类比，是指两种事物之间存在着相互类似的性质或特点。这个词来源于希腊文“analogia ” 原意为比例，后来引申为某种类似的事物。

类比的思想方法在科学发展中占有着十分重要的地位。例如，著名科学家牛顿的万有引力定律就是把天体运动与自由落体运动做类比而发现的；著名的生物学家达尔文把植物的自花受精与人类的近亲结婚相类比，从而发现了自己子女体弱多病的原因。

类比的思想涉及了对知识的迁移。所谓迁移就是一种学习对另一种学习的影响。在教学中我们应当注意对学生迁移意识的培养，也就是说要注重运用类比的思想。

在我们平时的数学教学中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习；另外，在教学中也可以利用类比的思想进行教学。的确，类比法是学习数学的一种常用方法。

数学的类比主要体现在以下几个方面：

㈠几何图形之间的类比

（1）几何形体数量关系的类比平面图形

立体图形三角形面积公式：ah S 21

= 三棱锥体积公式：Sh V 31=

梯形的面积公式：h b a S )(21+= 棱台的体积公式：

h S S S S V )(3

12211++= 在以往的高考题目中，也出现了类似题目。

例如：在某年上海的高考模拟题中的一道题：

已知：在平面几何有勾股定理：“假设ABC ?的两边AB 、AC 互相垂直，则有关系：222BC AC AB =+。”当我们拓展到空间，类比平面几何的勾股定理并研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系时，我们可得到相应结论：假设三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两

两垂直，则2222BCD ADB ACD ABC S S S S ????=++

（2）几何性质之间的类比

例如，几何体中的椭圆与双曲线就有很多的相似之处：焦点类型

在x 轴或在y 轴上焦点坐标

（1）在x 轴上)0,(c ±

（2）在y 轴上),0(c ±

离心率 a c e = 准线（1）在x 轴上c

a x 2±= （2）在y 轴上c

a y 2±= 在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比，例如：

三角形存在唯一的

外接圆和内切圆

三棱锥存在唯一的外接球和内切球三角形的三条中线三棱锥的四条中线

交于一点，且该点分每条中线的比为1:2

相交于一点，且该点分

每条中线的比为1:3 三角形的三条角平分线交于一点，这个点是三角形内切圆的圆心。三棱锥的六个二面

角的平分面相交于一

点，这个点是三棱锥内

切球的球心。

同样是在某年上海的高考模拟题中的一道题：

已知：在三角形中存在余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，

那么，在三棱柱111C B A ABC -中存在关系（假设α表示平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角）：

αcos 2111111111

1222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S -+= ㈡数与形之间的类比

众所周知，初等数学可分为代数与几何。在数学发展的初期，代数与几何是相互独立的两个学科,但随着解析几何的产生，代数与几何实现了统一。数形结合的思想也是我们在平时教学过程中需重点培养学生所具备的一种数学思想。下面我们看几道例题：例1：求函数x

x y sin 2cos 3+-=的最值分析：这道题如果我们按照代数运算的常规解法，只能作出如下解答： 2222222min max 3cos 2sin 3cos sin cos 322sin 1sin()32sin()111|32|1(32)1312806362363633333

x y y y x x y x x y x

y x y x y y y y y y y y y y y θθ-=?+=-?+=-?+++=-?+=?≤++?-≤

+-≤+?-+≤?-+-+≤≤?==

但是本题，我们若利用数形结合的思想，则会使解答过程大幅度简化。当我们考虑到题目所给形式与直线的斜率公式

)(211

212x x x x y y k ≠--=有些类似时，我们可以认为原题为：过动点)cos ,sin (x x -与定点)3,2(的连线的斜率的最值，很明显，点)cos ,sin (x x -是单位圆上的点。假设过点)3,2(的直线方程为)2(3-=-x k y ，则求原题的最值就转化为求上面这条直线与单位圆相切时k 的值。由原点到直线的距离为1，所以通过点到直线的距离可得，6233

k ±=

。所以，原题min max 62362333y y -+==。例2 求函数22()4131026f x x x x x =-+-+

分析：对于这道求函数最值的问题，我们可以利用判别式的方法或其它一些代数方法进行求解，但是它们的计算量都较大。当我们观察到题目中只含有二次根式，并且在二次根式中含有二次式，同学们可以联想一下，在高中阶段我们所学的公式中，两点间的距离公式是满足这种形式的。所以，可以将原函数配凑成两点间距离公式的形式2222)10()5()30()2()(++-+-+-=x x x f 。可见，这里面包含着三个点(x ,0),(2,3)和(5,-1)。依次设三点为A,B,C ，其实本题就是在求AB AC +的最小值。在坐标系内画出这三点，其中A 点在x 轴上移动，当这三点共线时AB AC BC +=；当A 点不在BC 上时，这三点构成三角形，由三角形的知识我们知道AB AC BC +>。不难看出，只有当三点共线时AB AC +有最小值BC 。所以，min min ()()5f x AB AC BC =+==

