漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度++++=∑∞=n n na a a a211称为无穷级数。
当0≥n a 时，此级数称为正项级数。
记n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。
级数∑∞=1n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛散性来定义。
显然，级数∑∞=1n n a 时，有0lim =∞→n n a 。
因此，0lim ≠→∞n n a 时，必有级数∑∞=1n n a 发散。
但是0lim =∞→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。
只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞=1n n a 才收敛。
可以证明：几何级数∑∞=1n n q ，当1||<q 时收敛；当1||≥q 时发散。
p -级数∑∞=11n pn，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
由p -级数∑∞=11n pn 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
因而，无穷小n 1是衡量级数∑∞=1n na 敛散性的一把“尺子”。
可是，这把“尺子”有点粗糙了。
事实上，尽管无穷小nn ln 1趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。
可以证明，级数∑∞=1ln 1n pnn ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
于是，无穷小nn ln 1是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
可是，马上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞=1ln ln ln 1n nn n 仍然发散级数。
于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。
(整理)正项级数收敛性
正项级数收敛性真正反映思维过程的文章，比八股式论文 要和谐可亲得多，而且对思维训练更有帮 助，可惜，这种文章只能藏在文库中。
----作者感言21ln a bn nn∞=∑ 1．1a <发散 2．1a >收敛 3．1,1a b =≤发散 4．1,1a b =>收敛1lim[ln1]ln nn n a n n g a →∞+-= (1)ln 1(1)ln ln ln ln 1ln g y nx n y x n ng n n n n=-=-+--1111ln ln 1ln ln n n g g a a n n n n εε+-+⎛⎫⎛⎫+≤-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11ln 1ln 1ln ln 111ln N N ng g a a n n n n n g n n b ea ee eεεε-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-∑∑≥≥∑∑现在开始讨论正项级数的收敛性，上面写得很乱的东西，没有清掉它，因为它是问题的核心，记录着思维的真实，保持原样挺美的。
1nn a∞=∑（0n a ≥）被称为正项级数，这个定义有点狭隘，因为级数的收敛性不受去掉或增加有限项的影响，只要从某项开始，后面全部项都是0n a ≥，就足够看成正项级数了。
数列na写成函数形式()n a f n =可以拓展解决问题的视野，比如1()n f n ∞=∑的收敛性和()af x dx +∞⎰的收敛性，有着极为密切的关系，假定()0f x ≥很多时候，收敛性是相同的，比如单调的时候。
不单调也不怕，因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的情况没什么关系。
极值点是单调性改变的地方，如果只有有限个极值点，在右边足够远的区间里，函数必然单调，而这足够肯定，两者收敛性相同。
只要有限个极值点，很多时候这已经够用了。
如果是无穷个极值点，也不是没有作为，只要存在经过极少值点的函数，经过极大值点的函数，且这两个函数只有有限个极值点，对这两个函数进行类似讨论，也能解决绝大部分问题。
级数的收敛性判定与计算
级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。
在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。
本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。
一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。
设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。
1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。
关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。
（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。
（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。
2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。
关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。
3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。
二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。
以下是几种常见的级数计算方法。
1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。
对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。
正项级数的收敛性问题研究
正项级数的收敛性问题研究正项级数的收敛性问题是数学分析中极为重要的问题之一。
正项级数指的是只含有非负数（或者正数）的级数，例如：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2},\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n},\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$$正项级数的收敛性可以归结为两个问题：收敛和发散。
