北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元能力达标测试题3(附答案)
北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元能力达标测试题3（附答案） 1．如图，CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，CB ＞CA ，图中相等的角共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2．如果△ABC 的三边分别为21m -,2m ,21m +,其中m 为大于1的正整数，则（ ） A ．△ABC 是直角三角形，且斜边为21m - B ．△ABC 是直角三角形，且斜边为2m C ．△ABC 是直角三角形，且斜边为21m + D ．△ABC 不是直角三角形3．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．若△ABC 的周长为26，BE =4，则△ABD 的周长为（ ）．A ．14B ．18C ．20D ．264．以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．4，5，6C ．8，13，5D ．1，2，1 5．如图，AB//CD ，EM 平分BEF ∠，1125∠=︒，则2∠的度数为( )A ．62.5°B ．50°C ．70°D ．55°6．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD 一定为三角形的( )7．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，2，2 D．2，3，7 8．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（）.A．②③①B．③①②C．③②①D．②①③9．下列说法，正确的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．到三角形二个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点C．三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形D．两边分别相等的两个直角三角形全等10．已知等腰三角形的一边为5，另一边为6，那么这个三角形的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．16或17 11．如图，在中，，，，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为_____.12．如图在四边形ABCD中，．，．，CD 的长_______.13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AB＝AC，BD41CD＝3，则AD＝_____．14．如图，已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP ＝4，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于4，则α＝_____．15．已知等腰三角形的一边长5cm ，另一边长8cm ，则它的周长是______.16．已知60AOB ∠=︒，其角平分线为OM ，20BOC ∠=︒，其角平分线为ON ，则MON ∠=____.17．如图，点F 是等边△ABC 内一点，将△ABF 绕点B 按顺时针方向旋转60°得△CBG ，连接FG ，则△BFG 的形状是______________．18．如图，C 在直线BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点1A ，∠A=m,若再作∠1A BE 、∠1A CE 的平分线，交于点2A ；再作∠2A BE 、∠2A CE 的平分线，交于点3A ；……；依次类推，则A n ∠为_______.19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若△ABC 与△EBC 的周长分别是22、14，则AC 的长是________．20．如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线l 与AC 相交于点D ，AB +AC ＝20cm ，则△ABD 的周长为_____cm ．21．如图，AE 与CD 交于点O ，50A ︒∠=，OC OE =，25C ︒∠=，求证：//AB CD ．22．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm ，E 、F 分别为边AC 、AB 的中点．（1）求∠A 的度数；（2）求EF 和AE 的长．23．如图甲，在等边三角形ABC 内有一点P ，且P A ＝2，PB 3PC ＝1，求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．①李明同学做了如图乙的辅助线，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP ′，从而问题得到解决．你能说明其中理由并完成问题解答吗？②如图丙，在正方形ABCD 内有一点P ，且P A ＝5，BP ＝2，PC ＝1；求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．24．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，:1:2BC AC =，5AB =，求斜边上的高.25．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1.(1)画出△ABC 关于直线1对称的图形△111A B C ；(2)在直线l 上找一点P,使PB=PC;(要求在直线1上标出点P 的位置)(3)在直线l 上找一点Q ，使点Q 到点B 与点C 的距离之和最小.26．（问题解决）（1）如图①，在等边△ABC 中，点M 是BC 边上的任意一点（不含端点B ，C ），连结AM ，以AM 为边作等边△AMN ，连结CN ．试判断∠ABC 与∠ACN 的大小关系．并说明理由．（类比探究）（2）如图②在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其他条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．（拓展延伸）（3）若点M 是CB 延长线上的任意一点（不含端点B ），请直接写出∠ACN 的度数．27．如图，在Rt ABC ∆中，60B ∠=︒，30C ∠=︒.（1）尺规作图：在线段BC 上求作一点P ，使PA PB =.（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求CAP ∠的度数.28．如图,OE 是△ABC 的边AC 的垂直平分线,AO 平分∠BAC ,EO 交AB 的延长线于点D ,连接CD ．求证:CO 平分∠ACD ．参考答案1．D【解析】【分析】根据直角和高线可得三对相等的角，根据同角的余角相等可得其它两对角相等：∠A=∠DCB，∠B=∠ACD．【详解】∵CD是直角△ABC斜边AB上的高，∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A=∠DCB，同理得：∠B=∠ACD，∴相等的角一共有5对，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．2．C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形,即可解题.【详解】解：∵（m2-1）2+(2m)2=m4+2m2+1=(m2+1)2,根据勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形，且斜边为2m1,故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,属于简单题,熟悉勾股定理逆定理的内容是解题关键.3．B【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，BC=2BE=8，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC，BC=2BE=8，∵△ABC的周长为26，∴AB+BC+AC=26，∴AB+AC=18，∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=18，故选：B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4．D【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形；B、因为52+42≠62，所以不能组成直角三角形；C、因为52+82≠132，所以不能组成直角三角形；D、因为12+122，所以能组成直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5．C【解析】【分析】由平行线的性质可求得BEM ∠，由角平分线的定义可求得BEF ∠，由平角的定义可求得2∠．【详解】AB//CD Q ，BEM 1180∠∠∴+=o ，BEM 18012555∠∴=-=o o o ，EM Q 平分BEF ∠，BEF 2BEM 110∠∠∴==o ，2180BEF 18011070∠∠∴=-=-=o o o o ，故选C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．6．B【解析】【分析】由作图的痕迹可知：点D 是线段BC 的中点，推出线段AD 是△ABC 的中线．【详解】由作图的痕迹可知：点D 是线段BC 的中点，∴线段AD 是△ABC 的中线．故选B ．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、12+12≠22，故不是直角三角形，故选项错误；B、22+32≠42，故不是直角三角形，故选项错误；C、22+22≠22，故不是直角三角形，故选项错误；D、22+2）2，故是直角三角形，故选项正确．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8．A【解析】【分析】根据角平分线的作法可直接得到答案．【详解】解：②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，①画射线OC即为所求，故选A．【点睛】本题考查了尺规作图—作已知角的平分线，熟记作图的一般步骤是解决此题的关键．9．B【解析】【分析】由三线合一的条件可知A不正确，由三角形垂直平分线的性质可知B正确，由三角形的中线可知C错误，根据全等三角形的判定判断D错误，可得出答案．【详解】解：A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，错误；B、到三角形二个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，正确；C、三角形一边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，错误；D、若一个直角三角形的斜边和直角边与另一个直角三角形的两个直角边相等则这两个直角三角形不全等，错误；故选B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形全等的判定，掌握等腰三角形和直角三角形全等的判定是解题的关键．10．D【解析】【分析】由已知条件根据等腰三角形的性质三角形三边关系求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【详解】解：（1）当三角形的三边是5，5，6时，∵5+5>6，则能组成三角形，则周长是16；（2）当三角形的三边是5，6，6时，∵5+6>6，则能组成三角形，则三角形的周长是17．故它的周长是：16或17．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，也是解题的关键．11．【解析】【分析】连接，设为，根据垂直平分线的性质可得，然后由勾股定理可列出方程，求解即可.【详解】连接，设为，则在中，，，∴可列式，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．12．2【解析】【分析】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=4，BC=1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【详解】延长AD、BC交于E，∵∠A=30°,∠B=90°，∴∠E=60°，∵∠ADC=120°，∴∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，∵AD=4，BC=1，∴2(1+x)=x+4，解得；x=2，∴CD=2.【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键.13．