通过简单计算可知，这时174

x =。在各个省市的高考模拟题中经常出现类似于这样的题目：

例3：方程：3log 3=+x x 的解所在的区间是（）

A (0,1)

B (1,2)

C (2,3)

D (3,4)

从表面上看，这是一道解方程的题，然而这种题如果利用解方程的常规方法，也只有利用逐步逼近的最小二乘法才能解决，但是这种数学方法的运用要求同学们有高等数学的知识，这只有到了大学才能学到，那么这道题对于高中阶段的同学们就无从下手了吗？我们先来回顾一下有关方程的一些表示的几何意义。例如：方程0782=+-x x 表示的就是一个二次函数782+-=x x y 与x 轴的交点，也可以说成一个二次函数x x y 82-=与一个常量函数70y -=的交点，所以由此可知原题3log 3=+x x 的解实际上就是一个在求对数函数x y 3log =和一个一次函数x y -=3的交点横坐标。可见，我们只要在同一个坐标系内画出x y 3log =和x y -=3的图像，然后观察交点的横坐标所在区间就可以了。通过画图像可明显得到交点的横坐标所在的区间为（2,3），选C 。

应该讲数与形的类比中蕴含着数形结合的数学思想，这是高职、高考中的一个重点，应该引起足够的重视。

㈢数与数之间的类比

在代数中有一些概念是存在类比关系的，例如均值不等式中二元均值不等式

三元均值不等式 ab b a 222≥+

abc c b a 3333≥++ ab b a 2≥+ 33abc c b a ≥++

数学中的归纳类比(填空)

数学中的归纳类比 1．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点 ()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?????=+--? ? ???????????--?????=+- ? ??????? ，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案第2012棵树种植点的坐标应为______________． 2．根据下面一组等式： 1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111, s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++= ………… 可得13521n s s s s -+++???+=__________． 3．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”： 1 3 7 22 32 42 3 5 9 1 7 25 23 3 33 9 43 27 5 11 29 仿此，若3 m 的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为________． 4．已知实数数列{}n a 中，1a =1，6a =32，2 12 n n n a a a ++=，把数列{}n a 的各项排成如右图的三角形状。记(,)A m n 为第m 行从左起第n 个数，则若()50 (,),2A m n A n m ?=，则m n +=________． 5.观察下列各式：2 2 1,3,a b a b +=+=3 3 4 4 5 5 4,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010 a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a ? ? ?

小学数学教学中的类比迁移法

小学数学教学中的类比迁移法成都大学师范学院（610106）冯德雄李璐杨肖摘要：类比迁移法降低了认知结构建立的系数，在数学教学中有广泛的应用。本文探讨小学数学教学中如何应用类比迁移法，分析类比思想在小学数学教学中的积极作用，指出当前在数学教学中应用类比迁移法教学的误区。一方面在小学数学教学中渗透数学类比思想方法，学生学会类比思想方法。另一方面教师恰当地用类比促进小学生学习的正迁移。关键词：类比迁移；思维；小学数学；数学教学关于类比迁移的研究中表明，类比迁移的方法对于学习新的技能、科学知识和数学知识、进行科学发现和探索、培养创造力有比较显著的作用。这是因为人类已经逐渐认识到，学习并不仅仅是简单地给认知结构里增加新知识，掌握抽象的规则，学习的成功也经常依靠我们从记忆中提取出相关的知识、技能、经验，并以这些成功经验为出发点又去学习新的知识和技能，这样循环反复的学习和更新即类比迁移。因此，实践证明，有关类比迁移的研究，为人类学习新知识和新技能，以及教育的改革和发展具有重要的引导以及实践意义。小学数学教学不只是教会学生会计算、做题，而是要求学生学会数学思维的方法。数学在培养人的逻辑思维与非逻辑思维是其他任何一个学科都不能代替的。一方面在小学数学教学中渗透数学类比思想方法，学生学会类比思想方法。另一方面教师恰当地用类比促进小学生学习的正迁移。本文以教学中的课堂片段为例，具体分析类比迁移法在数学教学中的应用。探讨在小学数学教学中如何更好的应用类比迁移。一、小学阶段研究类比迁移法的意义小学是幼年儿童走进知识殿堂学习的最初的一个大的环境，是人们接受最初阶段正规教育的学校，是基础教育的重要组成成分。在这个阶段，养成良好的学习习惯和形成正确的思维方式和方法，对于一个人来说是至关重要，甚至是影响他一辈子的成就和幸福。伟人曾说过，一个答案只能用一次，一个方法可以用很多次，但是一种思想或者思维方法却可以用一辈子。小学数学教学中应用类比法,可以锻炼学生不同的思维模式，同时为学生学习、沟通知识间的联系,帮助学生建立良好的认知结构。这样的教学方法有很多，如果能在小学这个阶段不断渗透学习思维方法，为学生创设良好的学习情境，定不会能教出只会做题的迂腐学子。成都市小学使用的北师大版小学数学教材，在内容设计上也含有类比的思想。但是，北师大版教材的难度较大，隐身知识很多，知识点之间的联系不紧密，新接触这个教材的教

