直线与圆试题及答案
直线与圆的方程试题及答案 中职学校
直线与圆的方程试题及答案试题一给定直线的方程为 x + y = 2 和圆的方程为 x^2 + y^2 = 4，求直线与圆的交点坐标。
解答：首先，化简直线的方程可以得到 y = 2 - x。
将直线的方程 y = 2 - x 求根代入圆的方程中，即：x^2 + (2 - x)^2 = 4将上式展开求解，得到 x^2 - 4x + 4 + 4x - 4 = 0化简后得到 x^2 = 4通过求根公式，可以得到 x = 2 或 x = -2。
将 x 的值代入直线的方程 y = 2 - x 中，得到对应的 y 值。
当 x = 2 时，y = 2 - 2 = 0；当 x = -2 时，y = 2 - (-2) = 4。
因此，直线与圆的交点坐标为 (2, 0) 和 (-2, 4)。
试题二给定圆的方程为 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 和直线的斜率为 -2，求直线与圆的交点坐标。
解答：首先，求出直线的方程为 y = -2x + c。
由圆的方程可知，圆心坐标为 (3, -4)，半径为 3。
直线与圆相交时，直线上的点到圆心的距离等于半径。
将直线的方程 y = -2x + c 代入圆的方程 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 中，得到：(x - 3)^2 + ((-2x + c) + 4)^2 = 9展开后，化简上式，得到：5x^2 + 10cx + c^2 - 36x + 48c - 72 = 0因为直线与圆相交，所以上式必有实数解。
根据二次方程的性质，上式的判别式必大于等于零。
即：(10c - 36)^2 - 4 * 5 * (c^2 + 48c - 72) >= 0通过求解不等式，可以得到c ∈ (-∞, 20)。
取 c = 10，将 c 的值代入直线的方程 y = -2x + c 中，得到直线的方程为 y = -2x + 10。
将直线的方程 y = -2x + 10 代入圆的方程 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 中，求解 x 的值。
(完整版)直线与圆的方程测试题(含答案)
直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是，则斜率是（ ）32πA. B. C. D.3-3333-34. 以下说法正确的是（ ）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,)D. 直线倾斜角的范围是(0,)2ππ5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（）A.x+2=0B.x-2=0C.y+2=0D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ）21A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误的是（ ）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=x-1垂直，则a=（ ）21A.2B.-2C.D. 2121-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（）A.1 B. C. D.35115315. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（）A.(x+1)2+y 2= B. (x+1)2+y 2=255C. (x-1)2+y 2= D. (x-1)2+y 2=25516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4D. -1≤k≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.圆与直线相切,正实数b的值为 ( )A．B．C．D．3【答案】B【解析】该圆的圆心坐标为，半径为，由题意知，又，。
【考点】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。
2.过点的直线l与圆有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线l的倾斜角为，当时，直线l的斜率，则直线l的方程可写成：即：，由直线l与圆有公共点，得，，解得，故选D．【考点】１．直线与圆的位置关系；２．点到直线的距离．3.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为(科网 )A．2B．2C．D．【答案】A.【解析】设直线与圆的交点为，，首先由题意知直线的方程为：，然后根据圆心到直线的距离公式计算得，于是可得弦长，即为所求.【考点】直线与圆的位置关系.4.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】x+y=3【解析】由题意，圆的圆心坐标为C（0，1），∵圆上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵，∴，∴直线AB的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．【考点】直线与圆的位置关系．5.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为(1)求曲线C的方程。
(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程。
【答案】（1）：（或）；（2）或【解析】（1）根据动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比，建立方程，化简可得曲线C的方程．（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程．试题解析：（1）由题意得|PA|=|PB| 2分;故 3分;化简得：（或）即为所求。
5分;（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将代入方程得，所以|MN|=4，满足题意。
直线与圆练习及答案
直线与圆练习及答案一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知(1,2),(4,3)M N 直线l 过点(2,1)P -且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. (,3][2,)-∞-+∞B. 11[,]22-C ．[3,2]- D. 11(,][,)32-∞+∞ 2．过点(1,2)P ，且与原点距离最大的直线方程是（ ）A. 250x y +-=B.240x y +-=C ．370x y +-= D. 350x y +-=3．过圆2240x y x my +-+=上一点(1,1)P 的圆的切线方程为（ ）A. 230x y +-=B.210x y --= C ．210x y --= D. 210x y -+= 4．已知两点(0,0),(2,2)A B 到直线l 的距离分别为1和2，这样的直线l 条数为（ ）A. 1条B. 2条 C ．3条 D. 4条5．若直线20ax by -+=(0,0)a b >>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A. 32+B. C ． 14 D. 32+6．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ）A. 22(1)(1)1x y -++=B. 22(1)(1)2x y -++=C ． 