4【解析】【分析】过A作AE⊥AD，使AE=AD，连接DE，根据全等三角形的性质得到CE=BD=41，求得∠EDC=90°，根据勾股定理得到DE=2241942CE CD-=-=，根据等腰直角三角形的性质得到AD=22DE=4．【详解】过A作AE⊥AD，使AE=AD，连接DE，∵∠EAD=∠CAB=90°，∴∠DAB=∠EAC，在△ACE与△ABD中，AD AEEAC DABAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACE≌△ABD（SAS）∴41∵∠ADE=∠ADC=45°，∴∠EDC=90°，∵CD=3，∴DE=4，∴AD=2故答案为：4．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．14．30°【解析】【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝4，求出α的度数即可．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝4，∴∠COD＝2α．又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝4，∴OC＝OD＝CD＝4，∴△COD是等边三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故答案为30°【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．15．18cm或21cm【解析】【分析】分5cm是腰长和底边两种情况，求出三角形的三边，再根据三角形的三边关系判定求解．【详解】解：①若5cm是腰长，则三角形的三边分别为5cm，5cm，8cm，能组成三角形，周长=5+5+8=18cm，②若5cm是底边，则三角形的三边分别为5cm，8cm，8cm，能组成三角形，周长=5+8+8=21cm，综上所述，这个等腰三角形的周长是18cm或21cm．故答案为：18cm或21cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三条边的关系，主要利用了等腰三角形两腰相等的性质，难点在于分情况讨论．16．20°或40°【解析】【分析】分OC在∠AOB外部和内部两种情况，由OM、ON分别平分∠AOB、∠BOC可得∠BOM、∠BON度数，在根据两种位置分别求之．【详解】解：①如图，当OC在∠AOB外部时，∵∠AOB=60°，OM平分∠AOB，∴∠BOM=12∠AOB=30°，又∵∠BOC=20°，ON平分∠BOC，∴∠BON=12∠BOC=10°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=40°；②如图，当OC在∠AOB内部时，∵∠AOB=60°，OM平分∠AOB，∴∠BOM=12∠AOB=30°，又∵∠BOC=20°，ON平分∠BOC，∴∠BON=12∠BOC=10°，∴∠MON=∠BOM-∠BON=20°，故答案为：40°或20°．【点睛】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到OC在∠AOB外部和内部两种情况是关键．17．等边三角形【解析】【分析】根据题意证明△ABF≌△CBG，即可解答.【详解】解：根据旋转定理可得△ABF≌△CBG，所以FB=GB.又因为△ABC是等边三角形，即∠ABC=60°又因为∠ABC=60°，∠ABF=∠CBG，可得∠FBG=60°，由于∠FBG=60°，FB=GB可得三角形BFG为等边三角形.【点睛】本题考查三角形全等的知识，能够利用旋转证明全等是解题关键.18．2nm【解析】【分析】根据角平分线定义与三角形的外角等于与其不相邻两个内角和求出规律，利用规律解题即可【详解】当∠A=m时，∠1A=12m，以此类推，∠2A=14m，∠3A=18m，∠nA=12nm故答案为2nm【点睛】本题主要考查了角平分线性质与三角形外角和定理，根据题意以及相关性质找到规律解题是关键19．8【解析】【分析】利用周长的定义和垂直平分线的性质计算．【详解】∵AB ＝AC ，△ABC 周长是22，∴2AC +BC ＝22．∵E 在AB 的垂直平分线上，∴AE ＝BE ．∵△BCE 的周长＝BC +CE +BE ＝BC +CE +AE ＝BC +AC ＝14，∴AC ＝22﹣14＝8．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等．20．20【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】∵l 是BC 的垂直平分线，∴DB ＝DC ，∴△ABD 的周长＝AB +AD +BD ＝AB +AD +DC ＝AB +AC ＝20（cm ），故答案为：20【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．21．详见解析【解析】【分析】已知OC OE =，根据等腰三角形的性质可得25E C ︒∠=∠=．再由三角形外角的性质可得50DOE C E ︒∠=∠+∠=．由此可得A DOE ∠=∠,根据同位角相等,两直线平行即可得//AB CD ．【详解】证明：∵OC OE =，∴25E C ︒∠=∠=．∴50DOE C E ︒∠=∠+∠=．∵50A ︒∠=，∴A DOE ∠=∠．∴//AB CD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质及平行线的判定定理，正确证得A DOE ∠=∠是解决问题的关键.22．（1）30°（2）EF=2cm ，cm【解析】【分析】（1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A 的度数；（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得BC=12 AB=4cm ，再利用中位线的性质即可解答【详解】（1）∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°∴∠A=90°-∠B=30°即∠A 的度数是30°. （2）∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm∴BC=12AB=4cm∴==∴AE=12cm ∵E 、F 分别为边AC 、AB 的中点∴EF 是△ABC 的中位线∴EF=12BC=2cm. 【点睛】此题考查三角形中位线定理，含30度角的直角三角形，解题关键在于利用勾股定理进行计算23．①见解析；②∠BPC 的度数是135°，正方形ABCD【解析】【分析】①根据旋转得出AP ′＝CP ＝1，BP ′＝BP ∠AP ′B ＝∠BPC ，求出∠ABP ′+∠ABP ＝60°，得到等边△BPP ′，推出PP ′＝PB ，∠BP ′P ＝60°，求出∠AP ′P ＝90°，即可求出∠BPC ；过点B 作BM ⊥AP ′，交AP ′的延长线于点M ，由∠MP ′B ＝30°，求出BM P ′M ＝32，根据勾股定理即可求出答案；②同理求出∠BEP ＝12（180°﹣90°）＝45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AEP ＝90°，推出∠BPC ＝∠AEB ＝90°+45°＝135°；过点B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于点F ，求出FE ＝BF ＝1，AF ＝2，根据勾股定理即可求出AB ．【详解】①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP ′，∴AP ′＝CP ＝1，BP ′＝BP ，∠AP ′B ＝∠BPC ，由旋转得：∠P 'BP ＝∠ABC ＝60°，∴△BPP ′是等边三角形，∴PP ′＝PB ∠BP ′P ＝60°，∵AP ′＝1，AP ＝2，∴AP ′2+PP ′2＝AP 2，∴∠AP ′P ＝90°，∴∠BPC ＝∠AP ′B ＝90°+60°＝150°，过点B 作BM ⊥AP ′，交AP ′的延长线于点M ，∴∠MP ′B ＝30°，BM ＝12P 'B由勾股定理得：P ′M ＝()22332⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝32， ∴AM ＝AP '+P 'M ＝1+32＝52， 由勾股定理得：AB ＝22AM BM +＝225322⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝7， ②将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°得到△AEB ，如图丙，与(1)类似：可得：AE ＝PC ＝1，BE ＝BP ＝2，∠BPC ＝∠AEB ，∴∠EBP ＝∠ABC ＝90°，∴∠BEP ＝45°，由勾股定理得：EP ＝2，∵AE ＝1，AP ＝5，EP ＝2，∴AE 2+PE 2＝AP 2，∴∠AEP ＝90°，∴∠BPC ＝∠AEB ＝90°+45°＝135°，过点B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于点F ；∴∠FEB ＝45°，∴FE ＝BF ＝1，∴AF ＝2；∴在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AB ＝222121AF BF +=+＝5；答：∠BPC 的度数是135°，正方形ABCD 的边长是5．【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．24．2【解析】【分析】根据比例设BC=k ，AC=2k ，利用勾股定理列出方程求出k ，设AB 边长的高为h ，然后利用三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】∵BC:AC=1:2，∴设BC=k ，AC=2k ，由勾股定理得，BC 2+AC 2=AB 2，即k 2+(2k)2=52，解得所以，设AB 边长的高为h ，则S △ABC =12×5h=12 解得h=2，即斜边AB 上的高为2.【点睛】此题考查三角形的面积，勾股定理，解题关键在于利用勾股定理进行计算.25．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 对应点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格特点过BC 中点D 作出DP ⊥BC 交直线l 于点P ，使得PB=PC ；（3）根据轴对称求最短路线的方法解答即可；【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求：（2）根据网格特点可得DP⊥BC交直线l于点P，PB=PC，如图所示，点P即为所求；（3）连接B1C交直线l于点Q，则QB=QB1，根据两点之间线段最短可得B1C即点Q到点B与点C的最小距离之和，如图所示，点Q即为所求.【点睛】本题考查作图-轴对称变换，线段垂直平分线的性质，两点之间线段，解题的关键是根据网格结构作出点A、B、C的对应点，然后顺次连接．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．26．（1）∠ABC＝∠CAN，理由见解析；（2）∠ABC＝∠ACN仍成立，理由见解析；（3）∠ACN ＝120°，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，从而证出∠BAM＝∠CAN，再利用SAS证出△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可证出∠ABC ＝∠ACN；（2）原理同上；（3）由题意先画出图形，根据等边三角形的性质可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN ＝60°，从而证出∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝120°，再利用SAS证出△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可证出∠ABM＝∠ACN＝120°；【详解】（1）∠ABC＝∠ACN；理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAM ≌△CAN （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACN ；（2）∠ABC ＝∠ACN 仍成立；理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAM ≌△CAN （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACN ；（3）∠ACN ＝120°，理由如下：如图③所示：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，∠ABM ＝120°，∵在△BAM 和△CAN 中，AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAM ≌△CAN （SAS ），∴∠ABM ＝∠ACN ＝120°．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的判定，掌握等边三角形的性质和利用SAS 判定两个三角形全等是解决此题的关键.27．（1）见详解；（2）30°【解析】【分析】（1）作AB 的垂直平分线交BC 于P ，则点P 满足条件；（2）由PA=PB ，∠B=60°，得到∆BAP 是等边三角形，即可求出CAP ∠的度数．【详解】解：（1）如图，点P 为所作；（2）如图∵PA=PB ，60B ∠=︒，∴∆BAP 是等边三角形∴∠BAP=60°∵90BAC ∠=︒∴CAP ∠=30°.【点睛】本题主要考查就简单尺规作图与等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图与等边三角形的三个角为60°是解题的关键.28．见解析.【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OC，DA=DC．根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可．【详解】证明:∵DE垂直平分AC,∴DA=DC,OA=OC,∴∠DAC=∠DCA,∠OAC=∠OCA,∴∠DAO=∠DCO.∵∠DAO=∠OAC,∠OAC=∠OCA,∴∠DCO=∠OCA,∴CO平分∠ACD.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．。