数学中的归纳与类比

数学教学中的归纳与类比摘要：数学教师要想有所发现、有所创造并培养出有创新能力的学生, 就要认真研究数学发现中的规律, 研究数学的思想方法，只有掌握了正确的数学思想方法, 才能学得深刻, 理解得透彻, 才能用学到的知识解决实际问题。关键词教学归纳类比学习数学史, 看看数学家们实际的工作, 我们会发现, 和其他自然科学一样, 数学家们的科学研究工作也是从观察和实验开始, 通过归纳和类比, 经历失败和挫折, 终于领悟而发现一条规律, 做出一个证明的。伟大的数学家拉普拉斯曾经说过, “甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳和类比。”而开普列是说到“我珍惜类比胜于任何别的东西, 它是我最可信赖的老师, 它能揭示自然界的秘密, 在几何学中它应该是最不容忽视的。”欧拉, 这位十八世纪里领袖的数学家和带头的物理学家, 也正是一位用归纳和类比方法的大师,他曾经用正确的归纳和大胆的类比做出了很多惊人的著名的数学发现。本文通过一些教学中的例子，来说明归纳与类比的重要性。 1、归纳所谓归纳, 作为数学思想方法, 是指通过对特例的分析去引出普遍的结论，主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论, 有时得到的结论不一定是正确的, 要求对归纳出的结论进行严格的证明。具体过程是:归纳(不完全) ——猜想——完全归纳(数学归纳法证明) 。数学归纳法是应用范围相当广泛的论证方法, 其基本形式是: 为了证明与参数n 有关的命题对一切自然数成立, 首先验证归纳基础, 其次提出归纳假设, 最后完成归纳过渡, 从而得到结论对一切自然数成立。归纳包括：枚举归纳、、类比归纳、实验归纳、统计与模式归纳。 1.1 枚举归纳枚举归纳法是从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的

高中数学教学中类比思想方法

高中数学教学中类比思想方法古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。清华网校的学习方法栏目由清华附中名师结合多年教学经验和附中优秀学生学习心得组成，以帮助学生培养良好的学习习惯为目的，使学生在学习中能够事半功倍。全日制中学教学大纲指出，要重视能力的培养，使学生逐步学会分析、综合、归纳、类比等重要的思想方法。在各种逻辑推理方法中，类比思想方法是富于创造的一种方法。这是因为它可以跨越各个种类进行不同类事物的类比，可以比较本质的特征，也可以比较非本质的特征，因而具有较强的探索和预测作用。根据高中生的抽象逻辑思维从经验型向理论型急剧转化的心理特点和高中数学教材的特点，教学中恰当地应用类比方法，不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力。南安县教育局陈进兴老师把高中数学教学中的类比形式分成两大类：第一类，同构类比。这是类比中的一种极端形式。同构的意义是一个集合M和N之间的一一对应f是一个对于代数运算O和来讲的M和N 之间的同构对应，假如在f之下，a∈M，b∈M，如果在M、N之间，对代数运算O和，M和N同构，记为M?N。例如，坐标平面上有序实数对（x，y）所组成的集合X 与平面上向Z的集合Y的对应f：（x，y）→x+yi，那么X?Y。在中学数学中，最常见的同构类比就是数形结合、函数与图像，代数与解析几何等。由两点间的距离公式得几何意义为点P（X，O）到点A（1，2）与点B（2，3）距离之和的最小值，利用同构类比转化如图，根据几何定理，|PA|+|PB|的最小值为A关于X轴对称点A′（1，2）与点B的距离，第二类，非同构类比。即从对象的某些属性相同推出它们的其它属性相同，这是高中数学中大量采用类比形式，常常又可分为： 1．相对概念的类比。数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似。”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。例如：高中立体几何中“二面角的定义”，从模型引入二面角后可以从平面几何角的概念，类比概括二面角的定义，见下表：