2218(1)(1)17x y -++= D.2212(1)(1)15x y -++=7．在区间[3,3]-中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(2)1x y -+=相交”发生的概率为（ ）A. C 8．已知圆221:(1)(1)1C x y -++=，圆222:(4)(5)9C x y -+-=，点,M N 分别是圆1C ，圆2C 上的动点， P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A. 7B. 4 C ． 9 D. 29．已知点(,)M a b 在直线430x y c -+=上，若22(1)(1)a b -+-的最小值为4，则实数c 的值为（ ）A. 21-或19B. 11-或9 C ．21-或9 D. 11-或19 10．已知点,,A B C 在圆224x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为(3,4)，则||PA PB PC ++的取值范围为（ ）A. [10,15]B.[12,17]C ．[13,17] D.[15,17]11．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ， |34||349|x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4a ≤- B.46a -≤≤ C ． 4a ≤或6a ≥ D.6a ≥12．设集合2222436{(,)|(3)(4)},{(,)|(3)(4)},55A x y x yB x y x y =-+-==-+-={(,)|2|3||4|}C x y x y λ=-+-=，若()A B C φ≠，则实数λ的取值范围是（ ）A.65[,6]B.C. [4,6]D. 65{2}[,6]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 武当山上有个练轻功的场地，场中有两根树桩垂直竖在水平地面上，两根树桩的高度分别为10米和15米且相距20米，高手可以在树桩飞上飞下飞来飞去。
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.求半径为10，且与直线相切于的圆的方程.【答案】或【解析】解题思路：设出所求圆的圆心坐标，根据题意可得，进而求出圆的标准方程.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.试题解析：设圆心为，则由题意得解得或所以所求圆的方程为或【考点】直线与圆的位置关系.2.如图，圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程；⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.【答案】（1），（2）①：2，②：证明略.【解析】（1）所求直线与垂直，则斜率为负倒数关系，因此可依方程设出所求直线方程，利用圆心到此直线的距离为半径可求出此直线方程；（2）①为常考点，利用弦心距，半径，弦长的一半三者构成勾股定理的关系求解；②设直线的方程为：，把转化为含的代数式进行运算，也可设，把转化为含的代数式进行运算.试题解析：，直线，⑴设所求切线方程为：，则，所以：；⑵①：，圆心到直线的距离，所以弦的长为；（或由等边三角形亦可）.②解法一：设直线的方程为：存在，，则由，得，所以或，将代入直线，得，即，则，：，，，得，所以为定值．解法二：设，则，直线，则，，直线，又，与交点，，将，代入得，所以，得为定值.【考点】点到线的距离公式，直线的点斜式，斜截式方程，直线与圆相交问题，化归与转化思想3.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数，），在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．（1）把曲线和的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求曲线的直角坐标方程．【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为；（2）曲线的直角坐标方程为．【解析】（1）对于曲线，把已知参数方程第一式和第二式移向，使等号右边分别仅含、，平方作和后可得曲线的直角坐标方程；对于曲线，把代入极坐标方程的展开式中即可得到曲线的直角坐标方程．（2）由于圆的半径为，所以所求曲线与直线平行，且与直线相距时符合题意．利用两平行直线的距离等于，即可求出，进而得到曲线的直角坐标方程．试题解析：（1）曲线的参数方程为，即，将两式子平方化简得，曲线的直角坐标方程为：；曲线的极坐标方程为，即，所以曲线的直角坐标方程为．（2）由于圆的半径为，故所求曲线与直线平行，且与直线相距时符合题意．由，解得．故曲线的直角坐标方程为．【考点】圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．4.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为()．A．m＜1B．－3＜m＜1C．－4＜m＜2D．0＜m＜1【答案】D【解析】联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（2m-2）x+m2-1=0，由题意得：△=（2m-2）2-8（m2-1）=-4（m+1）2+16＞0，变形得：（m+3）（m-1）＜0，解得：-3＜m＜1，∵0＜m＜1是-3＜m＜1的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1．故选D．【考点】直线与圆相交的性质；以及充分必要条件的判断．5.已知椭圆G：＋y2＝1.过轴上的动点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G上的点到直线的最大距离;（2）①当实数时,求A，B两点坐标;②将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【答案】（1）；（2）①当时点的坐标分别为；② 2【解析】（1）设出与直线平行的直线，并与椭圆方程联立消去（或）得关于的一元二次方程，令判别式为0解得的值（应为2个值）。
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，则点到直线的距离__________.【答案】.【解析】由于C为圆周上一点，AB是直径，所以AC⊥BC，而BC=3，AB=6，得∠BAC=30°，进而得∠B=60°，所以∠DCA=60°，又∠ADC=90°，得∠DAC=30°，∴AD＝AC•sin∠DCA＝．故应填入：.【考点】圆的切线的性质定理．2.圆与直线相切,正实数b的值为 ( )A．B．C．D．3【答案】B【解析】该圆的圆心坐标为，半径为，由题意知，又，。
【考点】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。
3.设直线和圆相交于点，则弦的垂直平分线的方程是_________．【答案】【解析】由于弦的垂直平分线必须垂直于直线，故设垂直平分线方程为：.由圆的弦垂直于过弦中点直径，则有直线过圆心，即,故直线为：.【考点】圆的弦的性质.4.直线l：y＝x－1被圆(x－3)2＋y2＝4截得的弦长为．【答案】【解析】根据圆半径、圆半弦长及圆心到直线距离构成一个直角三角形得：弦长为其中，所以弦长为【考点】点到直线距离5.若圆上的点到直线的最近距离等于１，则半径的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由圆的方程可知圆心为，圆心到直线的距离为，由数形结合分析可知圆上的点到直线的最近距离为，所以此时。
故A正确。
【考点】1点到线的距离；2数形结合思想。