2020年北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明单元测试题及答案
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．等腰三角形的对称轴是（）A．底边上的高所在的直线B．底边上的高C．底边上的中线D．顶角平分线2．如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，在△ABC中，∠B与∠C的角平分线相交于点I，过点I作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，BC＝8，则△ADE的周长是（）A．14 B．15 C．174．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB的值是（）A．12 B．8 C．6 D．36．用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（）A．a≤b B．a≠b C．a＜b D．a＝b7．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（）A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE ＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．610．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝10，BC＝5，则DE等于（）A．10 B．7 C．5 D．4二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为．12．如图：已知∠B＝20°，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，以此类推∠A的度数是．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE＝．14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点D，连接CD，若BD＝2，则AD的长是．15．如图，DE是△ABC的边AC上的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝8cm，则△ABD的周长为cm．16．如图，点D，P在△ABC的边BC上，DE，PF分别垂直平分AB，AC，连接AD、AP，若∠DAP＝20°，则∠BAC＝．17．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为．18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝40，DE＝4，AC＝12，则AB长是．三．解答题（共7小题，共66分）19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求∠DBA的度数．20．如图，已知AB∥CD，∠BCF＝180°，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°．求证：AC⊥BD．21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．（1）求∠B的度数：（2）求证：BC＝3CE．23．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D 和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．24．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．（1）求∠DBC的度数；（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长．25．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．参考答案一．选择题1．解：等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，故选：A．2．解：如图所示，以AB为腰的等腰三角形的点P有2个，以AB为底边的等腰三角形的点P有3个，∴△ABP为等腰三角形的点P有5个；故选：D．3．解：∵BI平分∠DBC，∴∠DBI＝∠CBI，又∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI．同理CE＝EI．∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝15，故选：B．4．解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴AD是BC的线段垂直平分线，∵E是AD上一点，∴EB＝EC，∴∠EBD＝∠ECD，∵∠CED＝50°，∴∠ECD＝40°，又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，故选：C．5．解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，故选：C．6．解：反证法证明“a≥b”，第一步是假设，a＜b，故选：C．7．解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；故选：A．8．解：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE，故选：B．9．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，故选：B．10．解：作EF⊥BC于F，∵S△BCE＝10，∴×BC×EF＝10，即×5×EF＝10，解得，EF＝4，∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，∴DE＝EF＝4，故选：D．二．填空题11．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，底边为12﹣2×3＝7cm，∵3+3＜7，∴边长分别为3，3，7不能构成三角形；（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（12﹣3）÷2＝4.5cm，∵0＜3＜4.5+4.5＝9，∴边长为3，4.5，4.5，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是4.5cm．故答案为：4.5cm．12．解：∵∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠A＝（180°﹣∠B）＝80°，故答案为：80°．13．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，又点E为AC中点，∴DE＝AC＝5，故答案为：5．14．解：∵DE垂直平分AC，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴CD＝2BD＝2×2＝4，∴AD＝CD＝4．故答案为：4．15．解：∵DE是△ABC中的边AC上的垂直平分线，∴AD＝CD，∵AB＝5cm，BC＝8cm，∴△ABD的周长为：AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13（cm）．故答案是：13．16．解：∵DE，PF分别垂直平分AB，AC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAP，又∵∠DAP＝20°，∴∠B+∠C＝（180°﹣20°）＝80°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，故答案为：100°．17．解：作PH⊥AC于H，∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，∴PE＝PH，∵AB∥CD，PE⊥AB，∴PF⊥CD，∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，∴PF＝PH，∴PH＝PE＝PF＝EF＝5，即点P到AC的距离为5，故答案为：5．18．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝4，∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC，∴•4•AB+•12•4＝40，∴AB＝8．故答案为8．三．解答题19．解：∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠A＝∠C＝35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝35°20．证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCF．（两直线平行，同位角相等）∵BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠DCF．（角平分线的定义）∴∠2＝∠4．∴BD∥CE．（同位角相等，两直线平行）∴∠BGC＝∠ACE．（两直线平行，内错角相等）∵∠ACE＝90°，∴∠BGC＝90°，即AC⊥BD．（垂直的定义）21．证明：∵CD⊥AB，∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．∵∠ACE＝90°，∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．∵∠CFE＝∠CEF，∴∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．22．解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝30°；（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE．23．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．24．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°；（2）∵MN是AB的垂直平分线，∴BD＝AD，∵△DBC的周长为14cm，∴BD+BC+CD＝14cm，∵BC＝5cm，∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm，∵AB＝AC，∴AB＝9cm．25．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．。
2020-2021学年北师大版八年级下册数学 第一章 三角形的证明 单元测试 (含解析)