类比思想是最基本最重要的数学思想方法

类比思想是最基本最重要的数学思想方法内容概述类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理思想（由特殊到特殊）。类比思想是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具．类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出的。在高中数学中，类比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更能体现数学思想方法之奇妙．恰当的运用类比思想，可以帮助学生举一反三、触类旁通，提高解题能力，也可以引导学生去探索获取新知识，提高学生的创新思维能力．类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法．当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说．否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的问题上去思考。通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有问题的方法移植过来，为所要解决的问题指引了方向．例题示范例1：等差数列{n a }中，若100a =，则有12n a a a ++ +1219n a a a -=+++ (19,)n n N +<∈成立，类比上述性质，在等比数列{n b }中，若9b =1，则_______. 解：在等差数列中，100a =，那么以10a 为中心，前后间隔相等的项和为0，即 9118120,0a a a a +=+=，…所以有121219(19,) n n a a a a a a n n N -++++=+++<∈成立．类比过来：同样在等比数列{n b }中，若9b =1，则以9b 为中心，前后间隔相等的项的积为1，即8107111,1b b b b ==，所以有下列结论成立：121217(17,)n n b b b b b b n n N -+=<∈ 评析：在等差数列和等比数列的性质类比中，常见的运算类比有：和类比为积，差类比为商，算术平均类比几何平均等等。当然此题中已知等式的左右式子各项特征，特别是下标变化规律是类比的关注点。例2：在平行四边形ABCD 中，有2222 2()AC BD AB AD +=+,类比在空间平行六面体 1111ABCD A B C D -中，类似的结论是_______。解：如图，平行四边形ABCD 中，设向量AB a =，AD b = ,则AC a b =+，DB a b =-, 有 () 2 2 222AC a b a a b b =+=++…①同理，() 2 2 22 2DB a b a a b b =-=-+…② ①+②得，( )() 2 2 22 2 2 22AC DB a b AB AD +=+= +，即 C 1

数学中的类比法

数学中的类比法摘要类比是数学学习中经常用到的一种推理方法.它是发现概念、定理、公式的重要手段，也是发现问题、探索问题、解决问题的重要方法.本文主要研究了：将平面几何的一些定理推广到空间几何中、将代数中的集合运算与概率事件中的运算进行类比、从有限到无限的类比、降次类比、降元类比等.这有助于我们借助类比对象间的“类比关系”更清晰的认识两个相似体系间的内在联系，逐渐养成发散思维能力和创新意识，通过类比还可以降低问题解决的难度. 关键词：类比；降维类比；降次类比；几何.

The analogy method in mathematics Abstract:Analogy is a reasoning method is often used in mathematics learning. In mathematics, analogy is an important means of found concept, theorem, formula, and found the problem, explore the problems, the important way to solve the paper mainly studied: some of plane geometry theorem is generalized to space geometry; Collection of the algebraic operations with probability event in operations analogy; From limited to unlimited analogy; Drop analogy; Yuan analogy, etc. This will help us with the analogy between objects "analogy" more clear understanding of the intrinsic relationship between two similar system, and gradually form a divergent thinking ability and innovation consciousness, through the analogy can also reduce the difficulty of problem solving. Keywords: analogy, dimension reduction, fall time analogy, geometric analogy

高中数学常见的知识类比

专题高中数学常见的知识类比一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． ⑵类比推理的一般步骤： ⑴找出两类事物之间的相似性或一致性； ⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）； ⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的； ⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。 ⑶类比推理的特点： ①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果； ②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性； ③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．二、常见的几种类比：代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角. 解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线

(1) a=b?a+c=b+c; (1) a＞b?a+c＞b+c; (2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc; (3) a=b?a2=b2;等等。(3) a＞b?a2＞b2;等等【3】实数系与向量系的类比：实数系向量系实数0、单位1 数a的相反数－a 实数a的绝对值| a | 零向量0 → 、单位向量e →向量a → 的相反向量－a →向量a → 的模|a → | 运算规律： ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， (ab)c＝a(bc) ③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac ④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c ⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0 ⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 ⑦| a·b |＝| a |·| b | 运算规律： ①交换律：a → ＋b → ＝b → ＋a → ②结合律：(a → ＋b → )＋c→＝a→＋(b→＋c→) (a→·b→)c→≠a→(b→·c→)（乘法不满足）③分配律：a → ·(b → ＋c → )＝a→·b→＋a→·c→ ④不满足消去律：若a → ·b → ＝a → ·c → ，那么b → 与c →不一定相等. ⑤若a → ·b → ＝0，那么不一定a → ＝0 → 或b → ＝0 → . ⑥公式：(a → ＋b → )·(a→－b→)＝a→2－b→2 (a→±b→)2＝a→2±2a→·b→＋b→2 ⑦|a → ·b → |≤|a→|·|b→| || a |－| b ||≤| a±b |≤| a |＋| b | ||a→|－|b→||≤|a→±b→|≤|a→|＋|b→| 【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质

