级数的收敛性
级数收敛与发散的判定方法
级数收敛与发散的判定方法级数是由一系列连加的无穷项组成的数列。
在数学中，判断一个级数是收敛还是发散是一个重要的问题。
下面我将介绍几种常见的方法来判定级数的收敛性或发散性。
一、正项级数收敛判定法正项级数是指级数的每一项都是非负数。
对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判定其收敛性或发散性。
1. 比较判别法：如果一个正项级数的每一项都小于等于另一个已知收敛的正项级数的对应项，那么这个级数也是收敛的；如果一个正项级数的每一项都大于等于另一个已知发散的正项级数的对应项，那么这个级数也是发散的。
2. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
3. 根值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的根的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
二、交错级数收敛判定法交错级数是指级数的每一项交替正负。
对于交错级数，我们可以使用以下方法进行判定。
1. 莱布尼茨判别法：对于交错级数，如果级数的每一项绝对值递减趋向于零，并且满足单调性条件，即后一项的绝对值不大于前一项的绝对值，那么该级数收敛。
三、级数收敛判定法对于非正项级数，也有一些方法可以判定其收敛性。
1. 绝对收敛判别法：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛。
2. 条件收敛判别法：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么它是条件收敛的。
四、其他级数的判定方法除了上述常见的判定法外，还有一些特殊的级数判定方法。
1. 积分判别法：将一个级数与一个函数的积分进行比较，如果积分收敛，则级数收敛；如果积分发散，则级数发散。
2. 定积分法：将级数的前n项求和表示为一个关于n的函数，然后对该函数进行定积分，如果定积分收敛，则级数收敛；如果定积分发散，则级数发散。
总结：级数的收敛与发散的判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法、条件收敛判别法、积分判别法和定积分法等。
序列与级数的收敛性判断方法
序列与级数的收敛性判断方法序列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在研究序列与级数的性质时，我们常常需要判断它们的收敛性。
本文将介绍一些常用的判断序列与级数收敛性的方法。
一、序列的收敛性判断方法1. 有界性判断法对于一个序列来说，如果存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有|an|≤M成立，那么称该序列是有界的。
有界序列一定是收敛的，而且收敛到的极限值就是序列的上确界或下确界。
2. 单调性判断法如果一个序列是单调递增的，并且有上界，那么它一定是收敛的。
同样地，如果一个序列是单调递减的，并且有下界，那么它也是收敛的。
这是因为有界单调序列必定存在极限。
3. 夹逼定理夹逼定理是判断序列收敛性的常用方法。
如果一个序列an满足对于所有的正整数n，都有bn≤an≤cn成立，并且序列bn和cn都收敛到同一个极限L，那么序列an也收敛到L。
4. 子序列的收敛性判断法如果一个序列的子序列收敛到某个极限L，那么该序列也收敛到L。
这是因为子序列是原序列的一部分，它们的收敛性是相互联系的。
二、级数的收敛性判断方法1. 正项级数的收敛性判断法如果一个级数的每一项都是非负数，并且序列{Sn}的部分和有上界，即存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有Sn≤M成立，那么该级数是收敛的。
2. 比较判别法比较判别法是判断级数收敛性的常用方法。
如果一个级数的每一项都是非负数，并且存在另一个级数{bn}，使得对于所有的正整数n，都有0≤an≤bn成立，那么如果级数{bn}收敛，那么级数{an}也收敛；如果级数{bn}发散，那么级数{an}也发散。
3. 比值判别法比值判别法是判断级数收敛性的重要方法。
对于一个级数an，如果存在正实数r，使得对于充分大的正整数n，都有|an+1/an|≤r成立，那么：- 如果0≤r<1，那么级数an是绝对收敛的；- 如果r>1，那么级数an是发散的；- 如果r=1，那么比值判别法无法确定级数an的收敛性。
级数的收敛性讲解
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用.
前页 后页 返回
对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数，
这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是:
称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.
定义2 若数项级数(1)的部分和数列 {Sn }收敛于 S
前页 后页 返回
(即
lim
n
Sn
S
),
则称数项级数(1)收敛,
S 称为数
项级数(1)的和,记作
S u1 u2 L un L , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要
条件是:任给正数 , 总存在正整数 N ,使得当 m N
以及对任意的正整数 p 都有
um1 um2 L um p .