第一章三角形的证明单元测试一．选择题1．已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（）A．12B．9C．10D．12或92．等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（）A．50°B．40°C．40°或100°D．50°或100°3．平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD 的长为（）A．2B．4C．6D．85．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为（）A．1B．2C．3D．46．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α7．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm8．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD 的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5.59．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F 分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED 周长的变化规律是（）A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大10．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE+BF．其中正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题11．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为°．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为2的等边三角形，则A点的坐标是．13．如图，AC＝AD＝AB，AD∥BC，∠C＝70°，则∠D＝°．14．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝．15．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8，∠B＝15°，则EC的长为．16．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E．若AD＝12，则DE＝；△EDC与△ABC的面积关系是：＝．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠F AE ＝20°，则∠C＝度．18．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．19．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠AOC＝90°，∠A＝13°，则∠C ＝°．20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，若∠ABD＝∠ADC＝90°，AC平分∠DAB，DE＝4，BC＝，则AE的长为．三．解答题21．如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°，BD＝3，求CD．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC交∠ABC的平分线BD于点D，求证：AC ＝AD．23．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．24．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．25．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于E．求：（1）∠BCD的度数；（2）若DE＝3，求AB的长．26．如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M．N为AB上的一点，D为BC的中点，DN＝BC．（1）求证CN⊥AB．（2）若∠A＝55°，则∠MDN＝°．27．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC 于点D，连接DE（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；（2）若∠ABC＝29°，∠C＝47°，求∠CDE度数．28．知识储备：（1）如图1，AD是△ABC的高，则△ABC的面积S△ABC＝BC•AD．比例的性质：若，则．知识运用：（2）如图2，BE是△ABC的角平分线，运用上述知识，求证：；知识延展：（3）如图3，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角形．参考答案一．选择题1．解：①若5为腰长，2为底边长，∵5，5，2能组成三角形，∴此时周长为：5+5+2＝12；②若2为腰长，5为底边长，∵2+2＝4＜5，∴不能组成三角形，故舍去；∴周长为12．故选：A．2．解：∵等腰三角形的一个角100°，∴100°的角是顶角，∴底角是×（180°﹣100°）＝40°，故选：B．3．解：∵点A、B的坐标分别为A（1，1），B（2，0）．∴AB＝，①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（2，0），∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．故选：C．4．解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠BDC＝90°＝∠ACB，∵∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∴AB＝2BC＝8，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，故选：C．5．解：∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，∵∠C＝30°，∴CD＝2BD＝2．故选：B．6．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．7．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴AE+BE＝CE+BE＝AB＝5cm，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝5+4＝9（cm）．故选：B．8．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵△ABD的面积为9，AB＝6，∴DE＝，∵BM是∠ABC的平分线，∴DE＝3，∴DP≥3，故选：A．9．解：∵AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DF A，∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠DEA+∠DF A＝60°，∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，∴∠EDB＝∠DF A，∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DF A，DE＝DF，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BD＝CF，BE＝CD，∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，∴点D在BC边上从B至C的运动过程中，∴AD的长先变小后变大，∴△BED周长先变小后变大，故选：D．10．解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC＝∠FBD，∵AC∥BF，∴∠C＝∠FBD，∴∠C＝∠ABC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD＝BD，所以①②正确；过D点作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE＝DH，∵AC∥BF，DE⊥AC，∴DF⊥BF，∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，∴DH＝DF，∴DE＝DF，所以③正确；在△ADE和△ADH中，，∴△ADE≌△ADH（HL），∴AH＝AE，同理可得BH＝BF，∴AB＝AH+BH＝AE+BF，所以④正确．故选：A．二．填空题11．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝40°，∴∠B＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故答案为：70．12．解：过A作AE⊥x轴于E，∵△ABO是等边三角形，边长为2，∴OA＝2，OE＝BE＝1，在Rt△AEO中，由勾股定理得：AE＝＝＝，即点A的坐标为（1，﹣）．故答案为：（1，﹣）．13．解：∵AD∥BC，∴∠C＝∠DAC＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，∴∠BAD＝110°，∵AB＝AD，∴∠D＝（180°﹣∠BAD）＝35°，故答案为：35．14．解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝2，∴AB＝2CD＝2×2＝4，故答案为：4．15．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，∵DE垂直平分AB，BE＝8，∴BE＝AE＝8，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，∵∠C＝90°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝×8＝4，∴EC＝AC＝4，故答案为：．16．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠DAC＝∠BAC＝30°，∵AD＝12，∴DE＝AD＝6；∵DE⊥AC，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝DC，∴BC＝4EC，∵S△EDC＝×6×EC＝3EC，S△ABC＝×12×BC＝6BC＝24EC，∴．故答案为：6，．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠F AE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABC＝×4×2+AC•2＝7，解得AC＝3．故答案为：3．19．解：如图，连接OB，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠A＝13°，∴∠AOB＝180°﹣13°﹣13°＝154°，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣154°＝116°，∵OE垂直平分BC，∴∠C＝∠OBC＝（180°﹣116°）＝32°．故答案为：32．20．解：过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H，CJ⊥BD于J．∵CA平分∠DAN，CD⊥AD，CH⊥AH，∴∠DAC＝∠BAC，CD＝CH，∵∠ADC＝∠ABD＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠CAB+∠AEB＝90°，∴∠ACD＝∠AEB，∵∠DEC＝∠AEB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝CH＝4，∵∠CJB＝∠JBH＝∠H＝90°，∴四边形BHCE是矩形，∴BE＝CH＝4，EC＝BH＝＝＝，∴DE＝＝＝，∴JE＝DE﹣DJ＝4﹣＝，EB＝BJ﹣EJ＝4﹣＝，∴EC＝＝＝，∵CJ∥AB，∴＝，∴＝，∴AE＝，故答案为：三．解答题21．证明：∵∠ADC＝60°，∠BAD＝30°，∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，∴BD＝AD＝3，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，∴CD＝2AD＝6．22．证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠D，∴AB＝AD，∵AB＝AC，∴AC＝AD．23．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．24．证明：（1）连接DF，∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵点F是AB的中点，∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．25．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，∴CD＝AD，DE⊥AC，∴∠A＝∠DCA＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，（2）∵∠B＝60°∴∠BCD＝∠B＝60°∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD＝AB，∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12．26．（1）证明：∵BM⊥AC，点D是BC的中点，∴BD＝CD＝DM＝BC，∵DN＝BC，∴DM＝DN＝BD＝CD，∴∠DBN＝∠BND，∠DNC＝∠DCN，∵∠NBD+∠BNC+∠NCD＝180°，∴2∠BND+2∠CND＝180°，∴∠BND+∠CND＝90°，即∠CNB＝90°，∴CN⊥AB；（2）解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠BMC＝90°，∵D为BC的中点，∴DN＝BD，DM＝CD，∴∠BND＝∠NBD，∠DMC＝∠MCD，∴∠BND+∠DMC＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝125°，∴∠AND+∠AMD＝360°﹣125°＝235°，∴∠MDN＝360°﹣∠A﹣∠AND﹣∠AMD＝70°，故答案为：70．27．解：（1）∵BD垂直平分AE，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，∴AB+BE+AD+CD+CE＝18，CD+CE+DE＝6，∴2AB＝18﹣6＝12，∴AB＝6；（2）∵∠ABC＝29°，∠C＝47°，∴∠BAC＝104°，∵AB＝BE，∠ABC＝29°，∴∠BAE＝∠AEB＝，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAE＝104°﹣＝，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠CDE＝2∠DAE＝57°．28．2．证明：作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分别是F，G，H，∵BE平分∠ABC，∴EF＝EG，∵，，∴，∵，，∴，∴，3．证明：由（1）知，∴，∵AB+AE＝BC+CE，∴，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形．。