数学中的类比教学

数学中的类比教学摘要：类比是根据两个对象之间存在某些方面的相似或相同，推知它们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑思维方法。数学中常见的类比有雷同性类比、反意性类比、夸张性类比等。哲学家康德曾指出：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”在平时的教学中如果应用类比，就把抽象难懂的知识变得具体、形象，既可增加了知识的趣味性，变得容易理解和掌握；又可使学生学有兴趣，调动了学生学习的积极性，大大提高了授课效果和学习效率。类比在教学中的应用，已引起国内外的普遍重视。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。例如我们可将平面几何的一些概念和判断与空间几何类比。长方形类似于长方体，长方形各边之间的关系类似于长方体各棱之间的关系；长方形的面积公式S=ab与长方体（一）类比教学的概念 “类比”一词，出自逻辑学。逻辑学上有一种“类比法”，是根据两个对象在许多属性上相同，便推出它们其他属性也可能相同的一种推理方法。用图式表示为：甲对象具有属性a、b、c、d；乙对象具有属性a、b、c，所以，乙对象也具

有属性d、a。（二）类比的分类及应用按照类比的含意不同，可将类比分为三种： 1.雷同性类比就是根据被说明的事物和类比的例子涵义和形式上的相似性进行类比。 2.反意性类比把被类比的事物反其意而用之，这样反过来之后，便会引出错误的结论，从谬误中可使学生悟出其中的道理来。 3.夸张性类比微观现象是看不见，摸不着的，学生不易理解。若把微观夸大为宏观的物体，比拟为能看见的物，学生就易于接受了。（三）初中数学类比教学的常用情境 1.在创设教学情境中运用类比，架设新旧知识联系的桥梁在创设教学情境中运用类比，一般是在课堂的开始阶段或教学过程中某一新知的起点。数学概念，是从现实生活中抽象出来的，对事物本质属性的一种高度概括，具有抽象性、严密性和专业性的特点，根据学生已有的概念，运用类比的数学思想得到新的概念，是数学教学的一种常用方法。如分式类比分数、不等式类比方程、相似三角形类比全等三角

数学中的类比思想

时需小议数学中的类比思想王安平关键字：类比的思想数形之间、数数之间的类比所谓类比，是指两种事物之间存在着相互类似的性质或特点。这个词来源于希腊文“ analogia”原意为比例，后来引申为某种类似的事物。类比的思想方法在科学发展中占有着十分重要的地位。例如，著名科学家牛顿的万有引力定律就是把天体运动与自由落体运动做类比而发现的；著名的生物学家达尔文把植物的自花受精与人类的近亲结婚相类比，从而发现了自己子女体弱多病的原因。类比的思想涉及了对知识的迁移。所谓迁移就是一种学习对另一种学习的影响。在教学中我们应当注意对学生迁移意识的培养，也就是说要注重运用类比的思想。在我们平时的数学教学中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习；另外，在教学中也可以利用类比的思想进行教学。的确，类比法是学习数学的一种常用方法。数学的类比主要体现在以下几个方面: ㈠几何图形之间的类比（1）几何形体数量关系的类比

在以往的高考题目中，也出现了类似题目。例如：在某年上海的高考模拟题中的一道题：已知：在平面几何有勾股定理：“假设ABC的两边AB、AC互相垂直，则有关系：AB2 AC2 BC2。”当我们拓展到空间，类比平面几何的勾股定理并研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系时，我们可得到相应结论：假设三棱锥A BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直，则S2ABC S2ACD S2ADB S2BCD （2）几何性质之间的类比例如，几何体中的椭圆与双曲线就有很多的相似之处: 在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比，例如:

------------------------- 布磊Sn/ — ....... .. ...... ..... ...... 同样是在某年上海的高考模拟题中的一道题: 已知：在三角形中存在余弦定理： a 1 2 b 2 c 3 4 2bccosA , 那么，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中存在关系（假设表示平面 BCC 泪与平面ACC 1A 1所成的二面角）： S A B B 1 A 5 6 BCC 1B 1 S A C C 1 A 2S BCC I B I S A CC I A cos ㈡数与形之间的类比众所周知，初等数学可分为代数与几何。在数学发展的初期，代数与几何是相互独立的两个学科，但随着解析几何的产生，代数与几何实现了统一。数形结合的思想也是我们在平时教学过程中需重点培养学生所具备的一种数学思想。下面我们看几道例题：例1 :求函数y 山应的最值 2 sin x 分析：这道题如果我们按照代数运算的常规解法，只能作出如下解答: y 3 —c0SX 2y ysinx 3 cosx ysin x cosx 3 2y 2 sin x : 3 2 y 3 2 y 1si n(x ) 3 2y sin(x ) =2 丨=2 I 1 J y 2 1 J y 2 1 |3 2y| y 2 1 (3 2y) 2 y 2 1 3y 2 12y 8 0 6 2 .3 6 2 3 6 2 .3 6 2 3 y y min , y max 3 3 3 3