(6)
根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻
写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数 0 , 对
前页 后页 返回
n
nnnn
lim
n
1
1 n2
1
n2
n
nn
10
所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
前页 后页 返回
例5
运用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛.
证 由于
级数的收敛性判定与计算
级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。
在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。
本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。
一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。
设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。
1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。
关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。
（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。
（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。
2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。
关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。
3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。
二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。
以下是几种常见的级数计算方法。
1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。
对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。
级数的收敛性
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S 21
1
1， 2
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1
2， 2
S8 S23
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
例7.
因为等比级数
n1
1与 2 n n1
1 收敛，所以级数
3n
1
n1 2n
1 3n
也收敛.
例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的.
问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1 (1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例3. 讨论等比级数 ar n1 的敛散性. n1
解：等比级数的部分和为：
S n
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) .
1 r
当公比
1. 无穷级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
级数的收敛性
n
用比较判别法，需要事先有一个敛散性已知的合适级数作为比较的基础，用
起来不大方便，我们用几何级数作比较可以导出两个简便判别法.
二 比式判别法和根式判别法
定理 7 （达朗贝尔判别法或比值判别法）有正项级数 un n1
2020/2/29
15
i) 若 存 在 N, n N 时 有
un1
级数的收敛性：若
lim
n
S
n
S
存在，称级数
un 收敛S， 称为级数的和；
n1
余和：称 rn S Sn uk 为级数 un 的余和
kn
n1
若部分和数列{Sn} 发散，则称级数 un 发散，发散级数没有和。 n1
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
和
n n2
1 n
的敛散性 .
解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛 .
2020/2/29
19
三 积分判别法
级数与无穷积分的关系 :
n1
f (x)dx f u n ,
1
n1 n
n 1
n1
其中 un f . 无穷积分可化为级数 ;
n1 n p
例 1）
1
，
n1 n(n 2 1)
解
1
1 ， 而 1 收敛
n(n 2 1) n3/ 2
n3/ 2
n1
由比较判别法，级数
1
收敛。
n1 n(n 2 1)
例 2）
1
n1 3 n 2 1
级数收敛性判断方法总结
级数收敛性判断方法总结级数是由无限多项式相加而成的一个数列，对于级数来说，有两个重要的性质，即级数的收敛性和发散性。
收敛性是指级数的和可以无限接近一些数，而发散性是指级数的和无法无限接近一些数，可能趋向于无穷大或无穷小。
判断一个级数是否收敛的方法有很多，下面是一些常用的方法总结：1.有限和法：如果一个级数的部分和随着项数的增加趋于一些有限数，那么该级数收敛，否则发散。
2.单调有界法：如果一个级数的一般项是单调递减（或递增）的，并且一般项的绝对值是有界的，那么该级数收敛。
3.比较判别法：如果一个级数的一般项与一个已知的收敛（或发散）级数的一般项相比，它们之间的大小关系足够清楚，那么该级数的收敛性与已知级数的收敛性相同。