6.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】x+y=3【解析】由题意，圆的圆心坐标为C（0，1），∵圆上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵，∴，∴直线AB的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．【考点】直线与圆的位置关系．7.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．【答案】（1）x2＋y2－2x＋2y-3＝0（2）【解析】（1）曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点有三个交点，本题就是求过三个点的圆的方程，因此设圆方程的一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若从图形看，则圆的方程又可设成x2＋y2－2x＋Ey-3＝0，再利用过点求出（2）先将圆的一般式化为标准式：，明确圆心和半径，涉及圆的弦长问题，利用由半径、半弦长、圆心到弦所在直线距离构成的直角三角形，列等量关系：试题解析：解（1）曲线与y轴的交点是(0，－3)．令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．即曲线与x轴的交点是(－1，0)，(3，0)． 2分设所求圆C的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得D＝－2，E＝2，F＝－3．所以圆C的方程是x2＋y2－2x＋2y-3＝0． 5分（2）圆C的方程可化为，所以圆心C(1，－1)，半径． 7分圆心C到直线x＋y＋a＝0的距离，由于所以，解得． 10分【考点】圆的一般式方程，圆的弦长8.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为(1)求曲线C的方程。
点和直线及圆的位置关系40题带详细解析
一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔 〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔 〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔 〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔 〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔 〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔 〕A．3B．C．D．47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔 〕A．60°B．30°C．45°D．90°8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔 〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞49．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔 〕A．5B．6C．7D．8二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC=．11．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC=．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB=°．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R=．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB=；〔2〕当OA=2时，AP=．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C=°．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为．26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C=度．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC=．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．2021年11月07日189****3288的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔 〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上【解答】解：A、同一平面上三点必须不在同一直线上才可以确定一个圆，故本选项错误；B、能够重合的弧是等弧，正确；C、三角形的外心到三角形三个定点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故本选项错误；D、菱形的对角相等，但不一定互补，所以四个顶点不一定在同一个圆上，故本选项错误．应选：B．2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔 〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定【解答】解：∵圆心P的坐标为〔﹣3，4〕，∴OP==5．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔 〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解：①过三点可以作圆；错误，应该是过不在同一直线上的三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；正确；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．正确；应选：C．4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔 〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【解答】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=160°，∴∠B=80°，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=100°，应选：C．5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔 〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定【解答】解：圆O的直径为10，OP=6，∴该圆的半径为5，∴点P在圆O外，应选：A．6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔 〕A．3B．C．D．4【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=3，∴AB=3，应选：B．7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔 〕A．60°B．30°C．45°D．90°【解答】解：连接AO和BO，∵⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=×60°=30°，应选：B．