如果一个级数收敛，那么它的和可以用某个数来表示；如果一个级数发散，那么它没有和（或者可以看做是无穷大）。
一、收敛性一个正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，就意味着存在一个数$S$，使得级数的部分和$\{S_N\}$逐渐趋近于$S$，即：$$S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n\to S\quad (N\to\infty)$$上述定义等价于下面两个条件：1. $\forall \varepsilon>0$，存在$N>0$，$\forall n>N$，$\sum_{k=n}^{\infty}a_k<S+\varepsilon$。
这里需要注意的是，级数的收敛性与第一个非零项$a_1$无关。
例如，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$和$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}$都是调和级数，但是前者收敛，后者发散。
我们介绍下面几种判别级数收敛的方法：1. 比较判别法如果存在一个正级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，使得对于所有$n\geqslant 1$，满足$a_n\leqslant b_n$，那么当正级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；当正级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散时，正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。
正项级数的收敛性问题研究
正项级数的收敛性问题研究
正项级数的收敛性问题是数学分析中一个基本而重要的课题。
一个正项级数是指其各
项都为非负的实数或复数，按照特定顺序相加而得到的无穷级数。
正项级数的收敛性研究
探讨了如何判断一个正项级数是否会收敛，即它的和是否有一个有限的值。
在正项级数的收敛性问题中，常见的研究方法是比较判别法、比值判别法、根值判别
法等。
比较判别法是通过与已知的收敛或发散级数进行比较，来判断一个正项级数的收敛性。
当正项级数的各项都小于或大于某个已知的收敛级数时，可以得到它的收敛性。
比较判别
法的关键是找到适当的比较级数，以确定级数的收敛或发散。
比值判别法是通过计算级数的相邻项之比的极限值来判断级数的收敛性。
如果极限值
小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则无法确定级数的收敛性，需要使用其他方法进一步研究。
正项级数的收敛性还有一些其他的判别方法，如积分判别法、魏尔斯特拉斯判别法等。
这些方法在不同情况下适用，并且需根据具体问题来选择合适的判别法进行研究。
正项级数的收敛性问题在数学分析中有广泛的应用。
它可以用来研究函数的连续性、
可积性等性质；在物理学中，可以用来研究连续介质的性质等。
正项级数的收敛性问题的
研究具有重要的理论和应用价值。
正项级数的收敛性问题是数学分析中一个基本而重要的课题，涉及到多种判别方法的
运用。
通过研究正项级数的收敛性，可以推动数学分析理论的发展，并在实际应用中发挥
重要作用。
正项级数的收敛速度
收敛速度与级数的关系
收敛速度与项数的关系
一般来说，随着项数的增加，正项级数的和会逐渐接近其极限值。收敛速度越快，意味着级数在较少 的项数时就能接近其极限值。
收敛速度与项大小的关系
在正项级数中，每一项的大小决定了级数收敛的快慢。如果每一项都较小，那么级数的收敛速度可能 会更快。
收敛速度的极限情况
收敛速度的下限
p-级数的求和公式为：$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p} = frac{pi}{sin(pi p)}$。当$p > 1$时，该级数收敛；当$p leq 1$时，该级数发散。
调和级数
调和级数是一类正项级数，其一般项 为$1/n$的形式。调和级数是发散的 ，其收敛速度较慢。
要点二
控制系统
在控制系统的稳定性分析中，系统的极点常常用正项级数 来表示，其收敛速度决定了系统稳定性的判断精度。
05
结论
正项级数收敛速度的重要性
理论意义
正项级数的收敛速度是数学分析 中的一个重要概念，它对于级数 理论的完善和发展具有重要意义。
应用价值
在解决实际问题时，了解正项级 数的收敛速度可以帮助我们更好 地选择合适的级数近似方法，提 高近似计算的精度和可靠性。
正项级数的收敛速度
• 引言 • 正项级数的收敛性质 • 正项级数的收敛速度分析 • 正项级数的收敛速度应用 • 结论
01
引言
定义与概念
正项级数
由正项组成的级数，即每一项都是非 负的。
收敛速度
描述级数收敛的快慢程度，通常用收 敛的阶数来表示。
收敛速度的意义
理论意义
研究级数的收敛速度有助于深入理解 级数理论，完善数学分析体系。
应用价值
正项级数的收敛性问题研究
正项级数的收敛性问题研究正项级数是指级数的每一项都是非负的实数。
正项级数的收敛性问题是数学分析中一个重要的研究课题，它涉及到级数的收敛与发散的判定以及级数的收敛的速度等问题。
本文将从几个方面对正项级数的收敛性问题进行研究。
正项级数的收敛与发散的判定是正项级数研究的基础。
常见的判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法和级数收敛的充要条件等。
比较判别法通过比较给定正项级数与已知收敛（发散）的基准级数的大小关系来判断级数的收敛性。
比值判别法则通过计算级数的项的绝对值与其后一项的比值的极限来判断级数的收敛性。
根值判别法与比值判别法类似，只不过是计算级数的项的绝对值开根号与其后一项的绝对值开根号的比值的极限。
根据这些判别法，我们可以判断一个正项级数是收敛还是发散。
对于收敛的正项级数，研究其收敛速度也是一个重要问题。
收敛速度是指级数收敛到其极限的速度。
常见的收敛速度有线性收敛、对数收敛和指数收敛等。
线性收敛是指级数每一项的尺度都以相同的速度递减，即级数的收敛速度与级数项之间线性相关。
对数收敛是指级数的尺度以对数方式递减。
指数收敛则是指级数的尺度以指数方式递减。
研究收敛速度可以帮助我们更好地理解和描述正项级数的收敛性质。
正项级数的收敛性问题还涉及到级数的压缩性和收敛域的问题。
级数的压缩性是指如果一个正项级数的每一项都小于等于另一个正项级数的对应项，那么这个正项级数也是收敛的。
根据级数的收敛性问题，我们还可以研究级数的收敛域，即级数的收敛范围。
收敛域的研究可以帮助我们更深入地理解级数的收敛性质。
高等数学8.2正项级数收敛性
n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
2020/4/30
1 xp
,
故
1
np
nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
n
kn1k1p1(k11)p11
n1
n1
(3) 当 l =∞ 且vn 发散时, un 也发散.