浅谈高中数学教学中的类比

浅谈高中数学教学中的类比发表时间：2013-01-28T10:13:20.060Z 来源：《少年智力开发报》2012-2013学年16期供稿作者：夏爱香 [导读] 《普通高中数学课程标准》（实验）中在选修1－2和2－2中明确要求“能利用归纳和类比等进行简单推理”，“类比是合情推理常用的思想方法”。夏爱香江西省抚州市崇仁二中《普通高中数学课程标准》（实验）中在选修1－2和2－2中明确要求“能利用归纳和类比等进行简单推理”，“类比是合情推理常用的思想方法”。近几年的高考也大量出现类比题，引起了大家的关注和研究。类比可以开拓学生的视野，提高创新思维，通过类比的课堂教学也把课堂交给了学生。一、类比的手段 1．通过类比“旧知”，构建知识体系按照《课标》的要求教材是按照知识发展的顺序来安排。知识和知识之间螺旋上升，构成了完整的体系，知识之间也存在着思想方法等联系，教学就是要利用这种联系让学生利用旧知来探索新知。 2．通过类比“方法”，领会其中思想教师教学生，不仅是简单地讲解知识，不能仅满足于让学生模仿性地解题。更要让学生学会一种思考的方法，分析问题的能力、迁移解题的能力。定积分中求曲边梯形的面积,步骤为“无限分割－以直代曲－求和－取极限”,核心为“以直代曲”。在同学们探讨得出方法，理解思想方法之后，我给出思考题：“证明半球的体积为23 πR3”。同学们通过讨论想出了分割的多种方法，①底面与圆面平行的若干圆柱；②底面与圆面垂直的若干小半圆柱；③圆锥。在讨论中不断克服困难，以高昂的斗志深化、巩固了思想方法。 3．通过类比“形式”，发展创新思维在解题的过程中应要求学生不拘一格，以发散的思维来观察分析问题形式。问题情境发生了根本性的变化，两个对象在表面上毫无共同之处，但通过观察、创造条件，使两者存在共同点，这种类比不是一种简单的模仿，而是一种创造性。二、培养学生类比意识的教学途径 1．教师自身要有完善的知识体系和深厚的专业基本功要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题，教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背后的思想方法，不能思维定势地去思考问题，对问题能有自己独到的见解，通过自身的努力夯实专业基本功。 2．经常创设类比问题情境要想培养学生的类比能力，教学中的类比问题情境显得尤为重要。数学课堂教学中，教师要恰如其分地创设类比联想的问题情境，暴露数学的思维过程，把每一个环节展现给学生，让学生观察和类比。现在的数学教材中，每章都有引人入胜的章头图，同时在很多小节中也有生活的实例，学生可以从实际问题中类比得到数学知识；同时，新教材在编排顺序上按知识的发展顺序进行，也利于教师在组织教学时进行前后的类比教学。 3．实行变式教学应该说变式教学是中国教学中成功的环节，通过变式的教学让学生分析、提炼出不同表象后面相同本质的东西，通过长时间的潜移默化的影响培养学生分析问题的意识和能力，从而为进一步的主动类比提供可能。只有这样学生才会在遇到新的问题时站在一定的高度去认识、把握，才能有新的想法。 4．教学过程中注重知识的生成通过教学发现，学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用，只有有了相关知识作为保障，才有“跳一跳摸得着”的可能。所以在平时的教学中要更多在学生的主体活动中生成知识，教师作为一个组织者和引导者。让学生在自主的活动中感悟到其中的思想方法和内在联系，只有这样学生才能在遇到新问题时浮现出已有的思想方法和不同知识形式来进行类比。否则如果是教师的一味灌输只能带来僵硬的思维方式。 5．开展小组合作交流考虑到中学生的思维的不成熟性、不完善性，类比教学有时对学生的要求可能相对较高，凭一己自力可能难以在短时间内发现内在联系去达成目标。所以在课堂教学中可适时采用小组合作探究式，俗话说“三个臭皮匠顶上一个诸葛亮”。通过合理搭配小组的构成，营造轻松的研讨氛围，让平时思维不活跃的学生有勇于表现自己、展示自己的机会，通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识。在通过展示成果的方式让学生的主体活动充斥着课堂，去批判地接受新知的生成。三、类比教学中的注意点 1．知识、方法的可类比性教师在组织学生以类比的方式来学习探究新知的时候一定要注意所给材料和要探究知识之间一定要存在着形式、方法或思想等方面的联系，不能让学生的类比活动毫无头绪，变成无方向的一种所谓的探究，而不是真正意义上的类比。譬如学生可以用类比的思想利用等差数列的相关性质来推导等比数列的相关性质，但你不能要求学生利用等差数列的求和方法来类比探究等比数列的求和方法。 2．类比中的科学性类比虽然是一种大胆的猜想，但类比不能仅满足于猜想，停留在猜想到的东西，还要进行科学性的验证。只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知识，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。