8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔 〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞4【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．应选：B．9．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔 〕A．5B．6C．7D．8【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD==12，BM===13，∴BH的最小值为BM﹣MH=13﹣5=8．应选：D．二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC= 4 ．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AD=DB，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=BC，∴BC=2DE=2×2=4．故答案为：411．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标 〔5，2〕 ．【解答】解：由图象可知B〔1，4〕，C〔1，0〕，根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y=2，设D〔a，2〕，根据勾股定理得：DA=DC〔1﹣a〕2+22=42+〔3﹣a〕2解得：a=5，∴D〔5，2〕．故答案为：〔5，2〕．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC= 2．【解答】解：连接OC∵∠BAC=60°∴∠BOC=120°∵OB=OC，OD⊥BC∴BD=CD，∠BOD=∠COD=60°∵BO=2，∠BOD=60°，OD⊥BC∴OD=1，BD=OD=∴BC=2故答案为213．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为﹣6 ．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴点E在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，以AC为直径作⊙O，当O、E、B共线时，BE的长最小，Rt△OCB中，OC=OE=6，BC=5，∴OB==，∴BE=OB﹣OE=﹣6，则BE的最小值为：﹣6，故答案为：﹣6．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为 6+2．【解答】解：延长CF交AB于点G，过C作CH⊥AB于H，连BO．∵BC、OE互相平分∴四边形BECO为平行四边形∵OB=OC∴四边形BECO为菱形∴=∵OE=2∴Rt△BOD中，tan∠BOD=∴∠BOD=60°∴∠BAE=∠EAC=30°∵CF⊥AE∴F为GC中点，△AGC为等边三角形∴BG=2DF=2在Rt△BCH中BH2+HC2=BC2∴〔2+GH〕2+〔〕2=62解得GH=〔舍去〕或GH=，∴AG=AC=﹣1+，∴△ABC的周长为6+2．故答案为：6+2．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为 2 ．【解答】解：∵∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P在以AB为直径的圆周上〔P在△ACB部〕，连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，∵AB=6，∴OB=3，∵BC=4，∴由勾股定理得：OC=5，∴CP=5﹣3=2，故答案为：2．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为 5．【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=60°，∵PB=AB，∴∠POB=60°，OB⊥AP，则AH=PH=OP×sin∠POH=，∴AP=2AH=5，故答案为：5．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为 10．【解答】解：作OH⊥BC于H，则BH=HC，由圆周角定理得，∠BAC=∠BOC，∵∠BAC+∠BOC=180°，∴∠BOC=120°，∴∠OBC=30°，∴BH=OB×cos∠OBH=5，∴BC=2BH=10，故答案为：10．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是﹣4 ．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB〔直角三角形斜边中线等于斜边一半〕，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，∴OC=，∴PC=OC﹣OP=﹣4．∴PC最小值为﹣4．故答案为：﹣4．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB= 40 °．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 1.5 ．【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC 的长最小，设线段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∴AB=5，∵⊙B的半径为2，∴BP1=2，AP1=5+2=7，∵C1是AP1的中点，∴AC1=3.5，AQ=5﹣2=3，∵C2是AQ的中点，∴AC2=C2Q=1.5，C1C2=3.5﹣1.5=2，即⊙D的半径为1，∵AD=1.5+1=2.5=AB，∴OD=AB=2.5，∴OC=2.5﹣1=1.5，故答案为：1.5．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R= 1 ．【解答】解：∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴△ABC的切圆半径R===1．故答案为1．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为 40° ．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB= 60° ；〔2〕当OA=2时，AP= 2．【解答】解：〔1〕∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．〔2〕如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C= 40 °．【解答】解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为 40 ．【解答】解：∵*2﹣17*+60=0，∴*=5或*=12∴AD=5，BE=12，∵⊙O是△ABC的切圆，∴AD=AF=5，BE=BF=12，又设⊙O的半径为r，∴AC=5+r，BC=12+r，AB=17∴由勾股定理可知：〔5+r〕2+〔12+r〕2=172，∴解得：r=3或r=﹣20〔舍去〕∴AC=8，BC=15，∴△ABC的周长为：8+15+17=40故答案为：40；26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C= 45 度．