n1
n1
2020/4/30
例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
2020/4/30
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则
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漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
++++=∑∞
=n n n
a a a a
211
称为无穷级数。
当0≥n a 时，此级数称为正项级数。
记
n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。
级数∑∞
=1
n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛
散性来定义。
显然，级数∑∞=1
n n a 时，有0lim =∞
→n n a 。
因此，0lim ≠→∞
n n a 时，必有级数∑∞
=1
n n a 发散。
但是
0lim =∞
→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。
只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞
=1
n n a 才收敛。
可以证明：
几何级数∑∞
=1
n n q ，当1||<q 时收敛；当1||≥q 时发散。
p -级数∑
∞
=11
n p
n
，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
由p -级数∑
∞
=1
1
n p
n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞
=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
因而，无穷小n 1
是衡量级数∑∞
=1
n n
a 敛散性的一把“尺子”。
可是，这把“尺子”有点粗糙了。
事实上，尽管无穷小
n
n ln 1
趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。
可以证明，级数∑∞
=1ln 1
n p
n
n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
于是，无穷小
n
n ln 1
是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1
时，级数∑∞
=1n n a 发散。
可是，马
上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞
=1ln ln ln 1
n n
n n 仍然发散级
数。
于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。
这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺
子”：n 1
，n n ln 1，
n
n n ln ln ln 1。
这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。
实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。
由几何级数的∑∞
=-11n n q 的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n 充分大时，正项级数的后一
项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。
在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达
朗贝尔）判别法和根值（柯西）判别法：若ρ=+∞→n
n n a a 1lim （ρ=∞→n
n n lim ）
，则当1<ρ时，正项级数∑∞
=1n n a 收敛；当1>ρ时，正项级数∑∞
=1
n n a 发散；而当1=ρ时，判别法失效。
这两种判别法具有明显的优
势：仅需要级数自身项的性质，不需要比较级数，使用起来较为方便。
然而它们是基于几何级数的判别敛散性的“尺子”，其精度远比基于p -级数的“尺子”粗糙的多。
事实上，对于∑
∞
=1
1n n ，∑∞
=11n n
，∑∞
=1
21
n n 可计算1=ρ，因此，比值和根值判别法失效。
但是，根据比较判别法和p -级数的敛散性，前两个级数发散，后一个级数收敛。
比值和根值判别法的本质是比较判别法，与之相比较的是几何级数∑∞
=-11n n q 。
在判定级数收敛时，要求级数的通项受到n q （10<<q ）的控制。
而在判定级数发散
时，则是根据其一般项不趋于0。
由于二者相去甚远。
因此判别法在许多情况下都会失效，即便对
p -级数∑
∞
=1
1
n p n 也无能为力。