a. 比较判别法之比较法：若对于级数∑an和∑bn来说，存在一个正数c，使得当n足够大时，有，an，≤c，bn，那么∑bn收敛必有∑an收敛；b. 比较判别法之极限判别法：若对于级数∑an和∑bn来说，当n趋向于无穷时，有lim(an/bn)=c（其中c为常数）存在而不为0和正无穷大，那么∑bn与∑an同时收敛或∑bn与∑an同时发散。
4. 比值判别法：对于级数∑an来说，如果存在正数c，当n足够大时，有，an+1/an，≤c（0≤c<1），那么级数∑an收敛；如果存在正数c，当n足够大时，有，an+1/an，≥c（c>1），那么级数∑an发散；如果不存在这样的c，那么级数∑an的收敛与发散是不确定的。
5. 根值判别法：对于级数∑an来说，如果存在正数c，当n足够大时，有(√(，an+1，))/√(，an，)≤c（0≤c<1），那么级数∑an收敛；如果存在正数c，当n足够大时，有(√(，an+1，))/√(，an，)≥c（c>1），那么级数∑an发散；如果不存在这样的c，那么级数∑an的收敛与发散是不确定的。
6.积分判别法：对于非负函数f(x)，当函数在[1,+∞)上单调递减有界，则级数∑f(n)与曲线y=f(x)所围成图形的面积为收敛；若级数∑f(n)与曲线y=f(x)所围成的图形面积为发散。
级数与收敛性
级数与收敛性级数是数学中一个重要的概念，它是由一系列无穷多个数的和所组成的。
在研究级数的时候，一个关键的问题是判断级数是否收敛，即求出级数的和是否存在。
一、级数的定义我们先来看一下级数的定义。
给定一个无穷数列 {a1, a2, a3, ...}，级数表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，S表示级数的和。
二、级数的收敛性在判断级数的收敛性时，我们首先需要了解如下的一些概念。
1. 部分和级数的部分和表示为：Sn = a1 + a2 + ... + an其中，Sn表示级数的前n项和。
2. 收敛若存在一个实数L，使得级数的部分和 {Sn} 逐渐趋近于L，即当n 趋向于无穷大时，Sn无限接近L，则称级数收敛，并且L就是该级数的和。
这样的级数也被称为收敛级数。
3. 发散如果一个级数不收敛，则称其为发散。
三、判断级数收敛性的准则下面介绍一些常见的判断级数收敛性的准则。
1. 正项级数收敛准则如果级数的每一项都为非负数，并且级数的部分和是有界的，那么该级数收敛。
2. 比较判别法对于两个级数，如果存在一个正数M，使得对于所有的n，有|an| ≤ M|bn|，那么当级数∑bn收敛时，级数∑an也收敛；当级数∑bn发散时，级数∑an也发散。
3. 极限判别法设有两个关于n的正实数数列 {an} 和 {bn}，如果极限lim(n→∞) (an/bn) = L，其中L是一个正常数，并且级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛；若级数∑bn发散，则级数∑an也发散。
四、级数求和的方法在确定级数收敛后，我们希望能求出级数的和。
下面介绍两种常见的求和方法。
1. 部分和级数的部分和Sn表示级数的前n项和，如果Sn的极限存在，则该极限即为级数的和。
2. 常数项级数常数项级数是指由一个常数项和一个变化项组成的级数，常数项和可以直接计算出来，而变化项的和则通过数学方法求解。
总结：级数是数学中的一个重要概念，我们可以通过判断级数的收敛性来了解级数是否有和。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证 设级数 u n 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
面m项后得到的级数 u k 的部分和为S 'k: k m 1
S k ' u m 1 u m 2 u m k
(u 1 u 2 u m ) u m 1 u m 2 u m k (u 1 u 2 u m )
Smk Sm
,
假设调和级数 , 其收和敛s为 .
于l是 im s2n (sn) s s 0,
n
便有 01 (n ) 这是不可能的.
2
级数发. 散
2项
2项
4项
8项
(11)(11)(1111)(111) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
(2m 112m 122m 11)
每项均大于 1
2 m项
2
即m 前 1项大 (m于 1)1 2 级数发. 散
n 1
k 1
cu n 的部分和为
n 1
n
n
Sn cuk c uk cSn,
k1
k1
故 ln i m Sn ln i m cn Scln i m Sn
从而 cun cun 同时收敛或同时发散.
n1
n1
性质2
若 un与vn收敛，其和分别为S1和S2，则级
n1
n1
数 (un vn)也收敛 , n1
(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也 发散？
答：原级数也发散.
四、级数收敛的必要条件：
当 n 无限 ,它 增 的 大 u n 趋 一 时 ,于 即 般零 项
级数收敛 ln i m un0.
证明 s un 则 u nsn sn 1,
n1
l n iu m n l n is n m l n is n m 1 s s0.
n1
n1
且un vn(n1,2,),若 vn 收敛,则 un收敛；
n1
n1
反之，若un发散，则vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn unvn,
n1
且 s n u 1 u 2 u n v 1 v 2 v n ,
即部分和数列有界
un收敛.
n1
( 2 )设 s n ( n )且 unvn,
§1 级数的收敛性 §2 正项级数 §3 一般项级数
§1 级数的收敛性
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a 1 正十二边形的面积 a1 a2 正32n形的面积 a 1 a 2 a n 即 A a 1 a 2 a n 2 . 1 3 1 3 0 1 3 013 00 0 1 0 3 n 0
定理：若级数 u n 收敛，则必有 n 1
lni mun 0.
证
设
un
n1
S,
则ln i m Sn
S
ln iu m nln i (m SnSn1)
ln i m Snln i m Sn1
SS0
例5.