北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题(附答案)
北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题（附答案）1．若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（）A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定2．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝5 cm，BD ＝2 cm，则DE的长是( )A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm3．如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20 m，则AB＝( )A．25m B．30m C．203m D．40m4．如图O的直径，点C在O上，，则AC的长是( )A．2B．3C．2D．15．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE 交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（）A．AD＝CE B．MF＝12CF C．∠BEC＝∠CDA D．AM＝CM6．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F分别为垂足，①PE ＝PF，②AE＝AF，③∠APE=∠APF，上述结论中正确的有（）个.A．3个B．2个C．1个D．0个7．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点在BC上，且有AD=AE，BD=CE．若∠BAD=30°，∠DAE=50°，则∠BAC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°8．如图，直线AD，BE 相交于点O，CO⊥AD 于点O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为A．29°B．30°C．31°D．32°9．如图,在△ABC中,BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于点E.如果∠BAC=60°,∠ACE=24°,那么∠BCE的大小是()A．24°B．30°C．32°D．36°10．如图,有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米。
2020年北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明单元测试卷及答案
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．等腰三角形的对称轴是（）A．底边上的高所在的直线B．底边上的高C．底边上的中线D．顶角平分线2．如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，在△ABC中，∠B与∠C的角平分线相交于点I，过点I作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，BC＝8，则△ADE的周长是（）A．14 B．15 C．174．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB的值是（）A．12 B．8 C．6 D．36．用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（）A．a≤b B．a≠b C．a＜b D．a＝b7．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（）A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE ＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．610．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝10，BC＝5，则DE等于（）A．10 B．7 C．5 D．4二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为．12．如图：已知∠B＝20°，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，以此类推∠A的度数是．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE＝．14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点D，连接CD，若BD＝2，则AD的长是．15．如图，DE是△ABC的边AC上的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝8cm，则△ABD的周长为cm．16．如图，点D，P在△ABC的边BC上，DE，PF分别垂直平分AB，AC，连接AD、AP，若∠DAP＝20°，则∠BAC＝．17．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为．18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝40，DE＝4，AC＝12，则AB长是．三．解答题（共7小题，共66分）19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求∠DBA的度数．20．如图，已知AB∥CD，∠BCF＝180°，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°．求证：AC⊥BD．21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．（1）求∠B的度数：（2）求证：BC＝3CE．23．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D 和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．24．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．（1）求∠DBC的度数；（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长．25．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．参考答案一．选择题1．解：等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，故选：A．2．解：如图所示，以AB为腰的等腰三角形的点P有2个，以AB为底边的等腰三角形的点P有3个，∴△ABP为等腰三角形的点P有5个；故选：D．3．解：∵BI平分∠DBC，∴∠DBI＝∠CBI，又∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI．同理CE＝EI．∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝15，故选：B．4．解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴AD是BC的线段垂直平分线，∵E是AD上一点，∴EB＝EC，∴∠EBD＝∠ECD，∵∠CED＝50°，∴∠ECD＝40°，又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，故选：C．5．解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，故选：C．6．解：反证法证明“a≥b”，第一步是假设，a＜b，故选：C．7．解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；故选：A．8．解：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE，故选：B．9．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，故选：B．10．解：作EF⊥BC于F，∵S△BCE＝10，∴×BC×EF＝10，即×5×EF＝10，解得，EF＝4，∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，∴DE＝EF＝4，故选：D．二．填空题11．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，底边为12﹣2×3＝7cm，∵3+3＜7，∴边长分别为3，3，7不能构成三角形；（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（12﹣3）÷2＝4.5cm，∵0＜3＜4.5+4.5＝9，∴边长为3，4.5，4.5，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是4.5cm．故答案为：4.5cm．12．解：∵∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠A＝（180°﹣∠B）＝80°，故答案为：80°．13．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，又点E为AC中点，∴DE＝AC＝5，故答案为：5．14．解：∵DE垂直平分AC，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴CD＝2BD＝2×2＝4，∴AD＝CD＝4．故答案为：4．15．解：∵DE是△ABC中的边AC上的垂直平分线，∴AD＝CD，∵AB＝5cm，BC＝8cm，∴△ABD的周长为：AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13（cm）．故答案是：13．16．解：∵DE，PF分别垂直平分AB，AC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAP，又∵∠DAP＝20°，∴∠B+∠C＝（180°﹣20°）＝80°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，故答案为：100°．17．解：作PH⊥AC于H，∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，∴PE＝PH，∵AB∥CD，PE⊥AB，∴PF⊥CD，∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，∴PF＝PH，∴PH＝PE＝PF＝EF＝5，即点P到AC的距离为5，故答案为：5．18．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝4，∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC，∴•4•AB+•12•4＝40，∴AB＝8．故答案为8．三．解答题19．解：∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠A＝∠C＝35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝35°20．