小学数学中常见的几种数学思想方法

小学数学中常见的几种数学思想方法我们的教学实践表明：小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性小学教学教材是数学教学的显性知识系统，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的，但是它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法 1.符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。例1：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。 2.化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求

数学中的类比法浅析

数学中的类比法浅析孚梅 [论文摘要] 类比法是在两个或两类事物间进行对比，找出一些相同或相似点后,猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并做出某种判断的推理方法。随着课程改革的深入,培养学生的综合解题能力越来越重要,数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。类比可以使学生经历探究的学习过程,改变学生的学习方式;类比能培养学生直觉思维能力,是一种很重要的思维方法;类比可以增强学生的数学应用意识,提高解决问题的能力。在教学中，对学生进行类比法的训练，是培养学生创造性思维的一种方法。不过，对类比法得到的结论，要提醒学生学会用实例进行检验，以提高学生判断问题的能力。 [关键词] 推理解题法类比法思维创造性检验类比法也叫“比较类推法”，作为一种推理的方法,指的是根据两种事物在某些特征上的“相似”,作出它们在其他特征上也可能“相似”的判断。类比法在初中数学围应用极其广泛, 是发现概念、方法、公式和定理的重要手段。类比法是重要的教学方法,数学中的许多定理、公式是通过类比得到的,在解题中寻找问题的线索,往往也借助于类比方法,从而达到启发思路的目的。下面就数学教学中的类比法谈点粗浅的看法。一、类比分类数学中的类比，主要有以下几种：

（一）结构形式的类比结构关系相同或相似的两类事物，可以并列或平行的类比。例如：加法运算律与乘法运算律，向量与复数，圆与椭圆等，因它们的性质结构相近，可以从结构方面类比。类比时，要抓住两者平行的结构特点，并要注意两者的不同对类比（二）概念类比理解本质辨异同。概念类比, 数学概念是数学思维的细胞, 是形成数学知识体系的要素, 是基础知识的核心容。在初中数学教学中,数学概念的教学是重要的一环,对于概念本质的理解是学生学习数学的一个难点,如何有效的进行突破呢?进行概念的类比教学不失为一种有效的途径与方法。在初中数学学习中有大量的概念,如果孤立地去理解与记忆这些概念,会成为学生学习的一个负担,但从概念的定义形式上看,有一部分概念的定义形式是相似的,通过这些概念之间的类比,进一步理解概念的本质.例如: 三角形,四边形,多边形概念分别为: 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。由在同一平面且不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做四边形. 由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形. 从概念的定义形式上来看,是对一类图形条件的限制,形式上是一致的,不同之处,一是三角形定义中没有"在同一平面",二是组成线段条数,其他都是相一致的.通

高考数学经典常考题型第99专题归纳推理与类比推理

第99专题训练归纳推理与类比推理一、基础知识: (一)归纳推理: 1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路: (1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律 (2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构),哪些地方是变化的(找到变量),如何变化(变量变化的规律) (3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型: (1)函数的迭代:设 f 是 D D →的函数,对任意 x D ∈,记 ()()()()()()()()()()() ()0121,,, n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +??====??????,则称函数 ()()n f x 为()f x 的n 次迭代；对于一些特殊的函数解析式,其() ()n f x 通常具备某些特征(特征与n )有关。在处理此类问题时,要注意观察解析式中项的次数,式子结构以及系数的特点,以便于从具体例子中寻找到规律,得到() ()n f x 的通式 (2)周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求出某项或分组(按周期分组)进行求和。 (3)数列的通项公式(求和公式):从数列所给的条件中,很难利用所学知识进行变形推导,从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式) (4)数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示,其中i 代表行,j 代表列。例如:34a 表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前n 行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。 (二)类比推理:

数学中类比学习法案例及其需要注意的问题

数学中类比学习法案例及其需要注意的问题摘要：类比在数学学习的过程中有着极其重要的作用，巧用类比学习可以加深对知识点的理解和记忆，不仅如此，类比还有发现新知识的作用，多用于猜想和发现新命题。但类比也应该注意类比的对象、方向、技巧和范围。文章从新课改下的高中数学出发，以人教版A 版数学教材为依托，论述了类比学习法的几个经典案例和类比时需要注意的几个问题。关键词：类比；反思；猜想；案例数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，有着极其严谨的逻辑性、科学性、系统性。数学知识呈现出一定的相似性，如果能在不同的知识间建立一个强大的网络体系，用知识间的相似性掌握不同的知识，将对数学的学习有重要的作用，这期间的方法就是类比。巧用类比能够帮助我们理解超越一般思维的知识，会对未知世界作出重要的预测。所谓的类比就是通过对两个研究对象的比较，根据它们在某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相似之处，推断它们在其他方面的相同或相似之处的一种推理方法；也可以将类比理解为根据两个对象具有某些相同的属性而推出当其中一个对象具有一个性质时，另一对象也具有同样的或者相似的性质的一种推理方法。用波利亚的话来说就是，“类比是某种类型的相似性，我们可以说它是一种要确定的和更概念性的相似。” 【案例一】中点坐标公式 1、1维时的中点坐标公式 x 轴上有两个点21x x 、，则它们的中点是2 21x x +。如1和3在数轴上的中点是2，算法是2 312+=。 2、2维时的中点坐标公式在平面直角坐标系中，已知两点坐标分别为：),(11y x A 、),(22y x B ，则它们