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BC为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AD=CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C=45°．故答案为45．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC= 110° ．【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵⊙O与△ABC的三边相切，∴点O是△ABC的心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=〔∠ABC+∠ACB〕=70°，∴∠BOC=180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕=110°，故答案为：110°．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是 4．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，AP=OA=4，∵∠AOP=∠C+∠OAC=60°，而∠C=∠OAC，∴∠C=30°，∴AC=AP=4．故答案为4．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为 30° 【解答】解：连接OD，如图，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=180°﹣120°=60°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=60°，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP=90°，∴∠ADP=90°﹣60°=30°．故答案为30°．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，∴点D是AB中点，∴CD=BD=AB=5，连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴BF=CF=BC=4，∴DF==3，连接OF，∵OC=OD，CF=BF，∴OF∥AB，∴∠OFC=∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG=90°，∴∠OFC+∠BFG=90°，∴∠BFG+∠B=90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，∴FG===，故答案为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．【解答】解：连接OA、AD，如右图所示，∵BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，∴∠DAB=90°，∠OAC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ACO和△BAD中，，∴△ACO≌△BAD〔ASA〕，∴AO=AD，∵AO=OD，∴AO=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAO=60°，∴∠B=∠C=30°，∠OAE=30°，∠DAC=30°，∴AD=DC，∵CD=2，∴AD=2，∴点O为AD的中点，OE∥AD，OE⊥AB，∴OE=，故答案为：．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．【解答】解：〔1〕如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；〔2〕解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．【解答】证明：〔1〕连接OD，如图1所示．∵OA=OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴AE∥OD．∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE⊥AE．〔2〕过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE=DM．在△DAE和△DAM中，，∴△DAE≌△DAM〔SAS〕，∴AE=AM．∵∠EAD=∠MAD，∴=，∴CD=BD．在Rt△DEC和Rt△DMB中，，∴Rt△DEC≌Rt△DMB〔HL〕，∴CE=BM，∴AE+CE=AM+BM=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．【解答】解：〔1〕证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．〔2〕在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=，∴2OA=2PD=2．∴⊙O的直径为2．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．【解答】解：〔1〕直线DP与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵AC是∠EAB的平分线，∴∠EAC=∠OAC∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠ACO=∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∴DP是⊙O的切线；〔2〕作CH⊥AB于H，如图，∵AC是∠EAB的平分线，CD⊥AD，CH⊥AB，∴CH=CD=4，∴OH==3，∵OC⊥CP，∴∠OCP=∠CHO=90°，而∠COP=∠POC，∴△OCH∽△OPC，∴OC：OP=OH：OC，∴OP==，∴PB=OP﹣OB=﹣5=．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．【解答】〔1〕证明：连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB〔SAS〕，∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；〔2〕解：由〔1〕可知∠OCB=∠OCD=30°，∴∠DCB=60°，又BC⊥BE，∴∠E=30°，在Rt△ODE中，∵tan∠E=，∴DE==4，同理DC=OD=4，∴S △OCE=•OD•CE=×4×8=16．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．【解答】〔1〕证明：连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC∵∠C=90°，∴∠ODC=90°∴OD⊥AC∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线〔2〕过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O 的弦，且OM⊥BE∴BM=EM∵∠ODC=∠C=∠OMC=90°∴四边形ODCH为矩形，则OM=DC=4∵OB=5∴BM==3=EM∴BE=BM+EM=6．