证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCF．（两直线平行，同位角相等）∵BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠DCF．（角平分线的定义）∴∠2＝∠4．∴BD∥CE．（同位角相等，两直线平行）∴∠BGC＝∠ACE．（两直线平行，内错角相等）∵∠ACE＝90°，∴∠BGC＝90°，即AC⊥BD．（垂直的定义）21．证明：∵CD⊥AB，∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．∵∠ACE＝90°，∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．∵∠CFE＝∠CEF，∴∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．22．解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝30°；（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE．23．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．24．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°；（2）∵MN是AB的垂直平分线，∴BD＝AD，∵△DBC的周长为14cm，∴BD+BC+CD＝14cm，∵BC＝5cm，∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm，∵AB＝AC，∴AB＝9cm．25．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明-测试卷附答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明评卷人得分一、单选题1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．182．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D3．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=b，则|a|=|b|4．如图一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．76．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是A．射线OE是∠AOB的平分线B．△COD是等腰三角形C．C、D两点关于OE所在直线对称D．O、E两点关于CD所在直线对称7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB ＝7，则AC长是（）A．3B．4C．6D．58．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cm B．C．（）cm D．（cm评卷人得分二、填空题9．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为_______.10．用反证法证明“一个三角形不可能有两个直角”时，第一步应假设：_______________________；11．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6cm，则CD的长为________cm.12．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为___cm．13．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC 于点E，F，连接CE，则CE的长为________．14．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=时，△POQ是等腰三角形．评卷人得分三、解答题15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．16．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若∠BAC=60 ，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．17．如图，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC全等吗？请说出你的理由；(2)试说明AE∥BC.18．如图，在△ABC中，∠A=90º，∠B=30º，AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF//AC交AB于点F；（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？（3）求证：DC=EF；参考答案1．B【解析】试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B．考点：等腰三角形的性质．2．C【解析】试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定：A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．故选C．3．C【解析】【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A．逆命题为：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B．逆命题为：相等的角是直角，是假命题；C．逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题；D．逆命题为：若|a|=|6|，则a=6，是假命题．故选C．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．B【解析】【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．【详解】由题意得∠ABC=60°，AB=BC=40∴△ABC是等边三角形∴AC=AB=40海里．故选B．5．D【解析】【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．≤≤∴3PA6故选D．6．D【解析】试题分析：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，∴△EOC≌△EOD（SSS）．∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．B、根据作图得到OC=OD，∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意．C、根据作图得到OC=OD，又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线．∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意．D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．故选D．7．D【解析】【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB＋S△ADC ＝S△ABC得到12×4×7＋12×4×AC＝24，然后解一次方程即可．【详解】作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，∴12×4×7＋12×4×AC＝24，∴AC＝5，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．B【解析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6cm，∴AB=故选B..9．40°【解析】∵等腰三角形的一个底角为70°∴顶角=180°−70°×2=40°.故答案为40°10．在一个三角形中，有两个角是直角【解析】【详解】用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为直角”时，应假设“在一个三角形中，可以有两个内角为直角”．故答案为：在一个三角形中，可以有两个内角为直角．【点睛】反证法：第一步应假设假设结论不成立.11．6cm【解析】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC；又∵CD∥OB，∴∠C=BOC，∴∠C=∠AOC；∴CD=OD=6cm.故答案为6cm.点睛：本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，角平分线的定义，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边，出现角平分线和平行线容易出现等腰三角形. 12．6【解析】【详解】∵l垂直平分BC，∴DB=DC．∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm13．13 6【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．所以△AOE≌△COE．设CE为x．则DE=AD-x，CD=AB=2．根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22解得CE=13/6．14．103s@10s【解析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP=OC﹣CP=OQ，即10﹣2x=x，解得，x=103s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，有OQ=OP，即2（x﹣5）=x，解得，x=10s故填103s或10s．15．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10===，∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=.16．（1）见解析；（2）14DO AD =【解析】试题分析：（1）由AD 为△ABC 的角平分线，得到DE=DF ，推出∠AEF 和∠AFE 相等，得到AE=AF ，即可推出结论；（2）由已知推出∠EAD=30°，得到AD=2DE ，在△DEO 中，由∠DEO=30°推出DE=2DO ，即可推出结论．试题解析：（1）∵AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，∠AED=∠AFD=90°，∴∠DEF=∠DFE ，∴∠AEF=∠AFE ，∴AE=AF ，∴点A 、D 都在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ．（2）14DO AD =，理由：∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=30°，∴AD=2DE，∠EDA=60°，∵AD⊥EF，∴∠EOD=90°，∴∠DEO=30°∴DE=2DO，∴AD=4DO，∴14 DO AD.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是（1）证AE=AF和DE=DF；（2）证AD=2DE和DE=2DO．17．(1)△DBC和△EAC全等，理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)要证两个三角形全等，已知的条件有AC=BC，CE=CD，我们发现∠BCD和∠ACE都是60°减去一个∠ACD，因此两三角形全等的条件就都凑齐了(SAS)；(2)要证AE∥BC，关键是证∠EAC=∠ACB，由于∠ACB=∠ACB，那么关键是证∠EAC=∠ACB，根据(1)的全等三角形，我们不难得出这两个角相等，也就得出了证平行的条件．【详解】解：(1)△DBC和△EAC全等．理由：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.故答案为：(1)△DBC和△EAC全等，理由见解析；(2)见解析.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质．18．（1）当t为2时，△DEC为等边三角形；（2）当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形；（3）见解析【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得到EC=DC，列方程得到t=2；(2)根据直角三角形的性质得到CE=12DC，列方程得到t=1.2，根据直角三角形的性质还可得到12CE＝DC，列方程得到t=3；(3)根据直角三角形的性质得到BC=12cm，于是得到DC=(6-t)cm，BE=(12-2t)cm，根据平行线的性质得到∠A=∠BFE=90°，由直角三角形的性质得到EF=12BE=12(12-2t)=(6-t)cm，即可得到结论；【详解】解：由题意得AD＝t cm，CE＝2t cm.(1)若△DEC为等边三角形，则EC＝DC，∴2t＝6－t，解得t＝2，∴当t为2时，△DEC为等边三角形．(2)若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CE＝12DC，∴2t＝12(6－t)，解得t＝1.2；当∠CDE＝90°时，同理可得∠CED＝30°，∴12CE＝DC，∴12×2t＝6－t，∴t＝3，∴当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形．(3)证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，∴BC＝12cm，∴DC＝(6－t)cm，BE＝(12－2t)cm.∵EF∥AC，∴∠BFE＝∠A＝90°.∵∠B＝30°，∴EF＝12BE＝12(12－2t)＝(6－t)cm，∴DC＝EF.故答案为(1)2；(2)1.2或3；(3)证明见解析【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质.。