的中点),(00y x C 的算法是2210x x x +=，22 1 0y y y +=。 3、3维时的中点坐标公式在空间直角坐标系中，已知两点坐标分别为：),,(111z y x A 、),,(222z y x B ，则它们的中点),,(000z y x C 的算法是221 0x x x +=，221 0y y y +=，22 1 0z z z +=。【反思】中点坐标公式在3个维度中的形式都一样，即中点的坐标都是两端点“坐标值”的算术平均值。基于此，可以类比猜想更高维度的中点坐标公式。【类比】 4、n 维时的中点坐标公式在n 维坐标系中，已知两点坐标分别为：),,,(21n a a a A 、),,,(21n b b b B ，则它们的中点),,,(21n c c c C 的算法是2i i i b a c +=),,2,1(n i =。【案例二】中点公式的向量形式 1、2维时线段中点公式（平面向量的中点公式）如图1，在ABC ?中，D 是AB 边上的中点，则有 )(21 += 【证明】D 是BC 的中点，21=∴，又-= ， ( 21 )(2121 =-+=+=+=∴【类比】 2、3维时线段中点公式（空间向量的中点公式）如图2，在三棱锥BCD A -中，点E 是面BCD )(31 AD AC AB AE ++= 【证明】连接BE 并延长交DC 于F ， E 是三角形BCD 的重心， F ∴是DC 的中点，由前可知)(21 +=，

类比思想在初中数学概念教学中的应用

类比思想在初中数学教学中的应用龙虎庄中学文通摘要：在初中数学教学中充分利用类比方法，能锻炼学生逻辑推理能力，使教学事半功倍。本文通过巧用类比引出概念；通过类别建立概念；横纵类比深化概念；应用类比巩固概念来阐述延伸类比能锻炼学生的自主思维能力，使学生灵活运用所学概念，突破初中数学学习的思维难点，提高有效性。关键词：初中数学类比思想方法概念教学引言数学是中小学教学中的基础课程。数学教学是对学生理性思维方式的培养。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。数学概念是构成数学教材的基本结构单位，是中学生学习的主要知识。省初中数学教学建议第8条：“对数学概念、公理、定理、公式、法则的教学，可以设计数学游戏、数学实验等活动，让学生在活动中体验数学规律，经历数学知识的形成过程；也可以按具体到抽象、特殊到一般的原则，设计数学猜想、探究等活动，让学生经历数学公式、法则、定理的探索和发现过程。数学活动后，要引导学生反思，归纳和揭示活动中隐含的数学规律。” 类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或相似，从而推出它们在其他方面也可能相同或相似。类比的思想方法在科学发展中占有

十分重要的地位，类比法是初中重要的教学方法，数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的，在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似．”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这是关于概念、性质的教学中最常用的方法。下面根据自己的教学实践，在初中数学概念课中如何运用类比的思想方法进行有效教学谈几点自己的看法。 1．巧用类比，引出概念初中数学教学的一个难点就是如何引导学生，如何从看得见摸得着的具体事物的简单数学学习上升到学习这些具体事物的在联系或表达方式上来，也就是如何向学生传输数学概念。巧用类比，可以由具体事物出发，符合学生思维能力现状，进而逐步抽取其中的共同点和概念点，达到概念教学目的，可以事半功倍。引入概念是概念课教学的首要环节，俗话说，万事开头难，适当的类比能唤起学生强烈的求知欲望，点燃智慧的火花，为调动学生的积极性，活跃思维创造良好的开端。例如，在“合并同类项”一课中创设了如下情景： (1)实物归类教师把学习用品、玩具、零食(形状有圆、方、三角形)混在一起，让学生按照自己的标准进行分类，要求学生回答以下问题：①你的分类标准是什么？②假如分类标准一样，则分类是否唯一？③你有几种

数学中的类比思想

数学中的归纳类比(填空)

小学数学教学中的类比迁移法

数学中的归纳与类比

高中数学教学中类比思想方法

类比思想是最基本最重要的数学思想方法

数学中的类比法

推荐2019年高考数学一轮复习课时分层训练34归纳与类比文北师大版

高中数学常见的知识类比

数学中的类比教学

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