为了弥补上述比值和根植判别法的局限性，我们有拉阿伯判别法：设r a a n n n n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∞→1lim 1，则当1>r 时∑∞=1n n a 收敛；当1≤r 时∑∞
=1n n a 发散。
虽然拉阿伯判别法有时可以处理比值和根植判别法失效的级数，如p -级数等，但是对于11lim 1=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→n n n a a n 时，阿伯判别法仍然失效。
例如，对于∑∞
=1ln 1n p n n 成立11lim 1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∞
→n n n a a n ，但是由积分判别法可知，∑∞
=1ln 1n p n n 当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
事实上还可以建立比阿伯判别法更有效的判别法，如，Bertrand 判别法：设
r a a n n n n n =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞
→11ln lim 1，则当1>r 时∑∞=1n n a 收敛；当1≤r 时∑∞=1n n a 发散。
但是，当1=r 时，该判别法有失效了。
这种逐次建立更有效的判别法的过程是无限的。
每次都能得到新的适用范围更广的
判别法。
下面给出两个与级数收敛性及速度有关的有趣例子。
问题1：曾经有同学向我提出这样一个问题：假设汽车速度1v 快于自行车的速度2v ，而汽车在自行车的后方s ，则显然经过时间2
1v v s
T -=
后，汽车就会追赶上自行车。
但是，他有这样一个疑问？当汽车前进路程s 到达自行车原来所在的位置时，即经过了时间1
1v s
t =
时，自行车又前进了路
程s v v t v s 1
2
121=
=。
当汽车前进路程1s ，即又经过了⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==121112v v v s v s t 时，自行车又前进了路程 s
v v t v s 2
12222⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==，这样一直下去，直观上感觉，汽车总是差一点才能追赶上自行车。
问题
出在哪里呢？事实上该问题与无穷级数的收敛性有关。
汽车追赶第n 段路程化肥的时间为
1
121-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=n n v v v s t ，此时，汽车与自行车相距路程为s v v s n
n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=12，汽车追赶自行车花费的时间的总和
是一个无穷级数∑∑∞=-∞
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==11
1211n n n n v v v s t t ，它是一个公比)1(1
2
<=
v v q 的几何级数，因此，和为
T v v s v v v s t =-=-=
21121/1/。
所以，经过时间2
1v v s
T -=
后，汽车就会追赶上自行车。
问题2：爬金箍棒的蚂蚁的故事（选自数学趣题与妙解）：这天，孙悟空闲暇无时，他把他的金箍棒变成了10cm 长的小棒，立在地上。
这是一只蚂蚁来到棒的底部，沿着小棒往上爬，孙悟空眼睛一亮，心想“要爬，没那么容易！”只听他叫了一声“变”，地上的棒应声长了起来，眼看越长越高，而那只蚂蚁似乎什么都没有发现，还是慢悠悠地一如既往地往上爬。
如果蚂蚁始终沿铅垂线匀速上爬，每分钟上升1cm 。
在孙悟空叫变时，已经爬至高1cm 处，此后，棒的各部分每个时刻都是匀速地变长，每经1分钟，棒就增长10cm ，即第一分钟末，高10cm ，第二分钟末，高20cm ，第三分钟末，高30cm ，... 请问最终蚂蚁能够爬到棒的顶端吗？
不少人会说，由于蚂蚁爬行的速度不变，而棒的长度不停的变长，蚂蚁永远不会爬到棒的顶端。
这样他就忽略了一个事实：由于棒的各部分均匀变长，因而每个时刻，尚未爬过的、正在爬过的和已经爬过的部分都同样要变长的。
第一分钟，蚂蚁爬过了1cm ，为棒高的10
1； 到第二分钟末，棒高伸长为20cm ，而爬过的
1cm ，也变成了2cm ，因而，仍是棒高的10
1 且以后始终保持为棒高的10
1。
如果第一分钟 末到第二分钟末这段时间内，新爬过的部分
没有变长，则第二分钟内爬过的部分是棒高
的201，但实际上，新爬过的部分也在变长，因而第二分钟内爬过的高度要大于棒高的20
1并且这一小段在以后棒变高的过程中，始终要大于棒高的201。
同理，第三分钟内，蚂蚁爬过的高度大于棒
高的
30
1
，... 。
若棒高为L ，则在第n 分钟末，蚂蚁爬过的高度将大于)131211(10n L ++++ 。
于是，
问题转化为：是否存在n ，使得10131211>++++n 。
这当然可以做到，因为调和级数∞=∑∞
=11
n n
是
发散级数。
A 1
B 1110A 1’B 1’B 2220。