北师版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》 单元综合测试卷(包含答案)
北师版八年级数学下册第1章三角形的证明单元综合测试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共10小题，3*10=30）1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )A． 80°B．80°或20°C． 80°或50°D． 20°2．如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为( )A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )A．3.5B．4.2C．5.8D．74．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()A．2.5 B．1.5 C．2 D．16. 如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为( )A．10B．8C．5D．2.57．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )A．25°B．30°C．45°D．60°8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC 于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )A．6B．7C．8D．99．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是( )A．6B．8C．9D．1010．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，在△BCD中，∠DBC＝90°，∠BCD＝60°，DC 的中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为()A．30° B．15° C．45° D．25°二．填空题（共8小题，3*8=24）11．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中．12. 如图所示，在△ABC中，AB=AC=20cm，∠BAC=150°，则S△ABC=cm2．13．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=．15．如图，在圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为________m(容器厚度忽略不计)．16．如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD=cm．17．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为．18．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．20．(8分)如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．求证：DE平分∠BDC；21．(8分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．22．(10分) 如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF 与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．23．(10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．24．(10分)已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．25．(12分) 如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF=2；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．参考答案1-5 BCDBD 6-10ABDBB11. 每一个内角都大于60°12. 10013. 714. 35°15. 1.316. 417. 2718. S2=S1+S319. 证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．20. 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，21. （1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．22. （1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．23. 解：CE＝DE，CE⊥DE.证明如下：∵AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，∴△CAE≌△EBD.∴∠CEA＝∠D，CE＝DE.∵∠D＋∠DEB＝90°，∴∠CEA＋∠DEB＝90°.∴∠CED＝90°.即线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直．24. 证明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠ABF=∠ACD，在△BDF和△CDA中，∵，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC．（2）由（1）得BF=AC，∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，∴在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴CE=AE=AC=BF．25.（1）解：∵△BDE是等边三角形，∴∠EDB=60°，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°，∵∠ACB=90°，∴∠ACF=180°﹣90°，∴AF=2AC=2×1=2；（2）证明：∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，即∠ADE+60°=∠CBD+90°，∴∠ADE=30°+∠CBD，∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，∴∠ADE=∠HBE，在△ADE与△HBE中，，∴△ADE≌△HBE（SAS），∴AE=HE，∠AED=∠HEB，∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，即∠AEH=∠BED=60°，∴△AEH为等边三角形．。
2020年北师版八年级数学下册第1章三角形的证明单元测试卷含答案
2020年北师版八年级数学下册第1章三角形的证明单元测试卷班级 ____________坐号 ____________得分 ____________一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，直线l 1∥l 2，以直线l 1上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝67°，则∠1的度数为( )A ．23°B ．46°C ．67°D ．78°2．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )A ．4，5，6B ．2，3，4C ．11，12，13D ．8，15，173．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 作射线OC ．由此做法得△MOC ≌△NOC 的依据是( )A ．AASB ．SASC ．ASAD ．SSS4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8 D ．2，3，45．如图，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( )A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠D D ．BC ＝AD6．已知三角形三内角之间有∠A ＝12∠B ＝13∠C ，它的最长边为10，则此三角形的面积为( ) A ．20 B ．10 3 C ．5 3 D.25327．有A ，B ，C 三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在 ( )A．△ABC三条角平分线的交点处B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条高的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处8．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为()A．48° B．36° C．30° D．24°9．下列说法：①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③有一个角和底边分别相等的两个等腰三角形全等；④一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，DE⊥AC 于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE ＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．12．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是_________的．（填“正确”或“错误”）13．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是________．14．如图，△ABC的周长为22 cm，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，若△BCE的周长为14 cm，则AB＝________cm.15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．16．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝________．17．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是____________．18．若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)20．(8分)如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，求∠C的度数．21．(8分) 如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC.(1)求∠C的度数；(2)若CE＝1，求AB的长．22．(10分) 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.23．(10分) 如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：(1)AD的长；(2)△ABC的面积．24．(10分)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，求EF的长．25．(12分) 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A，C之间选择一点B(A，B，C三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40 m.(1)求点B到AD的距离；(2)求塔高CD.(结果用根号表示)参考答案1-5BDDBA 6-10 DDABA11.110°12. 