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，如图，∵CF是⊙O的切线∴∠OCF=90°，∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD，∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线∴CF=DF，∴∠CDF=∠DCF，∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；〔2〕解：∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，∴∠OCB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB，∴FB=OB=OC=2，在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，∴OE=OC=1，∴CE=OE=，∴CD=2CE=．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．〔2〕解：连接CD．∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=*，在Rt△BDC中，BC2=*2+62，在Rt△ABC中，BC2=〔*+8〕2﹣102，∴*2+62=〔*+8〕2﹣102，解得*=，∴BC==．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．【解答】解：〔1〕∵DE⊥PE，∴∠E=90°，∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠EDB+∠DOE=∠EPB+∠POB，即∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；〔2〕在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4．在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：〔8﹣r〕2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．。
直线与圆的位置关系综合测试题(基础、好用、经典)
直线与圆的位置关系综合测试题一、选择题1．(2012·重庆高考)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心2．已知直线l：y＝k(x－1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为()A.π6 B.π2 C.2π3 D.56π3．(2012·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．(2013·广州测试)已知圆O：x2＋y2＝r2，点P(a，b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax＋by＋r2＝0，那么() A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离5．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为________．7．过点(0，1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．8．已知圆O的方程为x2＋y2＝2，圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，过圆M上任一点P作圆O的切线P A，若直线P A与圆M的另一交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线P A 的斜率是________．三、解答题9．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．10．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？11．已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．解析及答案一、选择题1．【解析】∵x2＋y2＝2的圆心(0，0)到直线y＝kx＋1的距离d＝|0－0＋1|1＋k2＝11＋k2≤1，半径r＝2，∴0＜d ＜r .∴直线与圆相交但直线不过圆心．【答案】 C2．【解析】 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56π.【答案】 D3．【解析】 由题意知，圆心为(a ，0)，半径r ＝ 2.若直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离小于或等于半径，即|a －0＋1|2≤ 2. ∴|a ＋1|≤2.∴－3≤a ≤1.【答案】 C4．【解析】 由点P (a ，b )在圆O 内得a 2＋b 2＜r 2，所以圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋r 2＝0的距离r 2a 2＋b 2＞r ，故直线l 2与圆相离．又k OP ＝b a ，而过点P 最短的弦是垂直于OP 的弦，所以kl 1＝－a b ＝kl 2，故l 1∥l 2，即选择A.【答案】 A5．【解析】 由题意直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1，2)，所以a －b －3＝0.当点M (a ，b )到圆心距离最小时，切线长最短．|MC |＝（a ＋1）2＋（b －2）2＝2a 2－8a ＋26，∴a ＝2时最小．此时b ＝－1，切线长等于4.【答案】 C二、填空题6．【解析】 ∵圆C 1的圆心C 1(3，0)，圆C 2的圆心C 2(0，3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.【答案】 x ＋y －3＝07．【解析】 当点(0，1)点为弦AB 的中点时，|AB |的长最小，且易求得最小值为2 3.【答案】 2 38．【解析】 由题意知直线PQ 过圆M 的圆心(1，3)，故设PQ 方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.由PQ 与圆O 相切得，|3－k |k 2＋1＝2，即k 2＋6k －7＝0. 解得k ＝1或k ＝－7.【答案】 1或－7三、解答题9．【解】 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.10．【解】 (1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，直线l 的斜率k ＝m m 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)，∴|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r 2. 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．11．【解】 (1)圆的方程化为(x ＋12)2＋(y －3)2＝37－4m 4，故有37－4m 4＞0，解得m ＜374.由⎩⎨⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，消去y ， 得x 2＋(3－x 2)2＋x －6×3－x 2＋m ＝0， 整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0，①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解．故有Δ＝102－4×5(4m －27)＜0，解得m ＞8.∴m 的取值范围是(8，374)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 由(1)及根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1y 2＝3－x 12×3－x 22＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]．将③代入上式，得y 1y 2＝m ＋125，④将③④代入②得x 1x 2＋y 1y 2＝4m －275＋m ＋125＝0，解得m ＝3.代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m ＝3.。