判别
(1)n1
n1
n n 1
的敛散性.
解：由于
ln i m|un
|lim(1)n1n n n1
1,
1
3
4)
A1(153)253.
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例3. 讨论等比级数 ar n1 的敛散性. n 1
解：等比级数的部分和为：
Snkn 1ak r 1a 1 a n r r 1ra(1 1 Nhomakorabea rn).
当公比 | r |<1时， ln i m Snln i m a(1 1 rrn)1 ar, 即S a .
n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
练习题
一、填空题:
1 、 若
an
1 3 (2n 2 4 2n
1),则 5 an
n1
=____________；
2 、 若 a n
n! nn
,则
5
an
n1
=______________________；
3、若 级 数 为
x 2
x 24
xx 246
则an
1 r
当公比
|
r
|>1时，ln i m Sn
lim a(1rn). n 1r
当公比 r =1时， ln i m Snln i m na
当公比 r = 1时，Sn=
a, n为奇数
,
故
lim
n
S
n不存在.
0, n为偶数
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
无穷级数的概念
1. 无穷级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
un u1u2un
n1
为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项.
若级数 u n 的每一个项un均为常数，则称该 n 1
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个
变量的函数un = un(x), 则称级数 u n ( x ) 为函数项 n 1
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念 基本审敛法
1.由 定 义 ,若 sn s,则 级 数 收 敛 ; 2 . 当 n l i u m n0 , 则 级 数 发 散 ;
3.按 基 本 性 质 .
思考题
设 bn与 cn都收敛，且bn an cn
n1
n1
(n1,2,)，能否推出an收敛？
2n 3n
3、 1 1 2 10
1 1 4 20
1 2n
1 10 n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
练习题答案
一、1、 1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 8 10
由于Sm当m固定时为一常数，所以
kl im Sk kl im Sm kSm
故 级数 u n 与级数 uk有相同的敛散性 .
n 1
km1
性质4
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然 收敛，且其和不变.
例9. 考虑一下几个问题： (1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答：不一定.
(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？ 答：不一定发散.
则nsn 不是有界数列
vn发散.
定理证毕.
n1
推 论 :若un收 敛 (发 散 )
1 2
1
1 2n1
而 ln i m Snln i m 1 212n111 2
故
1
n1(2n1)(2n1)
12，即该级数收敛.
3. 收敛级数的余项
收敛级数 u n 的和S与其部分和Sn的差SSn n 1
称为收敛级数的余项，记为
rn SSn um mn1
显然 lni mrn 0.
二、级数收敛的必要条件
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
246 (2n)
2n 1
5、 2k 1.2k 1,2k , 1 ； 6、 q 1, q 1 .
2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、 发 散 、 [ s2n
k
n
1
(
1 2k
1 )]. 10 k
_______；
4、若 级 数 为
a2 3
a3 5
a4 7
a5 9
则an
________；
5、 若 级 数 为 1 1 3 1 5 1 则 当 n _____
2
4
6
时 an _____； 当 n ______时an ________；
6 、 等 比 级 数 aq n , 当 _ _ _ _ _ 时 收 敛 ； 当 _ _ _ _ 时 发 散 .
A 1 3 1 9 A 1 3 4 ( 1 9 ) 2 A 1 3 4 n 2 ( 1 9 ) n 1 A 1 A 1 { 1 [1 3 1 3 (9 4 ) 1 3 (9 4 )2 1 3 (9 4 )n 2 ]}
n2,3,
于是有
ln im Pn
1
lim
n
An
A1
(1
例4. 讨论级数
1
的敛散性.
n1 (2n1)(2n1)
解： (2n1)12 (n1)1 2 2n 1 12n 1 1
S n 1 2 1 1 3 1 2 1 3 1 5 1 2 1 5 7 1 1 2 2 n 1 1 2 n 1 1
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而 kl im S2k kl im 1k2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
三、无穷级数的性质
性质1
若c0为常数，则 un 与 cu n 有相同的敛散性，
n 1
n 1
且 cun cun.
n1
n1
n
证 u n 的部分和为 S n u k，
故 l n S i n m l n ( i S 1 n m S 2 n ) l n S i 1 n m l n S i 2 n m S 1 S 2
即 级数 (un vn ) 收敛，且 n 1
(unvn) un vnS1S2.
n 1
n 1
n 1