错误13.7614. 815．1516.70°17. 相等或互补18．30°或150°19. 解：如图，△PBD 为所求作的三角形．20. 解：∵AB=AD ，∠BAD=20°，∴∠B=180°-∠BAD 2= 180°-20°2=80°， ∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC ，∴∠C=180°-∠ADC 2= 180°-100°2=40°． 21. 解：(1)∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B ＝30°，∴∠BAE ＝∠B ＝30°， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC ＝∠BAE ＝30°，即∠BAC ＝60°，∴∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝180°－60°－30°＝90°(2)∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，AE 平分∠BAC ，CE ＝1，∴AC ＝3，∴AB ＝2322．证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B ＝∠C ＝90°.∵EF ⊥DF ，∴∠EFD ＝90°，∴∠EFB ＋∠CFD ＝90°.∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°，∴∠BEF ＝∠CFD.在△BEF 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD(ASA)，∴BF ＝CD.23．解：(1)∵∠C ＝45°，AD 是△ABC 的边BC 上的高， ∴∠DAC ＝45°，∴AD ＝CD.∵AC 2＝AD 2＋CD 2，∴62＝2AD 2，∴AD ＝3 2.(2)在Rt △ADB 中，∵∠B ＝60°，∴∠BAD ＝30°，∴AB ＝2BD.∵AB 2＝BD 2＋AD 2，∴(2BD)2＝BD 2＋AD 2，BD ＝ 6.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12(BD ＋DC)·AD ＝12×(6＋32)×32＝9＋3 3. 24. 解：∵ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠ABC=∠BAD=90°；又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，∴∠FBA=∠EAD ；∵BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，∴在Rt △AFB 和Rt △AED 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA=90°， ∠FBA ＝∠EAD ，AB ＝DA ，，∴△AFB ≌△AED （AAS ），∴AF=DE=8，BF=AE=5，∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．25. 解：(1)过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，∴∠AEB ＝90°，又∵∠A ＝30°，∴BE ＝12AB ＝12×40＝20(m) (2)AE ＝AB 2－BE 2＝203，∵∠A ＋∠ADB ＝∠DBC ＝75°，∴∠ADB ＝75°－∠A ＝45°， ∵BE ⊥AD ，∴∠BED ＝90°，∴∠DBE ＝∠ADB ＝45°，∴DE ＝BE ＝20，∴AD ＝AE ＋DE ＝203＋20，∵CD ⊥AC ，∴∠C ＝90°，又∵∠A ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12(203＋20)＝(103＋10) m。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题(含详细解析)
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．52．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= _________．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________度．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：几何图形问题．分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。
北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元能力达标测试题(附答案)
北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元能力达标测试题（附答案）1．下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C 中，其中能确定△A B C 是直角三角形的条件有( A．1 个B．2 个C．3 个2．下列两个三角形中，一定全等的是( )D．4 个)A．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B．两个等腰三角形C．有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D．两个等边三角形3．如图，△A B C中，∠C=90°，∠B A C 的平分线交B C 于点D，若C D=4，则点D到A B 的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，△AB C中，AB AC，过点A作DA AC交BC于点D．若B 2 BA D，则BA D的度数为（）A．18°B．20°C．30°D．36°5．如图，△AB C中，点D为BC上一点，且AB=AC=C D，则图中∠1和∠2的关系是（）A．∠2=2∠1 B．∠1+2∠2=90°C．2∠1+3∠2=180°D．3∠1+2∠2=180°6．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（A．a=3，b=4，c=5 B．a=），b= 3，c= 5 2C．a=3，b=4，c=7 7．如图，在等边D．a=1，b=，c=32中，分别是的中点，DE=3,则的周长是A．6B．9C．18D．248．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）．．A．1，3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，13 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，B D平分∠AB C交AC于D，AE∥BD交CB延长线于点，若∠AEB＝25°，则∠ADB的度数为（）EA．50°B．70°C．75°D．80°10．如图，在△AB C中，边A B，A C的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是()A．P B>PC B．PB＝PC C．PB<PC D．PB≠PC11．等腰三角形的两边长是3和7，则这个三角形的周长等于_____．12．如图，在Rt ABC中，ACB90点（不与点、重合），过点D作DEB C 3，点D是B C边上一动，30，B交AB边于点E，将沿直线DE翻BB C BCAEF为直角三角形时，B D的长为______.折，点落在射线B C上的点F处，当B13．如图，墙上钉了根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，再这个测平仪中，A B=A C,B C 边的中点D 处有一个重锤，小明建B C 边与木条重合，观察此重锤是否通过A 点，如通过A 点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？14．如图，一个圆柱体高8 cm，底面半径2 cm，蚂蚁在圆柱表面从点A 爬到点B 处，要爬行的最短路程是___________cm15．已知在△A B C 中,CD 是角平分线.∠A=2∠B,AD=3,AC=5,那么BC=______.16．如图，在△AB C 中，∠A C B=80°，∠AB C=60°．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于A C 的长为半径画弧，分别交A B、A C 于点E、F；②分别以点E、F 为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线A G 交BC 于点D．则∠A D B 的度数为°．17．已知等腰三角形的一个角为80°，那么它的一个底角为__．18．如图，如果在△A B C 中，D 为B C 上的一点，且A B=A D=D C，∠C=40°，则∠B A D=_________．19．如图的直角三角形中未知边的长x=_______.20．数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有________21．A，B 两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A 的坐标是(2,2)，点B 的坐标是(7, 3),根据下列要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）.（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C 点到A，B 两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点;（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P 的位置，P 点的坐标为________.22．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8 ㎝、6㎝和10 ㎝的长3方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？23．等腰三角形A B C 的周长为13cm，A B=5c m（1）若A B 是底，则A C 的长为_____________cm（2）若A B 是腰，则A C 的长为_____________cm24．如图，已知在四边形A B C D 中，A B＝20cm，B C＝15 cm，C D＝7 cm，A D＝24 cm，∠A B C＝90°。
2020年北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明单元测试题及答案
∴DF＝DE＝4，
∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC
，
∴•4•AB+•12•4＝40，
∴AB＝8．
故答案为8．
三．解答题
19．解：∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，
∴∠A＝∠C＝35°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，
∴AD＝BD，
又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
故选：C．
5．解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6，
故选：C．
6．解：反证法证明“a≥b”，第一步是假设，a＜b，
故选：C．
7．解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；
②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；
∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．
同理可得∠EBA＝∠ABD．
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°；
（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，
在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE（SAS）．
∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．
∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，
∴∠DIB＝∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴BD＝DI．
同理CE＝EI．
∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝15，
故选：B．
4．解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是BC的线段垂直平分线，