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直线与圆单元测试题一、选择题1.从点P (1，－2)引圆(x +1)2+(y －1)2=4的切线，则切线长是( ) A.4 B.3 C.2 D.12.以M (－4,3)为圆心的圆与直线2x +y －5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )A ．0＜r ＜2B ．0＜r ＜5C ．0＜r ＜25D ．0＜r ＜103.圆(x +21)2+(y +1)2=168与圆(x －sin θ)2+(y －1)2=161 (θ为锐角)的位置关系是( )A.相离B.外切C.内切D.相交 4.若m ≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为（ ）A.1B.-3C.31D.-315.使圆x 2+y 2=r 2与x 2+y 2+2x －4y +4=0有公共点的充要条件是( )A.r <5+1B.r >5+1C.|r －5|<1D.|r －5|≤16.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2+(y +7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2+(y +7)2=25B ．(x －5)2+(y +7)2=17或(x －5)2+(y +7)2=15C ．(x －5)2+(y +7)2=9D ．(x －5)2+(y +7)2=25或(x －5)2+(y +7)2=9 7.已知圆x 2+y 2=r 2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r 的范围是（ ）A.0<r<22B.0<r<2C.0<r<2D.0<r<4 8.由曲线y =|x |与x 2+y 2=4所围成的图形的最小面积是( ) A.4πB.πC.43πD.23π 9.过点(2，－3)且与直线x －2y +4=0的夹角为arctan32的直线l 的方程是( ).A. x +8y +22=0或7x －4y －26=0B. x +8y +22=0C. x -8y +22=0或7x +4y －26=0D.7x －4y －26=010.已知二元二次方程Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0，则⎩⎨⎧>-+≠=04,022F E D C A 是方程表示圆的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件11.圆x 2+y 2－2x +4y －20=0截直线5x －12y +c =0所得的弦长为8，则c 的值是( )A ．10B ．10或－68C ．5或－34D ．－68 12.过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( )A.(x －1)2+(y －1)2=1B.(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=5C.(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=25D.(x －5)2+(y －5)2=5 二、填空题13.曲线y=|x-2|-3与x 轴转成的面积是 .14.已知M={(x,y)|x 2+y 2=1,0<y ≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b ∈R}，并且M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是 .15.圆(x －3)2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是_____.16.直线x －2y －2k =0与2x －3y －k =0的交点在圆x 2+y 2=25上，则k 的值是_____.三、解答题 17.求过A (1，2)与B (3，4)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 18.设t =3x －6y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎩⎨⎧≤+≤-,2|2|,1||y x y x ① 求t 的最大值和最小值．19.已知圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称， （1）求k 、b 的值；（2）若这时两圆的交点为A 、B ，求∠AOB 的度数.20..若动圆C 与圆(x-2)2+y 2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C 的轨迹E 的方程.21.已知圆C ：x 2+y 2－2x +4y －4=0,是否存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.若存在，求出直线l 的方程;若不存在，说明理由.22.设圆满足(1)y 轴截圆所得弦长为2.(2)被x 轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l :x －2y =0的距离最小的圆的方程．参考答案 一、选择题1.B2.C3.D4.D5.D6.D7.A8.B9.A 10.D 11.B 12.C 1.解析:勾股定理.答案B2.解析:圆心到直线的距离d >r .答案C3解析:两圆心之间的距离4)21(sin )11()21(sin 222++=+++=θθd ,∵θ为锐角，∴0<sin θ<1,4254)21(sin 417,2321sin 212<++<<+<θθ ,∴25217<<d ,两半径之和为25，两半径之差的绝对值为2，∴两圆相交. 答案D4. 解析:由a+3m(-1)+2a=0，得m=a.又m ≠0,∴a ≠0.∴直线的方程可写成x+3y+2=0，斜率为-31.答案D5. 解析:由x 2+y 2+2x －4y +4=0得：(x +1)2+(y －2)2=1,两圆心之间的距离为52122=+，∵|r －1|≤5≤r +1,∴5－1≤r ≤5+1,即－1≤r －5≤1,∴|r －5|≤1.答案D6. 解析:有内切、外切两种情况.答案D7. 解析:曲线|x|+|y|=4是顶点为（±4，0）、（0，±4）的正方形，其中一条边的方程为x+y-4=0(0≤x ≤4).∵圆在正方形的内部，∴2|400|-+>r.即0<r<22.答案A8. 解析:由图知，所围成的图形最小面积为圆x 2+y 2=4的面积的41.答案B 9. 解析:设直线l 的方程为y +3=k (x －2),由夹角公式可得：|211||21|32k k +-=.解得：k =－81或k =47∴直线l 的方程为x +8y +22=0或7x －4y －26=0.答案A 10. 解析:取A=C=4，D=2，E=2，F=1时，满足⎩⎨⎧>-+≠=04,022F E D C A 但是4x 2+4y 2+2x+2y+1=0不表示圆，∴条件不是充分的.方程31x 2+31y 2+x+y+1=0表示圆，其中A=31，C=31，D=1，E=1，F=1，不满足D 2+E 2-4F>0. ∴条件不是必要的. 答案D11. 解析:∵弦长为8，圆半径为5，∴弦心距为2245-=3，∵圆心坐标为(1，－2)，∴13|)2(1215|c +-⨯-⨯=3，∴c =10或c =－68.答案B12. 解析:设圆的方程是(x －a )2+(y －b )2=r 2(r ＞0),∵圆过第一象限的点(2，1)并与两坐标轴都相切，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-==>>.)1()2(,||||,0,0222r b a r b a b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===.555111r b a r b a 或因此，所求圆的方程是(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=25.(此题也可画图排除A 、B 、D) .答案C二、填空题13. 答案9 ,14.答案-1<b ≤2 ,15. 答案1)53()519(22=-+-y x , 16. 答案±113. 解析:y=|x-2|-3可写成y=⎩⎨⎧<--≥-).2(1),2(5x x x x 曲线y=|x-2|-3与x 轴转成一个三角形，其顶点分别是（2，-3）、（-1，0）、（5，0）.∴S Δ=21[5-（-1）]×3=9. 14. 解析:集合M 为单位圆的上半圆，集合N 为直线，M ∩N ≠∅，是指直线与半圆有公共点.画出图形，易知-1<b ≤2.15. 解析:已知圆的圆心(3，－1)关于直线x +2y －3=0的对称点的坐标是(53,519)，所以圆(x －3)2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是1)53()519(22=-+-y x . 16. 解析:由⎩⎨⎧=--=--032022k y x k y x ,得⎩⎨⎧-=-=ky kx 34,∵交点(－4k ,－3k )在圆x 2+y 2=25上，∴(－4k )2+(－3k )2=25,∴k =±1.三、解答题17. 解 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=++++=++++.6404316902412F D F E D F E D 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-==,272212F E D ,或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.728F E D ∴所求圆的方程为x 2+y 2+12x －22y +27=0或x 2+y 2－8x －2y +7=0. 18. 解 作出不等式组①表示的平面区域平行四边形ABCD 的边界和内部．ABCD 的顶点坐标分别为A (－1，0)、B (34,31--)、C (1，0)、D (34,31)． 作动直线l :3x －6y =t (t ∈R )． ∵l 的方程可写成y =t x 6121-, ∴当l 的纵截距最大时，t 最小;当l 的纵截距最小时，t 最大． 由图知当l 过B 点时，t 最大=3×(－31)－6×(－34)=7．当l 过D 点时， t 最小=3×(31)－6×(34)=－7．19. 解 （1）圆x 2+y 2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20.∵圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称， ∴y=kx+b 为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线.∴0402---×k=-1，k=2. 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），∴1=2×(-2)+b ，b=5.∴k=2，b=5.（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=5552)4(2=+--⨯.而圆的半径为25，∴∠AOB=120°.20. 解 设动圆的圆心C 的坐标为（x ，y ），则x-(-1)+1=22)2(y x +-，即x+2=22)2(y x +-，整理得y 2=8x.所以所求轨迹E 的方程为y 2=8x.21. 解法一 假设存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.设l 的方程为y =x +b ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由OA ⊥OB 知，k OA ·k OB =－1, 即2211x y x y ⋅=－1,∴y 1y 2=－x 1x 2. 由⎩⎨⎧=-+-++=0442,22y x y x b x y , 得2x 2+2(b +1)x +b 2+4b －4=0, ∴x 1+x 2=－(b +1),x 1·x 2=22b +2b －2,y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )=x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=22b +2b －2－b (b +1)+b 2=22b +b －2∵y 1y 2=－x 1x 2 ∴22b +b －2=－(22b +2b －2)即b 2+3b －4=0. ∴b =－4或b =1.又Δ=4(b +1)2－8(b 2+4b －4)=－4b 2－24b +36=－4(b 2+6b －9) 当b =－4时，Δ=－4×(16－24－9)>0; 当b =1时，Δ=－4×(1+6－9)>0故存在这样的直线l ,它的方程是y =x －4或y =x +1,即x －y －4=0或x －y +1=0.解法二 圆C 化成标准方程为(x －1)2+(y +2)2=9,假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ,b ).由于CM ⊥l ,∴k CM ·k l =－1,即12-+a b ×1=－1, ∴b =－a －1,①直线l 的方程为y －b =x －a ,即x －y +b －a =0,∴2|3|||+-=a b CM , ∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴|MA |=|MB |=|OM |，而|MB |2=|CB |2－|CM |2=9－2)3(2+-a b ,|OM |2=a 2+b 2,∴9－2)3(2+-a b =a 2+b 2,②把①代入②得2a 2－a －3=0, ∴a =23或a =－1, 当a =23时，b =－25此时直线l 的方程为x －y －4=0; 当a =－1时，b =0此时直线l 的方程为x －y +1=0.故这样的直线l 是存在的，它的方程为x －y －4=0或x －y +1=0.22.解 设圆的圆心为P (a ,b ),半径为r ，则P 到x 轴，y 轴的距离分别为｜b ｜、｜a ｜，由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P 截x 轴所得弦长为2r =2b . ∴r 2=2b 2①又由y 轴截圆得弦长为2， ∴r 2=a 2+1②由①、②知2b 2－a 2=1.又圆心到l :x －2y =0的距离d =5|2|b a -,∴5d 2=(a －2b )2=a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1.当且仅当a =b 时“=”号成立，∴当a =b 时，d 最小为55，由⎩⎨⎧=-=1222a b b a 得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由①得r =2. ∴(x －1)2+(y －1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2为所求．。